专题1-2 解一元二次方程—公式法（基础、培优）-2024-2025学年九年级数学重难点专项训练（苏科版）

专题1-2 解一元二次方程—公式法（基础篇A） 1．用公式法解一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0时，首先要确定a、b、c的值，则其中的b的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣3 D．2 2．用公式法解方程3x2+4＝12x时，下列代入公式正确的是（　　） A．x1，2＝ B．x1，2＝ C．x1，2＝ D．x1，2＝ 3．方程x2﹣px+q＝0（p2﹣4q≥0）的根是（　　） A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 4．（2024•庐阳区校级二模）若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．x2+4x﹣3＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2+4x﹣5＝0 D．x2﹣4x﹣2＝0 5．用公式法解一元二次方程2x2+3x＝1时，要化方程为一般形式，其中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　． 6．当x等于 　 　时，代数式x2﹣13x﹣12的值等于﹣42． 7．（2023秋•南召县期中）当x＝　 　时，代数式x2﹣3x﹣12的值等于42． 8．当x＝　 　时，代数式5x2﹣2x﹣1与3x2+x﹣2的值相等． 9．用公式法解下列方程： （1）x2+6x+9＝7； （2）x2+2x﹣2＝0； （3）3x2+4x﹣7＝0； （4）（x﹣）2+4x＝0． 10．（2023秋•永春县期中）用指定方法解方程 （1）3（x+1）2＝12（直接开平方法）． （2）2x2﹣x﹣5＝0．（公式法） 专题1-2 解一元二次方程—公式法（基础篇B） 11．用公式法解一元二次方程5x2﹣1﹣4x＝0时，化为一般形式当中的a，b，c依次为（　　） A．5，﹣1，﹣4 B．5，﹣4，1 C．5，﹣4，﹣1 D．5，4，1 12．（2023秋•西平县校级月考）用公式法解方程4x2+12x+3＝0，得（　　） A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 13．（2023秋•洪洞县期中）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，若1+b+c＝0，则下列各数中是该方程的根的是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．0 14．（2023秋•高安市期中）x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．2x2+x﹣3＝0 B．x2﹣2x﹣3＝0 C．2x2﹣x﹣3＝0 D．x2+2x﹣3＝0 15．（2023秋•罗湖区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+2＝0，它的根是 　 　． 16．（2023秋•久治县期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　 　． 17．（2023秋•沛县月考）代数式2x2﹣3与x的值相等时，x＝　 　． 18．若代数式x2+4x﹣5和代数式2﹣2x的值互为相反数，则x＝　 　． 19．用公式法解下列方程： （1）2x2﹣9x+8＝0； （2）9x2+6x+1＝0； （3）16x2+8x＝3． 20．（2023春•华龙区校级期中）解方程： （1）（3﹣x）2+x2＝5（公式法）； （2）﹣x2﹣3x+6＝0（配方法）． 专题1-2 解一元二次方程—公式法（培优篇） 21．方程（y﹣5）（y+2）＝1的根为（　　） A．y1＝5，y2＝﹣2 B．y＝5 C．y＝﹣2 D．以上都不对 22．（2024•永寿县二模）对于实数a，b，定义运算“※”：a※b＝a2﹣2b，例如：5※1＝52﹣2×1＝23．若x※x＝﹣1，则x的值为（　　） A．1 B．0 C．0或1 D．1或﹣1 23．一个三角形的两边长分别为3cm和4cm，第三边的长为a cm，且满足a2+4a＝10，则这个三角形的周长是（　　） A．（5﹣）cm B．（5+）cm C．（8﹣）cm D．（10+）cm 24．下列说法正确的是（　　） A．方程3x2＝5x﹣1中，a＝3，b＝5，c＝﹣1 B．一元二次方程x2﹣px+q＝0，当p2﹣4q≥0时，它的根是x＝ C．方程x2＝9的一般形式为x2﹣9＝0 D．方程4x2﹣3x＝1中，其各项系数之和为2 25．用[x]表示不大于x的最大整数，则方程x2﹣2[x]﹣3＝0的解为 　 　． 26．（2020秋•新市区校级期中）若点A（4，n）与点B（m，5）关于原点对称，则关于x的方程x2+mx+n＝0的根为 　 　． 