17.4一元二次方程的应用（12大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪教版）

17.4 一元二次方程的应用 知识点一 二次三项式的因式分解 1. 二次三项式的因式分解 如果一元二次方程（a≠0）实数根是, 那么二次三项式的分解式为 2. 利用公式法将二次三项式分解因式的步骤 (1) 求二次三项式所对应的一元二次方程 （a≠0）的两个根; (2) 将求得的的值代入中. 注意： 1. 有些二次三项式可用十字相乘法进行因式分解； 2.当时，分解式中的因不要漏写.当时，,此时称 为完全平方式. 3.把二次三项式（a≠0）分解因式时， (1)如果,那么先求出方程的两个实数根，再写出分解式. (2)如果,那么方程没有实数根，在实数范围内不能因式分解 知识点二 列一元二次方程解实际问题的一般步骤 1.列方程解实际问题的实质 列方程解实际问题就是先把实际问题抽象为数学问题(即转化)然后通过解决数学问题来解决实际问题。 2. 列一元二次方程解实际问题的一般步骤 (1) 审:是指审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的数量关系. (2) 设:是指设元,也就是设未知数,设元又分和.所谓直接设元就是问什么设什么;如果直接设元列方程比较难或列出的方程比较复杂,这时可以考虑间接设元,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但更便于列出方程,因此间接设元也是常用的一种方法. (3) 列:列方程,一般先,然后，就得到含有未知数的等式，即方程. (4) 解:解方程,求出未知数的值. (5) 验:检验方程的解是否正确及能否使实际问题有意义. (6) 答:回答问题一定要遵循“问什么答什么，怎样问就怎样答”的原则. 简记：审设列解验答。 知识点三 列一元二次方程解常见的实际问题 常见题型 列方程的理论依据 行程问题 路程=速度×时间 平均增长率(降低率)问题 为起始量,为终止量，为增长(或降低)的次数， 平均增长率公式:(为平均增长率) 平均降低率公式:(为平均降低率) 传播问题 传播的第二轮可以抽象为一元二次方程，设为传染源数，为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染总个数为 销售利润问题 利润=售价-进价; ； 售价=进价×(1+利润率); 总利润=总售价－总成本=单件利润×总销售量 几何图形问题 利用几何图形的面积、周长公式 存款利息问题 本息和＝本金+利息;利息＝本金×利率×期数 数字问题 两位整数＝十位数字×10＋个位数字; 三位整数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字 工程问题 一般情况把工作总量设为单位“1” 当甲独立完成整个工作时，工作时间与工作效率互为倒数 工作效率×工作时间＝工作总量 动态几何问题 运用几何知识以及行程公式， 一般采用间接设元的方法 知识点四 （拓展补充）一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 设方程①的两实数根分别为和，则该方程可化为.整理，得② .比较①②的系数，得，.所以方程的根与系数的关系为，. 注意：当一元二次方程二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 2.方程（a≠0）的根与系数的关系的推导 若一元二次方程（a≠0）有实数根，设这两个实数根分别为， 由求根公式得（）， 令，. 由此可得+=+=， =·=. 所以，. 这一结论表明:一元二次方程两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.此结论称为一元二次方程根与系数的关系（也叫“韦达定理”）. 3.以，为实数根的一元二次方程（二次项系数为1） 4.与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形 前提条件：（1）方程是一元二次方程（2）方程有实数根，即△≥0. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 题型一 传播问题（一元二次方程的应用） 解题技巧提炼 换元法因式分解是每年期中期末必热点题型，方法是先找到整个方程中的不变整体，我们将它用一个字母形式表示；然后再将二次三项式转化为一元二次方程，再利用公式法解出方程的根，最后将其回代到a（x-x1）（x-x2）公式中即可. 1．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意列出方程是（    ） A． B． C． D． 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个主干长出的支干数量是 个． 3．某人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x个人，则可得到方程 ． 4．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）一个小组有若干人，中秋节互送贺卡，若全组共送90张贺卡，则这个小组共有多少人？ 题型二 增长（降低）率问题（一元二次方程的应用） 解题技巧提炼 增长(降低)率通法： (1)平均增长率是指增长数与基数的比.若基数为a,增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),两次增长后的值为 a(1+x)².依此类推,n次增长后的值为a(1+x)n， (2)平均降低率是指降低数与基数的比,若基数为a,降低率为x,则一次降低后的值为a(1-x)，两次降低后的值为a(1-x)².依此类推，n次降低后的值为a(1-x)n. 5．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）某地2023年6月份的房价平均每平方米为21000元，该地2021年同期的房价平均每平方米为16800万元，假设这两年该地房价的平均增长率均为x，则可列关于x的方程为： ． 6．（23-24八年级上·上海·阶段练习）某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是x，则可以列出方程（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·上海宝山·期末）随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽件5000件、十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，那么由题意可得方程（　　） A． B． C． D． 8．（22-23八年级上·上海静安·期中）已知某商场一月份营业额为10万元，二月份经营不善，营业额减少，三份开始整顿，到四月份营业额为12.32万元．若三、四月份月增长率相同，设三月份的增长率为，则可以列出方程（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·上海闵行·期末）某件商品原价为200元，经过两次促销降价后的价格为164元，如果连续两次降价的百分率相同，设两次降价的百分率都是x，那么可以列出方程 ． 10．（23-24八年级上·上海崇明·期末）某型号的手机经过连续两次降价，每部售价由原来的1152元降到了800元．设平均每次降价的百分率为x，列出关于x的方程 ． 11．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）某商场对空调进行两次降价，假设两次降价的百分率相同，降价后的价格为降价前的，则每次降价百分率为 ． 12．（23-24八年级上·上海青浦·期中）某木器厂今年一月份生产了课桌500张，后因管理不善，二月份的产量减少了 . 从三月份起加强了管理，产量逐月上升，四月份产量达到648张. 如果三、四月份的月增长率相同，设这个增长率为 ，则根据题意可列方程为 ． 13．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额为700万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，设这个增长率为x，那么列出的方程是 ． 14．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）某工厂自1月至3月的生产收入以相同的百分率逐月增长、经预算，1月份生产收入为25万元，一季度的生产收入可达91万元，设2月和3月工厂每月生产收入增长的百分率都为，可列方程 15．（2024·上海松江·二模）我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增长，第三季度的销量比第二季度增长，那么预计第三季度的销量为 万辆． 题型三 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 解题技巧提炼 解决此类问题的关键是把实际问题抽象成几何问题，并根据条件列方程计算，注意检验解出的结果是否符合实际. 16．（23-24八年级上·上海金山·期中）在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长米，养鸡场的面积是平方米．    (1)据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡只，请求出这个增长率； (2)为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去米，在板材上有两处各开了一扇宽为米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽为多少米？ 17．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图，从一个长10分米、宽8分米的铁片中间截去一个面积为60平方分米的小长方形，使剩下长方形框四周宽度一样．如果设这个宽度为分米，那么所列出的方程是（     ） A．； B．； C．； D．． 18．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在长为米、宽为米的长方形绿地内，修筑三条相同宽且分别平行于长方形相邻两边的道路，把绿地分成块，这块绿地的总面积为平方米．如果设道路宽为米，由题意所列出关于的方程是 ． 19．（22-23八年级上·上海静安·期中）如图，在一个长为，宽为的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为，那么可列方程（不用化简）为    20．（23-24八年级上·上海松江·期末）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？ 21．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏民族舞表演．表演前，主办方工作人员准备利用米长的墙为一边，用米隔栏绳为另三边，设立一个面积为平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米？ 