专题01 三角形有关的线段重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题01 三角形有关的线段重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 三角形的相关概念 题型二 构成三角形的条件 题型三 三角形第三边的取值范围 题型四 三角形三边关系的应用 题型五 三角形高线的画法 题型六 与三角形的高有关的计算问题 题型七 根据三角形中线求长度 题型八 根据三角形中线求面积 题型九 三角形角平分线的定义 题型十 利用网格求三角形面积 题型十一 三角形的稳定性及应用 题型十二 与三角形有关的线段综合应用 知识点 1 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点2 三角形的分类： 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 知识点3 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点4 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点5 三角形的重要线段 【经典例题一 三角形的相关概念】 【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）线段上有3个点，，，直线外有一点A，把A和B，，，，C连接起来，可以得到的三角形个数为（    ） A．8个 B．10个 C．12个 D．20个 1．（2023·浙江杭州·模拟预测）若一个三角形的任意两条边都不相等，则称之为“不规则三角形”．顶点在一个正方体顶点上的所有三角形中，这样的“不规则三角形”的个数为（    ） A．8 B．18 C．24 D．36 2．（22-23八年级·全国·假期作业）已知：如图，试回答下列问题： （1）图中有 个三角形，其中直角三角形是 ． （2）以线段为公共边的三角形是 ． （3）线段所在的三角形是 ，边所对的角是 ． 3．（2023八年级·全国·专题练习）如图，回答下列问题：    (1)写出以为顶点的三角形； (2)写出为内角的三角形； (3)写出以为边的三角形． 【经典例题二 构成三角形的条件】 【例2】（2023·河北张家口·三模）如图，数轴上与6表示的点分别为，点B为线段上一点，分别以为中心旋转，若旋转后两点可以重合成一点C（即构成），则点B代表的数不可能的是（    ）    A．1 B．1.5 C．2 D．3 1．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）有长度分别是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成不同形状的三角形的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）长度为2cm、3cm、4cm、5cm的四条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有 个 3．（2022·江苏苏州·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务：斐波那契（约1170 － 1250）是意大利数学家，他研究了一列非常奇妙的数：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…这列数，被称为斐波那契数列，其特点是从第3项开始，每一项都等于前两项之和．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用． (1)填写下表并写出通过填表你发现的规律： 项 第2项 第3项 第4项 第5项 第6项 第7项 第8项 第9项 … 这一项的平方 1 1 4 9 25 64 441 … 这一项的前后两项的积 0 2 3 10 24 168 442 … 规律： ； (2)现有长为15 cm的铁丝，要截成n（n ＞ 2）小段，每段的长度不小于1 cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为 _________ ，所有小段的长度为 _________ ． 【经典例题三 三角形第三边的取值范围】 【例3】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，一根直的铁丝，欲将其弯折成一个三角形，在同一平面内操作如下： ①量出； ②在点右侧取一点，使点满足； ③将向右翻折，向左翻折． 若要使，两点能在点处重合，则的长度可能是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）已知，，为的三边长，，满足，且为方程的解，则的周长为 ． 3．（23-24八年级上·江西上饶·期中）小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡．已知第一条边长为米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米． (1)第一条边长能否为10米？为什么？ (2)求的取值范围． 【经典例题四 三角形三边关系的应用】 【例4】（2024·河北邢台·三模）五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 1．（2024七年级下·全国·专题练习）两根木棒长度分别是厘米和厘米，从下列木棒中再选根与原来根组成一个三角形（根木棒首尾依次相接），应选的木棒长度为（　　） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 2．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）若的三边长分别为5、3、k，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为 ． 3．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知的三边分别为a,b,c． (1)若为整数，求的周长． (2)化简：． 【经典例题五 三角形高线的画法】 【例5】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，中，为上一点，于点E，下列说法中，错误的是（   ） A．中，是上的高 B．中，是上的高 C．中，是上的高 D．中，是上的高 1．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）给出下列命题：①若，则是直角三角形；②三角形的角平分线是射线；③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；④如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形，其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，某地有三个车站A，B，C，顺次连接AB，BC，CA，构成三角形，一辆公共汽车从B站前往C站． （1）当汽车行驶到点D时，刚好有，连接AD，AD这条线段是中BC边上的____________，在中，这样的线段有____________条，此时____________（填“有”或“没有”）面积相等的三角形； （2）汽车继续向前行驶，当行驶到点E时，发现，那么AE这条线段是中的____________，在中，这样的线段有____________条； （3）汽车继续向前行驶，当行驶到点F时，发现，那么AF是中BC边上的____________，在中，这样的线段有____________条． 3．（23-24七年级下·河北沧州·期末）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)将向左平移8个单位长度，请在图中画出平移后的； (2)利用网格在图中画出的中线和高线； (3)的面积为______． 【经典例题六 与三角形的高有关的计算问题】 【例6】（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，若四边形的面积为14，则的面积为（  ） A．24 B．28 C．35 D．30 1．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）如图，梯形的面积为，点在上，三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2，的长为5，那么三角形的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在长方形中，为的中点．动点P从点A出发，以每秒的速度沿的方向运动，最终到达点E．若点P的运动时间为x秒，则当 时，的面积等于8．    3．（23-24七年级下·广东深圳·期末）在学习《三角形》时，某数学学习小组发现：在一个面积为100的长方形中，点 E，F分别在边上，连接 ． 