第25章 概率初步 基础题过关检测★【6个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-—2025学年人教版数学九年级上册

第25章 概率初步 基础题过关检测★【6个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 考点梳理 一．随机事件 二．可能性的大小 三．概率公式 四．列表法与树状图法 五．利用频率估计概率 六．模拟试验 考点精讲精练 一．随机事件 · 随机事件 （1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 1．（2024•清镇市校级模拟）下列说法不正确的是　　 A．“任意画一个三角形，其内角和为”是必然事件 B．调查全国中学生的视力情况，适合采用抽查的方式 C．抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确 D．为了解一批电视机的寿命，从中抽取100台电视机进行试验，该问题的样本是抽取的100台电视机 2．（2024春•淮阴区期中）小红通过一个设有红绿灯的十字路口时遇到绿灯，这是 　　事件（填“随机”或“确定” ． 3．（2024春•丹徒区期中）连续三次抛掷一枚硬币都是正面朝上，则第四次抛掷，结果正面朝上是 　　事件（选填“不可能”、“必然”、“随机” ． 4．（2023秋•渝中区期末）某品牌花生油的密度约为且不溶于水．若将该品牌花生油滴入水中，则花生油浮在水面上．这一事件是 　　事件．（填“必然”“不可能”或“随机” 5．（2023秋•志丹县期末）“守株待兔”是 　　事件．（填“确定”或“不确定” 6．（2024•思明区二模）“经过某交通信号灯的路口，遇到红灯“是　　事件（填“必然”、“不可能“、“随机” 二．可能性的大小 · 可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 7．（2024春•秦淮区期末）一个不透明的袋中装有3个红球，2个黄球，1个白球，每个球除颜色外都相同．从袋中任意摸出一球，则摸到　　球的可能性最大．（填“红色”、“黄色”或“白色” 三．概率公式 · 概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 8．（2024•吴江区二模）如图，有7张扑克牌，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌上，若从中随机抽取一张，抽到方块的概率是　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•浦北县期末）掷一枚均匀的骰子，点数为3的概率是　　． 10．（2024春•嘉定区期末）从3.14、、、这四个数中随机选取一个数，取出的数是无理数的概率是 　　． 11．（2024•金华三模）在一个不透明的袋子里装有3个红球和5个蓝球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率为 　　． 12．（2023秋•秦都区期末）从拼音“”的六个字母中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为 　　． 13．（2024•宿迁模拟）某班共有7名学生干部，其中5名是男生，2名是女生，任意抽一名学生干部去参加一项活动，其中是女生的概率为 　　． 14．（2024春•金水区期末）如图，现有一个圆形转盘被平均分成8份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转）．求： （1）转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是多少？ （2）若小明转动两次后分别转到的数字是3和6，小明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作为三条线段的长（长度单位均相同），求这三条线段能构成三角形的概率． 15．（2024春•双流区期末）某商场进行“”促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成12份，分别标有1至12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． （1）若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 　　； （2）选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 四．列表法与树状图法 · 列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 16．（2024春•邹城市校级月考）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字，1，2．随机摸出一个小球（不放回），将其数字记为，再随机摸出另一个小球，将其数字记为．则函数经过一、三、四象限的概率是　　 A． B． C． D． 17．（2024•东城区校级模拟）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，则第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的概率是　　 A． B． C． D． 18．（2024•包头模拟）有三张正面分别写有数字，，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为的值，则点在第二象限的概率为　　 A． B． C． D． 19．（2024•忻州二模）在当今科技飞速发展的时代，科技馆已经成为人们接触科学、感受科技魅力、培养创新精神的重要场所．如图为某市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．小宣同学通过入口后，随机选择一条道路前进，每逢路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则小宣最后进入“科技与生活”展厅的概率是　　 A． B． C． D． 20．（2024•武汉模拟）《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》都是中国古代数学著作，是中国古代数学文化的瑰宝．小华要从这四部著作中随机抽取两本学习，则抽取的两本恰好是《周髀算经》和《九章算术》的概率是　　 A． B． C． D． 21．（2024•东营区模拟）小明忘记了旅行箱密码的后两位数字，只记得都是奇数，且这两个数字不同，小明随机输入，则他一次能打开密码锁的概率为　　 A． B． C． D． 22．（2024•宜都市二模）新开业的“宜都万达广场”吸引了众多市民前来购物，广场共有3个出入口，市民甲和乙在广场购物后恰好从同一出入口走出的概率是　　 A． B． C． D． 23．（2024•市中区一模）我校举办“校园好声音”比赛，决定从两名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是　　 A． B． C． D． 24．（2024•高平市三模）2024年全国两会于3月4日月11日在北京顺利召开，政府工作报告提出：要坚持不懈抓好“三农”工作，扎实推进乡村全面振兴．把“乡”“村”“振”“兴”四个字分别写在四张完全相同的卡片上，背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽到的两张卡片上分别写有“振”和“兴”的概率为　　 A． B． C． D． 25．（2024•安徽模拟）2024年元旦期间，某超市为了增加销售额，举办了“购物抽奖”活动：凡购物达到200元即可抽奖1次，达到400元可抽奖2次，，依次类推．抽奖方式为：在不透明的箱子中有四个形状相同的小球，四个小球上分别写有对应奖品的价值为10元、15元、20元和“谢谢惠顾”的字样；抽奖1次，随机从四个小球抽取一个；抽奖2次时，记录第1次抽奖的结果后放回箱子中再进行第2次抽取，，依次类推．小明和妈妈一共购买了420元的物品，获得了两次抽奖机会，则小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率为　　 A． B． C． D． 26．