22．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）如图，某艺术中心准备用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米？    23．（23-24八年级上·上海闵行·期中）某小区居委会为了方便居民的电瓶车充电，准备利用一边靠墙（墙长15米）的空旷场地利用栅栏围成一个面积为80平方米的电瓶车充电区，如图，为了方便进出，在垂直于墙的两边空出两个宽各为2.5米的出入口，一共用去栅栏21米，请问长方形的充电区的相邻两边长分别是多少米？ 24．（23-24八年级上·上海·阶段练习）中国上海国际艺术节期间，主办方工作人员准备利用一边靠墙(墙长26米)的空旷场地为提前到场的观众设立面积为300平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳48米．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？    25．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）某小区居委会为了方便居民的电瓶车充电，准备利用一边靠墙（墙长米）的空旷场地利用栅栏围城一个面积为平方米的电瓶车充电区，如图，为了方便进出，在两边空出两个宽各为米的出入口，一共用去栅栏米，请问长方形的充电区的相邻两边长分别是多少米？ 解：设这个长方形电瓶车充电区垂直于墙的一边是米，平行于墙的一边为　米． 根据题意得：（完成填空后继续解题） 26．（23-24八年级上·上海长宁·期中）如图，学校准备用米长的铁栅栏，靠一面米长的墙围一个占地面为长方形的生态实验园，铁栅栏围三边，如果生态实验园的占地面积为平方米，那么长方形相邻两边的长分别是多少米？    27．（23-24八年级上·上海闵行·期中）如图，某农场有一道长米的围墙，计划用米长的围栏靠墙围成一个面积为平方米的长方形养鸡场，在墙的对面开了一个1米宽的门，求围成长方形养鸡场的边的长度． 28．（23-24八年级上·上海普陀·期中）如图1，要建一个面积为140平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；在与墙垂直的一边，要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米．    (1)这个仓库设计的长和宽分别为多少米； (2)如图2，要在仓库外铺一圈宽为米、总面积为76平方米的地砖，求的值． 题型四 销售问题（一元二次方程的应用） 解题技巧提炼 销售问题资料库 利润=售价-进价; ； 售价=进价×(1+利润率); 总利润=总售价－总成本=单件利润×总销售量 29．（23-24八年级上·上海青浦·期中）小毛将进货单价为40元的商品按50元出售，每天可卖500个，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，小毛为使这种商品每天赚得8000元的利润，商品的售价应定为每件多少元？ 30．（23-24八年级上·上海闵行·期末）某商店从厂家以每件30元的价格购进一批商品，经过市场调研发现，若每件商品售价为a元，则可以卖出件；但政府限定每件商品加价不能超过进价的40%，如果店家计划赚330元，那么每件商品售价是多少元？ 31．（23-24八年级上·上海松江·期中）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 32．（23-24八年级上·上海普陀·期中）某商场将进货价为20元的水彩笔套盒以25元售出，平均每月能售出800盒．调查表明：当售价在25元至40元范围内时，这种水彩笔套盒的售价每上涨1元，销售量会减少10盒．为了实现平均每月10500元的销售利润，这种水彩笔套盒每盒的售价应定为多少元？ 33．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价． 34．（22-23八年级上·上海青浦·期中）为助力攻坚脱贫，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，已知其3月份的销售量达到400包，若农产品礼包每包的进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？ 35．（22-23八年级上·上海·期中）某商场将进货价为每只30元的台灯以每只40元售出，平均每月能售出600只，调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只．当这种台灯的售价定为多少元时，每个月的利润恰为10000元？ 36．（22-23八年级上·上海·期中）某平台网店销售医用外科口罩，每盒售价元，每星期可卖盒，为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期多卖盒，已知该款口罩每盒成本价为元，若该网店想一星期获利元，且尽快减少库存，那么这星期预期销售多少盒口罩？ 37．（22-23八年级上·上海浦东新·期中）某商店如果将进货价为每件10元的商品按每件12元出售，每天可销售200件，这种商品如果每涨价一元，其销售量就减少10件． (1)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润达到1200元？ (2)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大的利润是多少？ 题型五 工程问题（一元二次方程的应用） 解题技巧提炼 1.一般情况把工作总量设为单位“1” 2.当甲独立完成整个工作时，工作时间与工作效率互为倒数 3.工作效率×工作时间＝工作总量 38．（21-22八年级上·上海静安·期末）在今年月号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的；如果九年级共青团员先做小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时． 39．（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 40．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 41．2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． (1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ (2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 42．由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 题型六 动态几何问题（一元二次方程的应用） 解题技巧提炼 解决动点问题的通用策略 动点问题是动态几何问题最常见的形式之一，解决动点问题要先分析出动点的运动特点，包括起始位置、终止位置、运动方向、运动轨迹、运动速度和运动时间，再结合具体的几何图形，运用相关知识列方程求解.注意对所求结果要进行检验，看是否符合题意. 43．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　）    A． B． C． D． 44．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是． 45．如图中，，，．点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：经过几秒，的面积等于 46．如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 47．如图，在长方形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动．设运动时间为 (1) cm， cm；(用含x的式子表示) (2)若的面积为，求x的值． 48．如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)当t为何值时，线段的长为？ 49．如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ； （2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 50．如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点A以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 51．如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 52．如图，点B在射线上，过点B作射线，点C在射线上，且，点P由点A开始沿射线运动，点Q由点C开始沿射线运动，两点同时出发，速度都是，与直线相交于点D，设点P的运动时间为，的面积为． (1)当点在射线上时，，求的值． (2)求出关于的函数关系式． (3)当点运动多少秒时，． 题型七 数字问题（一元二次方程的应用） 解题技巧提炼 解决数字问题的通用策略 解决此类题的关键是厘清数量关系,若题目涉及多个数的和、差、倍、分等关系,可先设其中任意一个数为x,则其他数可用含x的代数式表示出来，再根据题目条件列方程求解。 数字问题不算难，巧妙设元是关键正确而巧妙地设出未知数，一般采用如下的间接设元法: (1)三个连续整数的表示:一般设中间一个数是x，则其余两个数分别为x-1,x+1. (2)三个连续偶数或三个连续奇数的两种表示: ①设中间偶(奇)数为x,则三个连续偶(奇)数可表示为x-2,x,x+2. ②三个连续偶数可以表示为2x-2,2x,2x+2;三个连续奇数可以表示为 2x-3,2x-1,2x+1. (3)两位数的表示方法:若十位、个位上的数字分别为a,b,则这个两位数可表示为 10a +b. (4)三位数的表示方法:若百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c,则这个三位数可表示为100a+10b+c. 53．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（   ） A．25 B．36 C．25或36 D．或 54．（22-23八年级上·上海·阶段练习）如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是 ． 55．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）两个连续正整数的平方和为113，则这两个数的积是 ． 56．如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 题型八 图表信息题（一元二次方程的应用） 解题技巧提炼 列方程解决实际问题“必备三环节” (1)整体、系统地分析题意; (2)找到题目中的等量关系，列方程; (3)正确求解方程并检验解的合理性 57．