专题04 全等三角形的判定与性质重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题04 全等三角形的判定与性质重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 全等图形相关问题 题型二 全等三角形的概念 题型三 利用全等三角形的性质求角度 题型四 利用全等三角形的性质求长度 题型五 利用全等三角形的性质求面积 题型六 用SSS证明三角形全等 题型七 用SAS证明三角形全等 题型八 用ASA（AAS）证明三角形全等 题型九 灵活选用判定方法证明全等 题型十 添加条件使三角形全等 题型十一 尺规作图 题型十二 利用全等三角形的判定与性质求角度 题型十三 利用全等三角形的判定与性质求长度 题型十四 利用全等三角形的判定与性质求面积 题型十五 全等三角形中的动点问题 题型十六 全等三角形的综合问题 知识点一、全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 知识点二、全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点三、全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点四、全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 知识点五 尺规作图 一．作已知角的角平分线 二．过一点作已知线段的垂线 【经典例题一 全等图形相关问题】 【例1】（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，矩形矩形矩形，连接并延长交于点K，点F落在上，若已知的面积为整数，则下列图形面积为整数的是（    ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图是5个小正方形纸片拼成的图形，现将其中一个小正方形纸片平移，使它与原图中剩下的小正方形纸片有一条或两条边重合后拼成一个轴对称图形，在拼出的所有不同位置的轴对称图形中，全等的图形共有（    ） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 2．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在由边长为1cm的小正方形组成的网格中，画如图所示的燕尾形工件，现要求最大限度的裁剪出10个与它全等的燕尾形工件，则这个网格的长至少为（接缝不计） ．    3．（23-24八年级上·全国·课后作业）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，虽然只有七块，但是可以拼出多种多样的图形．如图就是一个七巧板，这七块刚好拼成一个正方形．图中有三对全等的三角形，如，也有几对全等的四边形． (1)请根据全等形的特征，求的度数； (2)请写出图中的一对全等的四边形和另外两对全等的三角形． 【经典例题二 全等三角形的概念】 【例2】（23-24七年级下·陕西西安·期中）下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 2．（2024八年级·全国·竞赛）全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ． 3．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，，请写出图中的对应角，对应边．    ①的对应角为（    ）；②的对应角为（    ）；③的对应角为（    ）；④的对应边为（    ）；⑤的对应边为（    ）． 【经典例题三 利用全等三角形的性质求角度】 【例3】（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知点在上，点在上，，且，若．则等于（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，这是纸飞机的示意图，在折纸的过程中，使得与能够重合．如果，，那么 ． 3．（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，已知，点E在边上，与交于点F． (1)若 ，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【经典例题四 利用全等三角形的性质求长度】 【例4】（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知，点F，B，E，C在同一条直线上，若，则的长度为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 1．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，，的周长为，，，，则的长度为（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，已知，点是上一点，交于点． （1）与CF的位置关系是 ； （2）若，，则的长为 ． 3．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）如图所示，已知于D，，求的长．    【经典例题五 利用全等三角形的性质求面积】 【例5】（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知，下列说法：①；②是的中线；③；④与面积相等．其中正确的是：（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）如图，在四边形中，，点在边上，．若，，，记，，则和的大小关系是（    ）    A． B． C． D．无法确定 2．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，现有一动点，从点出发沿着三角形的边运动回到点停止，速度为，设运动时间为． （1）如图，当 时，的面积等于面积的一半； （2）如图，在中，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点出发，沿着边运动回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，则点Q的运动速度是 ． 3．（23-24七年级下·四川成都·期中）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 例如图得到：，基于此，请回答下列问题： 【直接应用】（1）已知：，，求； 【类比应用】（2）已知：，求：； 【知识迁移】（3）将两块全等的直角三角板，按如图所示的方式放置，，，在同一直线上，连接，若，，求阴影部分的面积． 【经典例题六 用SSS证明三角形全等】 【例6】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，，，，那么（    ） A． B． C． D． 1．（22-23七年级上·山东淄博·期中）如图，在四边形ABDE中，，，点C是边BD上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；其中正确的结论个数是（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24八年级上·吉林松原·期末）如图，是的角平分线，于点， 于点，连接交于点，下列结论：；；；；，正确的是 （填序号）．    3．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，四边形是某校的一块试验田，是三条小路（宽度忽略不计），已知，点E，F分别在上，某数学兴趣小组在实践活动测量中发现，，正准备继续测量与的长度来判断与是否相等时，小亮却说：不用测量了，．小亮的说法是否正确？请说明理由．    【经典例题七 用SAS证明三角形全等】 【例7】（2023·贵州黔东南·一模）如图，点，分别为的边，上的点，连接并延长至，使，连接．若，，，则的长等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，是中点，为上一点，连接并延长至点，使得，连接，若、平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在中，、分别在、上，，是中点，试比较与的大小： （提示：可添加辅助线）    3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，为中点，为边上一点，连接，并延长至点 ，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 【经典例题八 用ASA（AAS）证明三角形全等】 【例8】（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，连接，给出下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）如图，在四边形中，，，．过点作，垂足为点．若，，则四边形的面积是 ． 3．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知中，，，动点，分别在边和射线上，连接，． (1)如图1，点在延长线上，且． ①若，求的长； ②判断和的关系，并证明； (2)如图2，，，点在边上，且，当的值最小时，求的长． 【经典例题九 灵活选用判定方法证明全等】 【例9】（23-24七年级下·河南郑州·期末）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（    ） A． B．，， C．，， D．，， 1．（23-24七年级下·山东滨州·期末）根据下列已知条件，不能画出唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，点、分别在、上，与相交于点，连接，如果，，那么图中的全等三角形共有 对． 3．（23-24八年级上·河北邢台·期中）在中，是的中点． (1)如图1，在边上取一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：． (2)如图2，将一直角三角板的直角顶点与点重合，另两边分别与相交于点，，求证：． 