（2024•合肥模拟）如图是古典名著《西游记》和《三国演义》中的人物图片，它们的反面完全相同，小明和小亮同时从中任意各抽取1张图片，两张图片的人物恰好属于同一部名著的概率是　　 A． B． C． D． 27．（2024•廉江市校级模拟）在一个不透明纸箱中放有除数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为　　 A． B． C． D． 28．（2023秋•嵊州市期末）元旦游园晚会上有一个闯关活动：将15个大小、质量完全相同的球放入一个袋中，其中8个白色，4个黄色，3个红色．任意摸出一个球，如果是红色就可以过关，那么一次过关的概率为　　 A． B． C． D． 29．（2024•泗水县二模）从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为，，则关于的一元二次方程有实数根的概率为　　 A． B． C． D． 30．（2024•阳泉三模）山西拥有悠久的历史和丰富的文化资源，是中国古代文化艺术的重要发源地之一，其中壁画艺术在中国文化史上傲绝孤峰．某校课外兴趣小组设计了4张壁画艺术宣传卡片，小文将它们背面朝上放在桌面上（卡片背面完全相同），从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则抽到的两张卡片正面的图案恰好是“永乐宫壁画”和“云冈石窟壁画”的概率是　　 A． B． C． D． 31．（2024•柳州三模）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了以“二十四节气”为主题的邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将这四张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的概率是　　 A． B． C． D． 32．（2024•南阳一模）为落实“双减提质”，传播数学文化，提升学生数学核心素养，某学校开展数学阅读月活动小丽和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》三本书中随机抽取一本进行阅读，则两人恰好都抽到《九章算术》的概率是 　　． 33．（2024•长阳县模拟）如图所示的是一个电路图，当随机闭合开关，，中的两个时，小灯泡发光的概率为 　　． 34．（2024春•重庆月考）在桌面上放有四张背面朝上且完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字，0，2，3，现随机抽取一张并记录，不放回接着抽取第二张并记录，则两次抽取卡片上的数字之积为正数的概率是 　　． 35．（2024•淮安区二模）“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．某校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，其中有2个为八年级班级（分别用、表示），3个为九年级班级（分别用、、表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动． （1）第一周选择的是八年级班级的概率为 　　； （2）请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率． 36．（2024•云南）为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”．某校七年级年级组准备从博物馆、植物园两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆、植物园、科技馆三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择博物馆为，选择植物园为，选择科技馆为，记七年级年级组的选择为，八年级年级组的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率． 37．（2024春•二七区期末）随着“”临近，许多商店推出一系列活动以回馈广大消费者．某商店在此期间设置了一个购物摸球游戏：在一不透明的箱子里装了50个小球，这些球分别标有50元、8元、2元、0元的金额，个数如下表所示．这些小球除数字外全都相同，商店规定：凡购买指定商品，可以摸球一次，若摸到标有50元、8元、2元的小球，则可以得到等价值的奖品一个；若摸到标有0元的小球，则没有奖品．根据以上信息回答下列问题： 所标金额（元 小球个数（个 50 4 8 14 2 27 0 5 （1）小明购买了指定商品，则他获得奖品的概率是 　　，获得8元奖品的概率是 　　． （2）假设从箱子里拿出2个标有8元的小球，将剩余的小球搅拌均匀，从中任意摸出一个球，则摸到标有2元的小球的概率是多少？ （3）为了吸引顾客，该商店想将获得8元以上（含8元）奖品的概率提高到，在保持小球总数不变的情况下，请你设计一种合理的方案． 38．（2024•柴桑区校级三模）某市共青团委员会本着“受教育、长才干、作贡献”的宗旨，组织了大学生返回家乡参与社会实践的活动，并计划让某校学生从“．条幅标语”“ ．互联网推广”“ ．宣传橱窗”“ ．挂图海报”中随机选择一种宣传方式，对本次活动进行宣传． （1）若小贤参与了此次活动的宣传，则他选择“．挂图海报”的概率是 　　． （2）若在选择“．互联网推广”的学生中选取3名学生，在选择“．宣传橱窗”的学生中选取1名学生，从选取的这4名学生中任选2名分享宣传经验，请用画树状图法或列表法，求选取的2名学生恰好都是选择“．互联网推广”的概率． 39．（2024•涟水县模拟）某校组建了三个小组：（经典诵读），（诗词大赛），（传统故事）．学校规定：每名学生必须参加且只能参加其中一个小组．若该校小敏和小文两名同学各自从三个小组中随机选择一个小组，每一个小组被选中的可能性相同． （1）小敏选择经典诵读小组的概率是 　　； （2）用画树状图或列表的方法，求小敏和小文选择不同小组的概率． 40．（2024•亳州二模）某校准备组织开展四项项目式综合实践活动：“．家庭预算，．城市交通与规划，．购物决策，．饮食健康”．为了解学生最喜爱哪项活动，随机抽取部分学生进行问卷调查（每位学生只能选择一项），将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息回答下列问题： （1）本次一共调查了 　　名学生，在扇形统计图中，的值是 　　； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有2000名学生，估计最喜爱和项目的学生一共有多少名？ （4）现有最喜爱，，，活动项目的学生各一人，学校要从这四人中随机选取两人交流活动体会，请用列表或画树状图的方法求出恰好选取最喜爱和项目的两位学生的概率． 41．（2024•碑林区校级模拟）从华夏文明的发源地到丝绸之路的起点，这里承载着中华民族几千年的璀璨基因；从险峻的秦岭山脉到苍茫的黄土高原，这里展现着中华大地的壮美景象．这里，就是陕西．小明和小强准备假期去陕西旅游，想去的景点有：．秦始皇兵马俑，．革命圣地延安，．西岳华山，．宝鸡青铜器博物馆．由于时间有限，这些景点不能都去．他们就用抽卡片的方式来决定要去参观的景点，事先准备了4张不透明且无差别的卡片，在卡片正面分别写上以上4个景点，然后背面朝上，洗匀放好． （1）小明从这4张卡片中任意抽取一张，恰好抽中“．宝鸡青铜器博物馆”的概率是 　　； （2）若小明从这4张卡片中随机抽取一张，记下景点名称后放回，洗匀，再由小强从中随机抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求小明和小强抽中同一景点的概率． 42．（2024•青山区校级三模）如图，可以自由转动的转盘被它的半径分成了五个完全相同的扇形区域，分别标有数字“”、“ ”、“0”、“2”、“4”，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，则转出的数字是偶数的概率为 　　； （2）转动转盘两次，第一次转出的数字记作，第二次转出的数字记作，点的坐标记作．用树状图或列表法求转动两次后得到的点落在第四象限的概率． 43．（2024•江阴市模拟）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘、．每个转盘被平均分成3个区域并标有数字，转动转盘指针都会等可能地指向每个区域．