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 58．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． （1）当时，请直接写出的值； （2）当时，求的值． 59．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 题型九 行程问题（一元二次方程的应用） 解题技巧提炼 (1) 路程=速度×时间； (2) 相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程； (3) 追及问题：速度差×追及时间=追及路程. 60．飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ． 61．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了 秒． 62．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 63．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 64．如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且，若点A沿数轴向右移动个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数．    (1)a的值为 ，c的值为 ； (2)动点 P，Q分别同时从点A，C 出发，点P以每秒3个单位长度的速度向终点C移动，点Q以每秒m个单位长度的速度向终点A 移动，点P表示的数为x． ①若点P，Q在点B处相遇，求m的值； ②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x 的值． 题型十 换元法因式分解 解题技巧提炼 换元法因式分解是每年期中期末必热点题型，方法是先找到整个方程中的不变整体，我们将它用一个字母形式表示；然后再将二次三项式转化为一元二次方程，再利用公式法解出方程的根，最后将其回代到a（x-x1）（x-x2）公式中即可. 65. 在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 66. 在实数范围内分解因式：． 67. 在实数范围内分解因式：；         题型十一 主元素法分解因式 解题技巧提炼 主元素法：当二次三项式式中有两种字母时,可选一个字母为主元素,另一字母为常数. 例如分解因式 以为主元素:. 所以 以为主元素: 所以 68. 在实数范围内分解因式：2x2-3xy-4y2． 69. 在实数范围内分解因式： 70. 在实数范围内把多项式分解因式所得的结果是 ． 题型十二 实数范围内分解因式求参数取值范围 解题技巧提炼 二次三项式在实数范围内分解问题，先将其转化成二次三项式对应的方程，然后再根据判别式解不等式求出参数的取值范围. 71. 二次三项式，当取何值时， (1)在实数范围内能分解； (2)不能分解； (3)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？ 72. 若多项式在实数范围内不能分解因式，则能取的最小整数值是多少？ 73. 二次三项式，当a取何值时， (1)在实数范围内能分解； (2)能分解成两个相同的因式； (3)不能因式分解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.4 一元二次方程的应用 知识点一 二次三项式的因式分解 1. 二次三项式的因式分解 如果一元二次方程（a≠0）实数根是, 那么二次三项式的分解式为 2. 利用公式法将二次三项式分解因式的步骤 (1) 求二次三项式所对应的一元二次方程 （a≠0）的两个根; (2) 将求得的的值代入中. 注意： 1. 有些二次三项式可用十字相乘法进行因式分解； 2.当时，分解式中的因不要漏写.当时，,此时称 为完全平方式. 3.把二次三项式（a≠0）分解因式时， (1)如果,那么先求出方程的两个实数根，再写出分解式. (2)如果,那么方程没有实数根，在实数范围内不能因式分解 知识点二 列一元二次方程解实际问题的一般步骤 1.列方程解实际问题的实质 列方程解实际问题就是先把实际问题抽象为数学问题(即转化)然后通过解决数学问题来解决实际问题。 2. 列一元二次方程解实际问题的一般步骤 (1) 审:是指审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的数量关系. (2) 设:是指设元,也就是设未知数,设元又分直接设元和间接设元.所谓直接设元就是问什么设什么;如果直接设元列方程比较难或列出的方程比较复杂,这时可以考虑间接设元,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但更便于列出方程,因此间接设元也是常用的一种方法. (3) 列:列方程,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系,然后列代数式表示这个等量关系，就得到含有未知数的等式，即方程. (4) 解:解方程,求出未知数的值. (5) 验:检验方程的解是否正确及能否使实际问题有意义. (6) 答:回答问题一定要遵循“问什么答什么，怎样问就怎样答”的原则. 简记：审设列解验答。 知识点三 列一元二次方程解常见的实际问题 常见题型 列方程的理论依据 行程问题 路程=速度×时间 平均增长率(降低率)问题 为起始量,为终止量，为增长(或降低)的次数， 平均增长率公式:(为平均增长率) 平均降低率公式:(为平均降低率) 传播问题 传播的第二轮可以抽象为一元二次方程，设为传染源数，为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染总个数为 销售利润问题 利润=售价-进价; ； 售价=进价×(1+利润率); 总利润=总售价－总成本=单件利润×总销售量 几何图形问题 利用几何图形的面积、周长公式 存款利息问题 本息和＝本金+利息;利息＝本金×利率×期数 数字问题 两位整数＝十位数字×10＋个位数字; 三位整数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字 工程问题 一般情况把工作总量设为单位“1” 当甲独立完成整个工作时，工作时间与工作效率互为倒数 工作效率×工作时间＝工作总量 动态几何问题 运用几何知识以及行程公式， 一般采用间接设元的方法 知识点四 （拓展补充）一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 设方程①的两实数根分别为和，则该方程可化为.整理，得② .比较①②的系数，得，.所以方程的根与系数的关系为，. 注意：当一元二次方程二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 2.方程（a≠0）的根与系数的关系的推导 若一元二次方程（a≠0）有实数根，设这两个实数根分别为， 由求根公式得（）， 令，. 由此可得+=+=， =·=. 所以，. 这一结论表明:一元二次方程两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.此结论称为一元二次方程根与系数的关系（也叫“韦达定理”）. 3.以，为实数根的一元二次方程（二次项系数为1） 4.与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形 前提条件：（1）方程是一元二次方程（2）方程有实数根，即△≥0. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 题型一 传播问题（一元二次方程的应用） 解题技巧提炼 换元法因式分解是每年期中期末必热点题型，方法是先找到整个方程中的不变整体，我们将它用一个字母形式表示；然后再将二次三项式转化为一元二次方程，再利用公式法解出方程的根，最后将其回代到a（x-x1）（x-x2）公式中即可. 1．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意得： ， 故选：C． 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个主干长出的支干数量是 个． 【答案】9 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用---传播问题，等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数目，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支． ， ， 解得（不合题意，舍去），， 故答案为：9． 3．某人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x个人，则可得到方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染了个人， 经过一轮传染之后有x+1人感染流感，两轮感染之后的人数为49人，依此列出一元二次方程即可. 【详解】解： 设每一轮传染中平均每人传染了x个人，，依题可得： . 故答案为. 4．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）一个小组有若干人，中秋节互送贺卡，若全组共送90张贺卡，则这个小组共有多少人？ 【答案】这个小组共有个人 【分析】设这个小组共有个人，则可得每个人要送张贺卡，根据全组共送90张贺卡，列方程即可解答． 【详解】解：设这个小组共有个人，则可得每个人要送张贺卡， 由题意得， 解得（舍去）， 这个小组共有个人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到每个人要送人数减1张贺卡，是解题的关键． 题型二 增长（降低）率问题（一元二次方程的应用） 解题技巧提炼 增长(降低)率通法： (1)平均增长率是指增长数与基数的比.若基数为a,增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),两次增长后的值为 a(1+x)².依此类推,n次增长后的值为a(1+x)n， (2)平均降低率是指降低数与基数的比,若基数为a,降低率为x,则一次降低后的值为a(1-x)，两次降低后的值为a(1-x)².依此类推，n次降低后的值为a(1-x)n. 5．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）某地2023年6月份的房价平均每平方米为21000元，该地2021年同期的房价平均每平方米为16800万元，假设这两年该地房价的平均增长率均为x，则可列关于x的方程为： ． 【答案】 【分析】增长率问题的基本关系式为：，其中是增长前的量，是增长后的量，是增长率，是增长期数，据此求解即可． 【详解】解：设这两年该地房价的平均增长率均为x，依据题意可列方程：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的基本关系是解题的关键． 6．