专题1-4 多项式配方（基础、培优、拔尖）-2024-2025学年九年级数学重难点专项训练（苏科版）

专题1-4 多项式配方（基础篇） 1．（2023秋•社旗县期中）在等式a2﹣ab+b2＝（a﹣b）2+____中，横线上应填的式子为（　　） A．ab B．﹣ab C．2ab D．﹣2ab 2．（2023秋•太和县期中）用配方法将代数式x2+4x﹣5变形，结果正确的是（　　） A．（x+2）2﹣1 B．（x+2）2﹣5 C．（x+2）2+4 D．（x+2）2﹣9 3．对于任意实数x，多项式﹣x2+26x﹣170的值是一个（　　） A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定 4．求代数式2x2﹣4x+1的最小值． 解：原式＝2 　 　+1 ＝2[（ 　 　）2﹣　 　]+1 ＝2（ 　 　）2+　 　． ∵（x﹣1）2　 　0， ∴2（x﹣1）2　 　0． ∴2（x﹣1）2﹣1 　 　﹣1． ∴代数式2x2﹣4x+1的最小值是 　 　． 5．用适当的数填空： （1）x2+6x+　 　＝（x 　 　）2； （2）x2﹣x+　 　＝（x 　 　）2． 6．设A＝6x2+8，B＝x2+8x，比较大小：A 　 　B．（填“＞”“＜”或“＝”） 7．若a2+2a+1+b2﹣6b+9＝0，求a2﹣b2的值． 8．（2023秋•莲湖区期中）学习的本质是自学．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式x2+4x+6进行了配方，发现x2+4x+6＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2，小睿发现（x+2）2是一个非负数，即（x+2）2≥0，他继续探索，利用不等式的基本性质得到（x+2）2+2≥0+2＝2，即（x+2）2+2≥2，所以，他得出结论是（x+2）2+2的最小值是2，即x2+4x+6的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． （1）求代数式m2﹣6m+10的最小值． （2）求代数式﹣2x2﹣4x+3的最值． 9．（2023春•泗洪县期末）已知A＝x2﹣6x+10． （1）当x＝﹣2、0、3时，分别求出A的值； （2）证明：无论x取什么值，A的值都不小于1． 10．（2023秋•永安市期中）我们知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10x＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25这一种方法称为配方法．由此可得：P＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，Q＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣5）2+25，∵（x﹣3）2≥0，∴当x＝3时，P有最小值为﹣9； ∵﹣（x﹣5）2≤0，∴当x＝5时，Q有最大值为25．利用以上的方法解答下列问题： （1）填空：按上面材料提示的方法配方：﹣a2+12a＝　 　． （2）应用：如图，已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由． 专题1-4 多项式配方（培优篇） 11．（2024春•道县月考）无论a，b为何值，代数式a2+b2+4b+6﹣2a的值总是（　　） A．非负数 B．正数 C．0 D．负数 12．（2023春•江宁区校级月考）若代数式x2﹣10x+b可化为（x﹣a）2﹣1，其中a、b为实数，则b﹣a的值是（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 13．（2024•两江新区模拟）对于整式2x2+3x+2、﹣3x﹣5、﹣2x2+1，在每个式子整体前添加“+”或“﹣”，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“和绝对”操作，并将操作结果记为Q，例如Q＝|2x2+3x+2﹣（﹣3x﹣5）+（﹣2x2+1）|＝|6x+8|，下列相关说法正确的个数是（　　） ①至少存在一种“和绝对”操作，使得操作后的化简结果为常数； ②若有一种“和绝对”操作Q的化简结果为﹣4x2+k（k为常数），则x≤﹣1或x≥1； ③在所有的“和绝对”操作中，将每次操作化简结果的最小值记为M，则M的最大值为． A．0 B．1 C．2 D．3 14．（2024•海门区一模）已知关于x的多项式ax2+bx+c（a≠0），当x＝a时，该多项式的值为c﹣a，则多项式a2﹣b2+3的值可以是（　　） A． B．2 C． D． 15．（2024春•柯桥区月考）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如2021（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”，现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2024能取的最小值是（　　） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 16．