27．（2024春•池州校级月考）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中较大的数，如：max{﹣1，3}＝3． （1）方程x2﹣2x＝max{0，﹣1}的解为 　 　； （2）方程max{2x+8，﹣x}＝x2的解为 　 　． 28．（2024•常熟市模拟）我们规定：若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a•b＝x1x2+y1y2．例如a＝（1，3），b＝（2，4），则a•b＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知a＝（x﹣1，x+1），b＝（x+3，4），若a•b＝7，且﹣2≤x≤3，则x的值为 　 　． 29．（2023秋•乐平市校级月考）下而是李阳同学解一元二次方程4x2﹣1＝3x的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 4x2﹣1＝3x 解：二次项系数化为1，得x2﹣＝，第一步 移项，得x2﹣＝，第二步 配方，得x2﹣+＝，第三步 变形，得＝，第四步 开方，得＝±，第五步 解得x1＝，x2＝．第六步 （1）上面李阳同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是 　 　，其中“配方法”依据的一个数学公式是 　 　； （2）上述解题过程，从第 　 　步开始出现错误，请写出正确的解答过程． 30．（2023•青海）为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏： （1）解不等式组：； （2）当m取（1）的一个整数解时，解方程x2﹣2x﹣m＝0． 31．（2023•华亭市模拟）已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程： x2﹣1＝0，解得：x＝±1 （1）； x2+x﹣2＝0（2）； x2+2x﹣3＝0（3）； …； x2+（n﹣1）x﹣n＝0…（n）； （1）请解上述一元二次方程（2）（3）（n）； （2）请你指出这几个方程的根具有什么共同特点，写一条即可． 32．（2023秋•资中县校级月考）已知：关于x的方程（k2+2k﹣2）x2+（k+1）x﹣3＝0（k为常数）． （1）当k＝1时，求方程的解； （2）当时，求方程的解； （3）该方程一定是一元二次方程吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出k的值． 33．（2023秋•武汉期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k＝0． （1）求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值； （2）若直角三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值． 34．如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝4，DC＝6，求AD的长． 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题． 请按照小萍的思路，探究并解答下列问题： （1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形； （2）设AD＝x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值． 35．（2023秋•北仑区校级月考）对实数a，b定义运算*如下： 当a≤b时，a*b＝ab；当a＞b时，a*b＝a2﹣ab+b2． 若3*x＝10，求[x3﹣6x]的值（[x]表示不超过x的最大整数）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1-2 解一元二次方程—公式法（基础篇A） 1．（2020秋•集美区校级期中）用公式法解一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0时，首先要确定a、b、c的值，则其中的b的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣3 D．2 【分析】一元二次方程中项的一次项为﹣2x，由此即可求解． 【详解】解：由题意得 b＝﹣2． 故选：B． 2．用公式法解方程3x2+4＝12x时，下列代入公式正确的是（　　） A．x1，2＝ B．x1，2＝ C．x1，2＝ D．x1，2＝ 【分析】先把方程化为一般式，然后利用一元二次方程的求根公式可对各选项进行判断． 【详解】解：方程化为一般式为3x2﹣12x+4＝0， ∵a＝3，b＝﹣12，c＝4， ∴x＝＝＝． 故选：D． 3．