分别转动转盘和转盘各一次，将转盘上的数字记为，转盘上的数字记为． （1）当转动转盘时，指针指向数字1所在区域的概率为 　　； （2）求点恰好为一次函数图象上的点的概率． （请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 44．（2024•辽宁模拟）我国古代曾以“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）教授学生，其中“乐”和“书”主要是用音乐和书画来进行审美教育某校计划在课后服务中开设美育相关课程，并在全校范围内随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从．书法、．国画、．合唱、．水彩画四个课程中选择一个自己最喜爱的．将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 　　人； （2）在扇形统计图中，所对应的圆心角度数为 　　，请补全条形统计图； （3）该校共有1200名学生，请你估计选择“．书法”课程的学生有多少人； （4）小明和小华打算从四个课程中各自选择一个作为美育课程，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华所选的课程恰好相同的概率． 45．（2024春•管城区校级期末）从一副扑克牌中挑拣出来9张，分别为2，3，4，5，6，7，8，9，10，将这些牌背面朝上洗匀后，小明从中任意抽取一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意抽取一张． （1）规定谁摸到的牌面大谁就获胜，如果小明已经摸到的牌面为7，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少？ （2）规定两人摸到的牌面之和为偶数小明获胜，如果小明已经摸到的牌面为7，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少？ 46．（2024•二道区校级模拟）一个不透明的盒子中放有三张分别写有数字1，2，3的卡片，卡片除数字外完全相同．小蕊从三张卡片中随机抽取一张，以卡片上的数字作为十位数，记录数字后放回，再从中随机抽取一张，以卡片上的数字作为个位数，求这个两位数小于或等于23的概率． 47．（2024•兖州区模拟）在大课间活动中，体育老师随机抽取了九年级甲、乙两班部分女生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和频数分布直方图，请你根据图表中的信息完成下列问题： 分组 频数 频率 第一组 3 0.15 第二组 6 第三组 7 0.35 第四组 0.20 （1）频数分布表中　　，　　； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）如果该校九年级共有女生400人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30次或30次以上的女学生有多少人？ （4）已知第一组有两名甲班学生，第四组中只有一名乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？ 五．利用频率估计概率 · 利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 48．（2024•十堰模拟）下列说法错误的是　　 A．“清明时节雨纷纷”是必然事件 B．对“神舟十八号”载人飞船发射前的零部件的检查，采用全面调查的方式 C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率 D．在“校园好声音”比赛中，通常采用去掉一个最高分和最低分，然后计算平均分的办法，是因为平均数易受极端数据的影响 49．（2024•东莞市校级模拟）在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有 　　个． 六．模拟试验 · 模拟试验 （1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验． （2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果． （3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可． 50．（2024•微山县二模）为验证“掷一枚质地均匀的骰子，标有数字1的面朝上的概率是．”某同学做了下面两个模拟实验：①取一枚崭新的质地均匀的骰子，在平滑的地面上做反复掷投实验，计算标有数字1的面朝上次数与总掷投次数的比值； ②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成六份，并依次标上数字1，2，3，4，5，6，转动转盘，计算指针落在标有数字1区域的次数与总次数的比值（指针落在分界线不计）．你认为下面说法正确的是　　 A．实验①科学 B．实验②科学 C．两个实验都不科学 D．两个实验都科学 第25章 概率初步 基础题过关检测★【6个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．随机事件 1．（2024•清镇市校级模拟）下列说法不正确的是　　 A．“任意画一个三角形，其内角和为”是必然事件 B．调查全国中学生的视力情况，适合采用抽查的方式 C．抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确 D．为了解一批电视机的寿命，从中抽取100台电视机进行试验，该问题的样本是抽取的100台电视机 【答案】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：．“任意画一个三角形，其内角和为”是必然事件，选项正确，不符合题意； ．调查全国中学生的视力情况，适合采用抽样调查的方式，选项正确，不符合题意； ．抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确，选项正确，不符合题意； ．该问题的样本是抽取的100台电视机的寿命，选项错误，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是必然事件的含义，调查方式的选择，三角形的内角和定理的含义，掌握相关概念以及定理是解本题的关键． 2．（2024春•淮阴区期中）小红通过一个设有红绿灯的十字路口时遇到绿灯，这是 　随机　事件（填“随机”或“确定” ． 【答案】随机． 【分析】根据在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【解答】解：小红通过一个设有红绿灯的十字路口时遇到绿灯， 可能发生也可能不发生，故属于随机事件， 故答案为：随机． 【点评】本题考查了随机事件的定义，熟记定义是解本题的关键． 3．（2024春•丹徒区期中）连续三次抛掷一枚硬币都是正面朝上，则第四次抛掷，结果正面朝上是 　随机　事件（选填“不可能”、“必然”、“随机” ． 【答案】随机． 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【解答】解：连续三次抛掷一枚硬币都是正面朝上，则第四次抛掷，结果正面朝上是随机事件， 故答案为：随机． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4．（2023秋•渝中区期末）某品牌花生油的密度约为且不溶于水．若将该品牌花生油滴入水中，则花生油浮在水面上．这一事件是 　必然　事件．（填“必然”“不可能”或“随机” 【答案】必然． 【分析】根据随机事件的定义进行解题即可． 【解答】解：花生油的密度约为且不溶于水，水的密度为， 将该品牌花生油滴入水中，则花生油浮在水面上．这一事件是必然事件． 故答案为：必然． 【点评】此题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5．（2023秋•志丹县期末）“守株待兔”是 　不确定　事件．（填“确定”或“不确定” 【答案】不确定． 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【解答】解：守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件． 故答案为：不确定． 【点评】本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6．