专题1-5 一元二次方程根的判别式（基础、培优、拔尖）-2024-2025学年九年级数学重难点专项训练（苏科版）

专题1-5 一元二次方程根的判别式（基础篇） 1．（2024•上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（　　） A．x2﹣6x＝0 B．x2﹣9＝0 C．x2﹣6x+6＝0 D．x2﹣6x+9＝0 2．（2024•东莞市校级二模）关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m2＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．（2024•北京）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　） A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16 4．（2024•昂仁县一模）若关于x的方程x2﹣2x+a＝0无实数根，则实数a的取值范围为（　　） A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1 5．（2024•宁江区校级二模）一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值是 　 　． 6．（2024•南明区一模）一元二次方程x2+3x+1＝0 　 　实数根（填“有”或“没有”）． 7．（2024•河南）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值为 　 　． 8．（2024•银川校级一模）若关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　． 9．（2023秋•阎良区期末）已知关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）当时，求方程的根． 10．不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x﹣5＝3x2； （2）（x+2）（x+3）＝﹣1． 专题1-5 一元二次方程根的判别式（培优篇） 11．（2024•科右前旗模拟）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠1 D．a＞2且a≠1 12．（2024春•贵池区期末）对于代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），下列说法正确的有（　　） ①若a+c＜0且c＞0，则ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根； ②存在三个实数m≠n≠h，使得am2+bm+c＝an2+bn+c＝ah2+bh+c； ③若ax2+bx+c+2＝0与方程（x+2）（x﹣3）＝0的解相同，则a+b＝0． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 13．（2024春•通州区期末）若关于x的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 14．（2024春•金东区期末）对于实数a，b定义新运算：aΔb＝b2﹣ab，若关于x的方程6Δx＝k有两个相等实数根，则k的值为 　 　． 15．（2024春•武城县校级月考）关于x的方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2＝0有实数根，则m的取值范围是 　 　． 16．（2019•广元）若关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则点P（a+1，﹣a﹣3）在第 　 　象限． 17．（2024春•石景山区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m为满足条件的最小整数时，求出m的值及此时方程的两个根． 18．（2024•萧山区二模）已知关于x的方程x2﹣2（3﹣m）x+5﹣2m＝0． （1）若方程的一个实根是3．求实数m的值． （2）求证：无论m取什么实数，方程总有实数根． 19．（2024春•亳州月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+4﹣m＝0． （1）若该一元二次方程有实数解，求m的取值范围；并试从﹣10，﹣8，﹣4三个数中，选取一个数作为m的值，求该方程的解； （2）当m＝3时，原方程有一根为n，求的值． 20．（2024春•越秀区校级月考）已知P＝（2+m）（2﹣m）+（m+1）2． （1）化简P； （2）若关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个相等的实数根，求P的值． 21．（2024春•海淀区校级期中）已知关于x的一元二次方程mx2+（2+3m）x+（2m+2）＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，直接写出m的值． 22．（2024•营山县一模）关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0有一个相同的根，求此时m的值． 专题1-5 一元二次方程根的判别式（拔尖篇） 23．（2024•宿城区校级二模）对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述： ①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根； ②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根； ③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根； ④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 24．