方程x2﹣px+q＝0（p2﹣4q≥0）的根是（　　） A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 【分析】根据公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：x2﹣px+q＝0， ∵Δ＝p2﹣4q≥0， ∴x＝， 故选：D． 4．（2024•庐阳区校级二模）若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．x2+4x﹣3＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2+4x﹣5＝0 D．x2﹣4x﹣2＝0 【分析】根据公式法详解，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的根为， ∴二次项系数为1，一次项系数为﹣4，常数项为﹣2， ∴这个方程为x2﹣4x﹣2＝0． 故选：D． 5．用公式法解一元二次方程2x2+3x＝1时，要化方程为一般形式，其中a＝　　，b＝　　，c＝　　． 【分析】把等号右边的1移到等号左边，就能把方程化成一元二次方程的一般形式，然后观察二次项，一次项的系数，从而确定a，b，c的值即可． 【详解】解：把方程2x2+3x＝1化成一般形式为：2x2+3x﹣1＝0， ∴a＝2，b＝3，c＝﹣1， 故答案为：2，3，﹣1． 6．当x等于 　　时，代数式x2﹣13x﹣12的值等于﹣42． 【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：x2﹣13x﹣12＝﹣42，即x2﹣13x+30＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x﹣10）＝0， 解得：x＝3或x＝10， 故答案为：3或10． 7．（2023秋•南召县期中）当x＝　　时，代数式x2﹣3x﹣12的值等于42． 【分析】根据代数式x2﹣3x﹣12的值等于42列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：x2﹣3x﹣12＝42，即x2﹣3x﹣54＝0， 解得：x1＝﹣6或x2＝9， 故答案为：﹣6或9． 8．当x＝　　时，代数式5x2﹣2x﹣1与3x2+x﹣2的值相等． 【分析】首先由5x2﹣2x﹣1＝3x2+x﹣2得2x2﹣3x+1＝0，由此解出x即可． 【详解】解：当5x2﹣2x﹣1＝3x2+x﹣2时， 整理得：2x2﹣3x+1＝0 （2x﹣1）（x﹣1）＝0， ∴2x﹣1＝0或x﹣1＝0， 由2x﹣1＝0解得：， 由x﹣1＝0解得：x＝1， ∴当x＝或1时，代数式5x2﹣2x﹣1与3x2+x﹣2的值相等． 故答案为：或1． 9．用公式法解下列方程： （1）x2+6x+9＝7； （2）x2+2x﹣2＝0； （3）3x2+4x﹣7＝0； （4）（x﹣）2+4x＝0． 【分析】（1）（2）（3）小题均先求出根的判别式，判断方程解的情况，然后再利用求根公式解方程即可； （4）先利用完全平方公式去掉括号，化成一元二次方程的一般形式，然后利用求根公式进行详解即可． 【详解】解：（1）x2+6x+9＝7， x2+6x+9﹣7＝0， x2+6x+2＝0， a＝1，b＝6，c＝2， Δ＝b2﹣4ac ＝62﹣4×1×2 ＝36﹣8 ＝28＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ； （2）x2+2x﹣2＝0， a＝1，b＝2，c＝﹣2， Δ＝b2﹣4ac ＝22﹣4×1×（﹣2） ＝4+8 ＝12＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ； （3）3x2+4x﹣7＝0， a＝3，b＝4，c＝﹣7， Δ＝b2﹣4ac ＝42﹣4×3×（﹣7） ＝16+84 ＝100＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ； （4）， ， ， ， Δ＝b2﹣4ac ＝ ＝8﹣8 ＝0， ∴方程有两个相等的实数根， ∴． 10．（2023秋•永春县期中）用指定方法解方程 （1）3（x+1）2＝12（直接开平方法）． （2）2x2﹣x﹣5＝0．（公式法） 【分析】（1）把方程变形后用平方根定义可解得方程的解； （2）先算一元二次方程根的判别式，再代入求根公式即可． 【详解】解：（1）∵3（x+1）2＝12， ∴（x+1）2＝4， ∴x+1＝±2， ∴x1＝1，x2＝﹣3； （2）∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣5）＝41＞0， ∴， ∴，． 专题1-2 解一元二次方程—公式法（基础篇B） 11．用公式法解一元二次方程5x2﹣1﹣4x＝0时，化为一般形式当中的a，b，c依次为（　　） A．5，﹣1，﹣4 B．5，﹣4，1 C．5，﹣4，﹣1 D．5，4，1 【分析】整理为一般式即可得出答案． 