专题02 三角形有关的角重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题02 三角形有关的角重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 三角形内角和定理的证明 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型四 三角形折叠中的角度问题 题型五 三角形内角和定理的应用 题型六 根据直角三角形的性质求角度 题型七 利用直角三角形的性质探究角的关系 题型八 直角三角形的存在性问题 题型九 三角形外角的性质 题型十 三角形外角与内角的综合 题型十一 三角形中翻折问题综合 题型十二 三角形中旋转问题综合 知识点 1 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点2 直角三角形： ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点3 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【经典例题一 三角形内角和定理的证明】 【例1】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 1．（22-23九年级下·河北石家庄·开学考试）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是”的有（    ）    ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③作于点D ④过上一点D作， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果三角形的三个内角分别是x°，y°，y°，那么x，y满足的关系式是 ． 3．（23-24七年级下·江西赣州·期末）【课本再现】（人教版数学教材七年级下册第25页第14题） （1）如图1，直线经过点A，．则 ， ， ． （2）通过这道题的解答，在不知道的度数的情况下，你能说明为什么三角形的内角和是吗？请写出你的证明过程． 【拓展应用】 （3）如图2，已知，若D点是外一点．猜想有怎样的关系？并进行证明． 【经典例题二 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例2】（2024·陕西西安·三模）如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 1．（22-23七年级下·安徽黄山·期中）如图，，，，，给出以下结论： ； ； ； ．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ． 3．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，，，P是射线上的一个动点（不包括端点B），将沿折叠，使顶点B落在点Q处． (1)当点Q在平行线，之间，时，求的度数． (2)当点Q在下方，时，求的度数． 【经典例题三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例3】（2024·甘肃武威·二模）如图，在中，于D，平分交于点E，交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，的三等分线交于点E、D，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，、分别平分、，若，则的度数为 度． 3．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图所示，在中，是角平分线，是高． (1)若，求：的度数． (2)已知，请直接写出与的关系． (3)已知，求证：． 【经典例题四 三角形折叠中的角度问题】 【例4】（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23七年级下·河南南阳·期末）将一张长方形纸片按如图所示操作（是上一点）： （1）将沿向内折叠，点落在点处． （2）将沿向内继续折叠，点落在点处，折痕与边交于点，若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点E处，当平行于的边时，的度数为 ． 3．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）探究： (1)如图①与有什么关系？为什么？ (2)把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）． (3)如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______． 猜想三个角存在的等量关系为______． 【经典例题五 三角形内角和定理的应用】 【例5】（23-24七年级下·云南昭通·阶段练习）将一副学生用三角板（一个锐角为的直角三角形，一个锐角为的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（    ） ①平分；②；③；④ A．0 B．1 C．2 D．3 1．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）如图，直线，现将一副直角三角尺按如下步骤及要求摆放于同一平面内： 步骤1：将一块含（）的直角三角尺（）如图放置，使得点落于直线上，直角顶点位于两平行线之间； 步骤2：将另一块含（）的直角三角尺（）进行放置，使得点落于直线上（点在点的右边），边经过点，满足； 根据以上步骤，的度数可以是①⑥选项中的哪三项（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．①③⑥ B．①④⑥ C．②④⑤ D．②③⑤ 2．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图，，若，，则 ． 3．（23-24七年级下·广西南宁·期末）综合与实践 【问题背景】 光线照射到镜面会产生反射现象，小明在做镜面反射实验时发现：当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角相等，例如：在图1中，有．小明同学用了两块镜子和形成一个镜子组合体，镜子与之间的角为．他发现改变的大小，入射光线和反射光线位置关系会发生改变． 【初步探究】 （1）如图2，当，______°，______°，______°，此时入射光线与反射光线是平行的； 【深入探究】 （2）如图3，当，求此时入射光线与反射光线形成的夹角的大小； 【拓展应用】 （3）如图4，当，放入一块新的镜子，入射光线从镜面开始反射，经过3次反射后，反射光线为，小明发现当和满足一定数量关系时，．设，，求此时x和y之间满足的数量关系． 【经典例题六 根据直角三角形的性质求角度】 【例6】（2024·山东青岛·二模）两个直角三角板如图摆放，其中，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23七年级上·山东淄博·期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画了两锐角的角平分线，及其交点，小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数都是定值，则这个定值为（　　）．    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，是的高，平分交于点．若，则的度数为 ． 3．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）如图，中，，，平分交于点于点M，交于点N． (1)求的度数； (2)求的度数． 【经典例题七 利用直角三角形的性质探究角的关系】 【例7】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，，，垂足分别为． 下列说法正确的个数是（   ） ①点到线段的距离为线段的长度； ②； ③； ④将三角形绕线段所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，中，于点D，则下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，中，分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；其中正确的是 ．    3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）直角三角形，，点D为边上一点，为的高线， (1)求证：； (2)如图（2）：交直线于F，G为上一点，交直线于点K，交于点H，若，请你在不添加任何辅助线，直接写出与相等的角（不包括） 【经典例题八 直角三角形的存在性问题】 【例8】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）在下列条件中：①；②；③；④；⑤；能确定为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（22-23八年级上·山东滨州·期末）在下列条件：；；；；中，能确定为直角三角形的条件有（        ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）在中，，，点在边上，平分，在上取一点，若为直角三角形，则的度数为 ． 