2.5.2 圆与圆的位置关系(课件PPT)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第二章　直线和圆的方程 2.5.2　圆与圆的位置关系 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 r1＋r2 r1－r2 |r1－r2| r1＋r2 r1＋r2 r1－r2 ＝ > < < 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　直线和圆的方程 1 学业标准 素养目标 1．理解圆与圆的位置关系． (重点、易错点) 2．掌握判断圆与圆的位置关系的代数方法与几何方法，并能进行两圆位置关系的判断. (重点、难点) 通过圆与圆的位置关系的判定及解决相关问题，进一步提升数学抽象、逻辑推理及数学运算素养. 导学　圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有几种？ [提示] 有相离(外离和内含)、相交和相切(内切和外切)三种． 如何利用几何性质判断圆与圆的位置关系？ [提示] 设两圆的连心线长为d，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点： (1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2外离； (2)当d＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切； (3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，圆C1与圆C2相交； (4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切； (5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含． 已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？ [提示] 联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ＞0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ＜0时，两圆外离或内含． ◎结论形成 圆与圆的位置关系及判断方法 位置关系 内(外)切 相交 外离 内含 公共点个数 1 2 0 0 判断方法 几何法：设两圆C1，C2的半径分别为r1，r2 |C1C2|＝______或 |C1C2|＝______ ______＜|C1C2|＜______ |C1C2|＞ ______ |C1C2|＜ ______ 代数法：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0)) 消元得到一元二次方程 Δ______0 Δ______0 Δ______0 Δ______0 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果两个圆无公共点，那么这两个圆外离．(　　) (2)两圆方程联立，若有两个解，则两圆相交．(　　) (3)两圆内切或外切时，切点和两个圆的圆心共线．(　　) (4)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．(　　) 解析　(1)×.两个圆无公共点说明两圆有可能外离，也有可能内含，故此说法是错误的． (2)√.这是代数法判定两圆的位置关系的方法． (3)√.根据两圆内切或外切性质知，此说法正确． (4)×.两圆有且只有一个公共点，则两圆不一定外切，还有可能内切，故此说法是错误的． 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 解析　化为标准方程：圆O1：(x－1)2＋y2＝1， 圆O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1,0)，O2(0,2)， |O1O2|＝eq \r(1－02＋0－22)＝eq \r(5)＜r1＋r2，又r2－r1＜eq \r(5)，所以两圆相交． 答案　B 3．(多选)圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为(　　) A．－5 B．－2 C．2 D．5 解析　圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2. 依题意有eq \r(－2－m2＋m＋12)＝3＋2， 即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5. 答案　AC 4．已知⊙O1与⊙O2的方程分别为(x－1)2＋y2＝1，(x＋1)2＋y2＝r2(r＞1)，若两圆相交，则r的取值范围是________． 解析　因为圆心距d＝|O1O2|＝2，且两圆相交， 所以r－1＜d＜r＋1， 即r－1＜2＜r＋1，所以1＜r＜3. 答案　(1,3) 题型一　两圆位置关系的判定 一题多变 已知两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0. (1)当a为何值时，两圆外切； (2)当a＝1时，试判断两圆的位置关系． [自主解答]　将两圆的方程写成标准方程为 C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9， C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4. 所以两圆的圆心和半径分别为 C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2. 设两圆的圆心距为d， 则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5. (1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切， 此时a＝－5或a＝2. (2)当a＝1时，d＝eq \r(2a2＋6a＋5)＝eq \r(13)，r1＝3，r2＝2， 因为|r2－r1|＜d＜r2＋r1， 所以两圆相交． [母题变式] (变结论)若例1条件不变，则当a为何值时，两圆内切． 解析　当d＝|r2－r1|＝|2－3|＝1，即2a2＋6a＋5＝1时，两圆内切，此时a＝－2或a＝－1. 圆与圆位置关系的判定及方法 [触类旁通] 1．当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？ 