（23-24八年级上·上海·阶段练习）某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是x，则可以列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键．根据该厂今年十月份以及十二月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：由题意得：． 故选：D． 7．（23-24八年级上·上海宝山·期末）随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽件5000件、十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，那么由题意可得方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该快递店十一月、十二月揽件量的增长率都是x，关系式为：三个月总揽件数＝十月揽件数十一月揽件数十月揽件数（1揽件平均增长率）2，把相关数值代入即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律． 【详解】设该快递店十一月、十二月揽件量的增长率都是x，由题意可得方程： ． 故选：B． 8．（22-23八年级上·上海静安·期中）已知某商场一月份营业额为10万元，二月份经营不善，营业额减少，三份开始整顿，到四月份营业额为12.32万元．若三、四月份月增长率相同，设三月份的增长率为，则可以列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得二月份的营业额为，则三月份的营业额为，根据三、四月份月增长率相同，四月份营业额为12.32万元，可得方程，即可解答． 【详解】解：由题意可得方程， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 9．（23-24八年级上·上海闵行·期末）某件商品原价为200元，经过两次促销降价后的价格为164元，如果连续两次降价的百分率相同，设两次降价的百分率都是x，那么可以列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据经过两次促销降价后的价格为164元，列出方程即可． 【详解】解：设两次降价的百分率都是x，由题意，得：； 故答案为：． 10．（23-24八年级上·上海崇明·期末）某型号的手机经过连续两次降价，每部售价由原来的1152元降到了800元．设平均每次降价的百分率为x，列出关于x的方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的售价为元，则第二次降价后的售价为元，据此列出方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 由题意得，， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）某商场对空调进行两次降价，假设两次降价的百分率相同，降价后的价格为降价前的，则每次降价百分率为 ． 【答案】 【分析】设降价的百分率为，根据降价后的价格为降价前的，列方程即可解答． 【详解】解：设降价的百分率为， 根据题意，可得， 解得，（舍去）， 每次降价百分率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，准确读懂题意，得到等量关系是解题的关键． 12．（23-24八年级上·上海青浦·期中）某木器厂今年一月份生产了课桌500张，后因管理不善，二月份的产量减少了 . 从三月份起加强了管理，产量逐月上升，四月份产量达到648张. 如果三、四月份的月增长率相同，设这个增长率为 ，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程应用，审清题意、找准等量关系成为解题的关键． 先计算出二月份的产量，设3月份、4月份的平均增长率为x，然后再根据“”以及四月份产量达到648张即可列出方程． 【详解】解：根2月份生产课桌张， 设3月份、4月份的平均增长率为x，则3月份的产量是，4月份的产量是， 所以 ． 故答案为：． 13．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额为700万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，设这个增长率为x，那么列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据增长率为x，先得到二月份的营业额，三月份的营业额，再根据一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额列方程即可． 【详解】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x， ∴二月份的营业额为， ∴三月份的营业额为， ∴可列方程为， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）某工厂自1月至3月的生产收入以相同的百分率逐月增长、经预算，1月份生产收入为25万元，一季度的生产收入可达91万元，设2月和3月工厂每月生产收入增长的百分率都为，可列方程 【答案】 【分析】设每月生产收入的增长率为，根据“季度的生产收入可达91万元”列一元二次方程即可；掌握一元二次方程的增长率问题是解题的关键． 【详解】解：设每月生产收入的增长率为， 则2月份生产收入，3月份生产收入， 根据题意可得：． 故答案为：． 15．（2024·上海松江·二模）我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增长，第三季度的销量比第二季度增长，那么预计第三季度的销量为 万辆． 【答案】13.2 【分析】本题考查了销售增长率的问题，利用“第二季度的销量=第一季度的销量（1+增长率），第三季度的销量=第二季度的销量（1+增长率）”，即可求解． 【详解】， 故答案为：13.2． 16．（23-24八年级上·上海金山·期中）在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长米，养鸡场的面积是平方米．    (1)据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡只，请求出这个增长率； (2)为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去米，在板材上有两处各开了一扇宽为米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽为多少米？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）设这个增长率为，根据养鸡场今年养鸡只，预估后年养鸡只，列出一元二次方程，解之取其正值即可； （）设重建后的养鸡场的宽为米，则的长为米，根据养鸡场的面积是平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设这个增长率为， 由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：这个增长率为； （2）设重建后的养鸡场的宽为米，则的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，的长为：（米），不合题意； 当时，的长为：（米）米； ∴米， 答：重建后的养鸡场的宽为米． 题型三 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 解题技巧提炼 解决此类问题的关键是把实际问题抽象成几何问题，并根据条件列方程计算，注意检验解出的结果是否符合实际. 17．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图，从一个长10分米、宽8分米的铁片中间截去一个面积为60平方分米的小长方形，使剩下长方形框四周宽度一样．如果设这个宽度为分米，那么所列出的方程是（     ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设这个宽度为分米，根据中间小长方形面积为60平方分米，列出方程即可． 【详解】解：设这个宽度为分米，则中间小长方形的长为分米，宽为分米，根据题意得： ， 故选：C． 18．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在长为米、宽为米的长方形绿地内，修筑三条相同宽且分别平行于长方形相邻两边的道路，把绿地分成块，这块绿地的总面积为平方米．如果设道路宽为米，由题意所列出关于的方程是 ． 【答案】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路宽为米，则绿地的长为米，宽为米，解题的关键是正确理解题意，列出方程． 【详解】设道路宽为米，则绿地的长为米，宽为米，由题意得： ， 故答案为：． 19．（22-23八年级上·上海静安·期中）如图，在一个长为，宽为的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为，那么可列方程（不用化简）为    【答案】 【分析】题目中存在的等量关系为矩形花园的面积小道的面积，据此可求得答案． 【详解】根据题意，得 ，． 根据，可得 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实际问题与二元一次方程，能用含有未知数的代数式表示出等量关系是解题的关键． 20．（23-24八年级上·上海松江·期末）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？ 【答案】比赛区域的长为16米，宽为9米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每块跳绳场地的宽为x米，则其长为米，根据比赛场地的面积为144平方米列出一元二次方程，求解即可，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每块跳绳场地的宽为x米，则其长为米，由题意得 ， 解得， ∴米，米， 所以，比赛区域的长为16米，宽为9米． 21．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏民族舞表演．表演前，主办方工作人员准备利用米长的墙为一边，用米隔栏绳为另三边，设立一个面积为平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米？ 【答案】长方形的长为10米，宽为6米． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这个长方形的长为米，则宽为，然后根据长方形的面积是60平方米列出方程求解即可得到答案． 【详解】解：设这个长方形的长为x米，则宽为， 由题意得： 解得或， ∵平行于墙的一边为长，墙长为11米， ∴长方形的长不能超过11米， ∴， ∴， ∴长方形的长为10米，宽为6米． 