专题1-6 一元二次方程根与系数的关系（基础、培优、拔尖）-2024-2025学年九年级数学重难点专项训练（苏科版）

专题1-6 一元二次方程根与系数的关系（基础篇） 1．（2024•喀什地区三模）方程3x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1、x2，下列各式正确的是（　　） A． B． C．x1+x2＝5，x1x2＝﹣1 D． 2．（2024春•清江浦区期末）已知关于x的方程x2﹣3x+m＝0的一个根是1，则此方程的另一根为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2023•船山区校级模拟）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣x﹣2023＝0的两个根，则x1+x1x2+x2的值为（　　） A．﹣2023 B．﹣2024 C．﹣2022 D．2022 4．（2024•临淄区二模）若m，n是一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的两个根，则m2n+mn2的值是（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．6 5．（2024春•绿园区校级月考）若一元二次方程x2+4x+m＝0有一个根为2，则另一根为x＝　 　． 6．（2024春•惠山区期末）若m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根，则m2n+mn2＝　 　． 7．（2024春•惠阳区校级月考）已知x1和x2一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根，那么x1+x2的值为 　 　． 8．（2024•湖北一模）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+2x1x2＝　 　． 9．不解方程，求下列方程两个根的和与积： （1）x2+5x﹣1＝0； （2）2x2+3＝5x2﹣x． 10．（2023秋•江岸区校级月考）若关于x的一元二次方程x2+bx+2＝0有一个根是x＝2，求b的值及方程的另一个根． 专题1-6 一元二次方程根与系数的关系（培优篇） 11．（2024春•贵池区期末）已知α，β是方程x2﹣x+2024＝0的两个根，则α2﹣2α﹣β的值为（　　） A．﹣2025 B．﹣2024 C．2024 D．2025 12．（2024春•上虞区期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将x2项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（　　） A． B． C． D． 13．（2024春•沙坪坝区校级期末）已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则的值为（　　） A． B． C． D． 14．（2024春•滁州期末）已知a，b是方程x2+3x﹣4＝0的两个根，则a2+4a+b﹣3的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 15．（2024春•泰州期末）方程x2+mx﹣3m＝0的两根分别为x1、x2，且x1+x2＝﹣1，则x1x2＝　 　． 16．（2024春•如皋市期末）若方程x2﹣4x+2＝0的两根为x1，x2，则的值为 　 　． 17．（2024春•东港区校级月考）若，则以x1，x2为根的一元二次方程是 　 　． 18．（2024•河北三模）若关于x的一元二次方程（x﹣a）2＝4的两个根均为正整数，写出满足条件的一个a的值为 　 　． 19．（2024春•仓山区期末）已知关于x的一元二次方程2x2﹣2x+k﹣1＝0． （1）若这个方程没有实数根，求k的取值范围． （2）方程的两个根分别为m，n，若m2+n2＝9，求k的值． 20．（2024春•西湖区期末）已知关于x的一元二次方程x2+bx+5＝0． （1）若方程有两个相等的实数根，求b的值； （2）设x1，x2是方程的两个实数根，当b＝6时，求x2+x1的值． 21．（2024春•苏州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0． （1）求证：m取任意实数，该方程总有两个实数根； （2）设该方程的两根分别为x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，求m的值． 22．（2024•高坪区三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（1﹣2k）x+k2﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围， （2）当k＝2时，设方程的两个实数根分别为x1，x2，求﹣x1+4++3的值． 23．（2024•南充模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2﹣k﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若，求k的值． 24．（2024春•历下区期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为x1、x2，那么两个根的关系为： ，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程x2+bx+c＝0根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究． 