当点F与点C重合时，如图所示，在不求出长方形边长的情况下，可以根据面积公式或三角形全等的性质求出 的面积为定值． 【提出问题】如图，点E，F都不与端点重合，若的面积是否为定值? 【特例分析】（1）给和分别赋予不同的数值，通过特殊数值的计算判断的面积是否发生变化．请你根据上述思路，完成下面的表格． 10 5 10 20 41 【得出猜想】（2）通过特例分析，猜想：的面积 定值． （填“是”或“不是”） 【验证猜想】 （3）①方法1： 假设． ，通过计算验证你的猜想． ②方法2： 如图，过点E作，交于点G，将长方形 分成了长方形和长方形 ，连接 ．通过图形割补的方式也可以验证猜想，请将下列部分验证过程补充完整(填数值)． 解：∵等底等高， ． ， ． ． 【拓展应用】（4）在学校游园活动中，数学小组成员计划用三个雪糕简和彩绳在一个长12米，宽 10米的长方形场地中，围出一块三角形区域作为游戏场地．如图，在长方形场地中，三个雪糕筒分别摆放在点B、E、F处，且的长为整数．若围出的游戏场地面积为52平方米，即 请直接写出所有满足条件的长． 【经典例题七 根据三角形中线求长度】 【例7】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，，的周长比的周长多2，则的长为（    ）    A．14 B．12 C．10 D．8 1．（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为20，则的周长是（    ）    A．16 B．18 C．20 D．22 2．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，已知是的中线，且，，则和的周长之差为 ，和的面积之差为 ． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，是中线，，． (1)与的周长差为_______cm． (2)点E在边上，连接，若三角形的周长被分成的两部分的差是2cm，求线段的长． 【经典例题八 根据三角形中线求面积】 【例8】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，已知点为的中点，点在边上，且，相交于点，若的面积为，则四边形的面积是（     ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图，、分别是边、上的点，，，、相交于点．若四边形的面积为10，则的面积为（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，在锐角中，D是的中点，，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为2，则的最小值为 ． 3．（23-24七年级下·江苏南通·期末）阅读材料： 如图①，在中，、分别是、边上中线，它们相交于点，且，求的值．聪明的小明很快给出了答案是．理由如下： 解：连接 是边上中线， ，． ． 即．同理：． ，． 类比迁移： (1)如图②，在中，与相交于点，，，且．求的值； (2)如图③，在中，与相交于点，，，．求的值． 【经典例题九 三角形角平分线的定义】 【例9】（23-24八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在中，，为的中点，连接并延长，交于点，过点作于点，延长交于点.下面说法错误的是（    ）    A．是的角平分线 B．是的边上的高线 C．是的角平分线和高线 D．是的边上的中线 1．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：；；； ．其中正确的是（      ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图所示，的两条角平分线相交于点，过点作EFBC，交于点，交于点，若的周长为，则 cm． 3．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图：中，点D在上，且，E是的中点，交于点F.    (1)写出图中哪条线段是哪个三角形的角平分线，哪条线段是哪个三角形的中线？ (2)若，且的面积为3，求出的面积. 【经典例题十 利用网格求三角形面积】 【例10】（24-25八年级上·全国·假期作业）在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 1．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，已知A（-1，0），B（1，2），C是坐标轴上一点，且△ABC的面积为2，下列不是点C坐标的是（    ） A．(-3，0） B．（1，0） C．（0，-3） D．（0，3） 2．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为，，，则三角形ABC的面积为 ． 3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别是，，．三角形平移得到三角形，其中点A，B，C分别对应O，D，E点． (1)请画出三角形； (2)求三角形的面积． 【经典例题十一 三角形的稳定性及应用】 【例11】（23-24八年级上·广西南宁·期中）要使四边形木架不变形，至少要再钉几根木条（    ） A． B． C． D． 1、（23-24八年级上·湖北武汉·期中）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【经典例题十二 与三角形有关的线段综合应用】 【例12】（22-23七年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（    ）    A．60 B．56 C．70 D．48 1．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（　　） A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，与交于点，若，，则与面积之和的最大值是 ． 3．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 1．（23-24八年级上·浙江台州·期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，中线，交于点，连接，若的面积为2，则的面积是（    ） A．20 B．24 C．28 D．32 3．（23-24八年级上·广东阳江·期末）如图，在中，，，，，边上的高长是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）设是三角形的三边长，且，，都是自然数，如果，则这样的三角形有（    ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积的最大值是（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知a、b、c为三角形三边的长，化简： ． 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在中，为边的中点，点在边上，，、交于点，若的面积为26，则 . 8．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，是等腰底边上的中线，平分交于点，若，，则的面积为 ． 9．（23-24八年级上·湖南郴州·期中）如图，在中，是边上的中线，在中，是边上的中线，若，则的面积为 ． 10．（22-23七年级下·重庆渝中·期中）如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接，若，则为 ．    11．（23-24七年级下·浙江温州·期末）如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1．已知点和三角形的顶点都在格点上．平移三角形，使点落在点，点对应点是点． (1)画出平移后的三角形． (2)连接，，求四边形的面积． 12．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当为最大边时，求三边长． 13．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，中，，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒个单位，设运动的时间为秒．    (1)当 秒时，把的面积分成相等的两部分； (2)当秒时，把分成的和的面积之比是 ； (3)当为多少秒时，的面积为． 14．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域，用于饲养小动物，已知第一条边为a米，由于受地势的限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米． (1)请用a表示第二条边长和第三条边长； (2)第一条边长可以为7米吗？为什么？ 15．