3.1 图形的旋转（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

3.1 图形的旋转 【考点1 生活中的旋转现象】 【考点2 利用旋转的性质求角度】 【考点3利用旋转的性质求线段长度】 【考点4 旋转对称图形】 【考点5作图-旋转变换】 知识点1：旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。 【考点1 生活中的旋转现象】 【典例1】（2023秋•扶余市期末）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．属于旋转的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】（2023秋•秀屿区校级期中）下列属于旋转运动的是（　　） A．小明向北走了10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到10楼 D．小萌在荡秋千 【变式1-2】（2022秋•安次区校级期中）按图中所示的排列规律，在空格中应填（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022秋•利川市期末）下面A、B、C、D四个图形中的哪个图案可以通过旋转图案①得到（　　） A．B．C．D． 知识点2 ：旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 注意 ： （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 【考点2 利用旋转的性质求角度】 【典例2】（2023秋•哈密市期末）如图，△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，若∠C＝50°，∠B＝90°，∠CAD＝10°，则旋转角的度数为（　　） A．80° B．50° C．40° D．10° 【变式2-1】（2023秋•江北区期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，若∠C′＝45°，且AB′⊥BC于点E，则∠BAC的度数为（　　） A．60° B．75° C．45° D．50° 【变式2-2】（2023秋•巴南区期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝30°，则∠ADC的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【变式2-3】（2023秋•和平区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AED的位置，点E与B对应，且CD∥AB，则旋转角的度数为（　　） A．30° B．40° C．70° D．110° 【考点3利用旋转的性质求线段长度】 【典例3】（2023秋•武威期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，使点C的对应点E恰好落在AB上，求线段AE的长． 【变式3-1】（2023秋•防城区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，则AA'的长为（　　） A． B．4 C． D．5 【变式3-2】（2023秋•德宏州期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AB＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'，连接CC'，则CC'的长为（　　） A．4 B．6 C． D． 【变式3-3】（2023秋•浦北县期末）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（　　） A． B．6 C． D． 【变式3-4】（2023秋•柳州期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝5，则BE的长度为　　． 知识点3：旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 【考点4 旋转对称图形】 【典例4】（2023秋•宣化区期末）香港特别行政区的区徽中间紫金花图案如图所示，则至少需要旋转（　　）和原图案重合． A．72° B．60° C．36° D．18° 【变式4-1】（2023秋•廉江市期末）国旗上的每个五角星经过旋转后能与自身重合，则至少需要旋转的度数为（　　） A．360° B．72° C．60° D．45° 【变式4-2】（2022秋•滦南县期末）如图，该图形绕着点O旋转能与自身重合，则旋转角最小为（　　） A．36° B．60° C．72° D．90° 【变式4-3】（2022秋•昭化区期末）下列各图形分别绕某个点旋转120°后不能与自身重合的是（　　） A． B． C． D． 【考点5作图-旋转变换】 【典例5】、（2023秋•西宁期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）． （1）作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1； （2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的△A2B2C； （3）点B的对应点B2的坐标为 　 　． 【变式5-1】（2023秋•忠县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，3），C（1，0）． （1）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°为△A1B1C1，写出点A1、B1、C1的坐标，并在图中作出△A1B1C1； （2）求△A1B1C1的面积． 【变式5-2】（2023秋•凉州区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，0），C（5，1）． （1）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，其中A，B，C分别和A1，B1，C1对应，作出△A1B1C1； （2）作出△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2，并写出△A2B2C2三个顶点的坐标； （3）请求出△A2B2C2的面积． 【变式5-3】（2023秋•任城区期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，建立平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，0），B（2，4），C（4，2）． （1）把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的△A1B1C1； （2）画出△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2，并直接写出对应点连线段BB2的长度 　 　． 一、单选题 1．在以下生活现象中，属于旋转变换的是（　　） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．坐在火车上睡觉的旅客 D．地下水位线逐年下降 2．如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则等于（  ） A．3 B．4 C．6 D．9 3．如图，将绕点C按逆时针方向旋转至，使点D落在的延长线上．已知，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到位置（其中点B和点D，点C和点E分别对应）．若，则的大小（    ） A． B． C． D． 5．如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，则的长为（　　）    A．3 B． C．2 D． 6．如图，在中，，将绕顶点A顺时针旋转，得到．若点D恰好落在边上，且，则旋转角的大小是（    ） A． B． C． D． 7．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，边长为2的正方形的中心与坐标原点重合，轴，将正方形绕原点顺时针旋2023次，每次旋转，则顶点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点 恰好在边上，连结，则的周长为(   )． A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点在边上，若，，则的长是 ． 