（2024•思明区二模）“经过某交通信号灯的路口，遇到红灯“是　随机　事件（填“必然”、“不可能“、“随机” 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案． 【解答】解：经过某交通信号灯的路口，可能遇到红灯，可能遇到绿灯，也可能遇到黄灯， 所以遇到红灯是随机事件， 故答案为：随机． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 二．可能性的大小 7．（2024春•秦淮区期末）一个不透明的袋中装有3个红球，2个黄球，1个白球，每个球除颜色外都相同．从袋中任意摸出一球，则摸到　红色　球的可能性最大．（填“红色”、“黄色”或“白色” 【分析】利用概率公式分别计算出摸到红球、黄球、白球的概率，然后利用概率的大小判断可能性的大小． 【解答】解：任意摸出一球，摸到红球的概率，摸到黄球的概率，摸到白球的概率， 所以摸到红色球的可能性最大． 故答案为：红色． 【点评】本题考查了可能性的大小：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，通过概率公式计算各随机事件的概率来判断各事件发生的可能性大小． 三．概率公式 8．（2024•吴江区二模）如图，有7张扑克牌，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌上，若从中随机抽取一张，抽到方块的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】运用列举法求出花色是方片的概率即可． 【解答】解：一共有7张扑克牌，每张牌被抽到的概率相同，抽到方片牌有2张， 抽到的花色是方片的概率为， 故选：． 【点评】本题主要考查了简单的概率计算，运用列举法求出花色是方片的概率是解题的关键． 9．（2023秋•浦北县期末）掷一枚均匀的骰子，点数为3的概率是　　． 【分析】掷一枚均匀的骰子，点数为3的概率是有6种情况，故其概率为． 【解答】解：（点数为． 故本题答案为：． 【点评】本题考查的是随机事件概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）． 10．（2024春•嘉定区期末）从3.14、、、这四个数中随机选取一个数，取出的数是无理数的概率是 　　． 【答案】． 【分析】先求出无理数的个数，再根据概率公式即可得出结论． 【解答】解：， 则3.14、、、这四个数中有3个有理数，无理数1个， 故从3.14、、、这四个数中随机选取一个数，取出的数是无理数的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键． 11．（2024•金华三模）在一个不透明的袋子里装有3个红球和5个蓝球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率为 　　． 【答案】． 【分析】在一个不透明的袋子里装有3个红球和5个蓝球，它们除颜色外其余都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是， 故答案为：． 【点评】本题考查的是概率公式，熟知如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率是解题的关键． 12．（2023秋•秦都区期末）从拼音“”的六个字母中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为 　　． 【答案】． 【分析】“”中共有6个字母，字母有2个，根据概率公式可得答案． 【解答】解：单词“”，共6个字母，字母有2个， 抽中的概率为， 故答案为：． 【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 13．（2024•宿迁模拟）某班共有7名学生干部，其中5名是男生，2名是女生，任意抽一名学生干部去参加一项活动，其中是女生的概率为 　　． 【分析】共有7名学生，女生有2名，利用概率公式可得答案． 【解答】解：是女生的概率为：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了概率，关键是掌握概率公式（A）． 14．（2024春•金水区期末）如图，现有一个圆形转盘被平均分成8份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转）．求： （1）转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是多少？ （2）若小明转动两次后分别转到的数字是3和6，小明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作为三条线段的长（长度单位均相同），求这三条线段能构成三角形的概率． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）由三角形的三边关系得，则或5或6或7或8，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）一个圆形转盘被平均分成8份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字， 转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是； （2）设，，小明再转动一次，转出的数字为， 由三角形的三边关系得：， 即， ， 或5或6或7或8， 这三条线段能构成三角形的概率为． 【点评】本题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键． 15．（2024春•双流区期末）某商场进行“”促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成12份，分别标有1至12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． （1）若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 　　； （2）选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 【答案】（1）； （2）选择摇奖方式一．理由见解析． 【分析】（1）用数字4的面的个数除以总个数即可得； （2）分别计算两种方式获奖的概率，然后通过比较概率的大小进行判断． 【解答】解：（1）“4”朝上的概率是； 故答案为：； （2）选择摇奖方式一． 理由如下： 方式一：标有数字6的面有面， 选择摇奖方式一获奖的概率为， 方式一：数字为6的倍数的数由6，12共2个， 选择摇奖方式二获奖的概率为， 因为， 所以摇奖方式一获奖的机会大，选择摇奖方式一． 【点评】本题考查了概率公式：随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数 四．列表法与树状图法 16．（2024春•邹城市校级月考）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字，1，2．随机摸出一个小球（不放回），将其数字记为，再随机摸出另一个小球，将其数字记为．则函数经过一、三、四象限的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先根据一次函数的图象和性质，可知若使得函数经过一、三、四象限，则需要满足，，然后作出树状图，结合树状图即可获得答案． 【解答】解：若使得函数经过一、三、四象限， 则需要满足，， 根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中满足条件的有2种， 故函数经过一、三、四象限的概率是． 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质、列举法求概率等知识，结合题意正确作出树状图是解题关键． 17．（2024•东城区校级模拟）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，则第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先画树状图得到所有等可能的结果，再找出符合题意的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如图： 共有16种等可能的结果，其中第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的有8种， 第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的概率为， 故选：． 