【详解】解：∵5x2﹣1﹣4x＝0， ∴5x2﹣4x﹣1＝0， 则a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1． 故选：C． 12．（2023秋•西平县校级月考）用公式法解方程4x2+12x+3＝0，得（　　） A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 【分析】利用公式法求解即可． 【详解】解：4x2+12x+3＝0， ∵a＝4，b＝12，c＝3， ∴Δ＝122﹣4×4×3＝144﹣48＝96＞0， ∴x＝＝＝， 故选：A． 13．（2023秋•洪洞县期中）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，若1+b+c＝0，则下列各数中是该方程的根的是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．0 【分析】利用方程解的意义，将各选项中数值代入方程，满足1+b+c＝0是方程的根． 【详解】解：关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0， 当x＝1时，满足1+b+c＝0； 当x＝﹣1时，1﹣b+c＝0不满足1+b+c＝0； 当x＝2时，4+2b+c＝0不满足1+b+c＝0； 当x＝0时，c＝0不满足1+b+c＝0； ∴x＝1是方程x2+bx+c＝0的解． 故选：A． 14．（2023秋•高安市期中）x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．2x2+x﹣3＝0 B．x2﹣2x﹣3＝0 C．2x2﹣x﹣3＝0 D．x2+2x﹣3＝0 【分析】根据求根公式确定a、b、c的值即可判断． 【详解】解：∵x＝， ∴a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3， ∴x＝是一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的根． 故选：C． 15．（2023秋•罗湖区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+2＝0，它的根是 　　． 【分析】采用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】解：x2﹣5x+2＝0， a＝1，b＝﹣5，c＝2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×2＝17＞0， ∴x＝ 解得x1＝，x2＝． 故答案为：x1＝，x2＝． 16．（2023秋•久治县期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　　． 【分析】根据解一元二次方程﹣公式法，即可详解． 【详解】解：由题意得：a＝3，b＝9，c＝1， ∴该一元二次方程是3x2+9x+1＝0， 故答案为：3x2+9x+1＝0． 17．（2023秋•沛县月考）代数式2x2﹣3与x的值相等时，x＝　　． 【分析】利用题意列方程2x2﹣3＝x，然后把方程化为一般式后利用因式分解法解方程． 【详解】解：根据题意得2x2﹣3＝x， 即2x2﹣x﹣3＝0， （2x﹣3）（x+1）＝0， 2x﹣3＝0或x+1＝0， 所以，x2＝﹣1； 故答案为：或﹣1． 18．若代数式x2+4x﹣5和代数式2﹣2x的值互为相反数，则x＝　　． 【分析】如果两数互为相反数，则这两数之和等于0，据此可得x2+4x﹣5+2﹣2x＝0；接下来化简后再运用十字相乘法解一元二次方程，即可得到本题答案． 【详解】解：∵代数式x2+4x﹣5和代数式2﹣2x的值互为相反数， ∴x2+4x﹣5+2﹣2x＝0，即x2+2x﹣3＝0， 则（x+3）（x﹣1）＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝1． 故答案为：﹣3或1． 19．用公式法解下列方程： （1）2x2﹣9x+8＝0； （2）9x2+6x+1＝0； （3）16x2+8x＝3． 【分析】（1）（2）（3）直接用公式法求出x的值即可． 【详解】解：（1）2x2﹣9x+8＝0， Δ＝（﹣9）2﹣4×2×8＝17， x＝， x1＝，x2＝； （2）9x2+6x+1＝0， Δ＝36﹣36＝0 ∴x＝＝﹣ 即x1＝x2＝﹣； （3）16x2+8x＝3， Δ＝64+64×3＝256 x＝ x1＝，x2＝﹣． 20．（2023春•华龙区校级期中）解方程： （1）（3﹣x）2+x2＝5（公式法）； （2）﹣x2﹣3x+6＝0（配方法）． 【分析】（1）首先把方程整理为一般形式，然后运用公式法详解即可； （2）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解． 