【经典例题十 添加条件使三角形全等】 【例10】（23-24七年级下·江西抚州·期末）如图，已知，请你在下面四个备选条件：①；②；③；④中任选一个备选条件和已知条件组合，组合后仍然不能证明的备选条件是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 1．（2024·河北唐山·三模）在和中，，，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图，在和中，已知，．再添加一个条件能使，此条件可以是 或 或 或 或 3．（23-24八年级上·湖南郴州·期中）如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为秒．    (1)用含的代数式表示的长度． (2)若点、的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点、的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【经典例题十一 尺规作图】 【例11】（2021·河南焦作·二模）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则 D．点在的平分线上 1．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，在外找一个点（与点A不重合），并以为一边作，使之与全等，且不是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    3．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）作图题： 如图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点是图的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图中画，使； (2)在图中画，使； (3)在图中画，使． 【经典例题十二 利用全等三角形的判定与性质求角度】 【例12】（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在，，平分，，，下列结论中：，，，．正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 1．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，D，E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 3．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 【经典例题十三 利用全等三角形的判定与性质求长度】 【例13】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，与的平分线交于点，若，，则四边形的周长为（    ） A．38 B．40 C．44 D．56 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，A，B，C，D是四个村庄，其中B，D，C在一条直线上，，且，村庄A，B之间有一个小湖．为方便通行，现要在湖面上建一座桥，测得，，，则建造的桥长至少为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，则的长为 ． 3．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，、相交于点，点、分别是线段、上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，，求． 【经典例题十四 利用全等三角形的判定与性质求面积】 【例14】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 1．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，则四边形的面积等于（    ）    A．12 B．14 C．24 D．48 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，过点B作，且使得，连接AD．若，则的面积为 ． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在和中，已知，，． (1)如图，求证：； (2)当三点在一条直线上时， 如图，已知，求的度数； 如图，过作交于点，若，的面积为，求的长． 【经典例题十五 全等三角形中的动点问题】 【例15】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（    ）秒时，与全等． A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，点在线段上，于点，于点，，且，，点从点开始以速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，、同时停止运动．过、分别作的垂线，垂足分别为、．设运动的时间为，当以、、三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（    ）s．    A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 2．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，点从点出发沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，且一个点到达终点，则另一个也停止运动分别过、两点作于，于，当与全等时，的长为 ． 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）【基础巩固】如图1，已知垂足分别为点A，B．若， ，探究与的关系，并说明理由． 【尝试应用】如图2，垂足分别为点A，B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上以同样的速度运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当时，判断此时线段和线段的关系，并说明理由． 【拓展提高】如图3，在【尝试应用】的基础上，把“”改为“”，若点Q的运动速度为，其它条件不变，当点P，Q运动到何处时有与全等，求出相应的x的值． 【经典例题十六 全等三角形的综合问题】 【例16】（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④；⑤A、D两点一定在线段的垂直平分线上，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在中，，于，平分交于，在上，并且，则下列四个结论： ①，②，③，④，其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 2．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论序号都填上） 3．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）综合与实践： 【问题情境】如图①所示， 已知在中， ， ， 是的中线，过点C作， 垂足为M， 且交于点E． 【数学思考】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【猜想证明】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点N， 即可得， 该结论正确吗? 请说明理由； 【拓展延伸】（3）小刚在（2）的基础上，连接，如图③所示，请你帮助小刚证明． 1．（2024·浙江·三模）在中，，，所对的边分别记为a，b，c，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24八年级上·浙江·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（　　）    A．20 B．25 C．30 D．35 3．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，，且，是上两点，，．若，，，则的长为（    ）    A．9 B．15 C．18 D．21 4．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（） A．2 B．3或1.5 C．2或1.5 D．2或3 5．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、．四块阴影部分的面积如图所示分别记为、、、若，则等于（      ）    A．10 B．15 C．20 D．30 6．（23-24九年级下·浙江·阶段练习）如图，已知在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，，．请你添加一个条件 ，使得． 7．（23-24八年级上·河南新乡·期中）已知，四边形和四边形中，，，，，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形，下列四个条件：①；②；③；④，其中，符合要求的条件的有 ．（填所有正确结论的序号） 8．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，点在线段上，与交于点，若，则的度数为 ． 9．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，点是射线上一点（与点不重合），以为腰作等腰直角，当点运动时，连接，总与边交于点．若，则之间的数量关系是 （用含的代数式表示）． 10．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以个单位/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点始终保持，当点运动 秒时，与全等．    11．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，点D是边上一点，，且，与交于点G，过点E作交于点F，交于点H．    (1)求证：； (2)若，求的值． 12．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图（1），，，，；点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．    (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 13．（23-24八年级上·湖南益阳·期末）如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 14．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图1，中，，点E是BC边上一点，作，使且，边DE交边AB于点F． (1)判断线段CE与BD的数量关系与位置关系； (2)如图2，记的面积为S，的面积为，的面积为，的面积为，设， ①当时，求的值； ②试用含k的式子表示的值（直接写出结果即可）． 15．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）在中，， ，，点在上，且，过点作射线（与 在同侧），若动点从点出发， 沿射线匀速运动， 运动速度为，设点运动时间为 秒．连接、． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当于点时，求此时的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 全等三角形的判定与性质重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 全等图形相关问题 题型二 全等三角形的概念 题型三 利用全等三角形的性质求角度 题型四 利用全等三角形的性质求长度 题型五 利用全等三角形的性质求面积 题型六 用SSS证明三角形全等 题型七 用SAS证明三角形全等 题型八 用ASA（AAS）证明三角形全等 题型九 灵活选用判定方法证明全等 题型十 添加条件使三角形全等 题型十一 尺规作图 题型十二 利用全等三角形的判定与性质求角度 题型十三 利用全等三角形的判定与性质求长度 题型十四 利用全等三角形的判定与性质求面积 题型十五 全等三角形中的动点问题 题型十六 全等三角形的综合问题 知识点一、全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 知识点二、全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点三、全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点四、全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 知识点五 尺规作图 一．作已知角的角平分线 二．过一点作已知线段的垂线 【经典例题一 全等图形相关问题】 【例1】（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，矩形矩形矩形，连接并延长交于点K，点F落在上，若已知的面积为整数，则下列图形面积为整数的是（    ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用．设，，求得，由的面积为整数，推出和是整数，即可判断矩形的面积为整数． 【详解】解：设，， ∵矩形矩形矩形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ， ，， ∵的面积为整数， ∴和是整数， ∴为整数， ∴为整数， 故选：D． 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图是5个小正方形纸片拼成的图形，现将其中一个小正方形纸片平移，使它与原图中剩下的小正方形纸片有一条或两条边重合后拼成一个轴对称图形，在拼出的所有不同位置的轴对称图形中，全等的图形共有（    ） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 【答案】D 【分析】将其中一个小正方形纸片平移，使它与原图中剩下的小正方形纸片有一条或两条边重合后拼成一个轴对称图形，依据全等形的特点进而得出结论． 【详解】解：如图所示： 在拼出的所有不同位置的轴对称图形中，全等的图形共有3对， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用平移设计图案，轴对称的性质，全等形的特点，确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案，通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在由边长为1cm的小正方形组成的网格中，画如图所示的燕尾形工件，现要求最大限度的裁剪出10个与它全等的燕尾形工件，则这个网格的长至少为（接缝不计） ．    【答案】21cm/21厘米 【分析】根据题意，画出图形，找出相应的规律进行计算即可． 【详解】解：如图，    ∵后面画出的图形与第一个图形完全一样 ∴画第二个图形的时候，需往右走1cm，画第三个图的时候，需要再往右走3cm，画第四个图的时候，需要再往右走1cm…， ∴画第10个图时，网格的长至少为（cm）． 故答案为：21cm 【点睛】本题考查数字类规律探究，全等形的概念．解题的关键是得到从第二个图形开始，按照右1右3的规律画图． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，虽然只有七块，但是可以拼出多种多样的图形．如图就是一个七巧板，这七块刚好拼成一个正方形．图中有三对全等的三角形，如，也有几对全等的四边形． (1)请根据全等形的特征，求的度数； (2)请写出图中的一对全等的四边形和另外两对全等的三角形． 【答案】(1) (2)四边形全等四边形；（答案不唯一）； 【分析】（1）根据，求出，根据，得出； （2）根据全等三角形的判定和全等图形的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴； （2）解：图中全等的四边形有：四边形全等四边形；四边形全等四边形；四边形全等四边形；四边形全等四边形； 全等三角形有：；． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等四边形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的对应角相等． 【经典例题二 全等三角形的概念】 【例2】（23-24七年级下·陕西西安·期中）下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的判定与性质，利用全等图形的判定与性质即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）形状相同的两个三角形不一定是全等形，故错误； （2）全等图形的周长都相等，故正确； （3）面积相等的两个等腰三角形不一定是全等形，故错误； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故正确； 故选：B 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形以及图形规律探索，结合题意得出规律，确定第个图中可有对全等三角形，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，图1中有3对全等三角形， 图2中有6对全等三角形， 图3中有10对全等三角形， … 第个图中，有对全等三角形， ∴第5个图中有对全等三角形． 故选：D． 2．（2024八年级·全国·竞赛）全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了全等三角形．根据真正合同三角形和镜面合同三角形的定义进行解答，即可求解． 【详解】解：根据题意得：①③运动方向相反， ∴属于镜面合同三角形的有①③． 故答案为：①③ 3．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，，请写出图中的对应角，对应边．    ①的对应角为（    ）；②的对应角为（    ）；③的对应角为（    ）；④的对应边为（    ）；⑤的对应边为（    ）． 【答案】，，，， 【分析】根据全等三角形的定义可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴①的对应角为； ②的对应角为； ③的对应角为； ④的对应边为； ⑤的对应边为； 故答案为：，，，，． 【点睛】本题考查了全等三角形，找准对应边、对应角是解题的关键． 【经典例题三 利用全等三角形的性质求角度】 【例3】（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，根据题意得出，然后进行等量代换求解即可，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故选：B 1．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知点在上，点在上，，且，若．则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质，，，又，，在中根据内角和定理求解． 【详解】解：， ，， ， ， 又， ，，， ， 故选：C． 2．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，这是纸飞机的示意图，在折纸的过程中，使得与能够重合．如果，，那么 ． 【答案】90 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，熟练使用全等三角形的对应角相等和三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：与能够重合 ， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，已知，点E在边上，与交于点F． (1)若 ，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质． （1）由全等三角形的性质得到，，求出的长，即可得到长． （2）由全等三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，由对顶角的性质得到． 