3．（23-24七年级下·吉林长春·期中）已知长方形中，，，连结，点P从点A出发，以的速度沿的方向运动，设P点运动的时间为t（秒）（）． (1)当时，______；当时，_______． (2)若点P在上，用含t的代数式表示的面积． (3)在整个运动过程中，当的面积为长方形面积的时，求t的值． (4)若动点Q与点P同时从点A出发，以的速度沿的方向运动，当P、Q相遇时，他们同时停止运动．当为直角三角形时，直接写出t的值或取值范围． 【经典例题九 三角形外角的性质】 【例9】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，高、交于点O，则为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，测量得，，则为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，平分，点E在射线上，于F，，，则的度数为 ．    3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，分别为的中线、高，点E为的中点． (1)若求的度数； (2)若的面积为15，求的长． 【经典例题十 三角形外角与内角的综合】 【例10】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图1，2，3．，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，在中，，的平分线交于点D，点P是射线边上的动点，连接交于M，若，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中、，，点是边上一点，连接，将沿着折叠，点落在点处、若，则的度数为 °．    3、（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图1，，点分别在上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．    【特殊探究】 (1)若，则______； 【推理论证】 (2)随着点的运动，的大小是否会变化？如果不变，求的度数；如果变化，请说明理由． 【拓展探究】 (3)如图2，直线与直线相交于点，夹角为，点在点右侧，点在上方，点在点左侧，点在射线上运动（不与重合），平分平分交直线于点，当时，求的度数． 【经典例题十一 三角形中翻折问题综合】 【例11】（23-24七年级上·重庆开州·期末）如图，长方形纸片，点、分别在边、上，连接，分别将，对折，使、分别落在直线上的点和处，折痕分别为、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，若，则 °． 3．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）在学习三角形之后，八（1）班实践课上，乐乐把一个三角形纸片沿折叠，使点落在内部的点处． (1)如图1，若，则___________°； (2)利用图1，探究，与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，把折叠后，，恰好分别是与的平分线，若，利用（2）中的结论求的度数． 【经典例题十二 三角形中旋转问题综合】 【例12】（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图①，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中，，，，现按住三角板不动，将三角板绕点C顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记（k为常数），给出下列四个说法： ①当时，直线与直线相交所成的锐角度数为； ②当时，； ③当时，．其中正确的说法的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．（22-23七年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，分别将三角板与的一边与放置在直线l上，边与所在直线重合．现将三角板绕点A逆时针旋转，三角板绕点A顺时针旋转．当与第一次重合时，三角板停止运动． 在旋转过程中，下列说法不正确的是（   ） A．当与垂直时， B．当与平行时， C．当与垂直时， D．当与平行时， 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点B以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了 秒．    3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【问题背景】 在一副三角板和（顶点C重合）中，， ， ． 【问题发现】 （1）如图1，当时，求的度数． 【问题探究】 （2）如图2，若，判断与的位置关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图2，将三角板绕点C按顺时针方向旋转，在旋转一周的过程中，当与三角板的直角边重合时，请直接写出两个三角板斜边所夹的锐角的度数． 1．（2024·西藏日喀则·一模）如图 ， 为的角平分线，，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江台州·期中）健康骑行逐渐受到人们喜欢，图1是便携式折叠自行车，图2是其示意图． ， ，平分．若，，则　　 A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·上海静安·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若且，则为锐角三角形 4．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，，分别平分和，且相交于F，，于点G，则下列结论①；②平分；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 5．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，，，，则的度数是 ． 7．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图1，将扳手中某些部位抽象成点，并画出如图2所示的平面图形，其中， ，若，，，则 ． 8．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图1为一种可折叠阅读书架，支架可以绕点O旋转，置书面可以绕点C转动调节．首先调节，使，如图2所示，此时；再将绕O点顺时针旋转至，使，且，此时比大，则 度． 9．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，直线，点A在直线与之间，点B在直线上，连接，的平分线交于点C，连结，过点A作交于点D，作交于点F，平分交于点E．若，，则的度数为 ． 10．（22-23七年级下·浙江金华·期中）图是光伏发电场景，其示意图如图，为吸热塔，处各安装定日镜（介绍见图）．绕各中心点（，），使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点处．现测得，（提示：三角形的内角和为）． 图1 图2 图3                                   定日镜由支架、平面镇等组成，支架与镜面交点为中心点，支架与地平行线垂直． （1）若过点作，则 ． （2）设，，则与的数量关系是 ． 11．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，平分，交于点E．求的度数． 12．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）已知如图，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若于点，若平分，，求的度数． 13．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）交通部门为了安全起见在某道路两旁设置了，两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点． (1)若，则______； (2)若点为线段上一点，且满足，当时，试说明：； (3)在（1）问的条件下，探照灯，射出的光线在道路所在平面旋转．探照灯射出的光线从处开始以每秒的速度绕点逆时针转动，探照灯射出的光线从处开始以每秒的速度绕点逆时针转动，当转至射线后立即以相同速度回转．