解析　将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝eq \r(50－k)(k＜50)． 从而|C1C2|＝eq \r(－2－12＋3－72)＝5. 当1＋eq \r(50－k)＝5，k＝34时，两圆外切． 当|eq \r(50－k)－1|＝5，eq \r(50－k)＝6，k＝14时，两圆内切． 当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1， 即14＜k＜34时，两圆相交． 当1＋eq \r(50－k)＜5或|eq \r(50－k)－1|＞5， 即34＜k＜50或k＜14时，两圆相离． 题型二　两圆相切问题 (1)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0相外切，则m＝________. (2)求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋eq \r(3)y＝0相切于点M(3，－eq \r(3))的圆的方程． [自主解答]　 (1)因为x2＋y2－6x－8y＋m＝0⇒(x－3)2＋(y－4)2＝25－m， 所以25－m＞0⇒m＜25，且圆C2的圆心为(3,4)，半径为eq \r(25－m)，根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得eq \r(3－02＋4－02)＝1＋eq \r(25－m)⇒m＝9. (2)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 则eq \r(a－12＋b2)＝r＋1　①， eq \f(b＋\r(3),a－3)＝eq \r(3)　②， eq \f(|a＋\r(3)b|,2)＝r　③. 联立①②③解得a＝4，b＝0，r＝2，或a＝0，b＝－4eq \r(3)，r＝6， 故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq \r(3))2＝36. [答案]　(1)9 (2)(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq \r(3))2＝36 处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，必须准确把握是内切还是外切，若只是说相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)． [触类旁通] 2．求和圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点(4，－1)且半径为1的圆的方程． 解析　设所求圆的圆心为P(a，b)， 所以eq \r(a－42＋b＋12)＝1　①. (1)若两圆外切，则有eq \r(a－22＋b＋12)＝1＋2＝3　②. 由①②，解得a＝5，b＝－1. 所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1. (2)若两圆内切，则有eq \r(a－22＋b＋12)＝2－1＝1　③. 由①③，解得a＝3，b＝－1. 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1. 综上，可知所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1. 题型三　两圆相交问题 一题多变 求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝eq \f(25,4)所截得的弦长. [自主解答]　设两圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A，B的坐标是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,x2＋y2－2x－2y＋1＝0))的解， 两式相减得x＋y－1＝0. 因为A，B两点的坐标满足x＋y－1＝0， 所以AB所在直线方程为x＋y－1＝0，即C1，C2的公共弦所在直线方程为x＋y－1＝0，圆C3的圆心为(1,1)，其到直线AB的距离d＝eq \f(1,\r(2)). 由条件知r2－d2＝eq \f(25,4)－eq \f(1,2)＝eq \f(23,4)， 所以直线AB被圆C3截得的弦长为2×eq \f(\r(23),2)＝eq \r(23). [母题变式] (变结论)例3条件不变，如何求圆C1与圆C2的公共弦长？ 解析　由题意将圆C1与圆C2的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0，对于圆C1：x2＋y2＝1，该圆的圆心到直线x＋y－1＝0的距离为d＝eq \f(|1×0＋1×0－1|,\r(12＋12))＝eq \f(\r(2),2)， 由条件知r2－d2＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝eq \f(1,2)，所以公共弦长为2×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2). [素养聚焦] 本题主要考查与两圆相交有关的问题，突出考查数学抽象和数学运算核心素养． 1．两圆相交时，求公共弦所在的直线方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 2．公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，结合勾股定理求解． [触类旁通] 3．已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值． 解析　由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0,0)，半径r1＝2，又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0.因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心C1(0,0)，即r2＝9(r>0)，解得r＝3. [知识落实] 两圆位置关系的判断、两圆的相切问题、两圆公共弦问题． [技法强化] (1)判断两圆位置关系的方法有代数法和几何法，几何法是比较圆心距d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系． (2)解决两圆相切问题时，要分清两圆是内切还是外切． $$