定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． （1）请你判断：方程x2+9x+18＝0是 　 　（填“倍根方程”或“方根方程”）； （2）若一元二次方程x2﹣6x+c＝0是“倍根方程”，求c的值； （3）根据探究，小明想设计一个一元二次方程x2+bx+c＝0，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 专题1-6 一元二次方程根与系数的关系（拔尖篇） 25．（2023春•庐阳区校级期中）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m2﹣m＝0（m＞0）． （1）该方程根的情况是 　 　； （2）当m＝1，2，3，…，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，则++++…++的值为 　 　． 26．将代数式m2+2记为A，代数式2m﹣1记为B，现进行如下操作：记u1＝A+B，v1＝A﹣B；u2＝u1+v1，v2＝u1﹣v1；u3＝u2+v2，v3＝u2﹣v2…以此类推．下列说法：①u6＝8m2+16；②若m，n为正整数，为整数，则m＝1或2或5；③关于m的方程3un﹣2vn+2＝0（n为正整数）只有2个实数根；④当m＝0时，代数式v1+v2+v3+…+v50取得最小值，其中正确的有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 27．（2022•西城区校级模拟）已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣4＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，且x1＝3x2，求m的值． 28．（2017•兴宁区校级自主招生）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2， （1）若x12+x22＝6，求m值； （2）令T＝+，求T的取值范围． 29．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1≤x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若方程为x2﹣3x＝0，写出该方程的衍生点M的坐标． （2）若关于x的一元二次方程x2﹣（5m+1）x+5m＝1的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． （3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx+2（k+3）上？若存在，请求出b，c的值；若不存在，请说明理由． 30．（2022秋•大丰区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣m2﹣m＝0（m＞0）． （1）试判断这个方程根的情况； （2）若对于m＝1，2，3，…，2022，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2022、β2022，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1-6 一元二次方程根与系数的关系（基础篇） 1．（2024•喀什地区三模）方程3x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1、x2，下列各式正确的是（　　） A． B． C．x1+x2＝5，x1x2＝﹣1 D． 【分析】：若方程的两根为x1，x2，则，．根据根与系数的关系直接求解即可． 【详解】解：∵方程3x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1、x2， ∴，， 故选：A． 2．（2024春•清江浦区期末）已知关于x的方程x2﹣3x+m＝0的一个根是1，则此方程的另一根为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】设此方程的另一根为t，再利用根与系数的关系得1+t＝3，然后解一次方程即可． 【详解】解：设此方程的另一根为t， 根据根与系数的关系得1+t＝3， 解得t＝2． 故选：C． 3．（2023•船山区校级模拟）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣x﹣2023＝0的两个根，则x1+x1x2+x2的值为（　　） A．﹣2023 B．﹣2024 C．﹣2022 D．2022 【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵x1，x2是关于x的方程x2﹣x﹣2023＝0的两个根， ∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2023， ∴x1+x1x2+x2 ＝（x1+x2）+x1x2 ＝1﹣2023 ＝﹣2022 故选：C． 4．（2024•临淄区二模）若m，n是一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的两个根，则m2n+mn2的值是（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．6 【分析】根据根与系数的关系，可得出mn＝﹣1，m+n＝6，再代入即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的两个根， ∴mn＝﹣1，m+n＝6 ∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×6＝﹣6． 