【详解】（1）解：， ，， ， ； （2）解：， ， ，， ， ． 【经典例题四 利用全等三角形的性质求长度】 【例4】（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知，点F，B，E，C在同一条直线上，若，则的长度为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，求出，再求出答案即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 1．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，，的周长为，，，，则的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，再根据周长求出，即可由求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质与三角形的周长求出是解题的关键． 2．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，已知，点是上一点，交于点． （1）与CF的位置关系是 ； （2）若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）由，得到，即可得出； （2）由，得到，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）如图所示，已知于D，，求的长．    【答案】3 【分析】根据全等三角形的性质可得，，从而求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟练应用全等三角形的性质是解题的关键． 【经典例题五 利用全等三角形的性质求面积】 【例5】（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知，下列说法：①；②是的中线；③；④与面积相等．其中正确的是：（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，根据，可知，，，． 【详解】①∵， ∴． 说法①错误． ②∵， ∴． ∴是的中线． 说法②正确． ③∵， ∴． ∴． 说法③正确． ④∵， ∴，且的边上的高与的边上的高相等． ∴与面积相等． 说法④正确． 综上所述，说法正确的有②③④，共3个． 故选：C 1．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）如图，在四边形中，，点在边上，．若，，，记，，则和的大小关系是（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质推出，，，，进而推出，根据三角形面积公式求解后，判断即可． 【详解】解：∵．若，，， ，，，， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 故选A 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 2．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，现有一动点，从点出发沿着三角形的边运动回到点停止，速度为，设运动时间为． （1）如图，当 时，的面积等于面积的一半； （2）如图，在中，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点出发，沿着边运动回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，则点Q的运动速度是 ． 【答案】 或 或或或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、三角形中线的性质；根据题意分类讨论即可求解． （1）根据三角形中线的性质，分点运动到边上时和点运动到边上时两种情况分别讨论即可； （2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】解：的面积等于面积的一半， 点运动到的中点， 此时， 当点运动到边上时， 此时， 此时点在边的中点， 此时， 综上所述，当或时，的面积等于面积的一半； （2）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴ 解得； ②当点在上，点在上，时， ， ∴， 解得； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ∴运动的速度为或或或． 故答案为：或或或． 3．（23-24七年级下·四川成都·期中）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 例如图得到：，基于此，请回答下列问题： 【直接应用】（1）已知：，，求； 【类比应用】（2）已知：，求：； 【知识迁移】（3）将两块全等的直角三角板，按如图所示的方式放置，，，在同一直线上，连接，若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，单项式成多项式以及全等三角形的性质， （1）根据整体代入计算即可； （2）设，可得到，，再根据代入计算即可； （3）设，，则，由得到，再根据，即求出的值即可． 【详解】解：（1），而，， ， ； （2）设，则，， ； （2）设，，则， 由于，即， ， ，即， ， 阴影部分 ． 【经典例题六 用SSS证明三角形全等】 【例6】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，，，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理．先找出满足两个三角形全等的条件：三边对应相等，可证．再根据全等三角形的性质、三角形内角和定理可求． 【详解】证明：， ． 在与中， ， ． ， ． 故选：C． 1．（22-23七年级上·山东淄博·期中）如图，在四边形ABDE中，，，点C是边BD上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；其中正确的结论个数是（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】证明，由全等三角形的性质可得出．由图形的面积可得出③④正确． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，，， ∴，故①正确； ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 故②正确； ∵，， ∴四边形的面积是； 故③错误； ∵， ∴ ∴． 故④正确． 综上所述，正确的是①②④； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 2．（23-24八年级上·吉林松原·期末）如图，是的角平分线，于点， 于点，连接交于点，下列结论：；；；；，正确的是 （填序号）．    【答案】 【分析】此题主要是综合运用了角平分线的性质定理和线段垂直平分线性质定理的逆定理，根据角平分线的性质，得，根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，得点在的垂直平分线上；根据等角对等边，，则点在的垂直平分线上，从而可证得；又因为，为公共边，是角平分线，从而可根据证明，则有，由则有，解题的关键是熟练掌握以上知识点的的应用． 【详解】∵为的角平分线，于，于， ∴， ∴点在的垂直平分线上，， ∵， ∴， ∴，故正确； ∴点在的垂直平分线上， ∴，故正确； ∵，，， ∴， ∴，故错误， 由，， ∴， ∴，故正确； ∵的大小不确定， ∴不能确定，故错误， 综上可知：正确， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，四边形是某校的一块试验田，是三条小路（宽度忽略不计），已知，点E，F分别在上，某数学兴趣小组在实践活动测量中发现，，正准备继续测量与的长度来判断与是否相等时，小亮却说：不用测量了，．小亮的说法是否正确？请说明理由．    【答案】小亮的说法正确．理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线性质定理等知识，先证明，得到是的平分线.再利用角平分线的性质即可得到． 【详解】解：小亮的说法正确. 理由：在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴是的平分线. ∵， ∴，， ∴. 【经典例题七 用SAS证明三角形全等】 【例7】（2023·贵州黔东南·一模）如图，点，分别为的边，上的点，连接并延长至，使，连接．若，，，则的长等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明是解题的关键． 【详解】解：， ， 在与中， ， ， ， ， ， 又， ． 故选：A． 1．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，是中点，为上一点，连接并延长至点，使得，连接，若、平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线，三角形内角和定理是解题的关键． 证明，则，由平分，可得，则，计算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在中，、分别在、上，，是中点，试比较与的大小： （提示：可添加辅助线）    【答案】 【分析】延长至，使，连接、，证明，根据全等三角形的性质得到，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】延长至，使，连接、， 在和中， ， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， 在中，， ， 故答案为：．    