专题1-3 “相等线段共线”三角形全等（基础、培优、拔尖）-2024-2025学年八年级数学重难点专项训练（苏科版）

专题1-3 “相等线段共线”三角形全等（基础篇） 1．（2023春•浦江县期末）如图，已知△ABC和△DEF，根据已知求证△ABC≌△DEF，则填入括号中的“▲”处正确的是（　　） 已知：AB⊥BE，DE⊥BE，且BF＝CE，AB＝DE． 求证：△ABC≌△DEF 证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE ∴∠B＝∠E＝90° 又∵BF＝CE，AB＝DE∴△ABC≌△DEF（▲） A．AAS B．SSS C．ASA D．SAS 2．（2024•贵州模拟）如图，在△ABC和△BAD中，AC＝BD，BC＝AD，在不添加任何辅助线的条件下，可判断△ABC≌△BAD．判断这两个三角形全等的依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SSS D．SAS 3．（2024春•沈阳月考）如图，△ABC沿边BC所在直线向右平移得到△DEF，则下列结论不一定正确的是（　　） A．△ABC≌△DEF B．∠A＝∠D C．AB∥DE D．EC＝FC 4．（2023春•徐汇区校级月考）如图：已知∠ABC＝∠DCB，则添加条件 　 　（只需要写一个），可得△ABC≌△DCB． 5．（2024春•武侯区校级期中）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，∠BAC＝∠EDF，AE＝BD，若只添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AC＝DF B．BC＝EF C．∠C＝∠F D．∠ABC＝∠DEF 6．（2024•大兴区二模）在四边形ABCD中，∠ABD＝∠CDB，只需添加一个条件即可证明△ABD≌△CDB，这个条件可以是 　 　（写出一个即可）． 7．（2023秋•潮阳区校级期中）如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AB＝EF，BC＝DF，∠B＝∠F，AC＝6，AE＝16，则CD＝　 　． 8．（2024春•长宁区期末）如图，已知AC∥DE，AC＝DE，BD＝FC，说明△ABC≌△EFD．请填写说理过程或理由． 解：因为AC∥DE（已知）， 所以∠ACB＝∠EDF（ 　 　）． 因为BD＝FC（已知）， 所以 　 　﹣BD＝　 　﹣FC（ 　 　）， 即BC＝FD． 在△ABC与△EFD中， ， 所以△ABC≌△EFD（ 　 　）． 9．（2024•阳泉三模）如图，AB∥DE，AB＝DE，点C，F在AD上，AF＝DC．求证：∠B＝∠E． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D，第一步 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS），第二步 ∴∠B＝∠E．第三步 任务一： ①以上证明过程中，第一步依据的定理是：　 　； ②从第 　 　步出现错误；具体错误是 　 　； 任务二：请写出正确的证明过程． 10．（2024•江阳区校级三模）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．求证：△ADE≌△BCF． 专题1-3 “相等线段共线”三角形全等（培优篇） 11．（2024春•汝阳县期末）如图，将△ABC沿AC方向平移一定距离得到△DEF，点D落在线段AC上，BC与DE交于点G．则下列结论：①AD＝CF；②AB∥DE；③BC∥EF；④∠B＝∠E；⑤S四边形ABGD＝S四边形GEFC．其中正确的结论个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 12．（2024•商南县三模）如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝1，AD＝2，延长AD至点E，使得DE＝AD，则AC长度的可以是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 13．（2023秋•湘潭期末）如图，AD是△ABC的中线，过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点E，则下列结论不一定成立的是（　　） A．△ABD≌△ECD B．CD是△ACE的中线 C．∠ACD＝∠CAD D．S△ABD＝ 14．（2023秋•新安县期末）如图，已知AB＝AC，PB＝PC，AP交BC于点D，点E在线段AD的延长线上．给出下列结论：①BE＝CE；②AD⊥BC；③EA平分∠BEC；④∠PBC＝∠PCB；⑤图中共有6对全等三角形；⑥S四边形ABEC＝BC•AE．其中正确的结论是 　 　．（填写所有正确结论的序号） 15．（2023秋•石景山区期末）如图，点B，C，F，E在同一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是 　 　；根据你添加的条件，本题中判定两个三角形全等所用的方法为 　 　． 16．