故选：C． 5．（2024春•绿园区校级月考）若一元二次方程x2+4x+m＝0有一个根为2，则另一根为x＝　　． 【分析】由一元二次方程x2+4x+m＝0有一个根为2，另一根为x1，可得x1+2＝﹣4，计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程x2+4x+m＝0有一个根为2，另一根为x1， ∴x1+2＝﹣4， 解得，x1＝﹣6， 故答案为：﹣6． 6．（2024春•惠山区期末）若m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根，则m2n+mn2＝　　． 【分析】利用一元二次方程根和系数的关系：两根之和等于，两根之积等于，先求出m+n和mn的值，再整体代入到代数式m2n+mn2＝mn（m+n）计算即可求解． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程：x2﹣4x﹣5＝0的两个根， ∴m+n＝4，mn＝﹣5， ∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣5×4＝﹣20， 故答案为：﹣20． 7．（2024春•惠阳区校级月考）已知x1和x2一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根，那么x1+x2的值为 　　． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可知，再把前面的值代入即可求出其值． 【详解】解：∵一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1和x2， ∴， 故答案为：﹣3．个根． 根据根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣5，x1•x2＝﹣1． 即该方程两个根的和为﹣5，积为﹣1 8．（2024•湖北一模）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+2x1x2＝　　． 【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝1，x1x2＝﹣1，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根， ∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣1， ∴x1+x2+2x1x2＝1﹣2＝﹣1， 故答案为：﹣1． 9．不解方程，求下列方程两个根的和与积： （1）x2+5x﹣1＝0； （2）2x2+3＝5x2﹣x． 【分析】（1）直接利用根与系数的关系作答； （2）先把已知方程转化为一般式，然后利用根与系数的关系作答． 【详解】解：（1）设x1、x2是方程x2+5x﹣1＝0的两； （2）将方程2x2+3＝5x2﹣x转化为一般形式为：3x2﹣x﹣3＝0． 设x1、x2是方程3x2﹣x﹣3＝0的两个根， 根据根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣＝，x1•x2＝＝﹣1； 即该方程两个根的和为，积为﹣1． 10．（2023秋•江岸区校级月考）若关于x的一元二次方程x2+bx+2＝0有一个根是x＝2，求b的值及方程的另一个根． 【分析】根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为x1， 根据题意，得， 解得， ∴b＝﹣3，方程的另一个根为x＝1． 专题1-6 一元二次方程根与系数的关系（培优篇） 11．（2024春•贵池区期末）已知α，β是方程x2﹣x+2024＝0的两个根，则α2﹣2α﹣β的值为（　　） A．﹣2025 B．﹣2024 C．2024 D．2025 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：因为α，β是方程x2﹣x+2024＝0的两个根， 所以α2﹣α+2024＝0，α+β＝1， 所以α2﹣α＝﹣2024， 所以α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝﹣2024﹣1＝﹣2025． 故选：A． 12．（2024春•上虞区期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将x2项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，先设出两个方程，再求出它们共同的解，再根据根与系数的关系和分类讨论的方法，即可求得原方程两根的平方和． 【详解】解：设原来的方程为ax2+bx+c＝0，则小马计算的方程为cx2+bx+a＝0， 令ax2+bx+c＝cx2+bx+a， 解得x＝1或x＝﹣1， 故两个方程相同的根为x＝1或x＝﹣1， 设原来的方程为ax2+bx+c＝0得一个根为x1，另一个根为x2， 则+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣）2﹣2×， 当两个相同的根为1时， 则2+1＝﹣，2×1＝， ∴＝﹣，＝， ∴（﹣）2﹣2×＝（）2﹣2×＝； 当两个相同的根为﹣1时， 则2+（﹣1）＝﹣，2×（﹣1）＝， ∴＝，＝﹣， ∴（﹣）2﹣2×＝（﹣）2﹣2×（﹣）＝； 由上可得，原方程两根的平方和是， 故选：D． 13．（2024春•沙坪坝区校级期末）已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】判断出m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，可得m+n＝，mn＝﹣，利用整体代入的思想解决问题即可． 