3.1.1 第2课时 椭圆及其标准方程(二)(课件PPT)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第三章　圆锥曲线的方程 3.1　椭圆 3.1.1　椭圆及其标准方程 第2课时　椭圆及其标准方程(二) 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 课堂案·互动探究 01 课后案·学业评价 02 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 01 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 02 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 谢谢观看 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 题型一　椭圆中的焦点三角形问题 一题多变 如图所示，已知椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积． [自主解答]　由已知得a＝2，b＝eq \r(3)，所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(4－3)＝1，|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 120°， 即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.① 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF2|＝4－|PF1|.② 将②代入①解得|PF1|＝eq \f(6,5). ∴＝eq \f(1,2)|PF1||F1F2|sin 120°＝eq \f(1,2)×eq \f(6,5)×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),5)， 即△PF1F2的面积是eq \f(3,5) eq \r(3). [母题变式] (变结论)在例1题设条件不变的情况下，求点P的坐标． 解析　设P(x，y)，由例题可知＝eq \f(3\r(3),5)， 又＝eq \f(1,2)|F1F2||y|＝eq \f(1,2)×2|y|，所以|y|＝eq \f(3\r(3),5)， 代入椭圆方程eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1得x＝±eq \f(8,5)，又点P在第二象限， 所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)，\f(3\r(3),5))). [素养聚焦] 本题通过考查椭圆中焦点三角形问题，提升学生直观想象和数学运算核心素养． 椭圆定义解题的整体思想 对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2，求三角形的面积时注意整体思想的应用，如已知∠F1PF2，可利用S＝eq \f(1,2)absin C把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量． [触类旁通] 1．椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为________，△F1PF2的面积为________． 解析　由eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1，知a＝3，b＝eq \r(2)，∴c＝eq \r(7)， ∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2， 在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝2eq \r(7)， ∴cos∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝－eq \f(1,2)，∴∠F1PF2＝120°. ∴＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin 120°＝2eq \r(3). 答案　120°　2eq \r(3) 题型二　与椭圆有关的轨迹问题 (1)点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹． (2)已知P是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1上一动点，O为坐标原点，求线段OP的中点Q的轨迹方程． [自主解答]　(1)方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准方程为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8. 因为动圆M与已知圆相内切且过P点， 所以|MC|＋|MP|＝r＝8， 根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8＞6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆． (2)设P(xP，yP)，Q(x，y)， 由中点坐标公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(xP,2)，,y＝\f(yP,2)，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(xP＝2x，,yP＝2y.)) 又点P在椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1上，所以eq \f(2x2,4)＋eq \f(2y2,8)＝1， 即x2＋eq \f(y2,2)＝1. 求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法 (1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义法求解． (2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程． (3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点轨迹的方程． [触类旁通] 2．(1)已知△ABC的周长为20，且顶点坐标为B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是(　　) A．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) B．eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,20)＝1(x≠0) C．eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,6)＝1(x≠0) D．eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,6)＝1(x≠0) 解析　因为△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，所以|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，因为12＞8，所以点A到两个定点的距离之和等于定值，所以点A的轨迹是椭圆．因为a＝6，c＝4，所以b2＝20，所以椭圆的方程是eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,20)＝1(x≠0)． 答案　B (2)设定点A(6,2)，P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程． 解析　设M(x，y)，P(x1，y1)． 因为M为线段AP的中点，所以x1＝2x－6，y1＝2y－2， 因为eq \f(x\o\al(2,1),25)＋eq \f(y\o\al(2,1),9)＝1，所以点M的轨迹方程为eq \f(x－32,25)＋eq \f(y－12,9)＝eq \f(1,4). [知识落实] 椭圆中焦点三角形的问题、与椭圆有关的轨迹问题． [技法强化] (1)解决椭圆中的焦点三角形问题，常把|PF1|·|PF2|，|PF1|＋|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求解． (2)求动点轨迹化解方程时，注意方程的同解性． $$