（2024春•九龙坡区校级期中）四个单项式依次为﹣（﹣x）、﹣|﹣1|x、﹣12x、（﹣1）2x，在每两个单项式之间添上“+”、“﹣”、“×”中的某个运算符号将这四个单项式连接起来就能得到一个式子，记为M（每两个单项式之间只能添加一个运算符号，并且每种运算符号都要用到一次）．比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“+”、“﹣”、“×”就得到一个式子，记为M＝﹣（﹣x）+（﹣|﹣1|x）﹣（﹣12x）×[（﹣1）2x]；再比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“×”、“﹣”、“+”就得到另一个式子，记为M＝﹣（﹣x）×（﹣|﹣1|x）﹣（﹣12x）+（﹣1）2x；那么，下列说法中，正确的个数有（　　）个． ①将得到的所有M化简后，总共只有三种不同结果； ②对于得到的每一个M，令M＝n，就得到一个关于x的方程，若所有关于x的方程M＝n都有两个不相等的实数根，那么0＜n＜1； ③当x取一个确定值时，每个M都能得到一个对应值，将这些对应值中最大的值记为y，这样，对于每一个x的确定值，y都有一个值与之对应．那么y的最小值为0． A．3 B．2 C．1 D．0 25．（2024春•渝中区校级期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等实数解，且关于x的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数m的和为 　 　． 26．（2024春•鄞州区校级期末）如果m，n是正实数，方程x2+mx+4n＝0和方程x2+4nx+m＝0都有实数解，那么m+n的最小值是 　 　． 27．（2024春•甘井子区月考）不解方程，判断关于x的方程（m﹣1）x2+2（m+1）x+m＝0的根的情况． 28．（2023•同安区二模）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0与x2﹣bx﹣m＝0． （1）若b＝4且一元二次方程x2﹣2x+m＝0与x2﹣bx﹣m＝0有相同实数根，求m的值； （2）若b2＝﹣5m+2，证明：一元二次方程x2﹣2x+m＝0与x2﹣bx﹣m＝0至少一个方程有实数根． 29．（2024•海淀区校级模拟）已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：S△ABC＝，其中p＝，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1-5 一元二次方程根的判别式（基础篇） 1．（2024•上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（　　） A．x2﹣6x＝0 B．x2﹣9＝0 C．x2﹣6x+6＝0 D．x2﹣6x+9＝0 【分析】求出x2﹣6x＝0的根为x＝0或x＝6，x2﹣9＝0的根为x＝3或x＝﹣3，可知A，B不符合题意；由x2﹣6x+6＝0得Δ＝36﹣24＝12＞0，知C不符合题意；由x2﹣6x+9＝0知Δ＝36﹣36＝0，知D符合题意． 【详解】解：x2﹣6x＝0的根为x＝0或x＝6， ∴x2﹣6x＝0有两个不等实数根，故A不符合题意； x2﹣9＝0的根为x＝3或x＝﹣3， ∴x2﹣9＝0有两个不等实数根，故B不符合题意； 由x2﹣6x+6＝0知Δ＝36﹣24＝12＞0， ∴x2﹣6x+6＝0有两个不等实数根，故C不符合题意； 由x2﹣6x+9＝0知Δ＝36﹣36＝0， ∴x2﹣6x+9＝0有两个相等实数根，故D符合题意； 故选：D． 2．（2024•东莞市校级二模）关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m2＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【分析】根据一元二次方程根的判别式的值，即可求解． 【详解】解：∵x2﹣x﹣m2＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m2）＝4m2+1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3．（2024•北京）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　） A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0， 解得c＝4． 故选：C． 4．（2024•昂仁县一模）若关于x的方程x2﹣2x+a＝0无实数根，则实数a的取值范围为（　　） A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1 【分析】由关于x的方程x2﹣2x+a＝0无实数根，可得Δ＜0，即（﹣2）2﹣4a＜0，即可解得答案． 【详解】解：∵关于x的方程x2﹣2x+a＝0无实数根， ∴Δ＜0，即（﹣2）2﹣4a＜0， 解得a＞1； 故选：C． 5．（2024•宁江区校级二模）一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值是 　　． 【分析】根据一元二次方程判别式公式Δ＝b2﹣4ac，代值求解即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0， ∴a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣3）＝25， 故答案为：25． 6．（2024•南明区一模）一元二次方程x2+3x+1＝0 　　实数根（填“有”或“没有”）． 【分析】先根据根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义进行判断． 