（22-23七年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，，．设点运动时间为，其中．    (1)若，则的取值范围是______； (2)求为何值时，平分的面积； (3)求为何值时，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形有关的线段重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 三角形的相关概念 题型二 构成三角形的条件 题型三 三角形第三边的取值范围 题型四 三角形三边关系的应用 题型五 三角形高线的画法 题型六 与三角形的高有关的计算问题 题型七 根据三角形中线求长度 题型八 根据三角形中线求面积 题型九 三角形角平分线的定义 题型十 利用网格求三角形面积 题型十一 三角形的稳定性及应用 题型十二 与三角形有关的线段综合应用 知识点 1 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点2 三角形的分类： 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 知识点3 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点4 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点5 三角形的重要线段 【经典例题一 三角形的相关概念】 【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）线段上有3个点，，，直线外有一点A，把A和B，，，，C连接起来，可以得到的三角形个数为（    ） A．8个 B．10个 C．12个 D．20个 【答案】B 【分析】根据题意可得，点A和其他任意两个点连接，可得到三角形，点B，，，，C中的每一个点可与4个点组合，再除以2（去掉重复的）即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握不在同一直线上的三个点的连线围成的图形是三角形． 1．（2023·浙江杭州·模拟预测）若一个三角形的任意两条边都不相等，则称之为“不规则三角形”．顶点在一个正方体顶点上的所有三角形中，这样的“不规则三角形”的个数为（    ） A．8 B．18 C．24 D．36 【答案】C 【分析】根据立方体的八个顶点之间线段长度仅有三种可能，分别得出所求的不规则三角形的个数． 【详解】解：如图示： 设立方体的边长为，则在立方体的八个顶点之间线段长度仅有三种可能： 边长为，面对角线为，体对角线为．立方体有四条体对角线，先考虑其中的一条如，第三个顶点可以是 、、、、、 中之一， 有6个不规则三角形．因此所求的不规则三角形的个数是． 故选：． 【点睛】此题主要考查了三角形的性质以及立体图形的性质，得出立方体的八个顶点之间线段长度仅有三种可能是解决问题的关键． 2．（22-23八年级·全国·假期作业）已知：如图，试回答下列问题： （1）图中有 个三角形，其中直角三角形是 ． （2）以线段为公共边的三角形是 ． （3）线段所在的三角形是 ，边所对的角是 ． 【答案】 6 ，， ，， 【分析】（1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形； （2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形； （3）观察图形可知线段所在的三角形以及边所对的角； 【详解】（1）由图可知， 图中三角形有、、、、、， 图中有6个三角形， 由图可知，直角三角形有，，； 故答案为：6，，，； （2）由图可知， 以线段为公共边的三角形是，，； 故答案为：，，； （3）由图可知， 线段所在的三角形是， 边所对的角是； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． 3．（2023八年级·全国·专题练习）如图，回答下列问题：    (1)写出以为顶点的三角形； (2)写出为内角的三角形； (3)写出以为边的三角形． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接写出以为顶点的三角形即可； （2）直接写出以为内角的三角形即可； （3）直接写出以为边的三角形即可． 【详解】（1）解：以为顶点的三角形有：． （2）解：以为内角的三角形有：． （3）解：以为边的三角形有：． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义、三角形的顶点、内角、边等知识点，理解三角形的定义是解答本题的关键． 【经典例题二 构成三角形的条件】 【例2】（2023·河北张家口·三模）如图，数轴上与6表示的点分别为，点B为线段上一点，分别以为中心旋转，若旋转后两点可以重合成一点C（即构成），则点B代表的数不可能的是（    ）    A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】D 【分析】设点B代表的数为x，则，、可以用x表示出来，然后根据三角形三边关系求出x 取值范围即可求解． 【详解】解：设点B代表的数为x，则由题意可得： ，，， ∴由三角形的三边关系可得： ，解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查数轴的动点问题，熟练掌握数轴上两点距离的表示、构成三角形的条件、一元一次不等式组的求法是解题的关键． 1．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）有长度分别是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成不同形状的三角形的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系逐一判断即可． 【详解】解：若选取长度分别是4cm、5cm、8cm的小棒，，故能围成三角形； 若选取长度分别是4cm、5cm、9cm的小棒，，故不能围成三角形； 若选取长度分别是5cm、8cm、9cm的小棒，，故能围成三角形； 若选取长度分别是4cm、8cm、9cm的小棒，，故能围成三角形． 综上所述，可以围成3种不同形状的三角形． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了构成三角形的条件，掌握三角形的三边关系是解决此题的关键． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）长度为2cm、3cm、4cm、5cm的四条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有 个 【答案】3 【分析】根据三角形的构成条件：任意两边之和大于第三边，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴2cm，3cm，4cm可以构成三角形； ∵， ∴2cm，3cm，5cm不可以构成三角形； ∵， ∴2cm，4cm，5cm可以构成三角形； ∵， ∴3cm，4cm，5cm可以构成三角形； ∴可以构成3个不同的三角形． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 3．（2022·江苏苏州·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务：斐波那契（约1170 － 1250）是意大利数学家，他研究了一列非常奇妙的数：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…这列数，被称为斐波那契数列，其特点是从第3项开始，每一项都等于前两项之和．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用． (1)填写下表并写出通过填表你发现的规律： 项 第2项 第3项 第4项 第5项 第6项 第7项 第8项 第9项 … 这一项的平方 1 1 4 9 25 64 441 … 这一项的前后两项的积 0 2 3 10 24 168 442 … 规律： ； (2)现有长为15 cm的铁丝，要截成n（n ＞ 2）小段，每段的长度不小于1 cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为 _________ ，所有小段的长度为 _________ ． 【答案】(1)169，65，从第2项起，偶数项的平方比这一项的前后两项的积大1，奇数项的平方比这一项的前后两项的积小1 (2)5；1cm、1cm、2cm、3cm、8cm 【分析】（1）观察数列得出第6项为5，第7项为8，第8项为13，可求第8项平方，根据第7项的前后两项分别为5与13，其积为5×13可得第7项，根据表格观察发现从第2项起，偶数项的平方比这一项的前后两项的积大1，奇数项的平方比这一项的前后两项的积小1即可； （2）根据三角形不能构成的条件是存在两边之和不超过第三边，利用斐波那契数列先截取1cm，1cm，2cm，再截取第4段3cm，利用线段和差求出剩余的一段8cm讨论即可． 