【点评】本题考查列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式是解题的关键． 18．（2024•包头模拟）有三张正面分别写有数字，，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为的值，则点在第二象限的概率为　　 A． B． C． D． 【分析】画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式可得答案． 【解答】解：画树状图如下： 由树状图知，共有6种等可能结果，其中点在第二象限的有2种结果， 所以点在第二象限的概率为， 故选：． 【点评】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． 19．（2024•忻州二模）在当今科技飞速发展的时代，科技馆已经成为人们接触科学、感受科技魅力、培养创新精神的重要场所．如图为某市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．小宣同学通过入口后，随机选择一条道路前进，每逢路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则小宣最后进入“科技与生活”展厅的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】采用树状图法求解．一共有6种情况，其中进入景区的有2种可能，进入景区的有4种可能，所以进入景区的可能性较大． 【解答】解：记3个入口为上、中、下；“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅分别即为：，． 画出树状图如下： ， 一共有6种等可能的结果，其中最后进入“科技与生活”展厅有4种可能的结果， （最后进入“科技与生活”展厅）． 故选：． 【点评】本题考查用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，理解题意，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． 20．（2024•武汉模拟）《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》都是中国古代数学著作，是中国古代数学文化的瑰宝．小华要从这四部著作中随机抽取两本学习，则抽取的两本恰好是《周髀算经》和《九章算术》的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解． 【解答】解：将四部名著《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》分别记为，，，， 用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果： 由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，满足事件的结果有2种，即，， 所以恰好选中《周髀算经》和《九章算术》的概率是， 故选：． 【点评】本题考查了用列表法或树状图法求概率，解答本题的关键是掌握概率的求法． 21．（2024•东营区模拟）小明忘记了旅行箱密码的后两位数字，只记得都是奇数，且这两个数字不同，小明随机输入，则他一次能打开密码锁的概率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中小明一次能打开密码锁的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：由题意画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中小明一次能打开密码锁的结果有1种， 小明一次能打开密码锁的概率为， 故选：． 【点评】此题考查了树状图法以及概率公式．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 22．（2024•宜都市二模）新开业的“宜都万达广场”吸引了众多市民前来购物，广场共有3个出入口，市民甲和乙在广场购物后恰好从同一出入口走出的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】用列表法或画树状图法即可解决问题． 【解答】解：记三个出口分别为：，，，画树状图如下： 一共有9种等可能的情况，其中甲和乙在广场购物后恰好从同一出入口走出有3种可能的情况， （甲和乙在广场购物后恰好从同一出入口走出）， 故选：． 【点评】本题考查用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． 23．（2024•市中区一模）我校举办“校园好声音”比赛，决定从两名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】列举出所有等可能的情况数，让选出的恰为一男一女的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【解答】解：根据题意画图如下： 共有12种等可能的情况数，其中一男一女的情况有8种， 则选出的恰为一男一女的概率是． 故选：． 【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率，解答此题的关键是用树形法列举出所有可能的情况，再根据概率公式解答． 24．（2024•高平市三模）2024年全国两会于3月4日月11日在北京顺利召开，政府工作报告提出：要坚持不懈抓好“三农”工作，扎实推进乡村全面振兴．把“乡”“村”“振”“兴”四个字分别写在四张完全相同的卡片上，背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽到的两张卡片上分别写有“振”和“兴”的概率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】将“乡”“村”“振”“兴”四个字分别记作1、2、3、4，根据题意列出相应的表格，得到所有等可能出现的情况数，进而找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率． 【解答】解：将“乡”“村”“振”“兴”四个字分别记作1、2、3、4， 列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 由表知，共有12种等可能结果，由表知抽到的两张卡片上分别写有“振”和“兴”的有2种结果， 所以抽到的两张卡片上分别写有“振”和“兴”的概率为， 故选：． 【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 25．（2024•安徽模拟）2024年元旦期间，某超市为了增加销售额，举办了“购物抽奖”活动：凡购物达到200元即可抽奖1次，达到400元可抽奖2次，，依次类推．抽奖方式为：在不透明的箱子中有四个形状相同的小球，四个小球上分别写有对应奖品的价值为10元、15元、20元和“谢谢惠顾”的字样；抽奖1次，随机从四个小球抽取一个；抽奖2次时，记录第1次抽奖的结果后放回箱子中再进行第2次抽取，，依次类推．小明和妈妈一共购买了420元的物品，获得了两次抽奖机会，则小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【解答】解：列表得： 10 15 20 谢谢惠顾 10 20 25 30 10 15 25 30 35 15 20 30 35 40 20 谢谢惠顾 10 15 20 0 由表格可得，共有16种等可能出现的结果，其中小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的情况有6种， 小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率， 故选：． 【点评】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解答本题的关键是掌握概率的求法：概率等于所求情况数与总情况数之比． 