答：长方形的长为10米，宽为6米． 22．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）如图，某艺术中心准备用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米？    【答案】长方形的长为20米，宽为15米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这个长方形的长为x米，则宽为，然后根据长方形的面积是300平方米列出方程求解即可得到答案．解题的关键在于能够根据题意列出方程进行求解． 【详解】解：设这个长方形的长为x米，则宽为米， 由题意得：，即， 解得或， ∵平行于墙的一边为长，墙长为26米， ∴长方形的长不能超过26米， ∴， ∴， ∴长方形的长为20米，宽为15米． 答：长方形的长为20米，宽为15米． 23．（23-24八年级上·上海闵行·期中）某小区居委会为了方便居民的电瓶车充电，准备利用一边靠墙（墙长15米）的空旷场地利用栅栏围成一个面积为80平方米的电瓶车充电区，如图，为了方便进出，在垂直于墙的两边空出两个宽各为2.5米的出入口，一共用去栅栏21米，请问长方形的充电区的相邻两边长分别是多少米？ 【答案】8米和10米 【分析】令这个长方形垂直于墙的一边为宽，平行于墙的一边为长，设这个长方形电瓶车充电区垂直于墙的一边为x米，平行于墙的一边为米，根据长方形的面积列出关于x的一元二次方程，再求解即可． 【详解】解：设这个长方形电瓶车充电区垂直于墙的一边为x米，平行于墙的一边为米， 由题意可得，， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，， 答：长方形的充电区的相邻两边长分别是8米和10米． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 24．（23-24八年级上·上海·阶段练习）中国上海国际艺术节期间，主办方工作人员准备利用一边靠墙(墙长26米)的空旷场地为提前到场的观众设立面积为300平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳48米．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？    【答案】封闭型长方形等候区的边为15米，为20米． 【分析】设封闭型长方形等候区的边为米，根据面积为300平方米的封闭型长方形等候区可得，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设封闭型长方形等候区的边为米，    由题意得：， 整理，得， 解得，， 当时，； 当时，， 不合题意，应舍去． 答：封闭型长方形等候区的边为15米，为20米． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽． 25．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）某小区居委会为了方便居民的电瓶车充电，准备利用一边靠墙（墙长米）的空旷场地利用栅栏围城一个面积为平方米的电瓶车充电区，如图，为了方便进出，在两边空出两个宽各为米的出入口，一共用去栅栏米，请问长方形的充电区的相邻两边长分别是多少米？ 解：设这个长方形电瓶车充电区垂直于墙的一边是米，平行于墙的一边为　米． 根据题意得：（完成填空后继续解题） 【答案】；长方形的充电区的相邻两边长分别是米和米 【分析】令这个长方形垂直于墙的一边为宽，平行于墙的一边为长；设这个长方形的宽为米，则长为米，根据工作人员围成的这个长方形等候区的面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙长米，即可确定结论． 【详解】解：设这个长方形电瓶车充电区垂直于墙的一边是米，平行于墙的一边为米， 故答案为：； 根据题意得：， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）； 当时，． 答：长方形的充电区的相邻两边长分别是米和米． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26．（23-24八年级上·上海长宁·期中）如图，学校准备用米长的铁栅栏，靠一面米长的墙围一个占地面为长方形的生态实验园，铁栅栏围三边，如果生态实验园的占地面积为平方米，那么长方形相邻两边的长分别是多少米？    【答案】米、米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．正确表示长方形的边长是解题的关键． 设平行于墙的一边长为米，则垂直于墙的一边长为米，，依题意得，，计算求出满足要求的解，然后作答即可． 【详解】解：设平行于墙的一边长为米，则垂直于墙的一边长为米，， 依题意得，，整理得，， ， 解得，或（舍去）， ∴， ∴长方形相邻两边的长分别为米、米． 27．（23-24八年级上·上海闵行·期中）如图，某农场有一道长米的围墙，计划用米长的围栏靠墙围成一个面积为平方米的长方形养鸡场，在墙的对面开了一个1米宽的门，求围成长方形养鸡场的边的长度． 【答案】9米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设围成长方形养鸡场的边的长度为x米，则的长为米，根据靠墙围成一个面积为平方米的长方形养鸡场，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设围成长方形养鸡场的边的长度为x米，则的长为米， ， ， 解得，， 当时，，故舍去； 当时，，符合题意； 所以养鸡场的边的长度为9米． 28．（23-24八年级上·上海普陀·期中）如图1，要建一个面积为140平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；在与墙垂直的一边，要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米．    (1)这个仓库设计的长和宽分别为多少米； (2)如图2，要在仓库外铺一圈宽为米、总面积为76平方米的地砖，求的值． 【答案】(1)长和宽分别为14米、10米 (2)2 【分析】（1）首先设这个仓库的长为x米，则宽表示为，再根据面积为140平方米的仓库可得，再解一元二次方程即可．； （2）根据大长方形的面积等于仓库的面积加上地砖的面积，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设这个仓库的长为x米，则宽表示为，由题意得： ， 解得：， ∵这堵墙的长为16米， ∴不合题意舍去， ∴，宽为：（米）． 答：这个仓库的长和宽分别为14米、10米． （2）解：根据题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 即a的值为2． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽． 题型四 销售问题（一元二次方程的应用） 解题技巧提炼 销售问题资料库 利润=售价-进价; ； 售价=进价×(1+利润率); 总利润=总售价－总成本=单件利润×总销售量 29．（23-24八年级上·上海青浦·期中）小毛将进货单价为40元的商品按50元出售，每天可卖500个，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，小毛为使这种商品每天赚得8000元的利润，商品的售价应定为每件多少元？ 【答案】80元或60元 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，涉及因式分解解一元二次方程，读懂题意，设定价为元，由等量关系列方程求解即可得到答案，读懂题意，准确列出一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：设定价为元， 根据题意可得，，即， ，解得，， 答：定价为80元或60元，利润可达到8000元． 30．（23-24八年级上·上海闵行·期末）某商店从厂家以每件30元的价格购进一批商品，经过市场调研发现，若每件商品售价为a元，则可以卖出件；但政府限定每件商品加价不能超过进价的40%，如果店家计划赚330元，那么每件商品售价是多少元？ 【答案】每件商品售价是41元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．解题的关键的读懂题意，正确的列出方程． 【详解】解：由题意，得：， 解得：或， ∵政府限定每件商品加价不能超过进价的40%， ∴， ∴． 答：每件商品售价是41元． 31．（23-24八年级上·上海松江·期中）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)45 (2)10元 【分析】（1）根据题意可求得销售数量件； （2）设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售童装获得的总利润＝每件童装的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合降价不能超过15元即可求得． 【详解】（1）（件）， 故答案为：45； （2）设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵降价不能超过15元， ∴舍去， 故． 答：每件童装应降价10元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 32．（23-24八年级上·上海普陀·期中）某商场将进货价为20元的水彩笔套盒以25元售出，平均每月能售出800盒．调查表明：当售价在25元至40元范围内时，这种水彩笔套盒的售价每上涨1元，销售量会减少10盒．为了实现平均每月10500元的销售利润，这种水彩笔套盒每盒的售价应定为多少元？ 【答案】这种水彩笔套盒每盒的售价应定为35元 【分析】设这种水彩笔套盒每盒的售价应定为x元，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设这种水彩笔套盒每盒的售价应定为x元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵售价在25元至40元范围内， ∴； 答：这种水彩笔套盒每盒的售价应定为35元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 33．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价． 【答案】40元 【分析】设每盒茶叶的进价为元，等量关系为：总售价总进价，据此列出方程求解． 【详解】解：设每盒茶叶的进价为元． ． 解得：或， 经检验：或都是原方程的解，但不合题意，应舍去． 答：每盒茶叶的进价为40元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键，难点是得到余下茶叶的数量． 34．（22-23八年级上·上海青浦·期中）为助力攻坚脱贫，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，已知其3月份的销售量达到400包，若农产品礼包每包的进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？ 