【详解】（1）解：∵数列中第8项为13，这项的平方为169， 第6项为5，第8项为13，∴第7项的前后两项的积为5×13=65， 填表 项 第2项 第3项 第4项 第5项 第6项 第7项 第8项 第9项 … 这一项的平方 1 1 4 9 25 64 169 441 … 这一项的前后两项的积 0 2 3 10 24 65 168 442 … 根据表观察发现从第2项起，偶数项的平方比这一项的前后两项的积大1，奇数项的平方比这一项的前后两项的积小1， 故答案为：169，65，从第2项起，偶数项的平方比这一项的前后两项的积大1，奇数项的平方比这一项的前后两项的积小1； （2）解：根据三角形三边关系任意两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形条件是存在两边之和不超过第三边， 先截取1cm，1cm，2cm， ∵1+1=2，不能构成三角形， 再取3cm 此时四段1cm，1cm，2cm，3cm，任意三段都不能构成三角形， 1+1+2+3=7cm, 15-7=8cm， 如果8cm分成任意不小于1的两段=1+7=2+6=3+5=4+4都能与前四段构成某个三角形 分成1cm与7cm ，∵1+1＞1，构成等边三角形， 分成2cm与6cm，∵2+2＞3，构成等腰三角形， 分成3cm与5cm，∵3+3＞5，构成等腰三角形， 分成4cm与4cm,∵3+4＞4，构成等腰三角形， ∴15cm的线段最多分成5段分别为1cm，1cm，2cm，3cm，8cm， ∴n最多=5，所有小段长度为1cm、1cm、2cm、3cm、8cm， 故答案为5；1cm、1cm、2cm、3cm、8cm． 【点睛】本题考查斐波那契数列的应用，认真阅读，领会含义，应用斐波那契数列解决问题，三角形三边关系，掌握斐波那契数列，三角形三边关系是解题关键． 【经典例题三 三角形第三边的取值范围】 【例3】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，一根直的铁丝，欲将其弯折成一个三角形，在同一平面内操作如下： ①量出； ②在点右侧取一点，使点满足； ③将向右翻折，向左翻折． 若要使，两点能在点处重合，则的长度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案． 【详解】解：设， ， ， 将向右翻折，向左翻折， ， 符合三角形三边关系， ， 即， 解得， 解得， 故选D． 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的三边关系，由三角形的三边关系定理可得到的取值范围，而是整数，可求的最小值，周长最小值也可求，熟练掌握三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：设第三边长是， ∵三角形的两边长分别为和， ∴，即， ∵是整数， ∴，，，，， ∴当时，三角形的周长最小值是， 故选：． 2．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）已知，，为的三边长，，满足，且为方程的解，则的周长为 ． 【答案】9 【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出、的值，再解绝对值方程可得或，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出的周长． 【详解】解：∵， ∴且， ∴、， ∵a为方程的解， ∴或， 又， ∴， 则的周长为， 故答案为：9． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键． 3．（23-24八年级上·江西上饶·期中）小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡．已知第一条边长为米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米． (1)第一条边长能否为10米？为什么？ (2)求的取值范围． 【答案】(1)不能．理由见解析 (2)的取值范围是 【分析】（1）先表示出第二条边长，即可得出第三条边长，当时，三边长分别为10，28，12，根据三角形三边关系即可作出判断； （2）根据第一条边长最短以及三角形的三边关系列出不等式组，即可求出m的取值范围． 【详解】（1）不能．理由如下： 由题意得：第一条边长为m米，则第二条边长为米，第三条边长为米， 若第一条边长为10米，则第二条边长为28米，第三条边长为12米， 而，不符合三角形两边的和大于第三边， 不能构成三角形． 第一条边长不能为10米． （2）由题意，知三角形的三边长分别为米，米，米， 则解得． 由三角形两边的和大于第三边，得， 解得． 故的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，在解题时根据三角形的三边关系，列出不等式组是本题的关键． 【经典例题四 三角形三边关系的应用】 【例4】（2024·河北邢台·三模）五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握任意两边之和大于第三边是解题的关键． 根据三角形三边关系求解即可． 【详解】解：由题意，，则m的值为5或6． 若，，n最大取8，而5，8，14不能构成三角形； 若，，n的值为7或8或9，只有6，9，14能构成三角形， 所以． 故选：C． 1．（2024七年级下·全国·专题练习）两根木棒长度分别是厘米和厘米，从下列木棒中再选根与原来根组成一个三角形（根木棒首尾依次相接），应选的木棒长度为（　　） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边的关系，根据三角形三边关系求出应选木棒长度的取值范围即可求解，掌握三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：应选取的木棒的长的范围是：， 即， ∴满足条件的只有， 故选：． 2．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）若的三边长分别为5、3、k，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为 ． 【答案】18 【分析】根据三角形三边关系可得，再解一元一次方程求得，可得，从而可得，即可确定k的取值范围，再根据k为整数，可得k的值，再进行求和即可． 【详解】解：∵的三边长分别为5、3、k， ∴， ， 解得， ∵方程的解为非正数， ∴， 解得， 综上所述，， 又∵k为整数， ∴k的值为5、6、7， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题考查三角形的三边关系、解一元一次方程、解一元一次不等式，熟练掌握三角形的三边关系、解一元一次方程求得k的取值范围是解题的关键． 3．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知的三边分别为a,b,c． (1)若为整数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键． （1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵， ，即， ∵c为整数， ∴，的周长为． （2）解：的三边长为a，b，c， ， ． 【经典例题五 三角形高线的画法】 【例5】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，中，为上一点，于点E，下列说法中，错误的是（   ） A．中，是上的高 B．中，是上的高 C．中，是上的高 D．中，是上的高 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：A、中，是上的高，不是上的高，故本选项说法错误，符合题意； B、中，是上的高，说法正确，不符合题意； C、中，是上的高，说法正确，不符合题意；     D、中，是上的高，说法正确，不符合题意； 故选：A． 1．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）给出下列命题：①若，则是直角三角形；②三角形的角平分线是射线；③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；④如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形，其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据直角三角形判定、三角形角平分线定义、三角形高的特征逐个判断即可得到答案． 【详解】解：①由三角形内角和定理可知，若，则，解得，从而是直角三角形，即命题①是真命题； ②由三角形的平分线定义可知，三角形的角平分线是射线是假命题； ③由直角三角形三条高交于直角顶点上，从而三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外说法错误，是假命题； ④直角三角形的两条高分别是两条直角边，也只有一条高在三角形内部，从而如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形说法错误，是假命题； 综上所述，只有①说法正确，是真命题， 故选：A． 