若它们同时开始转动，当回到出发时的位置时同时停止转动．设转动时间为秒，则在转动过程中，当时，请直接写出此时的值． 14．（12-13七年级上·湖南岳阳·期末）如图，直线，，、在上，且满足，平分    (1)求的度数； (2)若平行移动，那么的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值． (3)在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由． 15．（23-24七年级下·广东汕头·期中）【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、． 【探索发现】： （1）如图1，当时，求证：； 【深入探究】： （2）如图2点P、Q分别是直线上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系，不需要说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角形有关的角重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 三角形内角和定理的证明 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型四 三角形折叠中的角度问题 题型五 三角形内角和定理的应用 题型六 根据直角三角形的性质求角度 题型七 利用直角三角形的性质探究角的关系 题型八 直角三角形的存在性问题 题型九 三角形外角的性质 题型十 三角形外角与内角的综合 题型十一 三角形中翻折问题综合 题型十二 三角形中旋转问题综合 知识点 1 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点2 直角三角形： ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点3 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【经典例题一 三角形内角和定理的证明】 【例1】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意， ②∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故②符合题意， ③∵， ∴， ∵， ∴，故③符合题意， ④， ， 不能证明“三角形的内角和等于”故④不符合题意， 故选：A． 1．（22-23九年级下·河北石家庄·开学考试）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是”的有（    ）    ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③作于点D ④过上一点D作， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：①．由，则，．由，得． ②．由，则，．由，得． ③．由于，则，无法证得三角形内角和是． ④．由，得，．由，得，，那么．由，得． ∴能证明的内角和是的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果三角形的三个内角分别是x°，y°，y°，那么x，y满足的关系式是 ． 【答案】x+2y=180 【分析】根据三角形内角和定理可得x+2y=180． 【详解】解：∵三角形的三个内角分别是x°，y°，y°， ∴x+y+y=180，即x+2y=180， 故答案为x+2y=180． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 3．（23-24七年级下·江西赣州·期末）【课本再现】（人教版数学教材七年级下册第25页第14题） （1）如图1，直线经过点A，．则 ， ， ． （2）通过这道题的解答，在不知道的度数的情况下，你能说明为什么三角形的内角和是吗？请写出你的证明过程． 【拓展应用】 （3）如图2，已知，若D点是外一点．猜想有怎样的关系？并进行证明． 【答案】（1）44；57；79；（2）见解析（3），证明过程见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和的证明，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由平行线的性质可得到，，由平角的定义可求得， （2）结合（1）可得出结论； （3）由（2）得三角形内角和为，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ； ； 直线过点A， ， ， ； （2）证明：， ，， ， ，即三角形内角和为； （3）解：由（2）三角形内角和为，即， ， ． 【经典例题二 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例2】（2024·陕西西安·三模）如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得出，进而根据角平分线的定义，以及平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 1．（22-23七年级下·安徽黄山·期中）如图，，，，，给出以下结论： ； ； ； ．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先由、得到，从而得到，再利用平行线的性质得到；再结合、得到，进而得到；由得到，然后由的度数不固定得到不一定等于，即不一定成立，进而得到不一定平分；同理可知不一定成立． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故①正确，符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ∵， ∴， ∴的大小随的大小变化而变化， ∵的度数不固定， ∴不一定成立，即不一定成立， ∴不一定平分，故②错误，不符合题意； 同理可知，不一定成立， ∴不一定成立，故④错误，不符合题意． 故有①③正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟知平行线的性质． 2．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ． 【答案】 【分析】由，，得到，根据平行线的判定，得到，根据平行线的性质，得到，根据三角形内角和定理，求出的度数，即可求解， 本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，，，P是射线上的一个动点（不包括端点B），将沿折叠，使顶点B落在点Q处． (1)当点Q在平行线，之间，时，求的度数． (2)当点Q在下方，时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和，折叠问题，解题的关键是： （1）由平行线的性质得到，利用三角形内角和求出，再由折叠的性质可得结果； （2）画出图形，设，表示出相应角度，利用平行线的性质得到，据此得出方程，解之即可． 【详解】（1）解：，， ． ． ， 由折叠可得． （2）根据题意，点Q在下方，如图所示． 设，则， ， 由折叠可知， ． ， ， ， 解得， ． 【经典例题三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例3】（2024·甘肃武威·二模）如图，在中，于D，平分交于点E，交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及直角三角形的性质．在中，由三角形的内角和定理得到的度数，又根据平分，得到的度数，再根据余角的定义即可求解； 【详解】解：在中，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴． 故选：C． 1．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，的三等分线交于点E、D，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，设，根据三等分线，得到，利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：设， 由题意，得：在中，①， 在中，②， ：，即：， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，、分别平分、，若，则的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理．熟练掌握角平分线，三角形内角和定理是解题的关键．由、分别平分、，可得，，则，由，计算求解即可． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图所示，在中，是角平分线，是高． (1)若，求：的度数． (2)已知，请直接写出与的关系． (3)已知，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查了三角形的高，角平分线，三角形内角和定理等知识．