【详解】解：x2+3x+1＝0， ∵a＝1，b＝3，c＝1， ∴Δ＝32﹣4×1×1＝5＞0， ∴方程有两个不相等的实数解． 故答案为：有． 7．（2024•河南）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值为 　　． 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：因为关于x的方程有两个相等的实数根， 所以Δ＝（﹣1）2﹣4×＝0， 解得c＝． 故答案为：． 8．（2024•银川校级一模）若关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　　． 【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝6，c＝m， ∴Δ＝b2﹣4ac＝62﹣4×1×m＝36﹣4m＞0， 解得m＜9， 故答案为：m＜9． 9．（2023秋•阎良区期末）已知关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）当时，求方程的根． 【分析】（1）根据判别式不小于零，解不等式即可； （2）将m的值代入，求解方程即可． 【详解】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0， 解得m≤1． （2）当时，原方程为x2﹣2x＝0． 即x（x﹣2）＝0， ∴x1＝0，x2＝2． 10．不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x﹣5＝3x2； （2）（x+2）（x+3）＝﹣1． 【分析】先将方程整理成一般式，然后利用根的判别式即可解决问题． 【详解】解：（1）原方程可化为：3x2﹣2x+5＝0， 则a＝3，b＝﹣2，c＝5， 所以b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×5＝﹣56＜0， 故原方程没有实数根． （2）原方程可化为：x2+5x+7＝0， 则a＝1，b＝5，c＝7， 所以b2﹣4ac＝52﹣4×1×7＝﹣3＜0， 故原方程没有实数根． 专题1-5 一元二次方程根的判别式（培优篇） 11．（2024•科右前旗模拟）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠1 D．a＞2且a≠1 【分析】根据一元二次方程根的分布与系数的关系，求出实数a的取值范围． 【详解】解：根据一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根， 可得它的判别式Δ＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）＞0，且a﹣1≠0， 解得a＜2且a≠1． 故选：C． 12．（2024春•贵池区期末）对于代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），下列说法正确的有（　　） ①若a+c＜0且c＞0，则ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根； ②存在三个实数m≠n≠h，使得am2+bm+c＝an2+bn+c＝ah2+bh+c； ③若ax2+bx+c+2＝0与方程（x+2）（x﹣3）＝0的解相同，则a+b＝0． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】①根据判别式的值判断即可； ②根据一元二次方程的解，最多有两个不相等的实数根判断即可； ③求出a，b的值，判断即可． 【详解】解：①∵a+c＜0且c＞0， ∴a，c异号，Δ＞0， ∴方程有不相等的实数根，故①错误； ②错误，不可能存在三个实数，满足m≠n≠h，使得am2+bm+c＝an2+bn+c＝ah2+bh+c； ③由题意a＝1，b＝﹣1，故a+b＝0，故③正确． 故选：B． 13．（2024春•通州区期末）若关于x的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣2k）2﹣4××（﹣4k+1）＝0，则k2+2k＝，然后利用整体代入的方法计算代数式的值即可． 【详解】解：根据题意得，Δ＝（﹣2k）2﹣4××（﹣4k+1）＝0， ∴k2+2k＝，k2＝﹣2k+， ∴ ＝k•k2﹣k+2024 ＝k（﹣2k+）﹣k+2024 ＝﹣2k2﹣4k+2024 ＝﹣2（k2+2k）+2024 ＝﹣1+2024 ＝2023． 故选：B． 14．（2024春•金东区期末）对于实数a，b定义新运算：aΔb＝b2﹣ab，若关于x的方程6Δx＝k有两个相等实数根，则k的值为 　　． 【分析】根据Δ＝0，构建方程求解． 【详解】解：∵6Δx＝k， ∴x2﹣6x＝k， ∴x2﹣6x﹣k＝0， 由题意，Δ＝0， ∴36+4k＝0， ∴k＝﹣9． 故答案为：﹣9． 15．（2024春•武城县校级月考）关于x的方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2＝0有实数根，则m的取值范围是 　　． 【分析】先分析m＝2时的情况，再根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根及一元二次方程的定义即可得出结果． 【详解】解：当m﹣2＝0时，方程为一元一次方程，5x+3＝0， 则x＝﹣3， 当m﹣2≠0时，方程为一元二次方程，由题意得： Δ＝（2m+1）2﹣4（m﹣2）（m﹣2）≥0， 即4m2+4m+1﹣4m2+16m﹣16≥0， 解得：且m≠2， 当m＝2时，方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2＝0为一元一次方程，有实数根为x＝﹣3， ∴关于x的方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2＝0有实数根，则m的取值范围是或m＝2． 