【点睛】本题考查命题真假，涉及直角三角形判定、三角形角平分线定义、三角形高的特征等知识，熟记相关性质是解决问题的关键． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，某地有三个车站A，B，C，顺次连接AB，BC，CA，构成三角形，一辆公共汽车从B站前往C站． （1）当汽车行驶到点D时，刚好有，连接AD，AD这条线段是中BC边上的____________，在中，这样的线段有____________条，此时____________（填“有”或“没有”）面积相等的三角形； （2）汽车继续向前行驶，当行驶到点E时，发现，那么AE这条线段是中的____________，在中，这样的线段有____________条； （3）汽车继续向前行驶，当行驶到点F时，发现，那么AF是中BC边上的____________，在中，这样的线段有____________条． 【答案】（1）中线，3，有；（2）角平分线，3；（3）高，3 【分析】（1）由于BD=CD，则点D是BC中点，AD是中线，一个三角形有三条中线，三角形的中线把三角形成面积相等的两个三角形； （2）由于，得到AE是三角形的角平分线，一个三角形有三条角平分线； （3）由于，得到AF是三角形高，一个三角形有三条高． 【详解】解：（1）AD是中BC边上的中线，在中，这样的线段有3条，此时△ABD与△ACD面积相等； （2）AE这条线段是中的角平分线，在中，这样的线段有3条； （3）AF是中BC边上的高，在中，这样的线段有3条． 故答案为：（1）中线，3，有；（2）角平分线，3；（3）高，3． 【点睛】本题考查了三角形的高线、角平分线、中线的概念，理解好相关概念是解题关键． 3．（23-24七年级下·河北沧州·期末）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)将向左平移8个单位长度，请在图中画出平移后的； (2)利用网格在图中画出的中线和高线； (3)的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中线、高线的定义作图即可； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由平移的性质作图，如图1，即为所作； （2）解：由中线、高线的定义作图，如图1，中线和高线即为所作； （3）解：由题意知，， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了平移作图，中线、高线，利用网格求三角形的面积等知识．熟练掌握平移作图，中线、高线，利用网格求三角形的面积是解题的关键． 【经典例题六 与三角形的高有关的计算问题】 【例6】（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，若四边形的面积为14，则的面积为（  ） A．24 B．28 C．35 D．30 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题关键． 连接、，过点作于点，设，根据同高的三角形的面积的比等于底边的比，分别得到、、、、、，再根据四边形的面积，求出的值，即可得出的面积． 【详解】解：连接、，过点作于点， 设， ，，， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， 同理可得：， 是的中点， 同理可得：， ， ， 同理可得：， 四边形的面积为28， ， ， ， 故选：D． 1．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）如图，梯形的面积为，点在上，三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2，的长为5，那么三角形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了梯形、三角形的面积公式，平行线之间的距离处处相等，理解梯形、三角形的面积公式计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是梯形， ∴， ∴三角形边上的高三角形边上的高（平行线之间的距离处处相等）， 又∵三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2， ∴， ∵梯形的面积为，的长为5， ∴梯形的高， ∴和之间的距离，即三角形边上的高， ∴三角形的面积， 故选：A． 2．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在长方形中，为的中点．动点P从点A出发，以每秒的速度沿的方向运动，最终到达点E．若点P的运动时间为x秒，则当 时，的面积等于8．    【答案】4或 【分析】本题考查了三角形的面积计算，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 分三种情况讨论：①分P在上；②P在上；③P在上三种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵长方形， ∴， 分三种情况讨论： ①当P在上时． ∵的面积等于8， ∴，解得：； ②当P在上时．    ∵的面积等于8， ∴， ∴， 解得：； ③当P在上时，， 解得：（不合题意）． 故答案为4或． 3．（23-24七年级下·广东深圳·期末）在学习《三角形》时，某数学学习小组发现：在一个面积为100的长方形中，点 E，F分别在边上，连接 ． 当点F与点C重合时，如图所示，在不求出长方形边长的情况下，可以根据面积公式或三角形全等的性质求出 的面积为定值． 【提出问题】如图，点E，F都不与端点重合，若的面积是否为定值? 【特例分析】（1）给和分别赋予不同的数值，通过特殊数值的计算判断的面积是否发生变化．请你根据上述思路，完成下面的表格． 10 5 10 20 41 【得出猜想】（2）通过特例分析，猜想：的面积 定值． （填“是”或“不是”） 【验证猜想】 （3）①方法1： 假设． ，通过计算验证你的猜想． ②方法2： 如图，过点E作，交于点G，将长方形 分成了长方形和长方形 ，连接 ．通过图形割补的方式也可以验证猜想，请将下列部分验证过程补充完整(填数值)． 解：∵等底等高， ． ， ． ． 【拓展应用】（4）在学校游园活动中，数学小组成员计划用三个雪糕简和彩绳在一个长12米，宽 10米的长方形场地中，围出一块三角形区域作为游戏场地．如图，在长方形场地中，三个雪糕筒分别摆放在点B、E、F处，且的长为整数．若围出的游戏场地面积为52平方米，即 请直接写出所有满足条件的长． 【答案】（1）41；（2）是；（3）①见解析；②见解析；（4）长为2或4或8 【分析】题目主要考查三角形面积的计算及二元一次方程的应用，理解题意，结合图形求解是解题已关机 （1）根据题意利用长方形的面积减去三角形的面积即可求解； （2）结合表格即可得出结果； （3）①根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可证明；②根据题意结合图形即可求解； （4）根据题意及（3）①证明方法得出，然后结合题意求解即可 【详解】解：（1）当时，， ∴， ∴， 故答案为：41； （2）通过特例分析，猜想：的面积是定值； 故答案为：是； （3）①，， ∴，， ∴； ②解：∵等底等高， ， ． ∵， ． ； 故答案为：50；9； （4）由（3）①得：， 整理得：， ∵的长为整数． ∴当时，；当时，（舍去）；当时，；当时，； ∴长为2或4或8． 【经典例题七 根据三角形中线求长度】 【例7】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，，的周长比的周长多2，则的长为（    ）    A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【分析】 依据 是 的边 上的中线，可得 ，再根据 的周长比 的周长多 2 ， 即可得到 的长； 【详解】 解：∵ 是 的边 上的中线， 又 ∵ 的周长比 的周长多2 ， 即 ， 故选 ：C． 【点睛】本题考查了三角形的中线， 求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键． 1．（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为20，则的周长是（    ）    A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【分析】点是边上的中点可得，再由的周长为20可得，从而得到，最后由三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：点是边上的中点， ， 的周长为20， ， ， ， 的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查了与三角形的中线有关的计算，求出是解题的关键． 