【详解】解：∵实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0， ∴m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根， ∴m+n＝，mn＝﹣， ∴+＝＝＝＝﹣． 故选：B． 14．（2024春•滁州期末）已知a，b是方程x2+3x﹣4＝0的两个根，则a2+4a+b﹣3的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系结合整体思想即可解决问题． 【详解】解：因为a，b是方程x2+3x﹣4＝0的两个根， 所以a+b＝﹣3，a2+3a﹣4＝0， 则a2+3a＝4， 所以a2+4a+b﹣3＝a2+3a+a+b﹣3＝4+（﹣3）﹣3＝﹣2． 故选：A． 15．（2024春•泰州期末）方程x2+mx﹣3m＝0的两根分别为x1、x2，且x1+x2＝﹣1，则x1x2＝　　． 【分析】利用两根之和等于﹣m，求出m，再求出两根之积； 【详解】解：∵方程x2+mx﹣3m＝0的两根分别为x1、x2，且x1+x2＝﹣1， ∴﹣1＝﹣m， ∴m＝1， ∴x1x2＝﹣3m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 16．（2024春•如皋市期末）若方程x2﹣4x+2＝0的两根为x1，x2，则的值为 　　． 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到﹣4x1＝﹣2，则x1x2+2﹣8x1可化为x1x2﹣4，再根据根与系数的关系得到x1x2＝2，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵x1为方程x2﹣4x+2＝0的根， ∴﹣4x1+2＝0， ∴﹣4x1＝﹣2， ∴x1x2+2﹣8x1＝x1x2+2（﹣4x1）＝x1x2+2×（﹣2）＝x1x2﹣4， ∵方程x2﹣4x+2＝0的两根为x1，x2， ∴x1x2＝2， ∴x1x2+2﹣8x1＝2﹣4＝﹣2． 故答案为：﹣2． 17．（2024春•东港区校级月考）若，则以x1，x2为根的一元二次方程是 　　． 【分析】设该方程为x2+bx+c＝0，利用一元二次方程根与系数的关系，可得x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c，再由，可得x1•x2＝2，即可求解． 【详解】解：设该方程为x2+bx+c＝0， ∴x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c， ∵， ∴， ∴x1•x2＝2， ∴﹣b＝3，c＝2，即b＝﹣3，c＝2， ∴该方程为x2﹣3x+2＝0， 以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣3x+2＝0． 故答案为：x2﹣3x+2＝0． 18．（2024•河北三模）若关于x的一元二次方程（x﹣a）2＝4的两个根均为正整数，写出满足条件的一个a的值为 　　． 【分析】判断出a的范围，可得结论． 【详解】解：∵（x﹣a）2＝4， ∴x﹣a＝±2， ∴x＝a±2， ∵两个根均为正整数， ∴a＞2， 故可以取a＝4． 故答案为：4（答案不唯一）． 19．（2024春•仓山区期末）已知关于x的一元二次方程2x2﹣2x+k﹣1＝0． （1）若这个方程没有实数根，求k的取值范围． （2）方程的两个根分别为m，n，若m2+n2＝9，求k的值． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：（1）∵方程没有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣8（k﹣1）＜0， ∴k＞； （2）∵方程的两个根分别为m，n， ∴mn＝，m+n＝1， ∵m2+n2＝9， ∴（m+n）2﹣2mn＝9， ∴1﹣（k﹣1）＝9， ∴k＝﹣7． 20．（2024春•西湖区期末）已知关于x的一元二次方程x2+bx+5＝0． （1）若方程有两个相等的实数根，求b的值； （2）设x1，x2是方程的两个实数根，当b＝6时，求x2+x1的值． 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到b2﹣4×5＝0，然后解关于b的方程即可； （2）先利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣6，x1x2＝5，再利用因式分解法变形x2+x1得到x1x2（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：（1）根据题意得Δ＝b2﹣4×5＝0， 解得b1＝2，b2＝﹣2； 即b的值为2或﹣2； （2）b＝6时，方程化为x2+6x+5＝0， 根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣6，x1x2＝5， 所以x2+x1＝x1x2（x1+x2）＝5×（﹣6）＝﹣30． 21．（2024春•苏州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0． （1）求证：m取任意实数，该方程总有两个实数根； （2）设该方程的两根分别为x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，求m的值． 【分析】（1）根据题意求出△的值，判断出△的符号即可； （2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后将其代入x1+x2＝3x1x2列出关于m的方程，并解方程即可． 