（2024春•丹徒区期末）已知M＝x2+x，N＝3x﹣2，则M，N的大小关系是M 　 　N（填“＞”、“＜”或“＝”）． 17．（2024春•开福区校级月考）已知x为全体实数，则﹣4x2+7x﹣2的最大值为 　 　． 18．（2024•安徽三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k2＝3有解． （1）当k＝0时，方程的解为 　 　； （2）若m是该一元二次方程的一个根，令y＝﹣m2+km﹣k2，则y的最大值和最小值的和为 　 　． 19．（2024春•成都校级期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22，所以5是“完美数”．已知34是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式 　 　；若S＝x2+9y2+2x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k＝　 　． 20．（2024•宝应县一模）在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母x的二次三项式2x2+bx+c（b、c是常数）配成2（x﹣m）2﹣3（m是常数）的形式，则b+c的最小值是 　 　． 21．（2024春•宿城区期末）先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式x2+6x+10的最小值． 解：x2+6x+10＝x2+6x+9+1＝（x+3）2+1， ∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2+1≥1， ∴x2+6x+10的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： （1）代数式x2﹣4x+3的最小值为 　 　； （2）已知a，b为任意值，试比较4a2+b2+11与12a﹣2b的大小关系，并说明理由． （3）已知有理数x，y满足﹣x2+3x+y﹣5＝0，求x+y的最小值． 22．（2024春•福清市期末）在一节数学课上，学生在利用平方根定义解方程（x﹣1）2＝1时，错解成x2﹣1＝1，数学老师带领学生们探究（x﹣1）2的括号展开形式．（1）老师带领数学兴趣小组1用整体思想进行运算，过程如下：解：（x﹣1）2＝（x﹣1）（x﹣1）（乘方的定义） ＝x（x﹣1）﹣（x﹣1）（步骤②） ＝x2﹣x﹣x+1 ＝x2﹣2x+1 步骤②用到的依据是 　 　（使用的运算律）； 请你类比数学兴趣小组1的运算过程，推导出（a﹣b）2的括号展开形式； （2）老师带领数学兴趣小组2用“数形结合”的方法进行推导，具体操作如下： 如图1，将a2，b2分别看成边长为a，b的两个正方形（a＞b），如图2，将边长为b的正方形叠放在边长为a的正方形的左上角，则图2中长方形ABCD与长方形AEFG的面积用a，b都可表示为 　 　，因此阴影部分的面积用a，b可表示为 　 　，还可以表示为 　 　，从而得到（a﹣b）2的展开形式． （3）拓展延伸： ①由平方的非负性，探究a2+b2与2ab的大小关系． ②应用：“开心”农场准备用一定长度的护栏围成一块面积为25的长方形花园，设长方形的长为t（t＞0），求护栏长度的最小值． 专题1-4 多项式配方（拔尖篇） 23．（2024春•灞桥区校级月考）已知，则代数式有（　　） A．最大值10 B．最小值 C．最小值10 D．最大值 24．（2024•绵阳模拟）已知关于y的多项式（n+2）y|n|+2+（n﹣1）y+3是四次三项式，关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m+n＝0有实数根为a，则3a2﹣3a+m的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 25．（2023•滕州市校级开学）已知多项式M═x2﹣3x﹣2，N＝x2﹣ax+3下列说法正确的个数为（　　） ①若M＝0，则代数式的值为； ②当a＝﹣3时，代数式M﹣N的最小值为﹣14； ③当a＝3时，若|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝13，则x的取值范围是． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 26．（2024春•余姚市期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：5（x﹣6）2+7＝0与6（x﹣6）2+7＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”，则代数式mx2+nx+2029的最小值是 　 　． 