故答案为：． 16．（2019•广元）若关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则点P（a+1，﹣a﹣3）在第 　　象限． 【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由a的取值范围可得出a+1＞0，﹣a﹣3＜0，进而可得出点P在第四象限，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0（a≠0）有两个不相等的实数根， ∴， 解得：a＞﹣1且a≠0． ∴a+1＞0，﹣a﹣3＜0， ∴点P（a+1，﹣a﹣3）在第四象限． 故答案为：四． 17．（2024春•石景山区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m为满足条件的最小整数时，求出m的值及此时方程的两个根． 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围； （2）得到m的最小整数，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）∵一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5＞0， ∴m＞﹣； （2）m满足条件的最小整数为m＝﹣1， 此时方程为x2+x＝0， 解得x1＝0，x2＝﹣1． 18．（2024•萧山区二模）已知关于x的方程x2﹣2（3﹣m）x+5﹣2m＝0． （1）若方程的一个实根是3．求实数m的值． （2）求证：无论m取什么实数，方程总有实数根． 【分析】（1）将x＝3代入列出关于m的方程，解关于m的方程求得m的值； （2）若方程有相等的实数根，则应有Δ＝b2﹣4ac≥0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况； 【详解】（1）解：当x＝3时，9﹣6（3﹣m）+5﹣2m＝0． 解得m＝1， ∴m的值为1． （2）证明：∵Δ＝[﹣2（3﹣m）]2﹣4（5﹣2m）＝4（m﹣2）2≥0， ∴无论实数m取何值，方程总有实数根． 19．（2024春•亳州月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+4﹣m＝0． （1）若该一元二次方程有实数解，求m的取值范围；并试从﹣10，﹣8，﹣4三个数中，选取一个数作为m的值，求该方程的解； （2）当m＝3时，原方程有一根为n，求的值． 【分析】（1）首先由根的判别式得Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（4﹣m）≥0，由此解得m≥﹣5，据此可在﹣10，﹣8，﹣4三个数中选取一个使原方程有解，进而在求出原方程的解即可； （2）当m＝3时，原方程为x2﹣6x+1＝0，将n代入该方程得n2﹣6n+1＝0，显然n≠0，据此可得n+＝6，然后利用完全平方公式即可得出答案． 【详解】解：（1）∵方程x2﹣6x+4﹣m＝0有实数解， ∴（﹣6）2﹣4×1×（4﹣m）≥0， 解得：m≥﹣5， ∴从﹣10，﹣8，﹣4三个数中，选取m＝﹣4，该方程有实数解， 此时原方程为：x2﹣6x+8＝0， 解得：x1＝2，x2＝4； （2）当m＝3时，原方程为x2﹣6x+1＝0， ∵这个方程的一根为n， ∴n2﹣6n+1＝0， 显然n≠0， 将n2﹣6n+1＝0的两边同时除以n，得：n+＝6， ∴（n+）2＝62， ∴， ∴＝34． 20．（2024春•越秀区校级月考）已知P＝（2+m）（2﹣m）+（m+1）2． （1）化简P； （2）若关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个相等的实数根，求P的值． 【分析】（1）先展开，再合并同类项即可； （1）根据一元二次方程根的判别式得出[2（m﹣1）]2﹣4（m2+5）＝0，然后求解即可； 【详解】解：（1）P＝（2+m）（2﹣m）+（m+1）2 ＝4﹣m2+m2+2m+1 ＝2m+5； （2）∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＞0，即[2（m﹣1）]2﹣4（m2+5）＝0， 解得m＝﹣2， ∴2m+5＝1， ∴P＝1． 21．（2024春•海淀区校级期中）已知关于x的一元二次方程mx2+（2+3m）x+（2m+2）＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，直接写出m的值． 【分析】（1）利用根的判别式进行证明即可． （2）用m表示出方程的实数根即可解决问题． 【详解】证明：（1）∵Δ＝（2+3m）2﹣4m（2m+2）＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0， ∴方程总有两个实数根． 解：（2）由方程mx2+（2+3m）x+（2m+2）＝0得， （x+1）（mx+2m+2）＝0， 所以． 因为m为整数，且此方程有两个互不相等的负整数根， 所以为负整数，且不等于﹣1， 则m＝1或2． 22．（2024•营山县一模）关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0有一个相同的根，求此时m的值． 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ＝[﹣（﹣2k﹣1）]2﹣4（k2﹣2）≥0，然后解不等式即可； （2）先求出k的值，再代入方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0，求出x＝2或x＝1，把x＝2或x＝1代入方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0求出m的值即可． 