熟练掌握三角形的高，角平分线，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由题意可求，由是角平分线，可得，由是高，可得，则，根据，计算求解即可； （2）过程同理（1）求解作答即可； （3）由（2）可得，，由，可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：由题意知，， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）证明：由（2）可得，， ∵， ∴，即． 【经典例题四 三角形折叠中的角度问题】 【例4】（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出的度数． 利用四边形的内角和定理求出，再利用三角形的内角和定理可得结果． 【详解】，， ， ． 故选：B． 1．（22-23七年级下·河南南阳·期末）将一张长方形纸片按如图所示操作（是上一点）： （1）将沿向内折叠，点落在点处． （2）将沿向内继续折叠，点落在点处，折痕与边交于点，若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质、直角三角形的两锐角互余及三角形的内角和是求解即可． 【详解】∵将沿向内继续折叠， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵将沿向内折叠，点落在点处， ∴ ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了折叠的性质，熟记折叠的性质、直角三角形的两锐角及三角形的内角和是是解题的关键． 2．（23-24七年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点E处，当平行于的边时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠问题，三角形的内角和等知识点，分两种情况，和，分别画出图形，再利用平行线的性质求解即可，正确分类并画出图形是解题的关键． 【详解】由折叠的性质得：， 设， ∵， ∴， 由题意，分以下两种情况： 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 即； 如图，当时， ∴， ∵， ∴， 解得， 即， 综上，的大小为或． 故答案为：或． 3．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）探究： (1)如图①与有什么关系？为什么？ (2)把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）． (3)如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______． 猜想三个角存在的等量关系为______． 【答案】(1)，理由如下 (2) (3)， 【分析】（1）由题意知，，进而可得； （2）由题意知，，进而可得； （3）由，，可得，由折叠与平角的性质，可知，，则，进而可求三个角存在的等量关系． 【详解】（1）解： ，理由如下： 由题意知，， ∴； （2）解：由题意知，， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， 由折叠与平角的性质，可知，， ∴， 故答案为：； 由题意知，， ∴三个角存在的等量关系为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 【经典例题五 三角形内角和定理的应用】 【例5】（23-24七年级下·云南昭通·阶段练习）将一副学生用三角板（一个锐角为的直角三角形，一个锐角为的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（    ） ①平分；②；③；④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，余角，补角，三角形内角和定理，由交的和差得，即可判断②；由图得，即可判断④；与交于点P，由角的和差得，即可判断③；无法判断①；能正确表示出角的和差是解题的关键． 【详解】解：， ， 即， 故②正确； ， ， 故④正确； 如图，与交于点P， ，，， ， ， 故③正确； 没有条件能证明平分， 故①错误． 故选：D． 1．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）如图，直线，现将一副直角三角尺按如下步骤及要求摆放于同一平面内： 步骤1：将一块含（）的直角三角尺（）如图放置，使得点落于直线上，直角顶点位于两平行线之间； 步骤2：将另一块含（）的直角三角尺（）进行放置，使得点落于直线上（点在点的右边），边经过点，满足； 根据以上步骤，的度数可以是①⑥选项中的哪三项（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．①③⑥ B．①④⑥ C．②④⑤ D．②③⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理．分三种情况讨论，结合平行线的性质，三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，过点G作，过点M作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，过点G作交于点K， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：A 2．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图，，若，，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，设，，则，，根据三角形内角和表示出，根据对顶角相等可得到，，再利用三角形内角和即可得出结果． 【详解】解：如图， 设，， 则，， ， ， ， ， ，即， 在中， ， 故答案为：40． 3．（23-24七年级下·广西南宁·期末）综合与实践 【问题背景】 光线照射到镜面会产生反射现象，小明在做镜面反射实验时发现：当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角相等，例如：在图1中，有．小明同学用了两块镜子和形成一个镜子组合体，镜子与之间的角为．他发现改变的大小，入射光线和反射光线位置关系会发生改变． 【初步探究】 （1）如图2，当，______°，______°，______°，此时入射光线与反射光线是平行的； 【深入探究】 （2）如图3，当，求此时入射光线与反射光线形成的夹角的大小； 【拓展应用】 （3）如图4，当，放入一块新的镜子，入射光线从镜面开始反射，经过3次反射后，反射光线为，小明发现当和满足一定数量关系时，．设，，求此时x和y之间满足的数量关系． 【答案】（1）90，180，180；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用． （1）在中，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，进而可得结论； （2）在中，得出，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，在中，即可求解； （3）根据根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得从而表示出，，，作证出即可求解； 【详解】解：（1）在中，． ， ， ，， ， ，， ， ， ； 故答案为：90，180，180； （2）在中， ， ， ，， 在中， ； （3）． 理由如下： ， ， ， ， ， 作， ， ， ， ． 【经典例题六 根据直角三角形的性质求角度】 【例6】（2024·山东青岛·二模）两个直角三角板如图摆放，其中，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形中两锐角互余的性质，熟练掌握其内容是解题的关键．由，可得，根据，可得，而，由此可求出． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 1．（22-23七年级上·山东淄博·期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画了两锐角的角平分线，及其交点，小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数都是定值，则这个定值为（　　）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 故选：． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，是的高，平分交于点．若，则的度数为 ． 