【答案】每包降价4元 【分析】先设当农产品每袋降价m元时，该农产品在4月份可获利4620元，然后根据：利润（售价进价）数量，列出方程并解答即可． 【详解】解：设当农产品礼包每包降价m元时，这种农产品在4月份可获利4620元， 由题意得：， 解得：， (舍去)， 答：当农产品礼包每包降价4元时，这种农产品在4月份可获利4620元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系列出相应的方程是解答本题的关键． 35．（22-23八年级上·上海·期中）某商场将进货价为每只30元的台灯以每只40元售出，平均每月能售出600只，调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只．当这种台灯的售价定为多少元时，每个月的利润恰为10000元？ 【答案】当这种台灯的售价定为50或80元时，每个月的利润恰为10000元． 【分析】设这种台灯的售价为x元，根据一台的利润×总的台数=总的利润和这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只，列出方程，再求解即可． 【详解】解：设这种台灯的售价为x元，根据题意得： ， 解得， 答：当这种台灯的售价定为50或80元时，每个月的利润恰为10000元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 36．（22-23八年级上·上海·期中）某平台网店销售医用外科口罩，每盒售价元，每星期可卖盒，为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期多卖盒，已知该款口罩每盒成本价为元，若该网店想一星期获利元，且尽快减少库存，那么这星期预期销售多少盒口罩？ 【答案】这星期预期销售盒口罩 【分析】根据每降价1元，每星期多卖盒，该网店想一星期获利元，列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设该网店降价元， 则根据题意可得：， 整理得：， 解得：， ∵尽快减少库存， ∴当降价元时，这星期预期销售盒口罩， 答：这星期预期销售盒口罩． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程． 37．（22-23八年级上·上海浦东新·期中）某商店如果将进货价为每件10元的商品按每件12元出售，每天可销售200件，这种商品如果每涨价一元，其销售量就减少10件． (1)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润达到1200元？ (2)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大的利润是多少？ 【答案】(1)把售价定为每件20元或22元能使每天利润达到1200元 (2)将售价定位每件21元时，能使这天可获的利润最大，最大利润是1210元 【分析】对于（1），设商品的售价定为x元，再表示出单间利润和销售量，然后根据单间利润×销售量=总利润列出方程，再求出解即可； 对于（2），设这天的利润为y元，结合（1）列出函数关系式，再配方讨论极值即可． 【详解】（1）设每件商品的售价定为x元，依题意，得 ， 整理得：， 解得：，， ∴把售价定为每件20元或22元能使每天利润达到1200元； （2）设这天的利润为y元， 则， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为1210， 答：将售价定位每件21元时，能使这天可获的利润最大，最大利润是1210元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，函数最大值的问题等，根据等量关系列出关系式（方程）是解题的关键． 题型五 工程问题（一元二次方程的应用） 解题技巧提炼 1.一般情况把工作总量设为单位“1” 2.当甲独立完成整个工作时，工作时间与工作效率互为倒数 3.工作效率×工作时间＝工作总量 38．（21-22八年级上·上海静安·期末）在今年月号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的；如果九年级共青团员先做小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时． 【答案】八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时． 【分析】设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，根据“八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出九年级共青团员单独完成美化校园所用时间，再将其代入中可求出八年级共青团员单独完成美化校园所用时间． 【详解】解：设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的增根，舍去；是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 39．（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 40．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 41．2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． (1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ (2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 【答案】(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵 (2)物业管理公司实际购买两种树共56棵 【分析】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵，根据题意列出方程即可得出答案． （2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为元每棵，元每棵，再列出实际购买棵树的表达式，得到方程式求出满足条件的值，即可得出答案． 【详解】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵， 根据题意，可得， 解得，． 答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵． （2）根据题意，可得， 整理得，， 解得：，， ∵，∴， ∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟， 答：物业管理公司实际购买两种树共56棵． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列出正确的方程解决本题的关键． 42．由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人 (2)从B检测队中抽调了2人到A检测队 【分析】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A检测队有人，B检测队有人， 依题意得：，分解得： 答：A检测队有6人，B检测队有7人； （2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人， 依题意得：， 解得：，解得：，， 由于从B对抽调部分人到A检测队，则故， 答：从B检测队中抽调了2人到A检测队． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 题型六 动态几何问题（一元二次方程的应用） 解题技巧提炼 解决动点问题的通用策略 动点问题是动态几何问题最常见的形式之一，解决动点问题要先分析出动点的运动特点，包括起始位置、终止位置、运动方向、运动轨迹、运动速度和运动时间，再结合具体的几何图形，运用相关知识列方程求解.注意对所求结果要进行检验，看是否符合题意. 43．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出二次函数是解题的关键． 设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值． 【详解】解：设P、Q同时出发后经过，的面积为S cm2． 则，，， 则． ∵，，点P的运动速度为，点Q的运动速度为， ∴， ∴， ∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为 故选：C． 44．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是． 【答案】2或3 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动时间为t 秒，则，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴2或3秒时，的面积是． 故答案为：2或3． 45．如图中，，，．点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：经过几秒，的面积等于 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示和的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．设出运动所求的时间，可将和的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出． 【详解】解：设点P，Q运动的时间为，则，，则， 的面积等于， ，即， 解方程得，，， 经过或时，的面积等于． 46．如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，； (3)当时，四边形的面积等于． 【分析】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用，再解答时要注意所求的解使实际问题有意义． （1）根据路程速度时间就可以表示出，．再用就可以求出的值； （2）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值； （3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值． 【详解】（1）解：由题意，得，． 故答案为：，； （2）解：在中，由勾股定理，得， 解得：，； （3）解：由题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，的面积等于． 四边形的面积． 答：当时，四边形的面积等于． 47．