【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的三边关系，正确的做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，为中点，为边上一点，连接，并延长至点 ，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由为中点得，然后用“”证明即可； （）由，得， 三角形的内角和得，最后由平行线的性质即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）由（）得：， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【经典例题八 用ASA（AAS）证明三角形全等】 【例8】（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据，求出，，从而求得，再根据三角形全等证明即可． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ． 故选：B． 1．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，连接，给出下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据证明得出，再逐一判断每个结论即可得出选项． 【详解】解：在中，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分， 故①正确； ∵， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， 故④正确， ∴正确的结论有4个， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 2．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）如图，在四边形中，，，．过点作，垂足为点．若，，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键．根据垂直可得，从而可得，，进而可得，然后利用证明，从而可得，，进而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解∶， 四边形的面积的面积的面积 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知中，，，动点，分别在边和射线上，连接，． (1)如图1，点在延长线上，且． ①若，求的长； ②判断和的关系，并证明； (2)如图2，，，点在边上，且，当的值最小时，求的长． 【答案】(1)①8；②且，证明见详解 (2)3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）①利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后由，即可获得答案；②延长，交与，由全等三角形的性质可得，结合，，易得，即可证明； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，易得，故当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，再证明，由全等三角形的性质可得，故，即可获得答案． 【详解】（1）解：①∵，动点，分别在边和射线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②且，证明如下： 如下图，延长，交与， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 如下图， 当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【经典例题九 灵活选用判定方法证明全等】 【例9】（23-24七年级下·河南郑州·期末）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（    ） A． B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件．熟练掌握三角形全等的判定方法，三角形三边关系，是解决问题的关键． 根据三角形三边的关系对B进行判断；根据全等三角形的判定方法对A、C、D进行判断． 【详解】A．， 不符合三角形全等判定条件，不能作出唯一三角形； B．，，， 这里，不符合三角形三边关系，不能作出三角形； C．，，， 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，不能作出唯一三角形； D．，，， 两边及夹角对应相等的两个三角形全等，能作出唯一三角形． 故选：D． 1．（23-24七年级下·山东滨州·期末）根据下列已知条件，不能画出唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理进行逐个判断即可求解． 【详解】解：A、，，，符合全等三角形的判定定理（），能画出唯一的三角形，故不符合题意； B、，，，符合全等三角形的判定定理（），能画出唯一的三角形，故不符合题意； C、，，，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故符合题意； D、，，，符合全等三角形的判定定理（），能画出唯一的三角形，故不符合题意； 故选：C． 2．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，点、分别在、上，与相交于点，连接，如果，，那么图中的全等三角形共有 对． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．已知，，先根据“”证明，则，，再证明，即可根据“”证明，得，，然后根据“”证明，同样方法可得，，从而可判断图中的全等三角形共有5对． 【详解】解：在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 综上所述，图中的全等三角形共有5对． 故答案为：5． 3．（23-24八年级上·河北邢台·期中）在中，是的中点． (1)如图1，在边上取一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：． (2)如图2，将一直角三角板的直角顶点与点重合，另两边分别与相交于点，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）运用证明即可解题； （2）如图，过点作交延长线于点，连接．推导，即可得到结论． 【详解】（1）是的中点， ． ， ， ， ． （2）如图，过点作交延长线于点，连接． 由（1）知． ． ， ， ． 在中，， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的不等关系，能作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【经典例题十 添加条件使三角形全等】 【例10】（23-24七年级下·江西抚州·期末）如图，已知，请你在下面四个备选条件：①；②；③；④中任选一个备选条件和已知条件组合，组合后仍然不能证明的备选条件是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 【详解】解：，，， ，①能证明，不符合题意； ，，， ②不能证明，符合题意； ，，， ，③能证明，不符合题意； ，，， ，④能证明，不符合题意； 故选：B． 1．（2024·河北唐山·三模）在和中，，，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，根据三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】、根据全等三角形的判定方法，不能判定，此选项不符合题意； 、由可得和不一定全等，所以与不一定相等此选项不符合题意； 、与不能判断大小，则无确定值，此选项不符合题意； 、根据三角形的内角和可得：，， 又，，则，此选项符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图，在和中，已知，．再添加一个条件能使，此条件可以是 或 或 或 或 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质； 根据全等三角形的判定定理，，进行添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴添加，可根据得到， 添加，则，可根据得到， 添加，可根据得到， 添加，可根据得到， 添加，则，可根据得到， 故答案为：，，，，． 3．（23-24八年级上·湖南郴州·期中）如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为秒．    (1)用含的代数式表示的长度． (2)若点、的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点、的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)当时，能够使与全等 【分析】此题主要考查了动点问题和全等三角形的判定， （1）直接根据时间和速度表示的长； （2）根据证明即可； （3）因为点的运动速度不相等，所以，那么只能与相等，则，得，解出即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则； （2）解：，理由如下： 当时，由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴； （3）解：∵点的运动速度不相等， ∴， 当与全等，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，能够使与全等． 【经典例题十一 尺规作图】 【例11】（2021·河南焦作·二模）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则 D．点在的平分线上 【答案】C 【分析】根据题意可知，即可推断结论A；先证明，再证明即可证明结论B；连接OP，可证明可证明结论D；由此可知答案． 【详解】解：由题意可知， ， ， 故选项A正确，不符合题意； 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， 故选项B正确，不符合题意； 连接OP， ， ， 在和中， ， ， ， 点在的平分线上， 故选项D正确，不符合题意； 若，， 则， 而根据题意不能证明， 故不能证明， 故选项C错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的线段是解题的关键． 