27．已知x2+y2﹣2x﹣4y+5＝0，则 值等于 　 　． 28．（2024春•泰兴市期中）已知：a＝m2+mn+n2，b＝mn﹣n2，c＝5mn﹣4m2﹣2n2（m、n为常数且均不为0），比较a、b、c的大小 　 　． 29．（2024春•无锡期中）阅读以下材料： 我们给出如下定义：对于关于x的多项式，若当x+m取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于x＝﹣m对称，称x＝﹣m是它的对称轴．例如，x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．观察可以发现，当x﹣2取任意一对互为相反数的值时，多项式x2﹣4x+3的值是相等的，则称x2﹣4x+3关于x＝2对称，x＝2是它的对称轴． 请根据上述材料解决下列问题： （1）将多项式x2+6x+4变形为（x+m）2+n的形式，并求出它的对称轴； （2）若关于x的多项式x2﹣kx+4关于x＝3对称，则k＝　 　； （3）代数式（x2+2x+1）（x2﹣16x+64）的对称轴是直线x＝　 　． 30．（2024春•浙江期中）小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1＝0时，多项式x2﹣2x+3有最小值；多项式﹣x2﹣2x+3，由于﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，所以当x+1＝0时，多项式﹣x2﹣2x+3有最大值．于是小慧给出一个定义：关于x的二次多项式，当x﹣t＝0时，该多项式有最值，就称该多项式关于x＝t对称． 例如x2﹣2x+3关于x＝1对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式x2+6x+5关于x＝　 　对称； （2）若关于x的多项式x2﹣2ax+4关于x＝4对称，则a＝　 　； （3）关于x的多项式x2+ax+c关于x＝﹣1对称，且最小值为3，求方程x2+ax+c＝7的解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 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　　）2． 【分析】（1）（2）通过配成完全平方式即可． 【详解】解：（1）x2+6x+32＝（x+3）2； 故答案为：32，+3； （2）x2﹣x+（﹣）2＝（x﹣）2， 故答案为：（﹣）2，． 6．设A＝6x2+8，B＝x2+8x，比较大小：A 　　B．（填“＞”“＜”或“＝”） 【分析】首先计算A﹣B＝5x2﹣8x+8，再将代数式5x2﹣8x+8配方得5（x﹣）2+，然后利用非负数的性质即可得出答案． 【详解】解：A﹣B＝6x2+8﹣（x2+8x） ＝5x2﹣8x+8 ＝5（x2﹣x）+8 ＝5（x2﹣x+﹣）+8 ＝5（x﹣）2﹣+8 ＝5（x﹣）2+， ∵， ∴， ∴A＞B． 故答案为：＞． 7．若a2+2a+1+b2﹣6b+9＝0，求a2﹣b2的值． 【分析】利用完全平方公式，首平方尾平方积的二倍在中央，将原式进行配方，即将a2+2a+1+b2﹣6b+9＝0配方后，可得（a+1）2+（b﹣3）2＝0，因为（a+1）2≥0，（b﹣3）2≥0，所以a+1＝0，b﹣3＝0，则a+1＝0，b﹣3＝0，即a＝﹣1，b＝3，主要利用非负数的性质求得a和b的值；然后将a和b的值代入待求式a2﹣b2求解即可． 【详解】解：∵a2+2a+1+b2﹣6b+9 ＝（a+1）2+（b﹣3）2＝0， ∴a+1＝0，b﹣3＝0， 解得a＝﹣1，b＝3， ∴a2﹣b2＝﹣8． 8．（2023秋•莲湖区期中）学习的本质是自学．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式x2+4x+6进行了配方，发现x2+4x+6＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2，小睿发现（x+2）2是一个非负数，即（x+2）2≥0，他继续探索，利用不等式的基本性质得到（x+2）2+2≥0+2＝2，即（x+2）2+2≥2，所以，他得出结论是（x+2）2+2的最小值是2，即x2+4x+6的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你详解． （1）求代数式m2﹣6m+10的最小值． （2）求代数式﹣2x2﹣4x+3的最值． 【分析】（1）将m2﹣6m+10变形为（m﹣3）2+1即可解决； （2）将﹣2x2﹣4x+3变形为﹣2（x2+2x+1）+5即可． 【详解】解：（1）由m2﹣6m+10 ＝m2﹣6m+9+1 ＝（m﹣3）2+1≥0+1＝1， ∴m2﹣6m+10的最小值是1，此时m＝3； （2）由﹣2x2﹣4x+3 ＝﹣2（x2+2x+1）+5 ＝﹣2（x+1）2+5≤0+5， ∴﹣2x2﹣4x+3的最大值是5，此时x＝﹣1． 9．