26．（2024•合肥模拟）如图是古典名著《西游记》和《三国演义》中的人物图片，它们的反面完全相同，小明和小亮同时从中任意各抽取1张图片，两张图片的人物恰好属于同一部名著的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用列表法或画树状图法求出两张图片的人物恰好属于同一部名著的概率即可作出选择． 【解答】解：将孙悟空记为，猪八戒记为，诸葛亮记为，关羽记为，张飞记为，画树状图如下： 一共有20种等可能的情况，其中两张图片的人物恰好属于同一部名著有8种可能的情况， （两张图片的人物恰好属于同一部名著）． 故选：． 【点评】本题考查用列表法或画树状图法求等可能事件的概率，掌握用列表法或画树状图法求等可能事件的方法，了解古典名著《西游记》和《三国演义》中的人物是解题的关键． 27．（2024•廉江市校级模拟）在一个不透明纸箱中放有除数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之积为偶数的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之积为偶数的结果有3种， 两次摸出的数字之积为偶数的概率为， 故选：． 【点评】此题主要考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 28．（2023秋•嵊州市期末）元旦游园晚会上有一个闯关活动：将15个大小、质量完全相同的球放入一个袋中，其中8个白色，4个黄色，3个红色．任意摸出一个球，如果是红色就可以过关，那么一次过关的概率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接由概率公式求解即可． 【解答】解：由题意得：一次过关的概率为． 故选：． 【点评】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 29．（2024•泗水县二模）从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为，，则关于的一元二次方程有实数根的概率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】关于的一元二次方程有实数根，即△求出满足的条件，再列表或画出树状图得出所有等可能的结果数，再找出满足△的结果数，根据概率公式求解即可． 【解答】解：关于的一元二次方程有实数根， 则△， 解得， 画树状图得： 由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中使的有2种结果， 关于的一元二次方程有实数解的概率为， 故选：． 【点评】本题考查用列表法或画树状图法求等可能事件的概率，一元二次方程根的判别式，掌握列表法或画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键． 30．（2024•阳泉三模）山西拥有悠久的历史和丰富的文化资源，是中国古代文化艺术的重要发源地之一，其中壁画艺术在中国文化史上傲绝孤峰．某校课外兴趣小组设计了4张壁画艺术宣传卡片，小文将它们背面朝上放在桌面上（卡片背面完全相同），从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则抽到的两张卡片正面的图案恰好是“永乐宫壁画”和“云冈石窟壁画”的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】画出树状图，得到一共有12种等可能性，其中，是“永乐宫壁画”和“云冈石窟壁画”的等可能性有2．据此列式解答． 【解答】解：设“永乐宫壁画”用表示，“云冈石窟壁画”用表示，“北齐壁画”用表示，“平顺大云院壁画”用表示，画树状图如下： 一共有12种等可能性，其中，是“永乐宫壁画”和“云冈石窟壁画”的等可能性有2． 故抽到的两张卡片正面的图案恰好是“永乐宫壁画”和“云冈石窟壁画”的概率是， 故选：． 【点评】本题考查了不放回型的概率计算，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 31．（2024•柳州三模）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了以“二十四节气”为主题的邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将这四张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票分别记为，，，， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的结果有2种， 小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的概率为， 故选：． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 32．（2024•南阳一模）为落实“双减提质”，传播数学文化，提升学生数学核心素养，某学校开展数学阅读月活动小丽和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》三本书中随机抽取一本进行阅读，则两人恰好都抽到《九章算术》的概率是 　　． 【答案】． 【分析】先列树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到两人恰好都抽到《九章算术》的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【解答】解：设《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》三本书分别用、、表示， 画树状图如下： 由图可知：共有9种等可能的结果数，其中两人恰好都抽到《九章算术》的结果数有1种， 两人恰好都抽到《九章算术》的概率是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，熟知树状图或列表法求解概率是解题的关键． 33．（2024•长阳县模拟）如图所示的是一个电路图，当随机闭合开关，，中的两个时，小灯泡发光的概率为 　　． 【答案】． 【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图得： 共有6种等可能的结果，能够让灯泡发光的是闭合，，，，，，，， 能够让灯泡发光的概率为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了列表法与树状图法求概率的知识．正确画出树状图是解题的关键． 34．（2024春•重庆月考）在桌面上放有四张背面朝上且完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字，0，2，3，现随机抽取一张并记录，不放回接着抽取第二张并记录，则两次抽取卡片上的数字之积为正数的概率是 　　． 【答案】． 【分析】列表得出共有12种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之和为正数的结果有10种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：列表如下： 0 2 3 0 2 3 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上数字之和是正数的结果有10种， 两次抽取卡片上的数字之和为正数的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键要熟练掌握概率的求法：概率所求情况数与总情况数之比． 35．（2024•淮安区二模）“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．某校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，其中有2个为八年级班级（分别用、表示），3个为九年级班级（分别用、、表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动． （1）第一周选择的是八年级班级的概率为 　　； （2）请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率． 