专题1.7 空间向量与立体几何（基础巩固卷）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.7 空间向量与立体几何（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2024高二上·全国·课后作业）已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二上·山东济宁·阶段练习）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·浙江·期中）空间点，则点到直线的距离（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·北京·期中）已知平面，其中，法向量，则下列各点中不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河南驻马店·期末）如右图，三棱锥中，为的中点，点满足，记，，，则（    ）      A． B． C． D． 6．（2024高二上·辽宁铁岭·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．是向量，不共线的充要条件 B．在空间四边形ABCD中， C．在棱长为1的正四面体ABCD中， D．设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，则P，A，B，C四点共面 7．（23-24高二上·湖南怀化·期末）如图，在直三棱柱中，，则直线与直线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·河南许昌·期末）如图，在长方体中，M，N分别为棱，的中点，下列判断中正确的个数为（    ） ①直线； ②平面； ③平面ADM. A．0 B．1 C．2 D．3 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高二上·广东江门·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·新疆喀什·期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 11．（23-24高二上·重庆永川·期中）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（    ） A．四面体是鳖臑 B．与所成角的余弦值是 C．点到平面的距离为 D．点到直线的距离为 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（23-24高二下·江苏徐州·期中）定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是 . 13．（2024高二·全国·课后作业）在平行六面体中，若，则 ． 14．（23-24高二上·广东·期中）在平行六面体中，点P是AC与BD的交点，若，且，则 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2024高二·全国·课后作业）如图，四棱锥的底面为一矩形，，，，点，分别是和的中点，试用，，表示，，，． 16．（2024高三·全国·专题练习）如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，，试采用向量法解决下列问题：    (1)求的模长； (2)求，的夹角. 17．（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，平面平面ABCD．    (1)求证：平面ABCD； (2)若，求二面角的平面角的余弦值． 18．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，正方形的边长为4，，分别为，的中点.将正方形沿着线段折起，使.设为的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19．（23-24高三上·江苏扬州·期末）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面平面CBD，又平面ABD． （1）若，求证：； （2）若二面角的大小为，求线段AE的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7 空间向量与立体几何（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2024高二上·全国·课后作业）已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的中点的坐标，再求出关于平面对称的点的坐标即可. 【详解】因为点， 所以的中点， 所以关于平面对称的点的坐标为， 故选：A. 2．（2024高二上·山东济宁·阶段练习）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先求出向量的坐标，然后利用数量积夹角坐标公式直接计算即可. 【详解】因为，，所以，， 所以. 故选：C 3．（23-24高二下·浙江·期中）空间点，则点到直线的距离（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，利用空间向量夹角余弦公式求出，进而求出，再利用距离公式即可求出结果. 【详解】由题意得， 所以， 所以， 所以点A到直线BC的距离. 故选：D. 4．（23-24高二上·北京·期中）已知平面，其中，法向量，则下列各点中不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直则向量数量积为0，逐个代入验证即可. 【详解】若点在平面内，则， 对于A： ，所以A选项的点不在平面内； 对于B：，满足要求，所以在平面内； 对于C：， 满足要求，所以在平面内； 对于D：，满足要求，所以在平面内， 故选：A 5．（23-24高二上·河南驻马店·期末）如右图，三棱锥中，为的中点，点满足，记，，，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的加减法和数乘向量即可以为基底表示向量 【详解】 故选：D 6．（2024高二上·辽宁铁岭·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．是向量，不共线的充要条件 B．在空间四边形ABCD中， C．在棱长为1的正四面体ABCD中， D．设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，则P，A，B，C四点共面 【答案】B 【分析】对于A，利用向量共线和充要条件的定义即可判断；对于B，利用向量的加法和数量积的定义即可判断；对于C，利用向量的数量积的定义计算即可判断；对于D，利用四点共面的条件即可判断. 【详解】对于A，当时，向量，可能不共线，比如共线向量，的模分别是，则A不正确； 对于B，在空间四边形ABCD中， ，故B正确； 对于C，在棱长为1的正四面体ABCD中，，故C不正确； 对于D，设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若,由，可得P，A，B，C四点不共面，故D不正确. 故选：B. 7．（23-24高二上·湖南怀化·期末）如图，在直三棱柱中，，则直线与直线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】如图示，以为原点，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则. 所以. 所以直线与直线夹角的余弦值为. 故选：A 8．