【答案】/52度 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及高的定义、直角三角形性质、角平分线定义及三角形内角和定理等知识，由高的定义及直角三角形两锐角互余求出，再由角平分线定义，结合三角形内角和定理求解即可得到答案，熟练掌握直角三角形性质及三角形内角和定理，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：是的高， ， ， ， 平分， ， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）如图，中，，，平分交于点于点M，交于点N． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和，直角三角形两锐角互余，角平分线相关计算，熟练掌握相关性质定义是解题关键． （1）根据三角形内角和结合题意可以求出，再根据即可求出结果； （2）先求出，根据垂线定义得到，利用角平分线定义求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， 又，即 ， ； （2）解：， ， ， ， 又平分， ， ， ． 【经典例题七 利用直角三角形的性质探究角的关系】 【例7】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，，，垂足分别为． 下列说法正确的个数是（   ） ①点到线段的距离为线段的长度； ②； ③； ④将三角形绕线段所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 本题主要考查了点、线、面、体，解题关键是熟练掌握点到直线的距离，余角的性质．①根据点到直线的距离的定义，结合已知条件进行判断即可；②③均根据已知条件，直角三角形的性质和余角的性质进行解答即可；④根据已知条件，找出旋转后的几何体，进行判断即可． 【详解】 解：①点到直线的距离就是这个点到这条直线的垂线段的长度，， 点到线段的距离为线段的长度， 故①说法正确； ②， ， ， ， ， ， 故②说法正确； ③， ， ， ， ， ， 故③说法正确； ④是由和组成， 将三角形绕线段所在直线旋转一周得到的几何体是同一个底面的两个圆锥叠在一起的纺锤体， 故④的说法错误； 综上可知，说法正确的是①②③，共3个， 故选：C 1．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，中，于点D，则下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质可得，再由，可得，再根据等角的余角相等可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故A选项不符合题意； ∵， ∴， ∴，故选项C不符合题意； 又∵， ∴， ∴不一定成立，故B选项符合题意； ∵，， ∴，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质、余角的性质，利用直角三角形的性质和等角的余角相等得出，，是解题的关键． 2．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，中，分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；其中正确的是 ．    【答案】①② 【分析】由，为的高线，根据同角的余角相等可得①正确；根据三角形外角的性质和角平分线的性质变形得到，进而可得②正确；根据且，变形可得，故③错误． 【详解】解：①∵， ∴， ∵为的高， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴，故②正确； ③∵，， ∴，即， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴，故③错误， ∴正确的结论有①②， 故答案为：①②． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的高线、角平分线的概念以及三角形外角的性质等知识，灵活运用是解题的关键． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）直角三角形，，点D为边上一点，为的高线， (1)求证：； (2)如图（2）：交直线于F，G为上一点，交直线于点K，交于点H，若，请你在不添加任何辅助线，直接写出与相等的角（不包括） 【答案】(1)见解析 (2)、和 【分析】本题主要考查直角三角形两个锐角互余和对顶角的知识， （1）由直角三角形两个锐角互余得出，且，则有结论成立． （2）根据题意可知，进一步得到，则有，即；由题意得，则；由题意得，结合，则有成立． 【详解】（1）证明：∵为的高线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即； ∵为的高线，， ∴； ∵，， ∴ ∵， ∴， 故与相等的角有、和 【经典例题八 直角三角形的存在性问题】 【例8】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）在下列条件中：①；②；③；④；⑤；能确定为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和直角三角形的定义，根据已知条件，熟练运用三角形内角和定理进行求解判定是解题的关键．根据已知条件，结合三角形内角和定理，如果有一个角是，则可确定为直角三角形． 【详解】解：①∵ ， ∴， ∵， ∴，故可确定为直角三角形； ②∵，， ∴， 解得： ， 则，故不能确定为直角三角形； ③， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，故可确定直角三角形； ④∵，， ∴， ∴，故可确定直角三角形； ⑤∵， ∴， ∵， ∴， 解得： ， 故不能确定为直角三角形． 综上，能确定为直角三角形的条件有3个． 故选：C． 1．（22-23八年级上·山东滨州·期末）在下列条件：；；；；中，能确定为直角三角形的条件有（        ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】根据直角三角形的判定和三角形内角和定理对各个条件进行分析，从而得到答案． 【详解】解：不能确定为直角三角形，故错误，不符合题意； ，， ， 为直角三角形，故正确，符合题意； ， 设， ， ， 解得：， ， 不是直角三角形，故错误，不符合题意； ， 设，则，， ， ， 解得：， ， 为直角三角形，故正确，符合题意； ， 设，则， ， ， 解得：， ， 为直角三角形，故正确，符合题意； 说法正确， 故选：C． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 2．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）在中，，，点在边上，平分，在上取一点，若为直角三角形，则的度数为 ． 【答案】40°或20° 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，运用分类讨论思想是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出，再求出，根据直角的不同位置讨论，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵平分， ∴， 若为直角三角形， 当时，如图， ∴， ∵， ∴， 当时，如图， ∴， 故答案为：或． 3．（23-24七年级下·吉林长春·期中）已知长方形中，，，连结，点P从点A出发，以的速度沿的方向运动，设P点运动的时间为t（秒）（）． (1)当时，______；当时，_______． (2)若点P在上，用含t的代数式表示的面积． (3)在整个运动过程中，当的面积为长方形面积的时，求t的值． (4)若动点Q与点P同时从点A出发，以的速度沿的方向运动，当P、Q相遇时，他们同时停止运动．当为直角三角形时，直接写出t的值或取值范围． 【答案】(1)6；3； (2)； (3)当的面积为长方形面积的时，t的值为或或或； (4)当为直角三角形时，或或． 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． （）直接把时间代入即可求解； （）点在上，先表示出，即可表示的面积； （）先求出四边形的面积，再让的面积为长方形面积的，求出点的运动路程，即可求出； （）当为直角三角形时，分情况讨论即可． 【详解】（1）当时，点在上， ∴， 当时，点在上， ∴的运动路程为， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）∵点在上， ∴， ∴； （3）四边形的面积为， ∴的面积为长方形面积的时，， 当点在上时，， 解得； 当在上时，， ∴， 解得； 当在上时，， ∴， 解得； 当在上时，， ∴， 解得； 综上，当的面积为长方形面积的时，的值为或或或； （4）有三种情况： 当点在上时，是直角三角形， 此时， 当点在上，点在上时，是直角三角形， 即， ∴， 解得， 则后，都在上，不是直角三角形， ③当点Q在上，点P刚好运动到点D时，是直角三角形， 此时， ∴， 综上，当为直角三角形时，或或． 