（2023春•泗洪县期末）已知A＝x2﹣6x+10． （1）当x＝﹣2、0、3时，分别求出A的值； （2）证明：无论x取什么值，A的值都不小于1． 【分析】（1）分别将x的值代入计算即可； （2）利用配方法可可得A＝（x﹣3）2+1，根据非负数的性质：偶次方即可证明． 【详解】（1）解：当x＝﹣2时，A＝（﹣2）2﹣6×（﹣2）+10＝26， 当x＝0时，A＝10， 当x＝3时，A＝32﹣6×3+10＝1； （2）证明：A＝x2﹣6x+10＝（x﹣3）2+1， ∵（x﹣3）2≥0， ∴A＝（x﹣3）2+1≥1，即无论x取什么值，A的值都不小于1． 10．（2023秋•永安市期中）我们知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10x＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25这一种方法称为配方法．由此可得：P＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，Q＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣5）2+25，∵（x﹣3）2≥0，∴当x＝3时，P有最小值为﹣9； ∵﹣（x﹣5）2≤0，∴当x＝5时，Q有最大值为25．利用以上的方法详解下列问题： （1）填空：按上面材料提示的方法配方：﹣a2+12a＝　 　． （2）应用：如图，已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由． 【分析】（1）由﹣a2+12a变形为﹣（a2﹣12a+36）﹣36即可； （2）由于AM＝x，AB＝6，根据题意可得BM＝AB﹣AM＝6﹣x，则长方形MBCN的面积为：x（6﹣x）进而配方即可解决． 【详解】解：（1）由﹣a2+12a ＝﹣a2+12a﹣36+36 ＝﹣（a2﹣12a+36）+36 ＝﹣（a﹣6）2+36 故答案为：﹣（a﹣6）2+36； （2）长方形MBCN的面积存在最大值为9； 理由：∵AM＝x，AB＝6， ∴BM＝AB﹣AM＝6﹣x， 长方形MBCN的面积为：x（6﹣x） ＝﹣x2+6x﹣9+9 ＝﹣（x﹣3）2+9≤9， 当x＝3时，长方形MBCN的面积存在最大值为9． 专题1-4 多项式配方（培优篇） 11．（2024春•道县月考）无论a，b为何值，代数式a2+b2+4b+6﹣2a的值总是（　　） A．非负数 B．正数 C．0 D．负数 【分析】把a2+b2+4b+6﹣2a分组配方出两个完全平方式，再根据完全平方式是非负数得出结论． 【详解】解：a2+b2+4b+6﹣2a ＝（a2﹣2a+1）+（b2+4b+4）+1 ＝（a﹣1）2+（b+2）2+1． ∵（a﹣1）2≥0，（b+2）2≥0， ∴a2+b2+4b+6﹣2a≥1． 故选：B． 12．（2023春•江宁区校级月考）若代数式x2﹣10x+b可化为（x﹣a）2﹣1，其中a、b为实数，则b﹣a的值是（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 【分析】把（x﹣a）2﹣1展开，根据对应项相等得到﹣2a＝﹣10，a2﹣1＝b，得到a＝5，b＝24，即可得到答案． 【详解】解：∵x2﹣10x+b＝（x﹣a）2﹣1＝x2﹣2ax+a2﹣1， ∴﹣2a＝﹣10，a2﹣1＝b， 解得：a＝5，b＝24， 则b﹣a＝24﹣5＝19． 故选：A． 13．（2024•两江新区模拟）对于整式2x2+3x+2、﹣3x﹣5、﹣2x2+1，在每个式子整体前添加“+”或“﹣”，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“和绝对”操作，并将操作结果记为Q，例如Q＝|2x2+3x+2﹣（﹣3x﹣5）+（﹣2x2+1）|＝|6x+8|，下列相关说法正确的个数是（　　） ①至少存在一种“和绝对”操作，使得操作后的化简结果为常数； ②若有一种“和绝对”操作Q的化简结果为﹣4x2+k（k为常数），则x≤﹣1或x≥1； ③在所有的“和绝对”操作中，将每次操作化简结果的最小值记为M，则M的最大值为． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】①根据题意，找出一种“和绝对”操作使操作后化简结果为常数，即①正确； ②Q＝﹣4x2+k（k为常数），凑“和绝对”操作后得到|﹣4x2+4|或|4x2﹣4|，去掉绝对值变成﹣4x2+k的形式，求得x的取值范围，可判定②； ③每一个整式添“+”或“﹣”所以每一个整式有两种变化情况，共3个整式，就有2×2×2＝8，分别计算可判定③． 