【详解】（1）证明：在关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0中，a＝1，b＝﹣2m，c＝2m﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×（2m﹣1）＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2． ∵无论m为任何实数，（m﹣1）2≥0， ∴4（m﹣1）2≥0． ∴无论m为任何实数，该方程总有两个实数根； （2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0的两根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝2m，x1•x2＝2m﹣1． ∵x1+x2＝3x1x2， ∴2m＝3（2m﹣1）． 解得m＝． 即m的值为． 22．（2024•高坪区三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（1﹣2k）x+k2﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围， （2）当k＝2时，设方程的两个实数根分别为x1，x2，求﹣x1+4++3的值． 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到Δ＝[﹣（1﹣2k）]2﹣4（k2﹣3）＞0，然后解不等式即可； （2）k＝2时，方程变为x2+3x+1＝0，利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，再将变形代入求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得Δ＝[﹣（1﹣2k）]2﹣4（k2﹣3）＞0， 解得k＜； （2）k＝2时，方程变为x2+3x+1＝0， ∵设方程的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1， ∴ ＝x1（﹣）+4++3 ＝x1[（x1+x2）（x1﹣x2）]+4++3 ＝﹣3x1（x1﹣x2）+4++3 ＝﹣3+3x1x2+4++3 ＝3x1x2+++3 ＝（x1+x2）2+x1x2+3 ＝9+1+3 ＝13． 23．（2024•南充模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2﹣k﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若，求k的值． 【分析】（1）根据有两个不相等的实根，则根的判别式大于零，由此即可求解； （2）根据根于系数的关系可知x1+x2＝﹣2k，x1x2＝k2﹣k﹣1，代入x1x2﹣2（x1+x2）+1＝0构造关于k的方程，求解即可． 【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2k）2﹣4（k2﹣k﹣1）＝4k+4＞0， ∴k＞﹣1； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣2k，x1x2＝k2﹣k﹣1， ∵， ∴•＝3， ∴x1x2﹣2（x1+x2）+1＝0， ∴k2﹣k﹣1+4k+1＝0， 解得：k＝0或﹣3（舍去）， ∴k的值为0． 24．（2024春•历下区期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为x1、x2，那么两个根的关系为： ，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程x2+bx+c＝0根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究． 定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． （1）请你判断：方程x2+9x+18＝0是 　　（填“倍根方程”或“方根方程”）； （2）若一元二次方程x2﹣6x+c＝0是“倍根方程”，求c的值； （3）根据探究，小明想设计一个一元二次方程x2+bx+c＝0，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 【分析】（1）求出方程的解，再判断是否为倍根方程； （2）设方程x2﹣6x+c＝0的两个根为x1，x2，由倍根方程”的定义可知x2＝2x1，利用根与系数的关系即可求得c的值； （3）设一元二次方程x2+bx+c＝0，的两个实数根分别为x1、x2，由题意可知x1＝2x2，x1＝或x2＝2x1，x1＝，即可得到方程的根是2、4或、． 【详解】解：（1）解方程x2+9x+18＝0得： x1＝﹣3，x2＝﹣6， ∵x2＝2x1， ∴方程x2+9x+18＝0是倍根方程； 故答案为：“倍根方程”； （2）设方程x2﹣6x+c＝0的两个根为x1，x2， ∵一元二次方程x2﹣6x+c＝0是“倍根方程”， ∴x2＝2x1， ∵x1+x2＝6，x1x2＝c， ∴3x1＝6，2＝c， ∴x1＝2， ∴c＝8； （3）设一元二次方程x2+bx+c＝0，的两个实数根分别为x1、x2， ∵这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”， ∴x1＝2x2，x1＝， ∴2x2＝， 解得x2＝2或x2＝0（舍去）， ∴x1＝4， 或x2＝2x1，x1＝， ∴x2＝， 解得x2＝或x2＝0（舍去）， ∴x1＝， ∴这个方程的根是2、4或、． 专题1-6 一元二次方程根与系数的关系（拔尖篇） 25．