【经典例题九 三角形外角的性质】 【例9】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，高、交于点O，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质． 由垂直的定义可得，在中根据三角形内角和定理求出，再根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵和为的高， ∴． ∵， ∴在中，， ∴． 故选：D 1．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，测量得，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质，折叠的性质，利用三角形的外角的性质，折叠的性质，计算即可．解题的关键是掌握三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻两内角的和． 【详解】解：∵， ∴， ∵将三角形纸片沿折叠， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，平分，点E在射线上，于F，，，则的度数为 ．    【答案】/31度 【分析】本题考查三角形的内角和定理，外角的性质，掌握三角形的内角和定理，外角的性质是解题的关键． 由三角形外角的性质求出的度数，由角平分线定义求出的度数，再由三角形外角的性质求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：，，， ， 平分， ， ， 于F， ， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，分别为的中线、高，点E为的中点． (1)若求的度数； (2)若的面积为15，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的内角和，外角，三角形的中线和高线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）三角形的外角求出，三角形的内角和定理，求出即可； （2）三角形的中线平分面积求出，然后利用面积公式求出的长即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵是的高线， ∴， ∴； （2）∵的面积为15，点E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【经典例题十 三角形外角与内角的综合】 【例10】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图1，2，3．，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理以及三角形的外角性质， 图1：根据三角形内角和定理求出的度数，继而得出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数；图2：利用三角形的外角性质并结合，，得出及，即可求出的度数；图3：利用三角形外角的性质并结合，，得出的度数，根据三角形内角和定理即可求出的度数，即可求出结论．利用三角形内角和定理及三角形的外角性质求出，，的度数是解题的关键． 【详解】解：图1： ∵在中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 图2： ∵是的外角，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； 图3： ∵是的外角，是的外角，， ∴，， ∴ ， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 1．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，在中，，的平分线交于点D，点P是射线边上的动点，连接交于M，若，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质；根据点P是射线边上的动点分类讨论并计算即可；准确地画出图形并根据相关性质计算是关键． 【详解】解：当点P在边上时， 的平分线交于点D， ， 是的一个外角 当点在的延长线上时， 是的一个外角 的度数是或 故选：D． 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中、，，点是边上一点，连接，将沿着折叠，点落在点处、若，则的度数为 °．    【答案】35 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形外角的性质，平行线的性质．熟练掌握轴对称的性质和三角形外角的性质是解题的关键． 先由轴对称的性质得出，，再由平行线的性质得，从而求得，然后根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：由折叠可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：35． 3、（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图1，，点分别在上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．    【特殊探究】 (1)若，则______； 【推理论证】 (2)随着点的运动，的大小是否会变化？如果不变，求的度数；如果变化，请说明理由． 【拓展探究】 (3)如图2，直线与直线相交于点，夹角为，点在点右侧，点在上方，点在点左侧，点在射线上运动（不与重合），平分平分交直线于点，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)的大小不会变， (3)的度数为或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角的性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，角平分线，三角形外角的性质并分情况求解是解题的关键． （1）由题意可得，，由平分，平分，可得，根据，计算求解即可； （2）同理（1）求解即可； （3）由平分平分，可得，，设，，则，，由题意知，分点在上方，点在下方两种情况，利用三角形外角的性质，三角形内角和定理求解作答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴的大小不会变，度数为； （3）解：∵平分平分， ∴，， 设，，则，， 由题意知，分点在上方，点在下方两种情况求解； 当点在上方时，如图2，    ∴，即， 解得，， ∴； 当点在下方时，如图3，              图3 由题意知，， ∵， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的度数或． 【经典例题十一 三角形中翻折问题综合】 【例11】（23-24七年级上·重庆开州·期末）如图，长方形纸片，点、分别在边、上，连接，分别将，对折，使、分别落在直线上的点和处，折痕分别为、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了图形的折叠变换及性质，设，由折叠的性质得：，，则，，再由平角的定义得，则，由此解出即可得出的度数． 【详解】解：设， 由折叠的性质得：，， ，， ， ， 解得：， ． 故选：C． 1．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理．根据折叠的性质以及三角形内角和定理得出，，将已知数据代入，即可求解． 【详解】解：如图所示，    依题意，， ∴ ， 即， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角，灵活运用角的等量代换是解题的关键． 根据三角形外角的性质及，求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，由折叠的性质得出的度数，进而得出结论． 【详解】解：如图进行标注： 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：92． 3．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）在学习三角形之后，八（1）班实践课上，乐乐把一个三角形纸片沿折叠，使点落在内部的点处． (1)如图1，若，则___________°； (2)利用图1，探究，与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，把折叠后，，恰好分别是与的平分线，若，利用（2）中的结论求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）可求，可得，，即可求解； （2）设，可得，可求，，即可求解； （3）可得，可求，由即可求解． 