（2024春•遂川县期末）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB． （1）在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使△ABC≌△ADC的条件有 　 　（填序号）， ①DC＝BC；②∠D＝∠B；③∠DAC＝∠BAC；④∠DCA＝∠BCA； （2）分别对（1）中添加条件的情况证明△ABC≌△ADC，并指出两个三角形全等的判定方法． 17．（2024春•天桥区期末）已知：如图，AB∥ED，点F，点C在AD上，AB＝DE，请你添加一个条件，使BC＝EF，并给出证明． 我添加的条件是：　 　． 证明： 18．（2024春•龙泉驿区期末）如图，Rt△ABC与Rt△DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＝EF，线段AC与线段DF在一条直线上，且AF＝CD，连接EC，BF，BE，BE与AD相交于点G． （1）△ABF与△DEC全等吗？为什么？ （2）试说明点G是线段BE的中点． 19．（2024春•锦江区期末）补充完成下列推理过程： 如图，在△ABC中，D为线段AC中点，AB＝5，BC＝9，求BD的取值范围． 解：作CE∥AB交BD的延长线于点E． ∵AB∥CE， ∴∠A＝∠ACE．（ 　 　） ∵D为线段AC中点， ∴AD＝CD．（ 　 　） ∵在△ABD与△CED中， ， ∴△ABD≌△CED，（ 　 　） ∴AB＝CE，BD＝ED．（ 　 　） 在△BCE中，BC﹣CE＜BE＜BC+CE， ∴， ∵，BC＝9，AB＝5， ∴　 　＜BD＜　 　． 20．（2024春•郑州期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使_____，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出BC的长即为A，B的距离． （1）请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　 　；丙：　 　． （2）请你选择其中一种方案进行说明理由． 21．（2023春•秦都区校级期中）如图，小明和小华两家位于A，B两处，隔河相望．要测得两家之间的距离AB，两人分别设计了不同的方案： 小明设计的方案：如图，从点B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取CD＝BC，过点D作DE∥AB，取点E使E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是A，B两点间的距离；小华设计的方案：如图，在B点同侧选择一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，此时测得MB的长就是A，B两点间的距离．请你分别说明两人设计方案的道理． 专题1-3 “相等线段共线”三角形全等（拔尖篇） 22．（2024春•宝丰县期末）如图，在△ABC中，AD为中线，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F．在DA延长线上取一点G，连接GC，使∠G＝∠BAD．下列结论中正确的个数为（　　） ①BE＝CF； ②AG＝2DE； ③S△ABD+S△CDF＝S△GCF； ④S△AGC＝2S△BDE． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（2023秋•凤阳县期末）如图，在△ABC中，AD为中线，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于点F．在DA延长线上取一点G，连接GC，使∠G＝∠BAD． （1）若BE＝2，则CF＝　 　； （2）＝　 　． 24．（2023秋•凤山县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）△DAE和△CFE全等吗？说明理由； （2）若AB＝BC+AD，说明BE⊥AF； （3）在（2）的条件下，若EF＝6，CE＝5，∠D＝90°，求E到AB的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1-3 “相等线段共线”三角形全等（基础篇） 1．（2023春•浦江县期末）如图，已知△ABC和△DEF，根据已知求证△ABC≌△DEF，则填入括号中的“▲”处正确的是（　　） 已知：AB⊥BE，DE⊥BE，且BF＝CE，AB＝DE． 求证：△ABC≌△DEF 证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE ∴∠B＝∠E＝90° 又∵BF＝CE，AB＝DE∴△ABC≌△DEF（▲） A．AAS B．SSS C．ASA D．SAS 【分析】由垂直的定义得到∠B＝∠E＝90°，而BF＝CE，得到BC＝EF，又AB＝DE，即可证明△ABC≌△DEF（SAS）． 【详解】证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE， ∴∠B＝∠E＝90°， 又∵BF＝CE， ∴BC＝EF， ∵AB＝DE， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 故选：D． 