专题2.1 圆（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.1 圆（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】圆的概念 1、描述性定义：如图，在平面内把线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做圆.其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“⊙0”，读作“圆0”. 2、集合性定义：在平面内，圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合 由圆的集合性定义可以得出：(1)圆上的点到圆心的距离都等于半径；(2)到圆心的距离等于半径的点都在圆上. 【要点提示】同一个圆的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心构成的三角形都是等腰三角形. 【知识点二】点和圆的三种位置关系： 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 （1） 点P在圆内d<r; （2）点P在圆上d=r; （3）点P在圆外d>r; 【知识点三】与圆有关的概念 1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；直径：经过圆心的弦叫做直径；弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 【要点提示】①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.同心圆与等圆 　　同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等. 4.等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 【要点提示】①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中；②圆中两平行弦所夹的弧相等. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】与圆相关概念的认识 【例1】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）下列说法正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．劣弧一定比优弧短 D．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 【变式1】（2023九年级上·江苏·专题练习）下列说法正确的有（　　） ①圆中的线段是弦；②直径是圆中最长的弦；③经过圆心的线段是直径；④半径相等的两个圆是等圆；⑤长度相等的两条弧是等弧；⑥弧是半圆，半圆是弧． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）下列说法，不正确的是（    ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．长度相等的弧是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．半圆是弧，但弧不一定是半圆 【题型2】由圆的概念确定圆的位置与大小 【例2】（2024九年级下·全国·专题练习）如图所示，，是的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 【变式1】（2024·河北邯郸·二模）如图，直线，相交于点，则在直线，上到点的距离为的点有（    ） A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个 【变式2】（2024九年级·全国·竞赛）已知点A，B之间的距离为，现在画一个半径为、且经过点A，B的圆，则这样的圆能画出 个． 【题型3】判断点和圆的位置关系 【例3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系内，以原点为圆心，5为半径作，已知三点的坐标分别为，，．试判断三点与的位置关系． 【变式1】（2024·黑龙江大庆·二模）已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在（    ） A．的外部 B．的内部 C．上 D．无法判断 【变式2】（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，，，于点，以点为圆心，5为半径作，则点在 ．（填“外”“内”或“上”）． 【题型4】利用直径是圆中最长的弦求值 【例4】（2019九年级·全国·专题练习）如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值. 【变式1】（2023·江苏盐城·模拟预测）在平面内，在中，过点A作边上的垂线平面内一点E到点A的距离，若最长为，则（   ） A．4 B．2 C． D．2 【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ． 【题型5】利用点和圆的位置关系求半径或半径的取值范围 【例5】（21-22九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，D是的中点，以A为圆心，r为半径作，若点B，D，C均在外，求r的取值范围． 【变式1】（2024·云南昭通·二模）在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东江门·一模）在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 【例2】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ）    A． B． C．2 D．1 2、拓展延伸 【例1】（2024·陕西汉中·二模）如图，在中，利用尺规作图法求作，使得与的交点C到点O的距离最短．（不写作法，保留作图痕迹） 【例2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，、是的弦，连接、并延长，分别交弦、于点、，．求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 圆（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】圆的概念 1、描述性定义：如图，在平面内把线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做圆.其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“⊙0”，读作“圆0”. 2、集合性定义：在平面内，圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合 由圆的集合性定义可以得出：(1)圆上的点到圆心的距离都等于半径；(2)到圆心的距离等于半径的点都在圆上. 【要点提示】同一个圆的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心构成的三角形都是等腰三角形. 【知识点二】点和圆的三种位置关系： 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 （1） 点P在圆内d<r; （2）点P在圆上d=r; （3）点P在圆外d>r; 【知识点三】与圆有关的概念 1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；直径：经过圆心的弦叫做直径；弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 【要点提示】①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.同心圆与等圆 　　同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等. 4.等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 【要点提示】①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中；②圆中两平行弦所夹的弧相等. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】与圆相关概念的认识 【例1】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）下列说法正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．劣弧一定比优弧短 D．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 【答案】D 【分析】本题考查了圆的相关性质；根据圆的相关性质，逐项分析判断，即可求解． 解：A. 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧；故本选项错误； B. 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误； C. 在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短．故本选项错误； D. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴． 故选：D． 【变式1】（2023九年级上·江苏·专题练习）下列说法正确的有（　　） ①圆中的线段是弦；②直径是圆中最长的弦；③经过圆心的线段是直径；④半径相等的两个圆是等圆；⑤长度相等的两条弧是等弧；⑥弧是半圆，半圆是弧． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】利用圆的有关定义和性质分别判断后即可确定正确的选项. 解：①连接圆上任意两点的线段是弦，故原命题错误，不符合题意； ②直径是圆中最长的弦，正确，符合题意； ③经过圆心的线段不一定是直径，故原命题错误，不符合题意； ④半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意； ⑤长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意； ⑥弧不一定是半圆，但半圆是弧，故原命题错误，不符合题意， 正确的有2个， 故选：A． 【点拨】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义和性质，难度不大. 