【详解】解：①使操作后化简的结果为常数，即使x的系数为0， 有Q＝|2x2+3x+2+（﹣3x﹣5）+（﹣2x2+1）|＝|﹣2|＝2， 符合题意，①正确； ②Q＝﹣4x2+k（k为常数）， ∴|﹣（2x2+3x+2）﹣（﹣3x﹣5）+（﹣2x2+1）|＝|﹣4x2+4|＝Q1， |2x2+3x+2+（﹣3x﹣5）﹣（﹣2x2+1）|＝|4x2﹣4|＝Q2， Q1：当﹣4x2+4≥0，﹣1≤x≤1时，Q1＝﹣4x2+4， Q2：当4x2﹣4≤0，﹣1≤x≤1时，Q2＝﹣4x2+4， 不符合题意，②错误； ③每一个整式添“+”或“﹣”，所以每一个整式有两种变化情况，共3个整式，就有2×2×2＝8（种）， Q1＝|2x2+3x+2﹣（﹣3x﹣5）+（﹣2x2+1）|＝|6x+8|，此时M＝0， Q2＝|﹣（2x2+3x+2）﹣（﹣3x﹣5）+（﹣2x2+1）|＝|﹣4x2+4|，此时M＝0， Q3＝|2x2+3x+2+（﹣3x﹣5）+（﹣2x2+1）|＝2，此时M＝2， Q4＝|2x2+3x+2+（﹣3x﹣5）﹣（﹣2x2+1）|＝|4x2﹣4|，此时M＝0， Q5＝|2x2+3x+2﹣（﹣3x﹣5）﹣（﹣2x2+1）|＝|4x2+6x+6|＝|4（x+）2+|，此时M＝， Q6＝|﹣（2x2+3x+2）﹣（﹣3x﹣5）﹣（﹣2x2+1）|＝2，此时M＝2， Q7＝|﹣（2x2+3x+2）+（﹣3x﹣5）+（﹣2x2+1）|＝|﹣4x2﹣6x﹣6|＝|﹣4（x+）2﹣|，此时M＝， Q8＝|﹣（2x2+3x+2）+（﹣3x﹣5）﹣（﹣2x2+1）|＝|﹣6x﹣8|，此时M＝0， 综上，M的最大值为． ③正确． 故选：C． 14．（2024•海门区一模）已知关于x的多项式ax2+bx+c（a≠0），当x＝a时，该多项式的值为c﹣a，则多项式a2﹣b2+3的值可以是（　　） A． B．2 C． D． 【分析】先将x＝a代入多项式ax2+bx+c中得：a2＝﹣b﹣1＞0，则b＜﹣1，计算所求式并配方与平方的非负性相结合即可求解． 【详解】解：把x＝a代入多项式ax2+bx+c中得：a3+ab+c＝c﹣a， ∴a3+ab+a＝0， ∵a≠0， ∴a2+b+1＝0， ∴a2＝﹣b﹣1＞0， ∴b＜﹣1， ∴a2﹣b2+3 ＝﹣b2﹣b﹣1+3 ＝﹣b2﹣b+2 ＝﹣（b+）2+， ∵﹣1＜0， ∴当b＝﹣时，a2﹣b2+3有最大值是， 当b＝﹣1时，a2﹣b2+3＝﹣（﹣1+）2+＝2， ∵b＜﹣1， ∴本题多项式a2﹣b2+3的值可以是． 故选：A． 15．（2024春•柯桥区月考）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如2021（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”，现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2024能取的最小值是（　　） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”， ∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1， ∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3， ∴， 解得：， ∴ax2+bx+2024＝5x2﹣10x+2024＝5（x﹣1）2+2019， ∴当x＝1时，ax2+bx+2024能取的最小值是2019， 故选：D． 16．（2024春•丹徒区期末）已知M＝x2+x，N＝3x﹣2，则M，N的大小关系是M 　　N（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【分析】利用求差法比较大小即可． 【详解】解：M﹣N＝x2+x﹣（3x﹣2） ＝x2﹣2x+2 ＝（x﹣1）2+1， ∵（x﹣1）2≥0， ∴M﹣N＞0， ∴M＞N． 故答案为：＞． 17．（2024春•开福区校级月考）已知x为全体实数，则﹣4x2+7x﹣2的最大值为 　　． 【分析】利用配方法，将多项式进行转化，再根据完全平方的非负性进行求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴； ∴﹣4x2+7x﹣2的最大值为． 18．（2024•安徽三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k2＝3有解． （1）当k＝0时，方程的解为 　　； （2）若m是该一元二次方程的一个根，令y＝﹣m2+km﹣k2，则y的最大值和最小值的和为 　　． 【分析】（1）把k＝0代入，解一元二次方程； （2）根据方程解的定义和一元二方程有解的条件列出不等式，再根据非负数的性质求解． 【详解】解：（1）当k＝0时，则x2＝3， 解得：x1＝，x2＝﹣； 故答案为：x1＝，x2＝﹣； （2）∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k2＝3有解， ∴k2﹣4（k2﹣3）≥0， 解得：k2≤4． 若m是该一元二次方程的一个根，则m2﹣km+k2＝3， ∴﹣m2+km＝k2﹣3， ∴y＝﹣m2+km+k2＝2k2﹣3， ∵k2的最大值为4， 当k2取最大值时，y取最大值， ∴y的最大值为：2×4﹣3＝5． 易知y的最小值为﹣3， ∴y的最大值和最小值的和为2， 故答案为：2． 