【详解】解：（1）（3﹣x）2+x2＝5， 整理得：2x2﹣6x+4＝0， Δ＝36﹣4×2×4＝4， ∴x＝， ∴x1＝2，x2＝1； （2）﹣x2﹣3x+6＝0 整理得：x2+6x＝12， 配方得：x2+6x+9＝21， 即（x+3）2＝21， ∴x1＝﹣3，x2＝﹣﹣3． 专题1-2 解一元二次方程—公式法（培优篇） 21．方程（y﹣5）（y+2）＝1的根为（　　） A．y1＝5，y2＝﹣2 B．y＝5 C．y＝﹣2 D．以上都不对 【分析】根据解一元一次方程的方法﹣公式法解方程即可． 【详解】解：原方程可化为y2﹣3y﹣11＝0， ∵Δ＝9+44＝53， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝， 故选：D． 22．（2024•永寿县二模）对于实数a，b，定义运算“※”：a※b＝a2﹣2b，例如：5※1＝52﹣2×1＝23．若x※x＝﹣1，则x的值为（　　） A．1 B．0 C．0或1 D．1或﹣1 【分析】根据题意列得一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意可得x2﹣2x＝﹣1， 整理得：x2﹣2x+1＝0， 则（x﹣1）2＝0， 解得：x1＝x2＝1， 故选：A． 23．一个三角形的两边长分别为3cm和4cm，第三边的长为a cm，且满足a2+4a＝10，则这个三角形的周长是（　　） A．（5﹣）cm B．（5+）cm C．（8﹣）cm D．（10+）cm 【分析】先运用公式法可求出方程a2+4a﹣10＝0的解为a＝﹣2+，再结合另外两边即可求出三角形的周长． 【详解】解：解方程a2+4a﹣10＝0，得 a＝（负值舍）， ∴a＝﹣2+， ∵三角形的两边长分别为3cm和4cm， ∴三角形的周长＝﹣2++3+4＝（5+）（cm）， 故选：B． 24．下列说法正确的是（　　） A．方程3x2＝5x﹣1中，a＝3，b＝5，c＝﹣1 B．一元二次方程x2﹣px+q＝0，当p2﹣4q≥0时，它的根是x＝ C．方程x2＝9的一般形式为x2﹣9＝0 D．方程4x2﹣3x＝1中，其各项系数之和为2 【分析】根据一元二次方程的一般式，公式法一一判断即可． 【详解】解：A．方程化为一般式得3x2﹣5x+1＝0，则a＝3、b＝﹣5、c＝1，所以A选项错误，不符合题意； B．一元二次方程x2﹣px+q＝0，当p2﹣4q≥0时，它的根是x＝，所以B选项错误，不符合题意； C．方程x2＝9的一般形式为x2﹣9＝0，所以C选项正确，符合题意； D．方程4x2﹣3x＝1的一般形式为4x2﹣3x﹣1＝0，其各项系数之和为4﹣3﹣1＝0，所以D选项错误，不符合题意． 故选：C． 25．用[x]表示不大于x的最大整数，则方程x2﹣2[x]﹣3＝0的解为 　　． 【分析】由于x≥[x]，所以可把方程x2﹣2[x]﹣3＝0写成 ，可得不等式 x2﹣2x﹣3≤0，求得x的取值范围．再将x的取值范围分为5类求解即可进行选择． 【详解】解：由 x2﹣2[x]﹣3＝0 得 ， ∵[x]≤x， ∴， ∴x2﹣2x﹣3≤0 即（x﹣3）（x+1）≤0， 解得﹣1≤x≤3． 由[x]≤x可得，[x]的可能取值为﹣1，0，1，2，3． 当[x]＝﹣1 代入 ，解得 x＝±1，由[x]＝﹣1 知 x＝﹣1，有一个解； 当[x]＝0代入 ，解得 由[x]＝0知x无解； 当[x]＝1 代入 ，解得 ，由[x]＝1知x无解； 当[x]＝2代入 ，解得 ，由[x]＝2知 ，有一个解； 当[x]＝3代入 ，解得 x＝±3，由当[x]＝3 知 x＝3，有一个解． 综上，满足条件的方程的解为﹣1，，3． 26．（2020秋•新市区校级期中）若点A（4，n）与点B（m，5）关于原点对称，则关于x的方程x2+mx+n＝0的根为 　　． 【分析】根据点A（4，n）与点B（m，5）关于原点对称，可以得到m＝﹣4，n＝﹣5，代入关于x的方程x2+mx+n＝0得到x2﹣4x﹣5＝0，根据因式分解法解一元二次方程得（x﹣5）（x+1）＝0，从而即可得到答案． 【详解】解：∵点A（4，n）与点B（m，5）关于原点对称， ∴m＝﹣4，n＝﹣5，即关于x的方程x2+mx+n＝0为x2﹣4x﹣5＝0， ∴（x﹣5）（x+1）＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1， 故答案为：5，﹣1． 27．（2024春•池州校级月考）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中较大的数，如：max{﹣1，3}＝3． （1）方程x2﹣2x＝max{0，﹣1}的解为 　　； （2）方程max{2x+8，﹣x}＝x2的解为 　　． 【分析】（1）由题意max{0，﹣1}＝0，因式分解法解方程x2﹣2x＝0即可； （2）分2x+8＞﹣x与2x+8≤﹣x两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵max{0，﹣1}＝0， ∴x2﹣2x＝0， 即x（x﹣2）＝0， 解得：x1＝0，x2＝2； 故答案为：x1＝0，x2＝2； （2）当2x+8＞﹣x时，即时，max{2x+8，﹣x}＝2x+8， ∴2x+8＝x2，即（x﹣4）（x+2）＝0， 解得：x1＝4，x2＝﹣2； 当2x+8≤﹣x时，即时，max{2x+8，﹣x}＝﹣x， ∴﹣x＝x2，即x（x+1）＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣1； 不符合题意，舍去； 综上，方程的解为x1＝4，x2＝﹣2． 