（2023春•庐阳区校级期中）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m2﹣m＝0（m＞0）． （1）该方程根的情况是 　　； （2）当m＝1，2，3，…，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，则++++…++的值为 　　． 【分析】（1）由Δ＝22﹣4（﹣m2﹣m），配方后即可判断结果． （2）由根与系数的关系得α1+β1＝﹣2，α1β1＝﹣1×2；α2+β2＝﹣2，α2β2＝﹣2×3；…α2024+β2024＝﹣2，α2024β2024＝﹣2024×2025，把原式化简后代入，采用列项相消法求得结果． 【详解】解（1）Δ＝22﹣4（﹣m2﹣m） ＝4+4m2+4m ＝（2m+1）2+3 ∵（2m+1）2≥0， ∴（2m+1）2+3＞0 即Δ＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． （2）由根与系数的关系得： α1+β1＝﹣2，α1β1＝﹣1×2；α2+β2＝﹣2，α2β2＝﹣2×3；…α2024+β2024＝﹣2，α2024β2024＝﹣2024×2025， ∴++++…++ ＝++…+ ＝++…+ ＝2（1﹣++﹣+…+﹣） ＝2（1﹣） ＝． 故答案为：． 26．将代数式m2+2记为A，代数式2m﹣1记为B，现进行如下操作：记u1＝A+B，v1＝A﹣B；u2＝u1+v1，v2＝u1﹣v1；u3＝u2+v2，v3＝u2﹣v2…以此类推．下列说法：①u6＝8m2+16；②若m，n为正整数，为整数，则m＝1或2或5；③关于m的方程3un﹣2vn+2＝0（n为正整数）只有2个实数根；④当m＝0时，代数式v1+v2+v3+…+v50取得最小值，其中正确的有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】依据题意，根据所给条件和运算操作，找出数字的变化规律然后逐个进行分析判断即可得解． 【详解】解：由题意得，A＝m2+2，B＝2m﹣1， ∴u1＝A+B＝m2+2m+1，v1＝A﹣B＝m2﹣2m+3． u2＝u1+v1＝2A，v2＝u1﹣v1＝2B， u3＝u2+v2＝2A+2B＝2（A+B），v3＝u2﹣v2＝2A﹣2B＝2（A﹣B）， u4＝u3+v3＝4A＝22A，v4＝u3﹣v3＝4B＝22B， u5＝u4+v4＝4（A+B）＝22（A+B），v5＝u4﹣v4＝4（A﹣B）＝22（A﹣B ）， u6＝u5+v5＝8A＝23A，v6＝u5﹣v5＝8B＝23B， u7＝u6+v6＝8（A+B ）＝23（A+B ），v7＝u6﹣v6＝8（A﹣B）＝23（A﹣B ）， 依次类推，u2n﹣1＝2n﹣1（A+B ）＝2n﹣1（m2+2m+1），u2n＝2nA＝2n（m2+2）， v2n﹣1＝2n﹣1（A﹣B ）＝2n﹣1（m2﹣2m+3），v2n＝2nB＝2n（2m﹣1）， ∴u6＝23A＝23（m2+2）＝8m2+16，故①正确； 4u2n＝4×2n（m2+2）＝2n（4m2+8）＝2n（4m2﹣1+9）， ∴＝＝2m+1+， ∵m，n 为正整数，为整数，2m+1为整数， ∴2m﹣1＝1或2m﹣1＝3或2m﹣1＝9， 解得 m＝1或 m＝2或 m＝5，故②正确； 关于 m 的方程3un﹣2vn+2＝0， 当 n＝2k﹣1时，3u2k﹣1﹣2v2（k+1）﹣1＝0， 3×2k﹣1（m2+2m+1）﹣2×2k（m2﹣2m+3）＝0， 3（m2+2m+1）﹣4（m2﹣2m+3）＝0， 整理，得﹣m2+14m﹣9＝0， 即m2﹣14m+9＝0， ∵Δ＝（﹣14）2﹣4×1×9＞0， ∴此时原方程有两个不相等的实数根； 当 n＝2k时，3un﹣2vn+2＝0， 3u2k﹣2v2（k+1）＝0， 3×2k（m2+2）﹣2×2k+1（2m﹣1）＝0， 即3（m2+2）﹣4（2m﹣1）＝0， 整理，得3m2﹣8m+10＝0， Δ＝（﹣8）2﹣4×3×10＜0， 此时原方程无实数根， ∴关于m的方程3un﹣2vn+2＝0（n为正整数）只有2个实数根，故③正确； v1+v2+v3+…+v50 ＝（v1+v3+…++v49）+（v2+v4+…+v50） ＝（1+2+22+...+224）（m2﹣2m+3）+（21+22+23+…+225）（2m﹣1） ＝（1+2+22+...+224）m2+2（1+2+22+...+224）m+（1+2+22+...+224） ＝（1+2+22+...+224）（m2+2m+1） ＝（1+2+22+...+224）（m+1）2， ∴当 m＝﹣1时，v1+v2+v3+…+v50取得最小值，故④错误． 故正确的结论有①②③共3个． 故选：B． 27．（2022•西城区校级模拟）已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣4＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，且x1＝3x2，求m的值． 【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，判断Δ与0的关系． （2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，再利用x1＝3x2形成关于m的方程，然后求解即可． 【详解】（1）证明：关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣4＝0， ∵a＝1，b＝﹣4m，c＝4m2﹣4． ∴Δ＝（﹣4m）2﹣4×1×（4m2﹣4）＝16＞0． ∴此方程有两个不相等的实数根； （2）解：若此方程的两个根分别为x1，x2，由题意得， x1+x2＝4m，x1x2＝4m2﹣4． ∵x1＝3x2， ∴3x2+x2＝4m， 即x2＝m， ∴x1＝3m， ∴3m•m＝4m2﹣4，即m2＝4， 解得m＝±2． 当m＝﹣2时， x1＝﹣6，x2＝﹣2． 此时x1＜x2，不符合题意． ∴m＝﹣2舍去 故m的值为2． 