【变式2】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）下列说法，不正确的是（    ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．长度相等的弧是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．半圆是弧，但弧不一定是半圆 【答案】B 【分析】本题考查了圆的相关概念，根据圆的相关概念逐项分析即可，熟练掌握圆的相关概念是解此题的关键． 解：A、过圆心的弦是圆的直径，故本选项说法正确，不符合题意； B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故本选项说法错误，符合题意； C、周长相等的两个圆是等圆，故本选项说法正确，不符合题意； D、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【题型2】由圆的概念确定圆的位置与大小 【例2】（2024九年级下·全国·专题练习）如图所示，，是的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 【分析】本题考查了四点共圆，直角三角形斜边中线的性质．求证，，，四点在同一个圆上，是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明到得中点的距离等于的一半就可以． 证明：如图所示，取的中点，连接，． ，是的高， 和都是直角三角形． ，分别为和斜边上的中线， ． ，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上． 【变式1】（2024·河北邯郸·二模）如图，直线，相交于点，则在直线，上到点的距离为的点有（    ） A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查了圆的定义．以点为圆心，以为半径作圆，该圆与两直线的交点即为所求的点． 解：如图，以点为圆心，以为半径作圆，该圆与两直线有个交点，则满足条件的点有个， 故选C． 【变式2】（2024九年级·全国·竞赛）已知点A，B之间的距离为，现在画一个半径为、且经过点A，B的圆，则这样的圆能画出 个． 【答案】2 【分析】本题考查确定圆．作线段的垂直平分线l，则所求圆心在直线l上，直线l上到点A的距离为的点即为所求圆心，据此即可解答． 解： 如图，作线段的垂直平分线l，再以点A为圆心，为半径长作圆，交l于点和点，然后分别以点和点为圆心，以为半径长作圆，则和为所求， ∴这样的圆能画出2个． 故答案为：2． 【题型3】判断点和圆的位置关系 【例3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系内，以原点为圆心，5为半径作，已知三点的坐标分别为，，．试判断三点与的位置关系． 【答案】点在上，点在内，点在外 【分析】本题考查了平面内两点之间的距离、点与圆的位置关系，先根据平面内两点之间的距离公式求出、、的长度，再与半径进行比较，即可得出答案． 解：∵ ，，， ∴点在上，点在内，点在外． 【变式1】（2024·黑龙江大庆·二模）已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在（    ） A．的外部 B．的内部 C．上 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解一元二次方程，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此解方程求出即可得到答案． 解：解方程得， ∴， ∴点在的内部， 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，，，于点，以点为圆心，5为半径作，则点在 ．（填“外”“内”或“上”）． 【答案】内 【分析】本题考查了勾股定理，三角形面积公式和点与圆的位置关系．先根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式求出的长，然后根据点与圆的位置关系即可得出结论． 解：∵在中， ，，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴点D在圆C内． 故答案为：内． 【题型4】利用直径是圆中最长的弦求值 【例4】（2019九年级·全国·专题练习）如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值. 【答案】的最大值为. 【分析】由和组成的弦，在中，弦最长为直径14，而可求，所以的最大值可求. 解：连结，， ∵    ∴ ∴为等边三角形， ∵点，分别是，的中点 ∴，∵ 为的一条弦 ∴最大值为直径14    ∴的最大值为. 【点拨】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题. 【变式1】（2023·江苏盐城·模拟预测）在平面内，在中，过点A作边上的垂线平面内一点E到点A的距离，若最长为，则（   ） A．4 B．2 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，得出点E的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆上，并且结合勾股定理列式得，因为，进行计算，即可作答． 解：∵在中，过点A作边上的垂线平面内一点E到点A的距离， ∴点E的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆上，如图： 上图，此时点E在的延长线上，满足最长为， 设， ∵在中， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 则， 故选：B． 【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的认识，掌握弦、直径的概念是解题的关键．根据“连接圆上任意两点之间的线段就是圆的弦，直径是圆中最长的弦”，可以求出弦的范围． 解：A、是上不同的两点，， ， 的半径为，， 的直径为，直径是圆中最长的弦， ， 故答案为：． 【题型5】利用点和圆的位置关系求半径或半径的取值范围 【例5】（21-22九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，D是的中点，以A为圆心，r为半径作，若点B，D，C均在外，求r的取值范围． 【答案】0＜r＜5 【分析】先根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质求得AB、AD，再根据点与圆的位置关系即可求解． 解：∵在中，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵5＜6＜8， ∴AD＜AB＜AC， ∵A为圆心，r为半径，点B，D，C均在外， ∴0＜r＜5． 【点拨】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、点与圆的位置关系，解题关键是熟练掌握点与圆的位置关系：设圆半径为r，点与圆心的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外． 【变式1】（2024·云南昭通·二模）在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点到圆上最大距离、最小距离的认识． 点在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差，即可求解． 解：由题意得，P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b， ∴圆的直径是，因而半径是， 故选：B． 【变式2】（2024·广东江门·一模）在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ． 【答案】3或8 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可． 解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解； 当点在内，如图1， ∴， ∴， ∴半径为8； 当点在外，如图2， ∴， ∴， ∴半径为3； 综上所述，的半径是3或8； 故答案为：3或8． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 【答案】C 【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧． 解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 故选：C． 【例2】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ）    A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键． 连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出的最大值． 解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：    ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∵， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， ∴在中，， 的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧． ∴的最大值为的长，即． 故选：D． 2、拓展延伸 【例1】（2024·陕西汉中·二模）如图，在中，利用尺规作图法求作，使得与的交点C到点O的距离最短．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】本题考查复杂作图，垂线段最短，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图（过直线外一点作已知直线的垂线），逐步操作．过点作于点，以点为圆心，为半径画圆即可． 解：过点作于点，以点为圆心，为半径画圆， ∴点到的距离为的长， 此时与的交点到圆心的距离最短， 则即为所作． 【例2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，、是的弦，连接、并延长，分别交弦、于点、，．求证：． 【分析】此题考查了圆的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定与性质 ．由，，可得，证明，可得，进而可证明，根据全等三角形的性质即可求解． 证明：，， ， 又， ， ， 又，， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$