11．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是 ． 12．如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积为 ． 13．如图，在中，，，，以点为旋转中心，把顺时针旋转得，则的面积为 ． 三、解答题 14．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向左平移5个单位得到，画出，并写出的坐标； (2)将绕点O顺时针旋转后得到，画出，并写出的坐标； (3)若点P为y轴上一动点，则的最小值为______． 15．如图，绕点O旋转得到，点A的对应点为点C．分别延长，至点E，F且，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求四边形的周长． 16．如图，等腰中，，，点为斜边上一点（不与，重合），，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接、． (1)求证： (2)若，，求的长． 17．【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1 图形的旋转 【考点1 生活中的旋转现象】 【考点2 利用旋转的性质求角度】 【考点3利用旋转的性质求线段长度】 【考点4 旋转对称图形】 【考点5作图-旋转变换】 知识点1：旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。 【考点1 生活中的旋转现象】 【典例1】（2023秋•扶余市期末）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．属于旋转的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：①地下水位逐年下降，是平移现象； ②传送带的移动，是平移现象； ③方向盘的转动，是旋转现象； ④水龙头开关的转动，是旋转现象； ⑤钟摆的运动，是旋转现象； ⑥荡秋千运动，是旋转现象． 属于旋转的有③④⑤⑥共4个． 故选：C． 【变式1-1】（2023秋•秀屿区校级期中）下列属于旋转运动的是（　　） A．小明向北走了10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到10楼 D．小萌在荡秋千 【答案】D 【解答】解：A．小明向北走了10米，是平移，不属于旋转运动，故选项A不合题意； B．传送带传送货物，是平移，不属于旋转运动，故选项B不合题意； C．电梯从1楼到10楼，是平移，不属于旋转运动，故选项C不合题意； D．小萌在荡秋千，是旋转运动，故选项D符合题意． 故选：D． 【变式1-2】（2022秋•安次区校级期中）按图中所示的排列规律，在空格中应填（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：观察图形，发现：图形绕三角形的中心按顺时针方向转动90°． 故选：A． 【变式1-3】（2022秋•利川市期末）下面A、B、C、D四个图形中的哪个图案可以通过旋转图案①得到（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【解答】解：根据旋转的性质，图案①顺时针旋转90°得到B，故选B． 知识点2 ：旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 注意 ： （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 【考点2 利用旋转的性质求角度】 【典例2】（2023秋•哈密市期末）如图，△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，若∠C＝50°，∠B＝90°，∠CAD＝10°，则旋转角的度数为（　　） A．80° B．50° C．40° D．10° 【答案】B 【解答】解：∵∠C＝50°，∠B＝90°， ∴∠BAC＝40°， ∵∠CAD＝10°， ∴∠BAD＝50°， ∵△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的， ∴旋转角为∠BAD， ∴旋转角的度数为50°， 故选：B． 【变式2-1】（2023秋•江北区期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，若∠C′＝45°，且AB′⊥BC于点E，则∠BAC的度数为（　　） A．60° B．75° C．45° D．50° 【答案】B 【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′C′， ∴∠BAE＝30°，∠C＝∠C'＝45°， 又∵AB′⊥BC， ∴∠EAC＝45°， ∴∠BAC＝75°， 故选：B． 【变式2-2】（2023秋•巴南区期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝30°，则∠ADC的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【答案】D 【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC， ∴∠ACE＝90°，AC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝30°， ∴∠E＝45°， ∴∠ADC＝∠E+∠DCE＝45°+30°＝75°， 故选：D． 【变式2-3】（2023秋•和平区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AED的位置，点E与B对应，且CD∥AB，则旋转角的度数为（　　） A．30° B．40° C．70° D．110° 【答案】B 【解答】解：∵CD∥AB， ∴∠DCA＝∠BAC＝70°， ∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置， ∴∠BAE＝∠CAD，AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD＝70°， ∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝40°， ∴∠BAE＝∠CAD＝40°，即旋转角的度数为40°． 故选：B． 【考点3利用旋转的性质求线段长度】 【典例3】（2023秋•武威期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，使点C的对应点E恰好落在AB上，求线段AE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8， ∴AB＝＝10， 由旋转的性质得：BE＝BC＝6， ∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4． 【变式3-1】（2023秋•防城区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，则AA'的长为（　　） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【解答】解：如图，连接AA'， ∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'， ∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝3，AB＝A'B， 根据勾股定理得： AB＝＝5， ∴A'B＝AB＝5， ∴AC'＝AB﹣BC'＝1， 在Rt△AA'C'中，由勾股定理得： AA'＝＝， 故选：A． 【变式3-2】（2023秋•德宏州期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AB＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'，连接CC'，则CC'的长为（　　） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【解答】解：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝2， ∴AC＝＝， 由旋转得：AC＝AC'，∠CAC'＝90°， ∴CC'＝＝． 