2．（2024•贵州模拟）如图，在△ABC和△BAD中，AC＝BD，BC＝AD，在不添加任何辅助线的条件下，可判断△ABC≌△BAD．判断这两个三角形全等的依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SSS D．SAS 【分析】根据全等三角形的判定方法求解． 【详解】解：在△ABC和△BAD中， ， ∴△ABC≌△BAD（SSS）． 故选：C． 3．（2024春•沈阳月考）如图，△ABC沿边BC所在直线向右平移得到△DEF，则下列结论不一定正确的是（　　） A．△ABC≌△DEF B．∠A＝∠D C．AB∥DE D．EC＝FC 【分析】由平移的性质，即可判断． 【详解】解：由平移的性质得到：△ABC≌△DEF，∠A＝∠D，AB∥DE，故A、B、C不符合题意； 由平移的性质得到：CF＝BE，但FC和EC不一定相等，故D符合题意． 故选：D． 4．（2023春•徐汇区校级月考）如图：已知∠ABC＝∠DCB，则添加条件 　　（只需要写一个），可得△ABC≌△DCB． 【分析】根据全等三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：若添加AB＝DC时， ∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB（SAS）； 若添加∠A＝∠D时， ∵∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB（AAS）； 若添加∠ACB＝∠DBC时， ∵∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，∠ABC＝∠DCB， ∴△ABC≌△DCB（ASA）； 故答案为AB＝DC（答案不唯一）． 5．（2024春•武侯区校级期中）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，∠BAC＝∠EDF，AE＝BD，若只添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AC＝DF B．BC＝EF C．∠C＝∠F D．∠ABC＝∠DEF 【分析】根据题目中的条件，可以得到∠BAC＝∠EDF，AB＝DE，然后再判断添加选项中的条件后，能否判断△ABC≌△DEF即可． 【详解】解：∵AE＝BD， ∴AE+EB＝BD+EB， ∴AB＝DE， 又∵∠BAC＝∠EDF， ∴添加AC＝DF，则△ABC≌△DEF（SAS），故选项A不符合题意； 添加BC＝EF，无法证明△ABC≌△DEF，故选项B符合题意； 添加∠C＝∠F，则△ABC≌△DEF（AAS），故选项C不符合题意； 添加∠ABC＝∠DEF，则△ABC≌△DEF（ASA），故选项D不符合题意； 故选：B． 6．（2024•大兴区二模）在四边形ABCD中，∠ABD＝∠CDB，只需添加一个条件即可证明△ABD≌△CDB，这个条件可以是 　　（写出一个即可）． 【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：这个条件可以是：AB＝CD， 在△ABD和△CDB中， ， ∴△ABD≌△CDB（SAS）， 故答案为：AB＝CD（答案不唯一）． 7．（2023秋•潮阳区校级期中）如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AB＝EF，BC＝DF，∠B＝∠F，AC＝6，AE＝16，则CD＝　　． 【分析】依据“SAS”判定△ABC和△EFD全等得AC＝ED＝6，然后根据CD＝AE﹣AC﹣ED可得出答案． 【详解】解：在△ABC和△EFD中， ， ∴△ABC≌△EFD（SAS）， ∴AC＝ED＝6， ∵AE＝16， ∴CD＝AE﹣AC﹣ED＝16﹣6﹣6＝4． 故答案为：4． 8．（2024春•长宁区期末）如图，已知AC∥DE，AC＝DE，BD＝FC，说明△ABC≌△EFD．请填写说理过程或理由． 解：因为AC∥DE（已知）， 所以∠ACB＝∠EDF（ 　　）． 因为BD＝FC（已知）， 所以 　　﹣BD＝　　﹣FC（ 　　）， 即BC＝FD． 在△ABC与△EFD中， ， 所以△ABC≌△EFD（ 　　）． 【分析】根据平行线的性质及线段的和差求出∠ACB＝∠EDF，BC＝FD，利用SAS证明△ABC≌△EFD即可． 【详解】解：因为AC∥DE（已知）， 所以∠ACB＝∠EDF（两直线平行，内错角相等）， 因为BD＝FC（已知）， 所以BF﹣BD＝BF﹣FC（等式性质）， 即BC＝FD． 在△ABC与△EFD中， ， 所以△ABC≌△EFD（SAS）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；BF；BF；等式性质；SAS． 9．（2024•阳泉三模）如图，AB∥DE，AB＝DE，点C，F在AD上，AF＝DC．求证：∠B＝∠E． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D，第一步 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS），第二步 ∴∠B＝∠E．第三步 任务一： ①以上证明过程中，第一步依据的定理是：　　； ②从第 　　步出现错误；具体错误是 　　； 任务二：请写出正确的证明过程． 