19．（2024春•成都校级期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22，所以5是“完美数”．已知34是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式 　　；若S＝x2+9y2+2x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k＝　　． 【分析】运用配方法根据题中的新定义确定出所求即可． 【详解】解：∵34＝25+9＝52+32， ∴34写成a2+b2（a，b为整数）的形式为52+32； ∵S＝x2+9y2+2x﹣12y+k＝（x+1）2+（3y﹣2）2+k﹣5，且为“完美数”， ∴k﹣5＝0， ∴k＝5； 故答案为：52+32；5． 20．（2024•宝应县一模）在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母x的二次三项式2x2+bx+c（b、c是常数）配成2（x﹣m）2﹣3（m是常数）的形式，则b+c的最小值是 　　． 【分析】先根据配方法对2（x﹣m）2﹣3进行变形；再与2x2+bx+c对比，得到c和b的值；最后进行相加，计算出最小值． 【详解】解：∵2（x﹣m）2﹣3＝2x2﹣4mx+2m2﹣3， ∴b＝﹣4m，c＝2m2﹣3， ∴b+c＝2m2﹣4m﹣3＝2（m2﹣2m﹣）＝2（m﹣1）2﹣5， 当m﹣1＝0时，有最小值， 即b+c＝﹣5， 故答案为：﹣5． 21．（2024春•宿城区期末）先阅读下面的例题，再按要求详解问题： 求代数式x2+6x+10的最小值． 解：x2+6x+10＝x2+6x+9+1＝（x+3）2+1， ∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2+1≥1， ∴x2+6x+10的最小值是1． 请利用以上方法，详解下列问题： （1）代数式x2﹣4x+3的最小值为 　　； （2）已知a，b为任意值，试比较4a2+b2+11与12a﹣2b的大小关系，并说明理由． （3）已知有理数x，y满足﹣x2+3x+y﹣5＝0，求x+y的最小值． 【分析】（1）利用配方法，非负数的性质求解； （2）利用求差法比较大小； （3）利用配方法解决最值问题． 【详解】解：（1）x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）+3﹣4 ＝（x﹣2）2﹣1， ∵（x﹣2）2≥0， ∴x2﹣4x+3的最大值为﹣1． 故答案为：﹣1； （2）4a2+b2+11＞12a﹣2b．理由如下： 4a2+b2+11﹣（12a﹣2b） ＝4a2+b2+11﹣12a+2b ＝（4a2﹣12a+9）+（b2+2b+1）+1 ＝（2a﹣3）2+（b+1）2+1， ∵（2a﹣3）2≥0，（b+1）2≥0， ∴（2a﹣3）2+（b+1）2+1≥1＞0， ∴4a2+b2+11＞12a﹣2b； （3）∵﹣x2+3x+y﹣5＝0， ∴x+y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4≥4， ∴当x＝1时，x+y最小，最小值为4． 22．（2024春•福清市期末）在一节数学课上，学生在利用平方根定义解方程（x﹣1）2＝1时，错解成x2﹣1＝1，数学老师带领学生们探究（x﹣1）2的括号展开形式．（1）老师带领数学兴趣小组1用整体思想进行运算，过程如下：解：（x﹣1）2＝（x﹣1）（x﹣1）（乘方的定义） ＝x（x﹣1）﹣（x﹣1）（步骤②） ＝x2﹣x﹣x+1 ＝x2﹣2x+1 步骤②用到的依据是 　　（使用的运算律）； 请你类比数学兴趣小组1的运算过程，推导出（a﹣b）2的括号展开形式； （2）老师带领数学兴趣小组2用“数形结合”的方法进行推导，具体操作如下： 如图1，将a2，b2分别看成边长为a，b的两个正方形（a＞b），如图2，将边长为b的正方形叠放在边长为a的正方形的左上角，则图2中长方形ABCD与长方形AEFG的面积用a，b都可表示为 　　，因此阴影部分的面积用a，b可表示为 　　，还可以表示为 　　，从而得到（a﹣b）2的展开形式． （3）拓展延伸： ①由平方的非负性，探究a2+b2与2ab的大小关系． ②应用：“开心”农场准备用一定长度的护栏围成一块面积为25的长方形花园，设长方形的长为t（t＞0），求护栏长度的最小值． 【分析】（1）观察计算过程，找出应用的依据，并按照此法写出推导过程即可； （2）观察图形，根据已知条件，找出长方形ABCD和长方形AEFG的长与宽，根据面积公式列出算式，再根据阴影部分是正方形，求出它的边长，从而求出它的面积，还可以根据阴影部分的面积等于边长为a的正方形的面积+阴影部分的面积﹣长方形ABCD与长方形AEFG的面积之和的2倍，从而求出答案即可； （3）①根据偶次方的非负性和不等式的性质进行探究即可； ②根据已知条件，求出长方形花园的宽，然后求出其周长，最后根据①中的结论进行详解即可． 