故答案为：x1＝4，x2＝﹣2． 28．（2024•常熟市模拟）我们规定：若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a•b＝x1x2+y1y2．例如a＝（1，3），b＝（2，4），则a•b＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知a＝（x﹣1，x+1），b＝（x+3，4），若a•b＝7，且﹣2≤x≤3，则x的值为 　　． 【分析】利用题中的新定义得到关于x的一元二次方程，然后解方程即可求出x的值． 【详解】解：根据题意知：a•b＝（x﹣1）（x+3）+4（x+1）＝x2+6x+1＝7， x2+6x﹣6＝0， Δ＝36+24＝60＞0， ∴x＝＝﹣3±， ∵﹣2≤x≤3， ∴x＝﹣3+． 故答案为：﹣3+． 29．（2023秋•乐平市校级月考）下而是李阳同学解一元二次方程4x2﹣1＝3x的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 4x2﹣1＝3x 解：二次项系数化为1，得x2﹣＝，第一步 移项，得x2﹣＝，第二步 配方，得x2﹣+＝，第三步 变形，得＝，第四步 开方，得＝±，第五步 解得x1＝，x2＝．第六步 （1）上面李阳同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是 　　，其中“配方法”依据的一个数学公式是 　　； （2）上述解题过程，从第 　　步开始出现错误，请写出正确的详解过程． 【分析】（1）结合详解过程，依据转化思想和完全平方公式可得答案； （2）根据配方法判断即可． 【详解】解：（1）体现的数学思想是转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式； 故答案为：转化思想，完全平方公式； （2）上述解题过程，从第三步开始出现错误， 正确的详解过程如下： 二次项系数化为1，得x2﹣＝， 移项，得x2﹣＝， 配方，得x2﹣+＝+， 变形，得（x﹣）＝， 开方，得x﹣＝±， 解得x1＝1，x2＝﹣． 故答案为：三． 30．（2023•青海）为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏： （1）解不等式组：； （2）当m取（1）的一个整数解时，解方程x2﹣2x﹣m＝0． 【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可； （2）根据（1）中不等式的解集得出m的一个值，求出x的值即可． 【详解】解：（1）由①得，x＜4，由②得，x＞1， 故不等式组的解集为：1＜x＜4； （2）由（1）知1＜x＜4， ∴令m＝2， 则方程变为x2﹣2x﹣2＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12， ∴x＝＝＝1±， ∴x1＝1+，x2＝1﹣（答案不唯一）． 31．（2023•华亭市模拟）已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程： x2﹣1＝0，解得：x＝±1 （1）； x2+x﹣2＝0（2）； x2+2x﹣3＝0（3）； …； x2+（n﹣1）x﹣n＝0…（n）； （1）请解上述一元二次方程（2）（3）（n）； （2）请你指出这几个方程的根具有什么共同特点，写一条即可． 【分析】（1）各个方程利用十字相乘法分解因式，把一元二次方程化成一元一次方程，解方程即可； （2）观察（1）中所求的根，进行详解即可． 【详解】解：（1）x2+x﹣2＝0（2） （x+2）（x﹣1）＝0， x+2＝0，x﹣1＝0， x1＝﹣2，x2＝1； x2+2x﹣3＝0（3）， （x+3）（x﹣1）＝0， x+3＝0或x﹣1＝0， x1＝﹣3，x2＝1；x2+（n﹣1）x﹣n＝0，（n） （x+n）（x﹣1）＝0， x+n＝0或x﹣1＝0， x1＝﹣n，x2＝1； （2）共同特点：都有一个根是1（答案不唯一）． 32．（2023秋•资中县校级月考）已知：关于x的方程（k2+2k﹣2）x2+（k+1）x﹣3＝0（k为常数）． （1）当k＝1时，求方程的解； （2）当时，求方程的解； （3）该方程一定是一元二次方程吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出k的值． 