【分析】根据两直线平行内错角相等，SAS证明两三角形全等即可求解． 【详解】解：任务一：①以上证明过程中，第一步依据的定理是：两直线平行内错角相等； ②从第二步出现错误；具体错误是对应边相等应为AC＝DF， 任务二： ∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D， ∵AF＝DC ∴AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠B＝∠E． 10．（2024•江阳区校级三模）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．求证：△ADE≌△BCF． 【分析】先利用等角的补角相等得到∠DCE＝∠CDF，则可判断CE∥DE，所以∠EDC＝∠FCD，然后根据“AAS”可判断△ADE≌△BCF． 【详解】证明：∵∠ACE＝∠BDF， ∴∠DCE＝∠CDF， ∴CE∥DE， ∴∠EDC＝∠FCD， 在△ADE和△BCF中， ， ∴△ADE≌△BCF（AAS）． 专题1-3 “相等线段共线”三角形全等（培优篇） 11．（2024春•汝阳县期末）如图，将△ABC沿AC方向平移一定距离得到△DEF，点D落在线段AC上，BC与DE交于点G．则下列结论：①AD＝CF；②AB∥DE；③BC∥EF；④∠B＝∠E；⑤S四边形ABGD＝S四边形GEFC．其中正确的结论个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】利用平移变换的性质判断即可． 【详解】解：由平移变换的性质可知：AC＝DF，AB∥DE，BC∥EF，△ABC≌△DEF， ∴AD＝CF，S△ABC＝S△DEF， ∴S四边形ABGD＝S四边形GEFC． 故选：D． 12．（2024•商南县三模）如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝1，AD＝2，延长AD至点E，使得DE＝AD，则AC长度的可以是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据SAS证明△ADB与△EDC全等，进而利用全等三角形的性质和三角形三边关系详解即可． 【详解】解：∵D为边BC的中点， ∴BD＝DC， 在△ADB与△EDC中， ， ∴△ADB≌△EDC（SAS）， ∴AB＝CE＝1， 在△ACE中，4﹣1＜AC＜4+1， 即3＜AC＜5， 故选：A． 13．（2023秋•湘潭期末）如图，AD是△ABC的中线，过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点E，则下列结论不一定成立的是（　　） A．△ABD≌△ECD B．CD是△ACE的中线 C．∠ACD＝∠CAD D．S△ABD＝ 【分析】由三角形中线定义，得到CD＝BD，由平行线的性质推出∠DCE＝∠B，∠E＝∠BAD，由AAS推出△ABD≌△ECD，由△ABD≌△ECD（AAS），推出AD＝ED，得到CD是△ACE的中线，由条件得不到∠ACD＝∠CAD，由三角形面积公式得到S△CDE＝SACE，而△ABD≌△ECD（AAS），得到△ABD的面积＝△CDE的面积，于是得到S△ABD＝S△ACE． 【详解】解：∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， ∵CE∥AB， ∴∠DCE＝∠B，∠E＝∠BAD， ∴△ABD≌△ECD（AAS）， 故A不符合题意； ∵△ABD≌△ECD（AAS）， ∴AD＝ED， ∴CD是△ACE的中线， 故B不符合题意； 由条件得不到∠ACD＝∠CAD， 故C符合题意； ∵AD＝ED， ∴S△CDE＝SACE， ∵△ABD≌△ECD（AAS）， ∴△ABD的面积＝△CDE的面积， ∴S△ABD＝S△ACE， 故D不符合题意． 故选：C． 14．（2023秋•新安县期末）如图，已知AB＝AC，PB＝PC，AP交BC于点D，点E在线段AD的延长线上．给出下列结论：①BE＝CE；②AD⊥BC；③EA平分∠BEC；④∠PBC＝∠PCB；⑤图中共有6对全等三角形；⑥S四边形ABEC＝BC•AE．其中正确的结论是 　．（填写所有正确结论的序号） 【分析】根据全等三角形的性质与判定逐一对结论进行证明即可详解． 【详解】解：∵AB＝AC，PB＝PC，AP＝AP， ∴△ABP≌△ACP， ∴∠BAP＝∠CAP， ∵AB＝AC，AE＝AE， ∴△ABE≌△ACE， ∴BE＝CE， 故①符合题意； ∵BE＝CE， ∴∠BEA＝∠CEA， 即AE平分∠BEC， 故③符合题意； ∵∠BAD＝∠CAD，AB＝AC，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD， ∴∠ADB＝∠ADC， ∵∠ADB+∠ADC＝180°， ∴AD⊥BC， 故②符合题意； ∵PB＝PC， ∴∠PBC＝∠PCB， 故④符合题意； 图中全等三角形：△ABP≌△ACP，△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BPD≌△CPD，△BPE≌△CPE，△EBD≌△ECD，共6对， 故⑤符合题意， ∵AD是线段BC的垂直平分线， ∴AD⊥BC， ∴S四边形ABEC＝2S△ABE＝2×＝＝， 故⑥符合题意． 