【详解】解：（1）步骤②用到的依据是：乘法的分配律， 故答案为：乘法分配律， （a﹣b）2 ＝（a﹣b）（a﹣b） ＝a（a﹣b）﹣b（a﹣b） ＝a2﹣ab﹣ab+b2 ＝a2﹣2ab+b2； （2）图2长方形ABCD和长方形AEFG的面积都可以表示为：ab，阴影部分的面积表示为：（a﹣b）2，还可以表示为：a2﹣2ab+b2， 故答案为：ab，（a﹣b）2，a2﹣2ab+b2； （3）①∵（a﹣b）2≥0， a2+b2﹣2ab≥0， a2+b2≥2ab； ②∵长方形花园的长为t，面积为25， ∴长方形花园的宽为：， ∴长方形花园的周长为： ＝， ∵， 由①可知， ， ∴护栏长度的最小值为20． 专题1-4 多项式配方（拔尖篇） 23．（2024春•灞桥区校级月考）已知，则代数式有（　　） A．最大值10 B．最小值 C．最小值10 D．最大值 【分析】先根据题意得到y＝2x﹣3，进而推出，再根据偶次方的非负性得到，则当时，代数式有最小值10，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴y＝2x﹣3， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值10， 故选：C． 24．（2024•绵阳模拟）已知关于y的多项式（n+2）y|n|+2+（n﹣1）y+3是四次三项式，关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m+n＝0有实数根为a，则3a2﹣3a+m的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【分析】先根据多项式的有关概念得出关于n的方程和不等式，求出n的值，再根据方程解的定义求出a2﹣a，再根据方程有解的条件求出m的范围，最后根据整体思想求解． 【详解】解：由题意得：|n|+2＝4，n+2≠0，n﹣1≠0， 解得：n＝2， ∵关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m+n＝0有实数根为a， ∴Δ＝1﹣4（2﹣m）≥0，a2﹣a＝m﹣2， ∴4m≥7， ∴3a2﹣3a+m＝3m﹣6+m＝4m﹣6≥7﹣6＝1， 故选：A． 25．（2023•滕州市校级开学）已知多项式M═x2﹣3x﹣2，N＝x2﹣ax+3下列说法正确的个数为（　　） ①若M＝0，则代数式的值为； ②当a＝﹣3时，代数式M﹣N的最小值为﹣14； ③当a＝3时，若|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝13，则x的取值范围是． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】①根据x2﹣3x﹣2＝0，解方程求得x的值后求出代数式的值即可； ②当a＝﹣3时，求出M﹣N关于x的解析式是一次函数，故可判断②； ③当a＝3时求出M﹣2N，再根据绝对值的意义得出∴﹣15≤﹣x2+3x﹣8≤﹣2，再根据二次函数的性质求出x的取值范围． 【详解】解：①∵M＝0， ∴x2﹣3x﹣2＝0， 解得：x＝或x＝， ∴13x＝， ∵x2﹣3x﹣2＝0， ∴x2﹣3x﹣1＝1， ∴＝13x＝， 故①是错误的，不符合题意； ②当a＝﹣3时， M﹣N＝（x2﹣3x﹣2）﹣（x2+3x+3） ＝﹣6x﹣5， ∴M﹣N没有最小值， 故②是错误的，不符合题意； ③当a＝3时，N＝x2﹣3x+3， ∴M﹣2N+2＝x2﹣3x﹣2﹣2（x2﹣3x+3）+2＝﹣x2+3x﹣6＝﹣（x﹣）2﹣， M﹣2N+15＝﹣x2+3x+7＝﹣（x﹣）2+， ∴|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝+＝13， ∴﹣15≤﹣x2+3x﹣8≤﹣2， 令y＝﹣x2+3x﹣8＝﹣（x﹣）2﹣， ∵﹣1＜0， ∴y有最大值﹣， ∵﹣15＜﹣＜﹣2， 当﹣x2+3x﹣8＝﹣15时， 解得x1＝，x2＝， ∴﹣x2+3x﹣8≥﹣15的解集为≤x≤， 即当|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝13时，则x的取值范围是≤x≤． 故③错误，不符合题意． 故选：A． 26．（2024春•余姚市期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：5（x﹣6）2+7＝0与6（x﹣6）2+7＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”，则代数式mx2+nx+2029的最小值是 　　． 【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：∵（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”， ∴（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝（m+2）（x﹣1）2+1， ∴（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝（m+2）x2﹣2（m+2）x+m+3， ∴， 解得， ∴mx2+nx+2029 ＝5x2﹣10x+2029 ＝5（x﹣1）2+2024， 则代数式mx2+nx+2024能取的最小值是2024． 