1．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，在外找一个点（与点A不重合），并以为一边作，使之与全等，且不是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题是开放题，要想使△A′BC与△ABC全等，先确定题中条件，再对应三角形全等条件求解． 【详解】解：如图： 以B点为圆心，CA为半径上下画弧，C点为圆心，BA为半径上下画弧，两弧相交分别得到点、；以C点为圆心，CA为半径画弧，以B点为圆心，BA为半径画弧，两弧的交点得到点，所以符合条件的点A′有3种可能的位置． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等的判定综合．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法去求证． 2．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可． 【详解】解：过B作于D，    ∵点B到射线的距离为d， ∴， ①如图，    当C点和D点重合时，，此时是一个直角三角形； ②如图，    当时，此时C点的位置有两个，即有两个； ③如图，    当时，此时是一个三角形； 所以x的范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了考查全等三角形的判定，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情况是解此题的关键． 3．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）作图题： 如图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点是图的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图中画，使； (2)在图中画，使； (3)在图中画，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（）根据网格线的特点及轴对称的性质作图； （）根据网格线的特点及旋转的性质作图； （）根据网格线的特点及平移的性质作图； 此题考查了作图的应用，掌握网格线的特点及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）如图： ∴即为所求； （2）如图： ∴即为所求； （3）如图： ∴即为所求． 【经典例题十二 利用全等三角形的判定与性质求角度】 【例12】（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在，，平分，，，下列结论中：，，，．正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的定义以及余角的性质等知识点，根据平行线的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的定义以及余角的性质逐项判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， ，故①正确； 平分， ， ， ， ，故②正确； ， 和互余，和互余， ， ，故③正确； 和不一定全等，故和不一定相等，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：A． 1．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查网格中的全等三角形，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．根据网格特点，可得出，进而可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C． 2．（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，D，E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 【答案】/140度 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 设交于点G，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，可求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点G， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出，根据，结合角的和差关系即可得答案． 【详解】（1）证明：∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题十三 利用全等三角形的判定与性质求长度】 【例13】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，与的平分线交于点，若，，则四边形的周长为（    ） A．38 B．40 C．44 D．56 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，构造辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．过点作，根据角平分线可证明，，得到，，从而推算出四边形的周长等于． 【详解】解：如下图所示，过点作， 的平分线交于点E， ∴， ，， ， ∴， ∵，， ∴， 同理可得： ， ∵， ∴四边形的周长为， 故选：C． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，A，B，C，D是四个村庄，其中B，D，C在一条直线上，，且，村庄A，B之间有一个小湖．为方便通行，现要在湖面上建一座桥，测得，，，则建造的桥长至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及其性质，根据，得出，进而得出，这样可得出桥长度． 【详解】解：由题意知：， ∵在和中， ， ∴， ∴， 故斜拉桥至少有（千米）． 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】先根据证明，则可得，即可求出的长． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵、是 的高， ， ，， ， 在和中 ， ， ，， ， ， 又， ， ． 故答案为：5. 3．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，、相交于点，点、分别是线段、上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，得到是解题的关键． （1）利用，可得，即可推出，即可解答； （2）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ． 【经典例题十四 利用全等三角形的判定与性质求面积】 【例14】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 1．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，则四边形的面积等于（    ）    A．12 B．14 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识．由，，，求得，由，得，而，，即可根据“”证明，则，即可推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，， ， ∵， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，过点B作，且使得，连接AD．若，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，与三角形高有关的计算，过点D作的延长线的垂线，作，垂足为E，先求出，再证明从而得到，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点D作的延长线的垂线，作，垂足为E， ，， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：8． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在和中，已知，，． (1)如图，求证：； (2)当三点在一条直线上时， 如图，已知，求的度数； 如图，过作交于点，若，的面积为，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)；． 【分析】（）证明即可得出； （）通过得出，通过角度和差得，最后由三角形内角和得出的度数； 过点作于点，通过底相等，高两倍得出，再通过面积换算得出的面积，从而求出的长度； 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形面积的求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）同理（）可得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 过点作于点， ∴ ∵， ∴，， ∵ ∴ ∴， 令，， ∵，， ∴， ∵的面积为， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【经典例题十五 全等三角形中的动点问题】 【例15】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（    ）秒时，与全等． A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图1，Q在上，点P在上时，作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，， ∵， ∴， 当， 则， ∴， 解得：； ③如图3，当点Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当， 则， 即， 解得：； 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等， 故选D． 