故选：C． 【变式3-3】（2023秋•浦北县期末）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（　　） A． B．6 C． D． 【答案】C 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝6，∠BAC＝60°， ∵BD＝DC＝3， ∴AD⊥BC， ∴AD＝＝3 ∵△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE， ∴∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AD＝3， 故选：C． 【变式3-4】（2023秋•柳州期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝5，则BE的长度为　5　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED， ∴AB＝AE，∠BAE＝60°， ∴△AEB是等边三角形， ∴BE＝AB， ∵AB＝5， ∴BE＝5． 故答案为：5． 知识点3：旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 【考点4 旋转对称图形】 【典例4】（2023秋•宣化区期末）香港特别行政区的区徽中间紫金花图案如图所示，则至少需要旋转（　　）和原图案重合． A．72° B．60° C．36° D．18° 【答案】A 【解答】解：观察图形可知，中心角是由五个相同的角组成， ∴旋转角度是360°÷5＝72°， ∴这四次旋转中，旋转角度最小是72°， 故选：A． 【变式4-1】（2023秋•廉江市期末）国旗上的每个五角星经过旋转后能与自身重合，则至少需要旋转的度数为（　　） A．360° B．72° C．60° D．45° 【答案】B 【解答】解：根据旋转对称图形的概念可知：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而国旗上的每一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合． 故选：B． 【变式4-2】（2022秋•滦南县期末）如图，该图形绕着点O旋转能与自身重合，则旋转角最小为（　　） A．36° B．60° C．72° D．90° 【答案】C 【解答】解：由题意，＝72°， 故该图形围绕点O旋转能与自身重合，则旋转角最小为72°， 故选：C． 【变式4-3】（2022秋•昭化区期末）下列各图形分别绕某个点旋转120°后不能与自身重合的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、360°÷3＝120°，所以，绕某个点旋转120°后能与自身重合，故本选项不符合题意； B、360°÷12＝30°，30°×4＝120°，所以，绕某个点旋转4个30°，即120°后能与自身重合，故本选项不符合题意； C、360°÷6＝60°，60°×2＝120°，所以，绕某个点旋转2个60°，即120°后能与自身重合，故本选项不符合题意； D、360°÷5＝72°，所以，绕某个点旋转120°后不能与自身重合，故本选项符合题意． 故选：D． 【考点5作图-旋转变换】 【典例5】、（2023秋•西宁期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）． （1）作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1； （2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的△A2B2C； （3）点B的对应点B2的坐标为 　（﹣1，3）　． 【答案】（1）见解答． （2）见解答． （3）（﹣1，3）． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C即为所求． （3）点B的对应点B2的坐标为（﹣1，3）． 故答案为：（﹣1，3）． 【变式5-1】（2023秋•忠县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，3），C（1，0）． （1）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°为△A1B1C1，写出点A1、B1、C1的坐标，并在图中作出△A1B1C1； （2）求△A1B1C1的面积． 【答案】（1）A1（2，﹣2）、B1（3，0）、C1（0，﹣1），画图见解答． （2）． 【解答】解：（1）点A1（2，﹣2）、B1（3，0）、C1（0，﹣1）． 如图，△A1B1C1即为所求． （2）△A1B1C1的面积为＝﹣1﹣1＝． 【变式5-2】（2023秋•凉州区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，0），C（5，1）． （1）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，其中A，B，C分别和A1，B1，C1对应，作出△A1B1C1； （2）作出△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2，并写出△A2B2C2三个顶点的坐标； （3）请求出△A2B2C2的面积． 【答案】（1）作图见解答过程； （2）作图见解答过程； （3）7.5． 【解答】解：（1）△A1B1C1如图1所示， ； （2）△A2B2C2如图2所示； （3）△A2B2C2的面积为：4×4﹣×3×3﹣×1×4﹣×1×4＝7.5． 【变式5-3】（2023秋•任城区期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，建立平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，0），B（2，4），C（4，2）． （1）把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的△A1B1C1； （2）画出△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2，并直接写出对应点连线段BB2的长度 　2　． 【答案】（1）作图见解析部分； （2）作图见解析部分，2． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求．线段BB2的长度＝＝2． 故答案为：2． 一、单选题 1．在以下生活现象中，属于旋转变换的是（　　） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．坐在火车上睡觉的旅客 D．地下水位线逐年下降 【答案】A 【分析】根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动都是旋转变换，故本选项正确； B、站在电梯上的人的运动属于平移现象，故本选项错误； C、坐在火车上睡觉，属于平移现象，故本选项错误； D、地下水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题是考查图形的平移、旋转的意义．图形平移与旋转的区别在于图形是否改变方向，平移图形不改变方向，旋转图形改变方向；旋转不一定做圆周运动，象钟摆等也属于旋转现象． 2．如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则等于（  ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质可得，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．如图，将绕点C按逆时针方向旋转至，使点D落在的延长线上．已知，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 先根据三角形外角的性质求出，再由绕点C按逆时针方向旋转至，得到，证明，利用平角为即可解答． 【详解】解：，， ， 绕点C按逆时针方向旋转至， ， ， ， ， ． 故选：A． 4．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到位置（其中点B和点D，点C和点E分别对应）．