【详解】（1）解：， ， 由折叠得：，， ， ， ； 故答案：． （2）解：，理由如下： 设， ， 由折叠得：，， ， ， ， ； ； （3）解：由（2）得 ， ， ，恰好分别是与的平分线， ， ， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键． 【经典例题十二 三角形中旋转问题综合】 【例12】（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图①，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中，，，，现按住三角板不动，将三角板绕点C顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记（k为常数），给出下列四个说法： ①当时，直线与直线相交所成的锐角度数为； ②当时，； ③当时，．其中正确的说法的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，三角形内角和定理，平行线的判定，正确理解题意是解题的关键．先证明，然后求出当时，，由此按照图①求解即可判断①；当时，求得，，则，即可判断②；当时，先求出，则，，即可判断③． 【详解】解：当三角板旋转角度小于度时，如题干图②， 设直线与直线交于F， ∴， ∴， 当时，即，如图①所示， ∴， ∴； 当三角板旋转角度大于时，如图②所示， ∴， ∴当时，即， ∴， ∴此时在图中的位置， ∴，故①正确； 当三角板旋转角度小于度时，如图③所示， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当三角板旋转角的大于时，如图④所示， 同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； 如图⑤所示，当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确． 故选：C． 1．（22-23七年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，分别将三角板与的一边与放置在直线l上，边与所在直线重合．现将三角板绕点A逆时针旋转，三角板绕点A顺时针旋转．当与第一次重合时，三角板停止运动． 在旋转过程中，下列说法不正确的是（   ） A．当与垂直时， B．当与平行时， C．当与垂直时， D．当与平行时， 【答案】B 【分析】画出各选项对应的图形，然后根据平行线的性质，三角形内角和定理进行求解判断即可． 【详解】解：当与垂直时，如图1， 由题意知， ∴， ∴， ∴A正确，故不符合要求； 当与平行时，如图2，过作，则， ∴，， ∴， ∴B错误，故符合要求； 当与垂直时，如图3， ∴， ∴， ∴C正确，故不符合要求； 当与平行时，如图4， ∴， ∴D正确，故不符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于正确的作图求解． 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点B以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了 秒．    【答案】25或65 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，一元一次方程的应用，过点E作，延长，先求出，设运动时间为t，则，，分两种情况：当点P在点B的左侧时，当点P在点B的右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：过点E作，延长，如图所示：    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设运动时间为t，则，， 当点P在点B的左侧时，如图所示：   ， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点P在点B的右侧时，如图所示：    此时，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上分析可知：射线旋转了25秒或65秒． 故答案为：25或65． 3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【问题背景】 在一副三角板和（顶点C重合）中，， ， ． 【问题发现】 （1）如图1，当时，求的度数． 【问题探究】 （2）如图2，若，判断与的位置关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图2，将三角板绕点C按顺时针方向旋转，在旋转一周的过程中，当与三角板的直角边重合时，请直接写出两个三角板斜边所夹的锐角的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析； （3）或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的判定和性质，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据，得到，即可得解； （2）若与交于点，利用， ，求得，再得到，，即得证； （3）当与三角板的直角边和直角边重合时，分别讨论两种情况即可得解； 【详解】解：（1） ， ， ， ． （2），理由如下， 若与交于点，如图， ，，， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ． （3）当与三角板的直角边重合时，与交于点，如图所示， ，， ， 此时，两个三角板斜边所夹的锐角的度数为． 当与三角板的直角边重合时，和延长线交于点，如图所示 ，， ， ， ． 此时，两个三角板斜边所夹的锐角的度数为 综上，当与三角板的直角边重合时，两个三角板斜边所夹的锐角的度数为或． 1．（2024·西藏日喀则·一模）如图 ， 为的角平分线，，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键． 由三角形的外角的性质可得，进而得到，最后根据三角形内角和即可解答． 【详解】解：∵是的外角， ∴，即， ∵ 为的角平分线， ∴， ∴． 故选A． 2．（23-24七年级下·浙江台州·期中）健康骑行逐渐受到人们喜欢，图1是便携式折叠自行车，图2是其示意图． ， ，平分．若，，则　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得，，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系可得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．（23-24七年级下·上海静安·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若且，则为锐角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理、三角形的分类，举出适当的反例，即可得出答案． 【详解】解：A、当，，时，满足，但不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意； B、，，，，则为直角三角形，故原说法错误，不符合题意； C、若，则为等边三角形，即为锐角三角形，故原说法正确，符合题意； D、若，，满足且，则，故不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 4．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，，分别平分和，且相交于F，，于点G，则下列结论①；②平分；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟知平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断结论①；只需要证明，，即可判断结论③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断结论④⑤；根据现有条件无法推出结论②． 【详解】解：∵平分， ∴，， ∵， ∴，故结论①正确； ∵，，， ∴，，即， ∴， 又∵， ∴，故结论③正确； ∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ∵， ∴，故结论⑤正确； 若平分，而， ∴，与题干条件不相符，故结论②错误． 故选C． 5．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理．根据折叠的性质以及三角形内角和定理得出，，将已知数据代入，即可求解． 【详解】解：如图所示，    依题意，， ∴ ， 即， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，，，，则的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据平行线的性质求得，再结合三角形的外角性质即可求的度数，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图1，将扳手中某些部位抽象成点，并画出如图2所示的平面图形，其中， ，若，，，则 ． 