【详解】解：（1）根据题意得Δ＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣2）≥0， 解得k≤； （2）∵k是符合条件的最大整数， ∴当k≤时的最大整数值是2， 则关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0是x2﹣3x+2＝0， 解得：x1＝1，x2＝2， ∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0有一个相同的根， ∴当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0， 解得m＝1； 而m﹣1≠0，所以m＝1舍去， 当x＝1时，（m﹣1）+1+m﹣3＝0， 解得m＝， ∴m的值为． 专题1-5 一元二次方程根的判别式（拔尖篇） 23．（2024•宿城区校级二模）对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述： ①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根； ②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根； ③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根； ④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式为Δ＝b2﹣4ac，若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根；Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根；Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程无实数根，据此逐一判断即可． 【详解】解：①当a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2时，满足a＜0，b+c＞0，a+c＜0， 此时Δ＝32﹣4×（﹣1）×（﹣2）＝1＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故①错误； ②∵b+c＞0，b﹣c＜0， ∴c＞0， ∵a＜0， ∴﹣4ac＞0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③当a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1时，满足a＞0，a+b+c＜0， 此时Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故③错误； ④∵a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0， ∴b＝﹣4a，c＝4a， ∴Δ＝（﹣4a）2﹣4×a×4a＝0，即方程有两个相等的实数根， 故④错误； 综上，正确的是②， 故选：B． 24．（2024春•九龙坡区校级期中）四个单项式依次为﹣（﹣x）、﹣|﹣1|x、﹣12x、（﹣1）2x，在每两个单项式之间添上“+”、“﹣”、“×”中的某个运算符号将这四个单项式连接起来就能得到一个式子，记为M（每两个单项式之间只能添加一个运算符号，并且每种运算符号都要用到一次）．比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“+”、“﹣”、“×”就得到一个式子，记为M＝﹣（﹣x）+（﹣|﹣1|x）﹣（﹣12x）×[（﹣1）2x]；再比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“×”、“﹣”、“+”就得到另一个式子，记为M＝﹣（﹣x）×（﹣|﹣1|x）﹣（﹣12x）+（﹣1）2x；那么，下列说法中，正确的个数有（　　）个． ①将得到的所有M化简后，总共只有三种不同结果； ②对于得到的每一个M，令M＝n，就得到一个关于x的方程，若所有关于x的方程M＝n都有两个不相等的实数根，那么0＜n＜1； ③当x取一个确定值时，每个M都能得到一个对应值，将这些对应值中最大的值记为y，这样，对于每一个x的确定值，y都有一个值与之对应．那么y的最小值为0． A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】①“+”、“﹣”、“×”打乱顺序分6种情况进行讨论，并计算即可； ②根据Δ＞0，分别求出每一个一元二次方程中的参数n的取值范围； ③对于每个代数式进行配方即可求出最值． 【详解】解：﹣（﹣x）＝x，﹣|﹣1|x＝﹣x，﹣12x＝﹣x，（﹣1）2x＝x， ①M＝x+（﹣x）﹣（﹣x）×x＝x2； M＝x+（﹣x）×（﹣x）﹣x＝x2； M＝x﹣（﹣x）+（﹣x）×x＝2x﹣x2； M＝x﹣（﹣x）×（﹣x）+x＝2x﹣x2； M＝x×（﹣x）﹣（﹣x）+x＝﹣x2+2x； M＝x×（﹣x）+（﹣x）﹣x＝﹣x2﹣2x； ∴M＝x2或2x﹣x2或﹣x2﹣2x，即M共有三种不同结果， 故①符合题意； ②当n＝x2，有两个不相等的实数根，则n＞0； 当n＝2x﹣x2，即x2﹣2x+n＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝4﹣4n＞0，∴n＜1； 当n＝﹣2x﹣x2，即x2+2x+n＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝4﹣4n＞0，∴n＜1； ∴0＜n＜1，方程M＝n都有两个不相等的实数根， 故②符合题意； ③∵x2≥0；2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1；﹣2x﹣x2＝﹣（x+1）2+1≤1， ∴y的最小值为0， 故③符合题意； 综上，符合题意得有①②③，即3个， 故选：A． 