如图，在长方形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动．设运动时间为 (1) cm， cm；(用含x的式子表示) (2)若的面积为，求x的值． 【答案】(1)， (2)1或5 【分析】（1）根据点，的运动速度及时间，即可用含的代数式表示出当运动时间为时，的长度； （2）根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出，的长度；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；． （2）解：依题意得：， 即， 整理得：， 解得：，． 答：的值为1或5． 48．如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)当t为何值时，线段的长为？ 【答案】(1)当t为5时，四边形的面积为 (2)当t为或时．线段的长为 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确表示运动过程中的相关线段、灵活应用勾股定理构建方程是关键； （1）先表示，．再利用面积公式列方程解题即可； （2）过点Q作于点M，则，表示．．再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，． 由题意得， 解得． 答；当t为5时，四边形的面积为． （2）如图，过点Q作于点M，则， 由题意知．． 在中．由勾股定理得， 即， 解得，．经检验符合题意； 答：当t为或时．线段的长为． 49．如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ； （2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出的长；（2）分及两种情况，列出关于的方程． （1）利用的长的长点的运动速度运动时间，可用含的代数式表示出的长； （2）当时，，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值；当时，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值．再取符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：（1）动点从点出发，沿向终点以的速度移动， 经过秒，， ． 故答案为：； （2），，． 当时，，， ，即， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， ， 解得：（不符合题意，舍去）． 经过秒时，以、、为顶点的三角形面积为． 故答案为：． 50．如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点A以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键 设t秒后的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于4， 由题意得：，则， ∵， ∴，整理得：， 解得：，， ∵点从点C到点A的时间为， ∴，不合题意，舍去， ∴1秒后，的面积等于4． 故答案为：1． 51．如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 【答案】(1)①秒或秒；②秒 (2)秒或秒或秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积， （1）①由三角形的面积公式可求解； ②分两种情况讨论，由题意列出方程可求出答案； （2）分三种情况：①点在线段上，点在线段上，②点在线段上，点在线段的延长线上时，③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，由三角形面积公式可得出答案； 运用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：①设经过秒钟，的面积等于， 由题意，，， ∴， ∴， 解得：，， ∴经过秒或秒钟，的面积等于； ②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得： 1），即：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），； 2），即：， ∴， ∵， 此方程无实数根，即这种情况不存在； 综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分； （2）设经过秒，的面积为，可分三种情况： ①点在线段上，点在线段上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：（舍去），； ②点在线段上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：； ③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为． 52．如图，点B在射线上，过点B作射线，点C在射线上，且，点P由点A开始沿射线运动，点Q由点C开始沿射线运动，两点同时出发，速度都是，与直线相交于点D，设点P的运动时间为，的面积为． (1)当点在射线上时，，求的值． (2)求出关于的函数关系式． (3)当点运动多少秒时，． 【答案】(1) (2) (3)4秒、6秒或12秒 【分析】本题考查了三角形面积公式和一元二次方程的应用，根据已知进行分类讨论是解题的关键； （1）由题在射线上时，秒，此时，，此时，然后根据三角形面积计算公式计算即可得解； （2）分、，两种情况，根据三角形的面积公式求出关于的函数关系式； （3）由即可列出等式，当秒时，则，当秒时，则，解答得到相应的值即可。 【详解】（1）解：，， 为直角三角形， ， 当点在射线上时，， 点P由点A开始沿射线运动，点Q由点C开始沿射线运动，两点同时出发，速度都是， ，， ， ， ， 整理得：， 解得：（舍去负值）， ； （2），点P、Q运动速度是， 当秒时，P在线段上，此时，， ， 当秒时，P在射线上，此时，， ． 关于的函数关系式为：； （3），， 为直角三角形， ， ， 当秒时，， 整理得：， 解得，． 当秒时，， 整理得：， 解得， (不合题意，舍去)， ∴经过4秒、6秒或12秒时，． 题型七 数字问题（一元二次方程的应用） 解题技巧提炼 解决数字问题的通用策略 解决此类题的关键是厘清数量关系,若题目涉及多个数的和、差、倍、分等关系,可先设其中任意一个数为x,则其他数可用含x的代数式表示出来，再根据题目条件列方程求解。 数字问题不算难，巧妙设元是关键正确而巧妙地设出未知数，一般采用如下的间接设元法: (1)三个连续整数的表示:一般设中间一个数是x，则其余两个数分别为x-1,x+1. (2)三个连续偶数或三个连续奇数的两种表示: ①设中间偶(奇)数为x,则三个连续偶(奇)数可表示为x-2,x,x+2. ②三个连续偶数可以表示为2x-2,2x,2x+2;三个连续奇数可以表示为 2x-3,2x-1,2x+1. (3)两位数的表示方法:若十位、个位上的数字分别为a,b,则这个两位数可表示为 10a +b. (4)三位数的表示方法:若百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c,则这个三位数可表示为100a+10b+c. 53．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（   ） A．25 B．36 C．25或36 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的个位数的平方”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，此时这个两位数为， 当时，，此时这个两位数为， 综上所述，这个两位数为25或36， 故选：C． 54．（22-23八年级上·上海·阶段练习）如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是 ． 【答案】10和12 【分析】设这两个连续正偶数分别为，，且，根据题意列出一元二次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设这两个连续正偶数分别为，，且， 根据题意，可得， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， 所以， 所以，这两个数是10和12． 故答案为：10和12． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意正确列出一元二次方程是解题关键． 55．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）两个连续正整数的平方和为113，则这两个数的积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设较小的一个数为，则另外一个数为，根据两个数的平方和是，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设较小的一个数为，则另外一个数为， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（舍去）， 这两个数的积为， 故答案为：． 56．如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)10 (3)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据日历的特点先求出b、c、d，再根据当a越大时，b也越大，求出a的最大值即可求出的最大值； （2）根据方框中最大数与最小数的乘积为180，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，根据方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和为124，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【详解】（1）解：由题意得，； ∵a是正整数， ∴也是正整数， ∴当a越大时，b也越大， 根据日历的特点可知a的最大值为23，此时b的值为24， ∴的最大值为； 故答案为：；；；； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． ∴最小数是10； （3）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵时，在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 题型八 图表信息题（一元二次方程的应用） 解题技巧提炼 列方程解决实际问题“必备三环节” (1)整体、系统地分析题意; (2)找到题目中的等量关系，列方程; (3)正确求解方程并检验解的合理性 57．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 58．