2．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，已知是的中线，且，，则和的周长之差为 ，和的面积之差为 ． 【答案】 【分析】根据三角形的中线的定义可得，然后求出与的周长之差．面积之差等于0． 【详解】解：∵为中线， ∴， ∴与的周长之差， ∵， ∴与的周长之差． 又， ∴，即和的面积之差为0． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，是中线，，． (1)与的周长差为_______cm． (2)点E在边上，连接，若三角形的周长被分成的两部分的差是2cm，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， 与的周长差： （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 当的周长-四边形的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 四边形的周长-当的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 综上，线段的长为或． 【经典例题八 根据三角形中线求面积】 【例8】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，已知点为的中点，点在边上，且，相交于点，若的面积为，则四边形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线与线段倍和差求面积，连接，由，设，得，，又点为中点，则，，设，从而有，根据得，解出，然后由的面积为即可求出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， 由，设， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∴，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即，解得：， ∴， 解得：， ∴四边形的面积是， 故选：． 1．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图，、分别是边、上的点，，，、相交于点．若四边形的面积为10，则的面积为（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】D 【分析】本题考查三角形的中线，连接，利用中线平分面积结合同高三角形的面积比等于底边比，设，列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， 设，则：， ∵四边形的面积为10， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故选D． 2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，在锐角中，D是的中点，，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为2，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，根据同高的两个三角形底边之间的关系得出三角形面积之间的关系是解题的关键， 连接，由D是的中点得出，∶继而得出，由得到，于是得出，，求出的面积即可得出的面积，从而求出边上的高，根据垂线段最短得出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接， D是的中点， ，， ， 即， ， ， ，， 的面积为2， ， ， ， ， 设边上的高为h， ， ， ， ， 的最小值为6， 故答案为：6． 3．（23-24七年级下·江苏南通·期末）阅读材料： 如图①，在中，、分别是、边上中线，它们相交于点，且，求的值．聪明的小明很快给出了答案是．理由如下： 解：连接 是边上中线， ，． ． 即．同理：． ，． 类比迁移： (1)如图②，在中，与相交于点，，，且．求的值； (2)如图③，在中，与相交于点，，，．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了中线与面积，熟练掌握中线与面积是解题的关键 （1）如图1，连接，由是边上中线，可得，．则．由．可得，．则，由，可得，计算求解即可． （2）如图2，连接，由，可得，，则．，设，则，，．即，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵是边上中线， ∴，． ∴，即． ∵． ∴，． ∴，即， ∵， ∴， 解得，， ∴． （2）解：如图2，连接，         ∵， ∴，， ∴，即． ∴， 设，则，， ∴，即． ∴， 解得，， ∴． 【经典例题九 三角形角平分线的定义】 【例9】（23-24八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在中，，为的中点，连接并延长，交于点，过点作于点，延长交于点.下面说法错误的是（    ）    A．是的角平分线 B．是的边上的高线 C．是的角平分线和高线 D．是的边上的中线 【答案】D 【分析】根据三角形的中线、角平分线、高的定义进行判断即可． 【详解】解：A．，则是的角平分线，故选项正确，不符合题意； B．于点，则是的边上的高线，故选项正确，不符合题意； C．，于点，则是的角平分线和高线，故选项正确，不符合题意； D．无法判断是的边上的中线，故选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形的中线、角平分线、高，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的定义是解题的关键． 1．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：；；； ．其中正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的角平分线，中线和高等知识，根据三角形的角平分线，中线和高的性质逐项判断即可，解题的关键是熟练掌握三角形的角平分线，中线和高的性质． 【详解】∵是中线， ∴， ∴，故正确； ∵是角平分线， ∴， ∵为高， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，故正确； 根据已知条件不能推出，故错误； ∵为高， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，即，故正确， 综上可知：正确， 故选：． 18．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图所示，的两条角平分线相交于点，过点作EFBC，交于点，交于点，若的周长为，则 cm． 【答案】30 【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义得到，证出，同理，则的周长即为，可得出答案． 【详解】解：， ， 平分， ， 同理：， 即 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，证出，是解题的关键． 3．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图：中，点D在上，且，E是的中点，交于点F.    (1)写出图中哪条线段是哪个三角形的角平分线，哪条线段是哪个三角形的中线？ (2)若，且的面积为3，求出的面积. 【答案】(1)是的角平分线，是的角平分线，是的中线，是的中线 (2)18 【分析】（1）根据三角形角平分线、中线的定义即可求解； （2）根据三角形中线的性质求解． 【详解】（1）解：由题意知，是的角平分线，是的角平分线，是的中线，是的中线． （2）解：的面积为3，E是的中点， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形有关的线段，三角形中线的性质，解题的关键是掌握“等高三角形的面积比等于底边长度之比”． 【经典例题十 利用网格求三角形面积】 【例10】（24-25八年级上·全国·假期作业）在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积问题，能够结合图形进行求解．以为腰可得出4个等腰直角三角形，其面积为1，又有两个钝角三角形，其面积也为1，故满足条件的点共有6个． 【详解】解：如图， 这样的点共有6个． 故选：． 1．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，已知A（-1，0），B（1，2），C是坐标轴上一点，且△ABC的面积为2，下列不是点C坐标的是（    ） A．(-3，0） B．（1，0） C．（0，-3） D．（0，3） 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，C在x轴或在y轴，求出C的坐标即可． 