故答案为：①②③④⑤⑥． 15．（2023秋•石景山区期末）如图，点B，C，F，E在同一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是 　　；根据你添加的条件，本题中判定两个三角形全等所用的方法为 　　． 【分析】BC＝EF，根据AB∥DE，得到∠B＝∠E，只需添加一组相等的对应角即可． 【详解】解：添加的条件是：∠A＝∠D．证明如下： ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E， 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）． 故答案为：∠A＝∠D；AAS．（答案不唯一） 16．（2024春•遂川县期末）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB． （1）在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使△ABC≌△ADC的条件有 　　（填序号）， ①DC＝BC；②∠D＝∠B；③∠DAC＝∠BAC；④∠DCA＝∠BCA； （2）分别对（1）中添加条件的情况证明△ABC≌△ADC，并指出两个三角形全等的判定方法． 【分析】（1）由于AC为公共边，则根据全等三角形的判定方法分别对四个条件进行判断； （2）当添加BC＝DC，根据“SSS”可判断△ABC≌△ADC；当添加∠BAC＝∠DAC时，根据“SAS”可判断△ABC≌△ADC． 【详解】解：（1）∵AB＝AD，AC＝AC， ∴当添加BC＝DC时，△ABC≌△ADC（SSS）； 当添加∠B＝∠D时，不能判定△ABC≌△ADC； 当添加∠BAC＝∠DAC时，△ABC≌△ADC（SAS）； 当添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC； 故答案为：①③． （2）当添加BC＝DC， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）； 当添加∠BAC＝∠DAC时， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SAS）． 17．（2024春•天桥区期末）已知：如图，AB∥ED，点F，点C在AD上，AB＝DE，请你添加一个条件，使BC＝EF，并给出证明． 我添加的条件是：　　． 证明： 【分析】先由AB∥ED得∠A＝∠D，再结合AB＝DE有以下5种情况：①添加条件∠B＝∠C，可依据“ASA”判定△ABC和△DEF全等，从而可得出结论；②添加条件AF＝DC，则AC＝DF，此时可依据“SAS”判定△ABC和△DEF全等，从而可得出结论；③添加条件AC＝DF，同②可得出结论；④添加条件∠ACB＝∠DFE，可依据“AAS”判定△ABC和△DEF全等，从而可得出结论；⑤添加条件BC∥EF，则∠ACB＝∠DFE，同④可得出结论，因此所添加的条件是上述5种情况的一种即可，故答案不唯一． 【详解】解：∵AB∥ED， ∴∠A＝∠D， ∵AB＝DE， ∴有以下5种情况： ①添加条件∠B＝∠C，证明如下： 在△ABC和△DEF中， ∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠C， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴BC＝EF； ②添加条件AF＝DC，证明如下： ∵AF＝DC， ∴AF+CF＝DC+CF， 即AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴BC＝EF； ③添加条件AC＝DF，证明过程同②； ④添加条件∠ACB＝∠DFE，证明如下： 在△ABC和△DEF中， ∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE，AB＝DE， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， ∴BC＝EF； ⑤添加条件BC∥EF，证明如下： ∵BC∥EF， ∴∠ACB＝∠DFE， 同④可得：BC＝EF． 因此添加的条件是上述5种情况的一种即可． 故答案为：∠B＝∠C（答案不唯一）． 18．（2024春•龙泉驿区期末）如图，Rt△ABC与Rt△DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＝EF，线段AC与线段DF在一条直线上，且AF＝CD，连接EC，BF，BE，BE与AD相交于点G． （1）△ABF与△DEC全等吗？为什么？ （2）试说明点G是线段BE的中点． 【分析】（1）利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DEF，根据全等三角形的性质得出AB＝ED，∠BAC＝∠EDF，再利用SAS即可证明△ABF≌△DEC； （2）利用AAS证明△ABG≌△DEG，根据全等三角形的性质及线段中点定义即可得解． 