【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解； （2）根据题意画出树状图，可得共有20种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的情况有12种情况，再根据概率公式计算，即可求解． 【解答】解：（1）根据题意得：第一周选择的是八年级班级的概率为； 故答案为：； （2）根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的情况有12种情况， 两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率． 【点评】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． 36．（2024•云南）为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”．某校七年级年级组准备从博物馆、植物园两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆、植物园、科技馆三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择博物馆为，选择植物园为，选择科技馆为，记七年级年级组的选择为，八年级年级组的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率． 【答案】（1）有9种等可能的情况数； （2）． 【分析】（1）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数即可； （2）根据概率公式进行求解即可． 【解答】解：（1）根据题意列表如下： 共有6种等可能的情况数； （2）共有6种等可能的情况数，其中七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的有4种， 该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率． 【点评】此题考查了列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 37．（2024春•二七区期末）随着“”临近，许多商店推出一系列活动以回馈广大消费者．某商店在此期间设置了一个购物摸球游戏：在一不透明的箱子里装了50个小球，这些球分别标有50元、8元、2元、0元的金额，个数如下表所示．这些小球除数字外全都相同，商店规定：凡购买指定商品，可以摸球一次，若摸到标有50元、8元、2元的小球，则可以得到等价值的奖品一个；若摸到标有0元的小球，则没有奖品．根据以上信息回答下列问题： 所标金额（元 小球个数（个 50 4 8 14 2 27 0 5 （1）小明购买了指定商品，则他获得奖品的概率是 　　，获得8元奖品的概率是 　　． （2）假设从箱子里拿出2个标有8元的小球，将剩余的小球搅拌均匀，从中任意摸出一个球，则摸到标有2元的小球的概率是多少？ （3）为了吸引顾客，该商店想将获得8元以上（含8元）奖品的概率提高到，在保持小球总数不变的情况下，请你设计一种合理的方案． 【答案】（1），； （2）； （3）需要把6个标有2元的小球改为8元的小球． 【分析】（1）用获得奖品的小球个数除以总个数，得出小明获得奖品的概率，用获得8元奖品的小球个数除以总个数即可得出获得8元奖品的概率； （2）用摸到标有2元小球的个数除以拿出2个标有8元的小球以后的总个数，即可得出答案； （3）设需要把个标有2元的小球改为8元，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【解答】解：（1）小明购买了指定商品，则他获得奖品的概率是； 获得8元奖品的概率是； 故答案为：，； （2）从中任意摸出一个球，摸到标有2元小球的概率是：； （3）设需要把个标有2元的小球改为8元，根据题意得： ， 解得：， 因为原来有27个标有2元的小球，， 所以需要将6个标有2元的小球改为8元的小球． 【点评】本题考查概率公式，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是解决问题的关键． 38．（2024•柴桑区校级三模）某市共青团委员会本着“受教育、长才干、作贡献”的宗旨，组织了大学生返回家乡参与社会实践的活动，并计划让某校学生从“．条幅标语”“ ．互联网推广”“ ．宣传橱窗”“ ．挂图海报”中随机选择一种宣传方式，对本次活动进行宣传． （1）若小贤参与了此次活动的宣传，则他选择“．挂图海报”的概率是 　　． （2）若在选择“．互联网推广”的学生中选取3名学生，在选择“．宣传橱窗”的学生中选取1名学生，从选取的这4名学生中任选2名分享宣传经验，请用画树状图法或列表法，求选取的2名学生恰好都是选择“．互联网推广”的概率． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【解答】解：（1）一共有4种计划，且每种计划被选取的概率相同， 小贤选择“．挂图海报”的概率为， 故答案为：； （2）设3名选择“．互联网推广”的学生分别用、、表示，1名选择“．宣传橱窗”的学生用表示，列表如下： 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中都是选择“．互联网推广”的结果数有6种， 都是选择“．互联网推广”的概率为． 【点评】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确记忆相关知识点是解题关键． 39．（2024•涟水县模拟）某校组建了三个小组：（经典诵读），（诗词大赛），（传统故事）．学校规定：每名学生必须参加且只能参加其中一个小组．若该校小敏和小文两名同学各自从三个小组中随机选择一个小组，每一个小组被选中的可能性相同． （1）小敏选择经典诵读小组的概率是 　　； （2）用画树状图或列表的方法，求小敏和小文选择不同小组的概率． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）直接利用概率公式计算即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小敏和小文选择不同小组的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）共三个活动小组， 小敏选择经典诵读小组的概率是． 故答案为：； （2）画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小敏和小文选择不同小组的结果有6种， 小敏和小文选择不同小组的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 40．（2024•亳州二模）某校准备组织开展四项项目式综合实践活动：“．家庭预算，．城市交通与规划，．购物决策，．饮食健康”．为了解学生最喜爱哪项活动，随机抽取部分学生进行问卷调查（每位学生只能选择一项），将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息回答下列问题： （1）本次一共调查了 　200　名学生，在扇形统计图中，的值是 　　； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有2000名学生，估计最喜爱和项目的学生一共有多少名？ （4）现有最喜爱，，，活动项目的学生各一人，学校要从这四人中随机选取两人交流活动体会，请用列表或画树状图的方法求出恰好选取最喜爱和项目的两位学生的概率． 【答案】（1）200；． （2）见解答． （3）约1400名． （4）． 【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次一共调查的学生人数；用条形统计图中的人数除以本次一共调查的学生人数再乘以可得． （2）求出项目的人数，补全条形统计图即可． （3）根据用样本估计总体，用2000乘以扇形统计图中，的百分比之和，即可得出答案． （4）画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好选取最喜爱和项目的两位学生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）本次一共调查了（名学生． ． 