【详解】解：当C在x轴上时，设， 则 ， 解得m=1或-3， ∴C（1，0）或（-3，0）； 当C在y轴上时，设， 可知AB与y轴的交点为（0，1）， 则， 解得m=-1或3， ∴C（0，-1）或（0，3）； 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形的面积的问题，解题的关键是分类讨论． 2．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为，，，则三角形ABC的面积为 ． 【答案】10 3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别是，，．三角形平移得到三角形，其中点A，B，C分别对应O，D，E点． (1)请画出三角形； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根据点坐标的平移确定平移方式，平移作图，利用网格求三角形面积等知识．熟练掌握根据点坐标的平移确定平移方式，平移作图，利用网格求三角形面积是解题的关键． （1）由题意可得，图形向右平移1个单位，向下平移4个单位，然后作图即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵平移到， ∴图形向右平移1个单位，向下平移4个单位， 由平移的性质作图如下，三角形即为所作； （2）解：由题意知，， ∴三角形的面积为． 【经典例题十一 三角形的稳定性及应用】 【例11】（23-24八年级上·广西南宁·期中）要使四边形木架不变形，至少要再钉几根木条（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性可得：沿对角线钉上1根木条即可． 【详解】解：根据三角形的稳定性可得，至少要再钉上1根木条． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形具有稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性． 1、（23-24八年级上·湖北武汉·期中）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即可，解题的关键是分析能否在同平面内组成三角形． 【详解】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条． 【答案】3 【分析】根据三角形的稳定性，要使六边形木架在同一平面内不变形，只要把六边形木架变成几个不重叠的三角形即可． 【详解】如图，过左上角的A点分别钉三根木条AB、AC、AD即可把六边形木架变成三个不重叠的三角形． 故答案为3． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，通过多观察、多思考、多练习熟练掌握三角形稳定性的应用是解题关键． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【答案】(1)2，3， (2)9 (3)21 【分析】（1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【详解】（1）解：如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … 故答案为：2，3，； （2）解：（根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：9； （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，注意利用图形总结规律是解题的关键． 【经典例题十二 与三角形有关的线段综合应用】 【例12】（22-23七年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（    ）    A．60 B．56 C．70 D．48 【答案】A 【分析】连接、，过点作于点，设，根据同高的三角形的面积的比等于底边的比，分别得到、、、、、，再根据四边形的面积，求出，即可得出的面积． 【详解】解：连接、，过点作于点， 设， ，，， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， 同理可得：， 是的中点， 同理可得：， ， ， 同理可得：， 四边形的面积为28， ， ， ， 故选：A．    【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题关键． 1．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（　　） A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6 【答案】A 【分析】如图：连接AF，根据△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等可得，进而得到，同理得出，进而得到即可解答． 【详解】解：如图：连接AF ∵BE=3，AE=6， ∴AB=9， ∵△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等， ∴，即 同理可得：，即 ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，正确作出辅助线、灵活运用等高的三角形的面积比等于对应边之比是解答本题的关键． 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，与交于点，若，，则与面积之和的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，连接，设，，，由，，可得，，进而可得，，由，可得，由，可得，即得，根据当取最大时，取最大，由当时，取最大值，可得，进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：连接， 设，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 当取最大时，取最大， 当时，取最大值， ∴， 由得，， ∴与面积之和的最大值， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 【答案】(1)① ② (2)① ②30 【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键． （1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，得到，即可得出结果； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【详解】（1）解：①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即， ∴ ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图： ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． 1．（23-24八年级上·浙江台州·期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 先根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，然后根据取值范围即可解答． 【详解】解：∵三角形两边的长分别是3和5， ∴第三边的取值范围为：第三边，即第三边， ∴A符合题意． 故选A． 2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，中线，交于点，连接，若的面积为2，则的面积是（    ） A．20 B．24 C．28 D．32 【答案】B 【分析】本题考查三角形中线的性质，中线交点到顶点的距离与中线交点到对边中点的距离之比为：，过点D作，交于点F，先证明点F是BE的中点，可得到，即可证明，通过，计算出和，进一步计算出，即可求得答案． 【详解】解：过点D作，交于点F， ∵点D是的中点，， ∴点F是的中点， ∴， ∵， ∴ ∵，是中线， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故选B． 3．（23-24八年级上·广东阳江·期末）如图，在中，，，，，边上的高长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积，灵活运用等面积法是关键； 由三角形等面积法直接求斜边上的高． 【详解】 ， ， 故选：D 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）设是三角形的三边长，且，，都是自然数，如果，则这样的三角形有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字变化类规律探究，通过列举出当时，当时，当时，，符合题意的三角形个数的规律，归纳得出，这样的三角形个数的表达式． 