【详解】解：（1）△ABF≌△DEC，理由如下： ∵AF＝CD， ∴AF+FC＝CD+FC， 即AC＝FD， 在Rt△ABC与Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， ∴AB＝ED，∠BAC＝∠EDF， 在△ABF和△DEC中 ， ∴△ABF≌△DEC（SAS）； （2）由（1）知AB＝DE，∠BAC＝∠EDF， ∵BE与AD相交于点G， ∴∠BGA＝∠EGD， 在△ABG和△DEG中， ， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴BG＝GE， ∴点G是线段BE的中点． 19．（2024春•锦江区期末）补充完成下列推理过程： 如图，在△ABC中，D为线段AC中点，AB＝5，BC＝9，求BD的取值范围． 解：作CE∥AB交BD的延长线于点E． ∵AB∥CE， ∴∠A＝∠ACE．（ 　　） ∵D为线段AC中点， ∴AD＝CD．（ 　　） ∵在△ABD与△CED中， ， ∴△ABD≌△CED，（ 　　） ∴AB＝CE，BD＝ED．（ 　　） 在△BCE中，BC﹣CE＜BE＜BC+CE， ∴， ∵，BC＝9，AB＝5， ∴　　＜BD＜　　． 【分析】作CE∥AB交BD的延长线于点E，根据“两直线平行，内错角相等”得∠A＝∠ACE，根据线段的中点的定义得AD＝CD．而∠ADE＝∠CDE，即可由“ASA”证明△ABD≌△CED，根据“全等三角形的对应角相等”证明AB＝CE，BD＝ED．由BC﹣CE＜BE＜BC+CE，得（BC﹣AB）＜BE＜（BC+AB），则2＜BD＜7，于是得到问题的答案． 【详解】解：作CE∥AB交BD的延长线于点E， ∵AB∥CE， ∴∠A＝∠ACE．（ 两直线平行，内错角相等） ∵D为线段AC中点， ∴AD＝CD．（线段中点的定义） 在△ABD与△CED中， ， ∴△ABD≌△CED，（ASA） ∴AB＝CE，BD＝ED．（全等三角形的对应边相等） 在△BCE中，BC﹣CE＜BE＜BC+CE， ∴（BC﹣AB）＜BE＜（BC+AB）， ∵BD＝ED＝BE，BC＝9，AB＝5， ∴2＜BD＜7． 故答案为：两直线平行，内错角相等，线段中点的定义，ASA，全等三角形的对应边相等，2，7． 20．（2024春•郑州期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使_____，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出BC的长即为A，B的距离． （1）请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　；丙：　　． （2）请你选择其中一种方案进行说明理由． 【分析】（1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空即可； （2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可． 【详解】解：（1）乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离； 丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC＝∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离． 故答案为：BC＝CD；∠BDC＝∠BDA； （2）答案不唯一． 选甲：在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB＝ED； 选乙：∵AB⊥BD，DE⊥BD， ∴∠B＝∠CDE＝90°， 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED； 选丙： 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（ASA）， ∴AB＝BC． 21．（2023春•秦都区校级期中）如图，小明和小华两家位于A，B两处，隔河相望．要测得两家之间的距离AB，两人分别设计了不同的方案： 小明设计的方案：如图，从点B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取CD＝BC，过点D作DE∥AB，取点E使E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是A，B两点间的距离；小华设计的方案：如图，在B点同侧选择一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，此时测得MB的长就是A，B两点间的距离．请你分别说明两人设计方案的道理． 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠E，然后利用“角角边”证明△ABC和△EDC全等，根据全等三角形对应边相等详解．根据ASA证明三角形全等，进而理由全等三角形的性质详解即可． 【详解】解：∵DE∥AB， ∴∠A＝∠E， 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（AAS）， ∴DE＝AB． 即DE的长就是A、B两点之间的距离． 在△ABC与△MBC中， ， ∴△ABC≌△BMC（ASA）， ∴BM＝AB． 即BM的长就是A、B两点之间的距离． 