【分析】（1）当k＝1时，方程为x2+2x﹣3＝0，利用因式分解法求解即可； （2）当时，方程为，据此求解即可； （3）当k2+2k﹣2＝0时，方程（k2+2k﹣2）x2+（k+1）x﹣3＝0不是一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：（1）当k＝1时，方程为x2+2x﹣3＝0， ∴（x﹣1）（x+3）＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣3； （2）当时， ，， 方程为， 解得； （3）当k2+2k﹣2＝0时，方程（k2+2k﹣2）x2+（k+1）x﹣3＝0不是一元二次方程， ∵a＝1，b＝2，c＝﹣2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣2）＝12， ∴， 即当时，方程（k2+2k﹣2）x2+（k+1）x﹣3＝0不是一元二次方程． 33．（2023秋•武汉期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k＝0． （1）求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值； （2）若直角三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值． 【分析】（1）对式子进行分解，从而可得到两个因式的积为0，从而可求解； （2）由根与系数的关系可得x1+x2＝k+3，则分类进行讨论，从而可求解． 【详解】（1）证明：∵x2﹣（k+3）x+3k＝0． ∴（x﹣3）（x﹣k）＝0， ∴无论k为何值，此方程总有一个根是x＝3． （2）解：令方程的两根为：x1，x2，则有：x1+x2＝k+3， 若斜边为4，可令另两直角边分别为3和k． ∴32+k2＝42， k2＝7， ∵k＞0． ∴k＝； 若直角边为4，则令斜边为k，另直角边为3． ∴42+32＝k2， ∵k＞0． ∴k＝5， 综上所述：k＝或k＝5． 34．（2016•北京二模）如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝4，DC＝6，求AD的长． 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地详解了此题． 请按照小萍的思路，探究并详解下列问题： （1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形； （2）设AD＝x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值． 【分析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形； （2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x﹣4）2+（x﹣6）2＝102，求出AD＝x＝12． 【详解】（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF． ∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，又∠BAC＝45°， ∴∠EAF＝90°． 又∵AD⊥BC ∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°． ∴四边形AEGF是矩形， 又∵AE＝AD，AF＝AD ∴AE＝AF． ∴矩形AEGF是正方形． （2）解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x． ∵BD＝4，DC＝6 ∴BE＝4，CF＝6 ∴BG＝x﹣4，CG＝x﹣6 在Rt△BGC中，BG2+CG2＝BC2， ∴（x﹣4）2+（x﹣6）2＝102． 化简得，x2﹣10x﹣24＝0 解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去） 所以AD＝x＝12． 35．（2023秋•北仑区校级月考）对实数a，b定义运算*如下： 当a≤b时，a*b＝ab；当a＞b时，a*b＝a2﹣ab+b2． 若3*x＝10，求[x3﹣6x]的值（[x]表示不超过x的最大整数）． 【分析】利用新定义的规定求得x值，将x值代入运算求得代数式的值，再利用[x]的规定计算即可． 【详解】解：当3≤x时， ∵3*x＝10， ∴3x＝10， ∴x＝． ∴x3﹣6x＝x（x2﹣6）＝（6）＝17， ∴[x3﹣6x]＝17； 当3＞x时， ∵3*x＝10， ∴32﹣3x+x2＝10， ∴x2﹣3x﹣1＝0， ∴x2＝3x+1，x＝或x＝（不合题意，舍去）， ∴x3﹣6x ＝x（x2﹣6） ＝x（3x+1﹣6） ＝3x2﹣5x ＝3（3x+1）﹣5x ＝9x+3﹣5x ＝4x+3 ＝4×+3 ＝9﹣2， ∵34， ∴﹣8＜﹣2＜﹣6， ∴1＜9﹣2＜3， ∴[x3﹣6x]＝1． 综上，[x3﹣6x]的值为17或1． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$