28．（2017•兴宁区校级自主招生）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2， （1）若x12+x22＝6，求m值； （2）令T＝+，求T的取值范围． 【分析】首先根据方程有两个不相等的实数根及m是不小于﹣1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积． （1）变形x12+x22为（x1+x2）2﹣2x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值； （2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， 所以Δ＝[2（m﹣2）]2﹣4（m2﹣3m+3） ＝﹣4m+4＞0， 所以m＜1， 又∵m是不小于﹣1的实数， ∴﹣1≤m＜1． ∴x1+x2＝﹣2（m﹣2）＝4﹣2m，x1•x2＝m2﹣3m+3； （1）∵x12+x22＝6， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝6， 即（4﹣2m）2﹣2（m2﹣3m+3）＝6． 整理，得m2﹣5m+2＝0． 解得m＝； ∵﹣1≤m＜1， 所以m＝． （2）T＝+ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2﹣2m． ∵T＝2﹣2m， ∴m＝1﹣． ∵﹣1≤m＜1，且m≠0， ∴﹣1≤1﹣＜1且1﹣≠0． 解得0＜T≤4且T≠2． 29．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1≤x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若方程为x2﹣3x＝0，写出该方程的衍生点M的坐标． （2）若关于x的一元二次方程x2﹣（5m+1）x+5m＝1的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． （3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx+2（k+3）上？若存在，请求出b，c的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）解方程x2﹣3x＝0后，根据定义即可求M点坐标； （2）方程的两根分别为 x1，x2，且x1≤x2．根据过点M向两坐标轴作垂线，两条垂线与x轴、y轴恰好围成一个正方形，可知x1＝x2或x1+x2＝0．由Δ进行判断求出m的值即可； （3）由直线经过定点（﹣2，6），则方程x2+bx+c＝0的衍生点M为（﹣2，6），即可求b＝﹣4，c＝﹣12． 【详解】解：（1）x2﹣3x＝0的解为x＝0或x＝3， ∴x1＝0，x2＝3， ∴M（0，3）， ∴该方程的衍生点M的坐标（0，3）； （2）x2﹣（5m+1）x+5m＝1， x2﹣（5m+1）x+5m﹣1＝0， 设方程的两根分别为 x1，x2，且x1≤x2．根据过点M向两坐标轴作垂线，两条垂线与x轴、y轴恰好围成一个正方形，可知x1＝x2或x1+x2＝0． 当x1＝x2或时，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（5m+1）]2﹣4×1×（5m﹣1）＝0， 整理得5m2﹣2m+1＝0，此时方程无实数根； 当x1≤x2时，x1+x2＝0， ∴5m+1＝0， 解得 m＝﹣． 综上m的值为﹣； （3）存在b，c满足条件，理由如下： ∵y＝kx+2（k+3）＝kx+2k+6＝k（x+2）+6， ∴直线经过定点（﹣2，6）， ∴方程x2+bx+c＝0的衍生点M为（﹣2，6）， ∴b＝﹣4，c＝﹣12． 30．（2022秋•大丰区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣m2﹣m＝0（m＞0）． （1）试判断这个方程根的情况； （2）若对于m＝1，2，3，…，2022，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2022、β2022，求的值． 【分析】（1）由x2+2x﹣m2﹣m＝0（m＞0）可得Δ＝4﹣4×1×（﹣m2﹣m）＝4m2+4m+4＝（2m+1）2+3≥3＞0，据此判断即可． （2）由x2+2x﹣m2﹣m＝0两根为αi、βi则当αi+βi＝﹣2，αiβi＝﹣m2﹣m，当m＝1，2，3，…，2022时，分别得到对应值即可解决． 【详解】解：（1）由x2+2x﹣m2﹣m＝0（m＞0）， ∴Δ＝4﹣4×1×（﹣m2﹣m） ＝4m2+4m+4 ＝（2m+1）2+3≥3＞0， ∴无论m取何值，x2+2x﹣m2﹣m＝0总有两个不等实数根； （2）由x2+2x﹣m2﹣m＝0两根为αi、βi， ∴αi+βi＝﹣2，αiβi＝﹣m2﹣m， 当m＝1时，则α1+β1＝﹣2，α1β1＝﹣2， 故＝＝1， 当m＝2时，则α2+β2＝﹣2，α2β2＝﹣6， 故+＝＝， 当m＝3时，则α3+β3＝﹣2，α3β3＝﹣12， 故+＝＝， 当m＝4时，则α4+β4＝﹣2，α4β4＝﹣20， 故+＝＝， 当m＝5时，则α5+β5＝﹣2，α5β5＝﹣30， 故+＝＝， 当m＝6时，则α6+β6＝﹣2，α6β6＝﹣42， 故+＝＝， ..． 当m＝2022时则α2022+β2022＝﹣2，α2022β2022＝﹣4090506， 则+＝＝， ∴ ＝1++++++....+ ＝2×（+++++...+） ＝2×（﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+..+﹣） ＝2×（1﹣） ＝2× ＝． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$