若，则的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，旋转的性质，等边对等角，先由平行线的性质得到，再由旋转的性质可得，，进而根据等边对等角和三角形内角和定理得到的度数，则可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转到位置， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，则的长为（　　）    A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的旋转，勾股定理．根据旋转的性质可得，再由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．如图，在中，，将绕顶点A顺时针旋转，得到．若点D恰好落在边上，且，则旋转角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，平行线的性质，先由旋转的性质得到，，再由平行线的性质得到，则由等边对等角得到，再由三角形内角和定理可得． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角的大小为， 故选：B． 7．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得，则是等腰直角三角形，得出，再由旋转性质和三角形的外角性质可知． 【详解】解：∵绕直角顶点顺时针旋转， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由旋转性质可知：， 故选：B． 8．如图，边长为2的正方形的中心与坐标原点重合，轴，将正方形绕原点顺时针旋2023次，每次旋转，则顶点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转变换、正方形的性质等知识点，学会探究规律的方法是解题的关键．先确定，再求，然后归纳旋转的点坐标规律并利用规律求解即可． 【详解】解：如图：连接    ∵边长为2的正方形的中心与坐标原点重合， ∴, ∴， ∵轴，将正方形绕原点顺时针旋，每次旋转， ∴ 由题意旋转8次回到原来位置，， ∴将正方形绕原点O顺时针旋2023次，每次旋转，则顶点B在y轴的正半轴上，即． 故选：C． 9．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点 恰好在边上，连结，则的周长为(   )． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，先利用含30度角的直角三角形的性质求出与，再根据旋转的性质得出的周长等于的周长，从而得解，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴的周长等于的周长，即， 故选：D． 二、填空题 10．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点在边上，若，，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了旋转的性质．由旋转的性质可得，，即可求解．理解旋转前后的对应线段相等是解题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ，， ， 故答案为：3． 11．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是 ． 【答案】/38度 【分析】本题主要考查了旋转的变换以及几何图形中角度计算，熟练掌握旋转的性质是解题关键．根据旋转的性质可得，再结合，利用求解即可． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴ 又∵， ∴． 故答案为：． 12．如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，三角形全等的判定，勾股定理，由旋转角，可知；连接，构造全等三角形，用，计算面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ， ∴． 故答案为：． 13．如图，在中，，，，以点为旋转中心，把顺时针旋转得，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，含角的直角三角形，勾股定理．根据勾股定理和直角三角形的性质以及三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 把顺时针旋转得， ，， 的面积为， 故答案为：． 三、解答题 14．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向左平移5个单位得到，画出，并写出的坐标； (2)将绕点O顺时针旋转后得到，画出，并写出的坐标； (3)若点P为y轴上一动点，则的最小值为______． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3) 【分析】本题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，轴对称变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据平移的性质即可将向左平移5个单位得到，进而可得的坐标； （2）根据旋转的性质即可将绕点O顺时针旋转后得到，进而写出的坐标； （3）找点A关于y轴的对称点，然后连接交y轴于点P，根据网格和勾股定理即可求的最小值． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标为； （2）解：如图，即为所求；的坐标为； （3）解：如图，点A与点关于y轴的对称，连接交y轴于点P， ∴的最小值为． 15．如图，绕点O旋转得到，点A的对应点为点C．分别延长，至点E，F且，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，根据，得出，根据平行四边形的判定即可得出结论； （2）作于点H．根据等腰三角形的性质得出，根据平行四边形的性质得出，，，求出，证明为等腰直角三角形，得出，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵绕点O旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，作于点H． 根据解析（1）可知：， ∵， ∴， ∴·， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， 则， ∴， ∴四边形的周长为： ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 16．如图，等腰中，，，点为斜边上一点（不与，重合），，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接、． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质，得出全等三角形判定的条件即可解决问题． （2）根据全等三角形的性质，得出，进而得出，再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：由旋转可知， ，， ， ， ． 在和中， ， ； （2）解：， ，． 是等腰直角三角形， ，， ． 又， 则在中， ， 故的长为． 17．【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 【答案】（1）见详解（2），理由见详解，（3） 【分析】（1）按要求作图即可 （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图4中，先由旋转的性质得出，则，，，，，再证明，然后在中，由勾股定理求出的长度，即为的最小值； 【详解】（1）图即为所作， （2）数量关系：， 理由如下：逆时针旋转 由题意得：如图， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； （3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，， ， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，有最小值， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$