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． （1）当时，请直接写出的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）或；（2）或 【分析】（1）根据题意可得：，然后求解一元二次方程即可； （2）根据题中计算图可得：，由，代入化简可得：，求解方程，然后代入即可得． 【详解】解：（1）由题意可得：， ， 则或， 解得或； （2）由题意得：， ， ， 整理得：， ∴， 则或， 解得或， 或． 【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解题意得出与之间关系是解题关键． 59．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3． 【分析】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式即可； （2）根据题意分别列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取满足两个方程的a的值即为本题答案． 【详解】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元； （2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70， 解得：a＝3或a＝4 5a（5﹣a）+10＝40 解得：a＝3或a＝2， 综上，规定用水量为3吨． 则规定用水量a的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 题型九 行程问题（一元二次方程的应用） 解题技巧提炼 (1) 路程=速度×时间； (2) 相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程； (3) 追及问题：速度差×追及时间=追及路程. 60．飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将题中所给数据代入进行求解即可． 【详解】解：将，代入得： ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 61．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了 秒． 【答案】/ 【分析】本题考查一元一次方程及一元二次方程的应用，是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程，列方程并解方程即可解决，注意速度单位的转化和题目的问题相符． 【详解】解：时速为108千米米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒， 则， 解得：． 平均每秒减速（米/秒）； 设刹车后汽车滑行10米时用了t秒， 依题意列方程：， 解方程得，（不合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 62．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 63．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 64．如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且，若点A沿数轴向右移动个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数．    (1)a的值为 ，c的值为 ； (2)动点 P，Q分别同时从点A，C 出发，点P以每秒3个单位长度的速度向终点C移动，点Q以每秒m个单位长度的速度向终点A 移动，点P表示的数为x． ①若点P，Q在点B处相遇，求m的值； ②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x 的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据点A沿数轴向右移动个单位长度后到达点B，得出，根据相反数的定义得出，即可求出a的值；根据绝对值的非负性，即可求出c的值； （2）解：①先得出点B表示的数为6，求出点P 从点A 运动到点B 所用时间为（秒），再求出．即可求解；②设运动时间为t秒，t秒后点P 表示的数为，点Q 表示的数为，根据两点之间距离的求法得出，求出或2；即可求出x的值． 【详解】（1）解：∵点A沿数轴向右移动个单位长度后到达点B， ∴， ∵点A，B表示的数互为相反数， ∴，则， 解得：， ∵， ∴，解得：， 故答案为：，10； （2）解：①∵，点A，B表示的数互为相反数， ∴，即点B表示的数为6， ∵点P 的速度是每秒3个单位长度，点P，Q在点B处相遇，， ∴点P 从点A 运动到点B 所用时间为（秒）， ∵， ∴； ②设运动时间为t秒，t秒后点P 表示的数为，点Q 表示的数为， ， 则或， 解得：或2； ∴或， 综上：x的值为或0． 【点睛】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，以及相反数．关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，能根据题意列出算式或方程． 题型十 换元法因式分解 解题技巧提炼 换元法因式分解是每年期中期末必热点题型，方法是先找到整个方程中的不变整体，我们将它用一个字母形式表示；然后再将二次三项式转化为一元二次方程，再利用公式法解出方程的根，最后将其回代到a（x-x1）（x-x2）公式中即可. 65. 在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，得，解出，，即可分解因式； （2）令，得，解出，，即可分解因式． 【详解】（1）令，则有方程为， 解得：，， ∴= ∴ ； （2）令，则有方程为， 解得：，，    ∴= ∴=． 【点睛】本题考查了因式分解，运用分解因式中整体思想，换元灵活变化应用是解题的关键． 66. 在实数范围内分解因式：． 【答案】 【分析】令，该方程即为，求出a的值，然后分解因式即可． 【详解】令，该方程即为，解得：，， 则原式可分解为． 【点睛】此题考查了换元法的思想一元二次方程的应用，在实数范围内分解因式，解题的关键是把一个字母当做未知数，另一个当做常数列方程求解． 67. 在实数范围内分解因式：；         【答案】 【分析】首先解关于xy的方程，然后利用公式法进行因式分解； 【详解】解：关于xy的方程=0的解是：xy=， ∴=； 【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止，求根公式法分解因式：ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根． 题型十一 主元素法分解因式 解题技巧提炼 主元素法：当二次三项式式中有两种字母时,可选一个字母为主元素,另一字母为常数. 例如分解因式 以为主元素:. 所以 以为主元素: 所以 68. 在实数范围内分解因式：2x2-3xy-4y2． 【答案】 【分析】令把看作是常数，再利用公式法解一元二次方程，再利用方程的两根得到因式分解的结果. 【详解】解：令 【点睛】本题考查的是在实数范围内分解因式，一元二次方程的解法，掌握“把某个未知数看作是常数，利用公式法解一元二次方程”是解本题的关键. 69. 在实数范围内分解因式： 【答案】 【分析】先利用配方法，再利用平方差公式即可得． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了用配方法和平方差公式法进行因式分解，因式分解的常用方法有：配方法、公式法、提取公因式法、十字相乘法等． 70. 在实数范围内把多项式分解因式所得的结果是 ． 【答案】 【分析】把y看作已知数，求出的根，然后根据一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1、x2，则a(x-x1)(x-x2)=0，进而分解因式即可． 【详解】对于， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为a(x－x1)(x－x2)＝0． 题型十二 实数范围内分解因式求参数取值范围 解题技巧提炼 二次三项式在实数范围内分解问题，先将其转化成二次三项式对应的方程，然后再根据判别式解不等式求出参数的取值范围. 71. 二次三项式，当取何值时， (1)在实数范围内能分解； (2)不能分解； (3)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？ 【答案】(1) (2) (3)，完全平方式为 【分析】（1）二次三项式在实数范围内能分解，则二次三项式对应的方程有实数根，利用一元二次方程有实数根的条件列不等式求解即可得到答案； （2）由（1）知，二次三项式在实数范围内不能分解，则二次三项式对应的方程无实数根，利用一元二次方程有实数根的条件列不等式求解即可得到答案； （3）由（1）（2）可知，当二次三项式能分解成一个完全平方式，则二次三项式对应的方程有两个相等的实数根，即，从而求出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，当二次三项式对应的方程有实数根时，二次三项式在实数范围内能分解， 当时， ，解得， 当时，二次三项式在实数范围内能分解； （2）解：由（1）知，当时，二次三项式在实数范围内能分解， 当时，二次三项式在实数范围内不能分解； （3）解：由（1）（2）可知，当二次三项式能分解成一个完全平方式，则二次三项式对应的方程有两个相等的实数根，即，解得， 此时，二次三项式为 ． 【点睛】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解． 72. 若多项式在实数范围内不能分解因式，则能取的最小整数值是多少？ 【答案】2 【分析】由题意可知，多项式在实数范围内不能分解因式，所以方程无解，即，代入解出即可. 【详解】解：根据题意可知，多项式在实数范围内不能分解因式 ∴方程无解， 即， ， ， 的最小整数值是2 【点睛】本题主要考查了实数范围内分解饮食和，多项式在实数范围内不能分解因式，即方程无解，也就是，读懂审清楚题意是解答本题的关键. 73. 二次三项式，当a取何值时， (1)在实数范围内能分解； (2)能分解成两个相同的因式； (3)不能因式分解． 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】（1）首先得到，然后令，表示出判别式，根据题意得，即可求出a的取值范围； （2）根据题意可得，求解即可； （3）根据题意可得，求解即可． 【详解】（1）原式是二次三项是，可知二次项系数，得：， 令， 得， 原式可分解因式，则有， 得：且； （2）原式可分解为两个相同的式子，则有，得：； （3）原式不能分解因式，则有，得：． 【点睛】考查二次三项式的因式分解与方程根的情况之间的关系，注意区分开各种情形之间的区别和联系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$