25．（2024春•渝中区校级期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等实数解，且关于x的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数m的和为 　　． 【分析】先根据一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等实数解可得m的取值范围，再解分式方程得到y＝且y≠2，最后结合整数解可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等实数解， ∴（﹣4）2﹣4×（m﹣2）×2＞0，且m﹣2≠0， 即m＜4且≠2m， 解关于y的分式方程，可得y＝且y≠2， ∵m＜4且m≠3，m≠2，m≠1，y为整数， ∴m＝0，﹣1，﹣3， ∴足条件的所有整数m的和为：0﹣1﹣3＝﹣4． 故答案为：﹣4． 26．（2024春•鄞州区校级期末）如果m，n是正实数，方程x2+mx+4n＝0和方程x2+4nx+m＝0都有实数解，那么m+n的最小值是 　　． 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得出关于m和n的不等式，再对所得不等式进行分析即可解决问题． 【详解】解：因为方程x2+mx+4n＝0和方程x2+4nx+m＝0都有实数解， 所以m2﹣4×4n≥0，（4n）2﹣4m≥0， 则m2≥16n，n2≥． 因为m，n是正实数， 所以m4≥256n2≥64m， 所以m4﹣64m≥0， 即m（m3﹣64）≥0， 所以m≥4， 故m的最小值为4． 又因为n2≥， 则当m＝4时， n2≥1， 所以n的最小值为1， 所以m+n的最小值为5． 故答案为：5． 27．（2024春•甘井子区月考）不解方程，判断关于x的方程（m﹣1）x2+2（m+1）x+m＝0的根的情况． 【分析】（1）若m≠1，由Δ＝4（m+1）2﹣4（m﹣1）m＝12m+4， 根据Δ判断方程根的情况； （2）若m＝1，方程为4x+1＝0，方程有1个实数根． 【详解】解：（1）若m≠1，由Δ＝4（m+1）2﹣4（m﹣1）m＝12m+4， 当m＝﹣时，Δ＝0，方程有2个相等的实数根； 当m＞﹣且m≠1时，Δ＞0，方程有2个不等的实数根； 当m＜﹣时，Δ＜0，方程无实数根； （2）若m＝1，方程为4x+1＝0，方程有1个实数根． 28．（2023•同安区二模）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0与x2﹣bx﹣m＝0． （1）若b＝4且一元二次方程x2﹣2x+m＝0与x2﹣bx﹣m＝0有相同实数根，求m的值； （2）若b2＝﹣5m+2，证明：一元二次方程x2﹣2x+m＝0与x2﹣bx﹣m＝0至少一个方程有实数根． 【分析】（1）设同解为x＝p，将解代入两个方程求得p＝﹣m，再回代入原方程，解出m即可； （2）运用反证法证明，假定当b2＝﹣5m+2时，一元二次方程x2﹣2x+m＝0与x2﹣bx﹣m＝0都没有实数根，利用根的判别式推出m的范围与b2＝﹣5m+2≥0推出的m的范围矛盾即可． 【详解】（1）解：∵b＝4且一元二次方程x2﹣2x+m＝0与x2﹣bx﹣m＝0有相同实数根， ∴可设相同实数根为x＝p， 得到p2﹣2p+m＝0，① p2﹣4p﹣m＝0，② ①﹣②得：2p+2m＝0， 解得p＝﹣m， 将p＝﹣m代入①，得m2+2m+m＝0， 解得m＝0，或m＝﹣3， 即m的值为0或﹣3； （2）证明：（反证法）∵b2＝﹣5m+2≥0， ∴m≤， 假定当b2＝﹣5m+2时，一元二次方程x2﹣2x+m＝0与x2﹣bx﹣m＝0都没有实数根， 则Δ1＝（﹣2）2﹣4m＝4﹣4m＜0，③ Δ2＝（﹣5m+2）+4m＝﹣m+2＜0，④ 解③得：m＞1， 解④得：m＞2， ∴m＞2， 这与m≤矛盾， 故假设不成立， ∴一元二次方程x2﹣2x+m＝0与x2﹣bx﹣m＝0至少一个方程有实数根． 29．（2024•海淀区校级模拟）已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：S△ABC＝，其中p＝，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积． 【分析】（1）根据Δ≥0，构建不等式求解即可； （2）由等腰三角形的性质可得一元二次方程两根相等，利用Δ＝0，构建方程求解m值，即可得一元二次方程，解方程可求解x1，x2，进而可求解△ABC的周长； （3）由海伦公式可求解△ABC的面积，过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E，利用角平分线的性质可得IF＝ID＝IE，结合△ABC的面积可求解ID的长，再根据三角形的面积公式计算可求解． 【详解】解：（1）由题意得：△＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）≥0，且m+2≠0， 化简得：64m≤﹣64， 解得：m≤﹣1且m≠﹣2； （2）由题意知：x1，x2恰好是等腰△ABC的腰长， ∴x1＝x2， ∵x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根， ∴△＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）＝0， 解得m＝﹣1， ∴x2﹣6x+9＝0， 解得x1＝x2＝3， ∵BC＝4， ∴△ABC的周长为：3+3+4＝10； （3）由（2）知：△ABC的三边长为3，3，4， ∴p＝＝5， ∴S△ABC＝＝＝， 过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E， ∵I是△ABC角平分线的交点， ∴IF＝ID＝IE， ∴S△ABC＝＝＝＝， 解得ID＝， ∴S△BIC＝． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$