（23-24高二下·河南许昌·期末）如图，在长方体中，M，N分别为棱，的中点，下列判断中正确的个数为（    ） ①直线； ②平面； ③平面ADM. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的运算结合数量积的含义即可判断①③，根据长方体的性质可判断②. 【详解】设长方体棱长为 ， 以D为坐标原点，分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则 故 , , 故直线不成立，①不正确； 在长方体中，平面，②正确， 因为， 设平面ADM的法向量为 ，则 ， 令 ，则 ，则， 而，故， 故平面ADM.不成立，故③错误， 故选：B 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高二上·广东江门·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的共面定理判断即可. 【详解】A：，A是； B: ，B是； C：构成空间的一个基底，故无法用表示，C不是； D：，D是； 故选：ABD 10．（23-24高二上·新疆喀什·期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】AC 【分析】根据已知可得出点的坐标，进而求出相关向量的坐标，求出平面的法向量，即可得出答案. 【详解】由题意，，，，，. 对于A、B项，可知， ∴向量为直线的一个方向向量，故A正确，B不正确； 对于C项，设平面的法向量为，则. 又，， 所以有. 令，可得，则C正确； 对于D项，设平面的法向量为，则. 又，， 所以有. 令，得，故D不正确. 故选：AC. 11．（23-24高二上·重庆永川·期中）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（    ） A．四面体是鳖臑 B．与所成角的余弦值是 C．点到平面的距离为 D．点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的运算公式，以及向量的夹角公式和距离公式，准确运算，逐项判定，即可求解. 【详解】以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 对于A中，， 因为， 所以， 即， 所以四面体的四个面都为直角三角形，所以四面体是鳖臑，故A正确； 对于B中，， 则与所成角的余弦值为， 所以B正确； 对于C中，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 则点到平面的距离为，所以C错误； 对于D中，由，直线方 向上的单位向量是， 则到的距离为，所以D正确. 故选：ABD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（23-24高二下·江苏徐州·期中）定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先设夹角，则,由即得解. 【详解】由题意知，． 设，则． 又，则，故． 故答案为： 13．（2024高二·全国·课后作业）在平行六面体中，若，则 ． 【答案】 【分析】由向量的线性运算法则得到，结合，求得的值，即可求解. 【详解】在平行六面体中， 由向量的线性运算法则，可得， 又由， 所以，解得，，， 故． 故答案为：. 14．（23-24高二上·广东·期中）在平行六面体中，点P是AC与BD的交点，若，且，则 . 【答案】 【分析】由向量的运算法则，求得，根据，结合向量的数量积的运算，即可求解. 【详解】由题意可得，， 则 ， 故. 故答案为： 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2024高二·全国·课后作业）如图，四棱锥的底面为一矩形，，，，点，分别是和的中点，试用，，表示，，，． 【答案】；；；． 【分析】利用空间向量的线性运算几何意义，结合空间向量基本定理，注意回路的选择，即可得到答案； 【详解】． ． ． ． 16．（2024高三·全国·专题练习）如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，，试采用向量法解决下列问题：    (1)求的模长； (2)求，的夹角. 【答案】(1)； (2)90°. 【分析】（1）根据空间向量线性的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为E，F，G是中点，所以， 因此， 因为正四面体所有棱长为1， 所以， 所以； （2）由（1）可知：， 同理，， 所以，的夹角为90°. 17．（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，平面平面ABCD．    (1)求证：平面ABCD； (2)若，求二面角的平面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接AC交BD于点O，易知AC⊥BD，又平面ABCD⊥平面PBD，利用面面垂直的性质定理可得出AC⊥平面PBD，从而AC⊥PD，利用线面垂直的判定定理可得结论； （2）以O为坐标原点，OC为x轴，OD为y轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量的夹角即可得出． 【详解】（1）连接AC交BD于点O，由平面几何知识易知AC⊥BD， 又平面ABCD⊥平面PBD，BD是交线，AC平面ABCD， ∴AC⊥平面PBD，又PD平面PBD， ∴AC⊥PD，又PD⊥AB，AC∩AB＝A，AC,AB平面ABCD， ∴PD⊥平面ABCD； （2）如图，以O为坐标原点，OC为x轴，OD为y轴，建立如图空间直角坐标系，    PD＝1，则， 易知是平面PBD的一个法向量， ， 设是平面PBC的一个法向量， 则，即，取， ∴， ∵二面角的平面角为锐角， ∴二面角的平面角的余弦值为． 18．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，正方形的边长为4，，分别为，的中点.将正方形沿着线段折起，使.设为的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）推导出，，从而平面，由此能证明. （2）由为等边三角形，且，，，得到平面.设的中点为，连接，则，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴､轴和轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为正方形中，，分别为，的中点， 所以，， 又因为，所以平面， 又因为平面，所以. （2）因为，，， 所以为等边三角形，且. 又因为，，所以平面. 设的中点为，连接，则，，两两垂直， 故以，，所在直线分别为轴､轴和轴建立空间直角坐标系，如图， 则，0，，，0，，，4，，，4，，，0，， ，0，，，0，，，，， 设平面的法向量，，， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 19．（23-24高三上·江苏扬州·期末）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面平面CBD，又平面ABD． （1）若，求证：； （2）若二面角的大小为，求线段AE的长. 【答案】（1）见解析； （2） 【分析】（1）根据图形特征，先以为原点以分别为轴，可得，满足，所以； （2）设，，，求得平面ABE（平面xOz）的一个法向量为；再根据，，求得平面BED的一个法向量为，再由求解. 【详解】（1）以为原点以分别为轴， 所以， 因为 所以； （2）设，， 易知平面ABE（平面xOz）的一个法向量为， ， 设平面BED的一个法向量为 则 解得， 则 所以. 【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$