【详解】若是三角形的三边长，且，，都是自然数，记三角形的三边长为，，， 归纳，当时，三角形的三边长只能为，1，，只有1个； 当时，或2，三角形的三边长为，2，，，2，，，2，，共个； 当 时，或2或3，三角形的三边长为，3，，，3，，，3，，，3，，，3，，，3，，共 个；； 依此类推， 当时，三角形个数为 个． 故选：D． 5．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积的最大值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设，由三角形面积公式可得，，由点E是的中点，得，，进而得，，，，，，得出，通过讨论的面积最大值得四边形的面积最大值． 【详解】解：连接，    设， ， ，， 点是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 四边形的面积的最大值是， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的面积，已知两边三角形面积的最大值等知识，解题关键是理解运用同高的两个三角形面积之比等于底边之比． 6．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知a、b、c为三角形三边的长，化简： ． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系，结合绝对值的定义进行化简． 【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长，， 又， ， ， ， ． 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在中，为边的中点，点在边上，，、交于点，若的面积为26，则 . 【答案】3 【分析】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分是解答此题的关键．由为的中点可知，，由可知，，根据可得出结论． 【详解】如图所示： 点为的中点， ， ， ， ． 故答案为：3． 8．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，是等腰底边上的中线，平分交于点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：过点作于点， ∵是等腰底边上的中线， ∴，， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·湖南郴州·期中）如图，在中，是边上的中线，在中，是边上的中线，若，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质等知识，根据三角形的中线的性质，得的面积是的面积的一半，的面积是的面积的一半，由此即可解决问题． 【详解】解：∵是的中线， ∴； ∵是的中线， ∴． 故答案为：12． 10．（22-23七年级下·重庆渝中·期中）如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接，若，则为 ．    【答案】4 【分析】如图，连接，设的面积为m．利用等高模型的性质，用m表示出各个三角形的面积，可得的面积为18m，构建方程，可得结论． 【详解】解：如图，连接，设的面积为m． ∵， ∴的面积为2m，的面积为3m， ∵， ∴的面积的面积， ∵， ∴的面积，的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∴的面积，即． 则， ∴的面积为4， 故答案为：4．    【点睛】本题考查三角形的面积，等高模型的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题． 11．（23-24七年级下·浙江温州·期末）如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1．已知点和三角形的顶点都在格点上．平移三角形，使点落在点，点对应点是点． (1)画出平移后的三角形． (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图—平移变换，割补法求面积，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． （1）根据平移的性质找到对应点、、，顺次连接即可求解； （2）利用割补法求四边形面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图， 四边形的面积． 12．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当为最大边时，求三边长． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形三边关系，首先设边的长度分别是a、b、c，则；然后根据三边长都是整数且互不相等，由三边关系得出，即可判断出，判断出三边长分别是5、3、4；再分情况讨论即可． 【详解】解：设边的长度分别是a、b、c， 的周长为12， ； 为最大边， ， ， 三边长都是整数且互不相等， ，即， ，且， 或， 或． 13．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，中，，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒个单位，设运动的时间为秒．    (1)当 秒时，把的面积分成相等的两部分； (2)当秒时，把分成的和的面积之比是 ； (3)当为多少秒时，的面积为． 【答案】(1)； (2)； (3)当或时，的面积为． 【分析】()三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用中线的性质可求出P的路径长即可求解； ()和分别以、为底时，高相同，根据和的比即可求出面积比； ()分两种情况讨论，当在上时，利用面积求出的长度即可求出，当在上时，利用面积比可求出的长，即可求出． 【详解】（1）当点在中点时，把的面积分成相等的两部分， 此时， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）当在线段上时，如图，    ， 解得； 当在线段上时，如图，    ， ∴， ∵和高相同， ∴， ∴， ∴， ∴当或时，的面积为． 【点睛】此题考查了三角的面积公式，三角形的动点问题，灵活应用三角形面积公式是解题的关键． 14．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域，用于饲养小动物，已知第一条边为a米，由于受地势的限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米． (1)请用a表示第二条边长和第三条边长； (2)第一条边长可以为7米吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)不可以，理由见解析． 【分析】（1）根据“第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米”表示出第二条边长，然后再根据总长即可表示出第三条边长； （2）若第一条边长为7米，分别求出第二条边长和第三条边长，判断是否能构成三角形即可． 【详解】（1）解：∵第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米，第一条边长为a米 ∴第二条边长为米， 由题意可知：第三条边长为米； （2）若，则第二条边长为米，第三条边长为米 ∵ ∴此时不能构成三角形， ∴第一条边长不可以为7米． 【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义和三角形的三边关系，掌握实际问题中各个量之间的关系和用三边关系判断三条线段是否能构成三角形是解决此题的关键． 15．（22-23七年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，，．设点运动时间为，其中．    (1)若，则的取值范围是______； (2)求为何值时，平分的面积； (3)求为何值时，． 【答案】(1) (2)2.5秒 (3)秒或12秒 【分析】（1）根据当时，点F在线段上运动可得答案； （2）根据当平分的面积时，点F是线段的中点可得答案； （3）分类讨论：当点F在点C左侧时，点F再点C的右侧时，可得关于t的一元一次方程，根据解方程，可得答案； 【详解】（1）当时，， ∴， 解得， 故答案为：； （2）∵平分的面积， ∴， ∴， ∴； （3）分两种情况讨论： ①点F在点C左侧时，， 则， 解得； ②当点F在点C的右侧时，， 则， 解得， 综上所述，或12时，； 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，三角形中线的性质，数形结合是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$