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，点在线段上，于点，于点，，且，，点从点开始以速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，、同时停止运动．过、分别作的垂线，垂足分别为、．设运动的时间为，当以、、三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（    ）s．    A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，分两种情况讨论，由全等三角形的判定和性质可求解． 【详解】当点在上，点在上时， 以，，为顶点的三角形与全等，      ， ， ， 当点在上，点第一次从点返回时， 以，，为顶点的三角形与全等， ， ， ， 综上所述：的值为1或3． 故选：B． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，点从点出发沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，且一个点到达终点，则另一个也停止运动分别过、两点作于，于，当与全等时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．分在上，在上；在上，在上，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当在上，在上时， ∵， ∴， ∵于，于． ∴， ∴， 若，则， ∴， 解得， ∴； 当在上，在上时，即、重合时，，则， 由题意得，， 解得， ∴， 综上，当与全等时，满足条件的的长为或． 故答案为或． 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）【基础巩固】如图1，已知垂足分别为点A，B．若， ，探究与的关系，并说明理由． 【尝试应用】如图2，垂足分别为点A，B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上以同样的速度运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当时，判断此时线段和线段的关系，并说明理由． 【拓展提高】如图3，在【尝试应用】的基础上，把“”改为“”，若点Q的运动速度为，其它条件不变，当点P，Q运动到何处时有与全等，求出相应的x的值． 【答案】基础巩固：，理由见解析；尝试运用：；拓展提高当与全等时的x值为2或 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明，解决此题的是注意分类讨论． 基础巩固：根据证明，进而解答即可； 尝试应用：根据证明，进而解答即可； 拓展提高：根据全等三角形的性质得出方程解答即可，注意分类． 【详解】解：基础巩固：． 理由：， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； 尝试运用： ． 当时，， ， ， ， 由基础巩固中的结论可知：； 拓展提高 ①若设运动时间为时， 则， 可得：，， ； ②若设运动时间为时，， 则，可得：，， ，， 综上所述，当与全等时的x值为2或． 【经典例题十六 全等三角形的综合问题】 【例16】（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④；⑤A、D两点一定在线段的垂直平分线上，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件可证明，从而可判断①、④正确；利用直角三角形的两锐角互余可判断②；利用角平分线的定义可判断③；利用线段垂直平分线的判定可判断⑤；从而可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴平分 故①正确； ∵，且， ∴； 故④正确； ∵， ∴A、D都在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， 故⑤正确； ∵， ∴， 故②正确； 若平分，则E应为中点，由条件无法得出， 故③不正确； 综上可知正确的结论有：①②④⑤，共四个， 故选：C． 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在中，，于，平分交于，在上，并且，则下列四个结论： ①，②，③，④，其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义；根据证明，再利用三角形全等的性质证明，，进而得出，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解此题的关键． 【详解】解：平分交于， ， 在和中， ， ，故④正确； ，故②③正确； ，于， ，， ， ，故①正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D． 2．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论序号都填上） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，利用全等三角形的判定和性质，可以证明，由此即可一一判断． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ， ∴，故①②正确， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确， 在和中， ， ∴，故③正确， 故答案为：①②③④． 3．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）综合与实践： 【问题情境】如图①所示， 已知在中， ， ， 是的中线，过点C作， 垂足为M， 且交于点E． 【数学思考】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【猜想证明】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点N， 即可得， 该结论正确吗? 请说明理由； 【拓展延伸】（3）小刚在（2）的基础上，连接，如图③所示，请你帮助小刚证明． 【答案】（1）见解析 ；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题意，得，，利用余角的性质证明即可； （2）利用等腰直角三角形的性质，结合角的平分线定义，证明，结合三角形全等的判定定理即可证明； （3）根据，结合证明即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴． （2）结论是正确的．理由如下： 证明：∵， ， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．（2024·浙江·三模）在中，，，所对的边分别记为a，b，c，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了利用全等三角形的判定作图，对于没有不属于全等三角形的判定情况，要根据实际情况作图，是本题解答的关键．根据全等三角形的判定，可判断B选项和C选项不符合题意，对于选项A和选项D，则作以点C为圆心，长为半径作弧，查看该弧与直线的交点情况，即可判断答案． 【详解】A、如图1，在中， ，，，以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连结，则在中， ，，，同样满足题意，所以此三角形不唯一，符合题意； B、， a，b，c三线段能作组成三角形， 根据两个三角形“边边边”全等的判定，可知此三角形唯一确定，不符合题意； C、根据两个三角形“角角边”全等的判定，可知此三角形唯一确定，不符合题意； D、如图2，在中， ，，，以点C为圆心，长为半径作弧，与直线没有交点，可知此三角形唯一确定，不符合题意． 故选A． 2．（23-24八年级上·浙江·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（　　）    A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，，求出和，根据和矩形的面积相等，进行求解． 【详解】解：点E为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 同理可证， ， ， ， 故选：C． 3．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，，且，是上两点，，．若，，，则的长为（    ）    A．9 B．15 C．18 D．21 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，设与交于点，与交于点，证明，得到，，由此即可得出答案，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：设与交于点，与交于点，   ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故选：B． 4．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（） A．2 B．3或1.5 C．2或1.5 D．2或3 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 根据题意得，，由于，所以当，时，，即，当，时，，即，然后分别解方程可求出对应的的值． 【详解】根据题意得， ∴当时，， 即， 解得； 当时， 即， 解得； 综上所述，的值为3或． 故选：B． 5．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、．四块阴影部分的面积如图所示分别记为、、、若，则等于（      ）    A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】C 【分析】如图所示，过点E作于K，连接，设交于T，交于L，先证明得到，再证明得到，，进一步证明，得到，，进而推出，证明，从而推出，则E、M、N三点共线，，证明，得到，同理可证明，得到，则． 