【答案】28 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形外角性质，熟记“两直线平行，同位角相等”，“两直线平行，同位角相等”是解题的关键； 根据平行线的性质得，在根据三角形外角性质，，，由已知条件代入即可解答． 【详解】． 解：如图，延长交于点K，延长交于点M，延长交于点N， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：28． 8．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图1为一种可折叠阅读书架，支架可以绕点O旋转，置书面可以绕点C转动调节．首先调节，使，如图2所示，此时；再将绕O点顺时针旋转至，使，且，此时比大，则 度． 【答案】69 【分析】本题考查三角形外角的性质，平行线的性质，关键是由三角形外角的性质列出关于、的方程组． 延长交于，延长交延长线于，由平行线的性质推出，由三角形外角的性质得到，求出的值，即可得到． 【详解】解：延长交于，延长交延长线于， 设， ∵， ∴， ∵比大， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴①， ∵， ∴， ∵， ∴②， 由①②解得：， ， 故答案为：69． 9．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，直线，点A在直线与之间，点B在直线上，连接，的平分线交于点C，连结，过点A作交于点D，作交于点F，平分交于点E．若，，则的度数为 ． 【答案】/27度 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质以及三角形内角和定理的综合运用，设，则，，先求得，即可得到，进而得出，即可得到，再依据内角和即可得到的度数． 【详解】解：设，则，， ，， ， ，， ， ，平分， ， 又， ， ， ，即， ， ， 中，， 故答案为：． 10．（22-23七年级下·浙江金华·期中）图是光伏发电场景，其示意图如图，为吸热塔，处各安装定日镜（介绍见图）．绕各中心点（，），使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点处．现测得，（提示：三角形的内角和为）． 图1 图2 图3                                   定日镜由支架、平面镇等组成，支架与镜面交点为中心点，支架与地平行线垂直． （1）若过点作，则 ． （2）设，，则与的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，入射角与反射角的关系等， （1）根据垂直定义求出，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）作的法线，的法线，根据入射角等于反射角，可得，，根据角的和差，从而可得的度数，根据三角形外角的性质可得，再根据平行线的性质可表示和，从而可得与的数量关系； 找出两反射角之间的关系是解题的关键． 【详解】解：（1）如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）作的法线，的法线， ∴，， ∵，， ∴， ∵太阳光线是平行光线，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，平分，交于点E．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及垂直的定义，解题关键是掌握三角形内角和定理，角平分线的定义及垂直的定义．根据三角形内角和定理求出°，利用角平分线的定义求出，再根据三角形内角和定理求出，根据垂直的定义可知，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：的度数为． 12．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）已知如图，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若于点，若平分，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，直角三角形两锐角互余， （1）根据平行线的性质和判定求解即可； （2）首先根据平行线的性质得到，然后由角平分线的概念得到，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】（1），理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴． 13．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）交通部门为了安全起见在某道路两旁设置了，两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点． (1)若，则______； (2)若点为线段上一点，且满足，当时，试说明：； (3)在（1）问的条件下，探照灯，射出的光线在道路所在平面旋转．探照灯射出的光线从处开始以每秒的速度绕点逆时针转动，探照灯射出的光线从处开始以每秒的速度绕点逆时针转动，当转至射线后立即以相同速度回转．若它们同时开始转动，当回到出发时的位置时同时停止转动．设转动时间为秒，则在转动过程中，当时，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了角平分线的意义，平行线的判定和性质，直角三角形两锐角互余，一元一次方程的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先由平角的定义及角平分线的定义得出，继而得出，再根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）设，则，根据平行线的性质可得，由角平分线的意义得出，，根据已知条件可得，由内错角相等，即可判断两直线平行； （3）分两种情况讨论，分别表示出两种情况下相关角的度数，根据直角三角形两锐角互余列方程，求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）设，则， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）， 由题意得， 当时，如图，，此时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当当时，如图，，此时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 综上，或． 14．（12-13七年级上·湖南岳阳·期末）如图，直线，，、在上，且满足，平分    (1)求的度数； (2)若平行移动，那么的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值． (3)在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)，是定值 (3)存在， 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后求出，计算即可得解； （2）根据两直线平行，内错角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，从而得解； （3）根据三角形的内角和定理求出，从而得到、、是的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】（1）解： ， ， 平分， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ，是定值； （3）在和中， ，， ， 、、是的四等分线， ， ， 故存在某种情况，使，此时． 15．（23-24七年级下·广东汕头·期中）【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、． 【探索发现】： （1）如图1，当时，求证：； 【深入探究】： （2）如图2点P、Q分别是直线上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系，不需要说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质探求角的度数及关系，根据图准确作出辅助线是解题关键． （1）过F作，可得，再根据两直线平行内错角相等，可推出，从而得出结果； （2）与之间的数量关系为，利用平行线的性质即可求证； （3）过点M作，设，利用平行线的性质即可求证． 【详解】证明：（1）如图所示，过F作， ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）与之间的数量关系为，理由如下： 设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴设， 过点M作， ， ， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$