故答案为：2024． 27．已知x2+y2﹣2x﹣4y+5＝0，则 值等于 　　． 【分析】先利用完全平方公式把x2+y2﹣2x﹣4y+5＝0左边因式分解，求出x和y的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：x2+y2﹣2x﹣4y+5＝0， （x﹣1）2+（y﹣2）2＝0， 可知， 解得； ＝ ＝ ＝$1﹣\frac{1}{2025} ＝\frac{2024}{2025}$． 故答案是：． 28．（2024春•泰兴市期中）已知：a＝m2+mn+n2，b＝mn﹣n2，c＝5mn﹣4m2﹣2n2（m、n为常数且均不为0），比较a、b、c的大小 　　． 【分析】利用作差法进行比较，即计算a﹣b，b﹣c，即可得出结果． 【详解】解：∵a﹣b＝m2+mn+n2﹣mn+n2 ＝m2+2n2＞0， ∴a＞b； ∵b﹣c＝mn﹣n2﹣5mn+4m2+2n2 ＝4m2﹣4mn+n2 ＝（2m﹣n）2≥0， ∴b≥c， ∴a＞b≥c， 故答案为：a＞b≥c． 29．（2024春•无锡期中）阅读以下材料： 我们给出如下定义：对于关于x的多项式，若当x+m取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于x＝﹣m对称，称x＝﹣m是它的对称轴．例如，x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．观察可以发现，当x﹣2取任意一对互为相反数的值时，多项式x2﹣4x+3的值是相等的，则称x2﹣4x+3关于x＝2对称，x＝2是它的对称轴． 请根据上述材料解决下列问题： （1）将多项式x2+6x+4变形为（x+m）2+n的形式，并求出它的对称轴； （2）若关于x的多项式x2﹣kx+4关于x＝3对称，则k＝　　； （3）代数式（x2+2x+1）（x2﹣16x+64）的对称轴是直线x＝　　． 【分析】（1）先将多项式进行变形，再根据题目中的对称轴的定义求解即可； （2）先将多项式进行变形，即x2﹣kx+4＝（x﹣）2+4﹣，且关于x＝3对称，再根据题目中的对称轴的定义求解即可； （3）先将代数式进行变形，即代数式（x2+2x+1）（x2﹣16x+64）＝[（x﹣）2﹣]2，再根据题目中的对称轴的定义求解即可． 【详解】解：（1）x2+6x+4 ＝x2+6x+9﹣9+4 ＝（x+3）2﹣5； ∴对称轴为x＝﹣3． （2）∵x2﹣kx+4＝（x﹣）2+4﹣，且关于x＝3对称， ∴x＝＝3， ∴k＝6， 故答案为：6． （3）∵代数式（x2+2x+1）（x2﹣16x+64） ＝（x+1）2（x﹣8）2 ＝[（x+1）（x﹣8）]2 ＝（x2﹣7x﹣8）2 ＝[（x﹣）2﹣]2， ∴原式的对称轴是直线x＝， 故答案为：． 30．（2024春•浙江期中）小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1＝0时，多项式x2﹣2x+3有最小值；多项式﹣x2﹣2x+3，由于﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，所以当x+1＝0时，多项式﹣x2﹣2x+3有最大值．于是小慧给出一个定义：关于x的二次多项式，当x﹣t＝0时，该多项式有最值，就称该多项式关于x＝t对称． 例如x2﹣2x+3关于x＝1对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式x2+6x+5关于x＝　　对称； （2）若关于x的多项式x2﹣2ax+4关于x＝4对称，则a＝　　； （3）关于x的多项式x2+ax+c关于x＝﹣1对称，且最小值为3，求方程x2+ax+c＝7的解． 【分析】（1）先将x2+6x+5变形为（x+3）2﹣4，再根据题目中的定义，即可求出答案； （2）先将x2﹣2ax+4变形为（x﹣a）2﹣a2+4，再根据题目中的定义，即可求出答案； （3）先根据题目中的定义，求出a，c的值，再将其代入方程x2+ax+c＝7中，求解即可． 【详解】解：（1）∵x2+6x+5＝（x+3）2﹣4， ∴多项式x2+6x+5关于x＝﹣3对称， 故选：﹣3． （2）∵x2﹣2ax+4＝（x﹣a）2﹣a2+4， 又∵关于x的多项式x2﹣2ax+4关于x＝4对称， ∴a＝4， 故答案为：4． （3）∵x2+ax+c＝（x+）2+c﹣， 又∵x的多项式x2+ax+c关于x＝﹣1对称， ∴﹣＝﹣1， 解得：a＝2； ∵x的多项式x2+ax+c的最小值为3， ∴当x＝﹣1时，有最小值，即c﹣1＝3， 解得：c＝4， 当a＝2，c＝4时，方程为x2+2x+4＝7， 解得：x＝1或x＝﹣3． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$