【详解】解：如图所示，过点E作于K，连接，设交于T，交于L， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴E、M、N三点共线，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， 故选C．    【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．（23-24九年级下·浙江·阶段练习）如图，已知在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，，．请你添加一个条件 ，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形全等的性质和判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、(在直角三角形中)．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 点在同一条直线上，且，即在和中，已经有两边对应相等，根据判定两个三角形全等的方法：，所以可添加条件为． 【详解】解：． 以下证明添加条件为时，． ， ， ， ， 在和中， ∴． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·河南新乡·期中）已知，四边形和四边形中，，，，，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形，下列四个条件：①；②；③；④，其中，符合要求的条件的有 ．（填所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等图形的判断，三角形全等的判定，根据两个完全重合的图形叫全等图形，结合三角形全等直接逐个判断即可得到答案 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴，， 当时， ， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴形四边形， ∴①符合题意， 当时， ∵，，， ∴， ∴形四边形， ∴②符合题意， 当时，不能得到， 故③不符合题意， 当时， ∵，，， ∴， ∴形四边形， ∴④符合题意， 故答案为：①②④． 8．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，点在线段上，与交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/47度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，证明是解题的关键．先证明，然后利用即可证得得，然后根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】证明：∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 9．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，点是射线上一点（与点不重合），以为腰作等腰直角，当点运动时，连接，总与边交于点．若，则之间的数量关系是 （用含的代数式表示）． 【答案】或 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用分类讨论思想以及正确作出辅助线证明三角形全等是解题的关键 过点E作于G，证明，根据全等三角形的性质得到，再证明，根据全等三角形的性质证明结论；根据全等三角形的性质得到，结合，且，根据线段的和差关系列式代入计算；当点在直线上时，同理证明三角形的全等，然后运用全等三角形的性质以及数形结合思想，再结合线段的和差关系列式，代入数值进行计算，即可得到答案； 【详解】解：过点E作于G， 则， ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ∴ ∴ 在和中 ， ∴ ∴； ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ 则 ∵， ∴ 即； 如图，过点E作交的延长线于点H， 则， ∵， ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，且， ∴； ∴ 故答案为：或． 10．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以个单位/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点始终保持，当点运动 秒时，与全等．    【答案】或或或 【分析】本题考查三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．首先根据题意可知，本题要分两种情况讨论：①当在线段上时，②当在射线上时； 再分别分成两种情况，，结合已知，运用即可得出与全等，然后分别计算的长度即可． 【详解】解：①当在线段上，时，， ， ， ， ∴点的运动时间为（秒）； ②当在上，时，， ， ， ， ∴点的运动时间为（秒）； ③当在线段上，时，， 这时在点未动，因此时间为秒； ④当在上，时，， ， 点的运动时间为（秒）， 故答案为：或或或． 11．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，点D是边上一点，，且，与交于点G，过点E作交于点F，交于点H．    (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线性质，全等三角形判定，垂直的定义，四边形内角和，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）利用平行线性质得到，利用垂直的定义得到，即可证明； （2）利用平行线性质得到，在利用四边形内角和得到，即可解题． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， ，， ． 12．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图（1），，，，；点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．    (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)全等，理由见解析，线段与线段垂直； (2)存在，或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握分类讨论的思想是解题关键． （1）由速度和时间求得、，进而可得，再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明，由全等的性质求得进而可得，即； （2）已知，所以与全等时和为对应相等角，应分两种情况讨论：①时，，，②时，，；利用对应边相等的关系建立方程组求解即可； 【详解】（1）解：全等，， 当时，，， 又∵， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴，即线段与线段垂直； （2）解：存在 ①若， 则，， ∴， 解得； ②若，则，， ∴， 解得； 综上所述，存在或使得与全等； 13．（23-24八年级上·湖南益阳·期末）如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答． （1）根据平分，可以得到，然后根据题目中的条件即可证明和全等，从而可以得到结论成立； （2）根据三角形内角和和角平分线的定义可以得到的度数，进而求解的度数． 【详解】（1）证明：平分， ， 在和中， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ， ． 14．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图1，中，，点E是BC边上一点，作，使且，边DE交边AB于点F． (1)判断线段CE与BD的数量关系与位置关系； (2)如图2，记的面积为S，的面积为，的面积为，的面积为，设， ①当时，求的值； ②试用含k的式子表示的值（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，见解析 (2)①；② 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等高三角形的面积关系．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由等腰直角 三我性质求得，再证明，得，，继而证明，即可得出结论． （2）①由，，得出，再根据，得到，代入计算即可； ②由，，得出，再根据，得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：，． 理由：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ∴． （2）解：①， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴； ②∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）在中，， ，，点在上，且，过点作射线（与 在同侧），若动点从点出发， 沿射线匀速运动， 运动速度为，设点运动时间为 秒．连接、． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当于点时，求此时的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）本题考查全等三角形的判定，利用等角的余角相等得出，再结合题干的其他条件，即可解题． （2）本题与（1）问的证明类似，证得，再利用全等的性质得出线段的长，最后根据时间等于路程除以速度，即可解题． 【详解】（1）证明：如图①，， ， ， 又， ， 又， ， ， 又，， ， 在和中， ； （2）解：如图②，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， 运动速度为， (秒)． 学科网（北京）股份有限公司 $$