专题1-3 “相等线段共线”三角形全等（拔尖篇） 22．（2024春•宝丰县期末）如图，在△ABC中，AD为中线，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F．在DA延长线上取一点G，连接GC，使∠G＝∠BAD．下列结论中正确的个数为（　　） ①BE＝CF； ②AG＝2DE； ③S△ABD+S△CDF＝S△GCF； ④S△AGC＝2S△BDE． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】证明△BDE≌△CDF，可得BE＝CF，DE＝DF，从而可判断①正确；证明△ABE≌△GCF，可证AG＝2DE，从而判断②④正确；由S△ABD＝S△ACD，结合以上结论可判断③正确． 【详解】解：∵AD为中线， ∴BD＝CD． ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠E＝∠CFD＝90°， ∵∠BDE＝∠CDF， △BDE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝CF，DE＝DF，故①正确； ∵∠G＝∠BAD， ∴△ABE≌△GCF（AAS）， ∴AE＝GF， ∴AG＝EF， ∴AG＝2DE，故②正确； ∵BE＝CF， ∴S△AGC＝2S△BDE，故④正确； ∴S△ABD＝S△ACD， ∴S△ABD+S△CDF＝S△ACD+S△CDF ＝S△ACF+S△CDF+S△CDF ＝S△ACF+2S△CDF ＝S△ACF+S△AGC ＝S△GCF，故③正确． 故选：D． 23．（2023秋•凤阳县期末）如图，在△ABC中，AD为中线，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于点F．在DA延长线上取一点G，连接GC，使∠G＝∠BAD． （1）若BE＝2，则CF＝　　； （2）＝　　． 【分析】（1）因为AD是△ABC的中线，所以BD＝CD，由BE⊥AD，CF⊥AD于点F，得∠E＝∠CFD＝90°，而∠BDE＝∠CDF，即可根据“AAS”证明△BED≌△CFD，得BE＝CF＝2，于是得到问题的答案； （2）由∠CFG＝∠E，∠G＝∠BAE，CF＝BE，根据“AAS”证明△GCF≌△ABE，得GF＝AE，推导出AG＝FE，则DE＝DF＝FE＝AG，所以S△BDE＝DE•BE＝×AG•CF＝S△AGC，则＝，于是得到问题的答案． 【详解】解：（1）∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∴BE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AD于点F， ∵∠E＝∠CFD＝∠CFG＝90°， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴BE＝CF＝2， 故答案为：2． （2）在△GCF和△ABE中， ， ∴△GCF≌△ABE（AAS）， ∴GF＝AE， ∴GF﹣AF＝AE﹣AF， ∴AG＝FE， ∴DE＝DF＝FE＝AG， ∴S△BDE＝DE•BE＝×AG•CF＝S△AGC， ∴＝， 故答案为：． 24．（2023秋•凤山县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）△DAE和△CFE全等吗？说明理由； （2）若AB＝BC+AD，说明BE⊥AF； （3）在（2）的条件下，若EF＝6，CE＝5，∠D＝90°，求E到AB的距离． 【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE； （2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE＝EF，AD＝CF，由于AB＝BC+AD，等量代换得到AB＝BC+CF，即AB＝BF，证得△ABE≌△FBE，即可得到结论； （3）在（2）的条件下有△ABE≌△FBE，得到∠ABE＝∠FBE，根据角平分线的性质即可得到结果． 【详解】证明：（1）△DAE≌△CFE理由如下： ∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等）， ∵E是CD的中点（已知）， ∴DE＝EC（中点的定义）． ∵在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）； （2）由（1）知△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF， ∵AB＝BC+AD， ∴AB＝BC+CF， 即AB＝BF，在△ABE与△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（SSS）， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∴BE⊥AE； （3）在（2）的条件下有△ABE≌△FBE， ∴∠ABE＝∠FBE， ∴E到BF的距离等于E到AB的距离， ∵CE⊥BF，CE＝5， ∴点E到AB的距离为5． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$