故答案为：200；． （2）项目的人数为（人． 补全条形统计图如图所示． （3）（名． 估计最喜爱和项目的学生一共约1400名． （4）最喜爱，，，活动项目的学生各一人，分别记为甲、乙、丙、丁， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选取最喜爱和项目的两位学生的结果有：丙丁，丁丙，共2种， 恰好选取最喜爱和项目的两位学生的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 41．（2024•碑林区校级模拟）从华夏文明的发源地到丝绸之路的起点，这里承载着中华民族几千年的璀璨基因；从险峻的秦岭山脉到苍茫的黄土高原，这里展现着中华大地的壮美景象．这里，就是陕西．小明和小强准备假期去陕西旅游，想去的景点有：．秦始皇兵马俑，．革命圣地延安，．西岳华山，．宝鸡青铜器博物馆．由于时间有限，这些景点不能都去．他们就用抽卡片的方式来决定要去参观的景点，事先准备了4张不透明且无差别的卡片，在卡片正面分别写上以上4个景点，然后背面朝上，洗匀放好． （1）小明从这4张卡片中任意抽取一张，恰好抽中“．宝鸡青铜器博物馆”的概率是 　　； （2）若小明从这4张卡片中随机抽取一张，记下景点名称后放回，洗匀，再由小强从中随机抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求小明和小强抽中同一景点的概率． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“．宝鸡青铜器博物馆”的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小明和小强抽中同一景点的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“．宝鸡青铜器博物馆”的结果有1种， 恰好抽中“．宝鸡青铜器博物馆”的概率是． 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小明和小强抽中同一景点的结果有4种， 小明和小强抽中同一景点的概率是． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 42．（2024•青山区校级三模）如图，可以自由转动的转盘被它的半径分成了五个完全相同的扇形区域，分别标有数字“”、“ ”、“0”、“2”、“4”，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，则转出的数字是偶数的概率为 　　； （2）转动转盘两次，第一次转出的数字记作，第二次转出的数字记作，点的坐标记作．用树状图或列表法求转动两次后得到的点落在第四象限的概率． 【答案】（1）； （2）． 【分析】根据概率公式直接求解即可； （2）根据题意列出图表得出所有等情况数，找出点落在第四象限的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）转动一次有5种等可能情况，出现数字是偶数有3种情况， 则转出的数字是偶数的概率为， 故答案为：； （2）由题意，列表如下： 第一次第二次 0 2 4 0 2 4 共有25种等可能的情况数，其中点落在第四象限有4种， 则点落在第四象限的概率是． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，解答本题的关键是熟练掌握：概率所求情况数与总情况数之比． 43．（2024•江阴市模拟）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘、．每个转盘被平均分成3个区域并标有数字，转动转盘指针都会等可能地指向每个区域．分别转动转盘和转盘各一次，将转盘上的数字记为，转盘上的数字记为． （1）当转动转盘时，指针指向数字1所在区域的概率为 　　； （2）求点恰好为一次函数图象上的点的概率． （请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1）． （2）． 【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中指针指向数字1所在区域的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好为一次函数图象上的点的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中指针指向数字1所在区域的结果有1种， 指针指向数字1所在区域的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： 2 3 4 1 2 3 共有9种等可能的结果，其中恰好为一次函数图象上的点的结果有：，，，共3种， 点恰好为一次函数图象上的点的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 44．（2024•辽宁模拟）我国古代曾以“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）教授学生，其中“乐”和“书”主要是用音乐和书画来进行审美教育某校计划在课后服务中开设美育相关课程，并在全校范围内随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从．书法、．国画、．合唱、．水彩画四个课程中选择一个自己最喜爱的．将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 　200　人； （2）在扇形统计图中，所对应的圆心角度数为 　　，请补全条形统计图； （3）该校共有1200名学生，请你估计选择“．书法”课程的学生有多少人； （4）小明和小华打算从四个课程中各自选择一个作为美育课程，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华所选的课程恰好相同的概率． 【答案】（1）200． （2）；补全条形统计图见解答． （3）约240人． （4）． 【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次被调查的学生人数． （2）用乘以选择课程的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）根据用样本估计总体，用1200乘以样本中选择课程的人数所占的百分比，即可得出答案． （4）列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小华所选的课程恰好相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）本次被调查的学生有（人． 故答案为：200． （2）在扇形统计图中，所对应的圆心角度数为． 故答案为：． 选择“．水彩画”的人数为（人． 补全条形统计图如图所示． （3）（人． 估计选择“．书法”课程的学生约240人． （4）列表如下： 共有16种等可能的结果，其中小明和小华所选的课程恰好相同的结果有：，，，，共4种， 小明和小华所选的课程恰好相同的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 45．（2024春•管城区校级期末）从一副扑克牌中挑拣出来9张，分别为2，3，4，5，6，7，8，9，10，将这些牌背面朝上洗匀后，小明从中任意抽取一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意抽取一张． （1）规定谁摸到的牌面大谁就获胜，如果小明已经摸到的牌面为7，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少？ （2）规定两人摸到的牌面之和为偶数小明获胜，如果小明已经摸到的牌面为7，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少？ 【答案】（1）． （2）． 【分析】（1）由题意知，共有8种等可能的结果，其中小明获胜的结果有5种，利用概率公式可得答案． （2）由题意知，共有8种等可能的结果，其中小明获胜的结果有3种，利用概率公式可得答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有8种等可能的结果，其中小明获胜的结果有：2，3，4，5，6，共5种， 小明获胜的概率是． （2）由题意知，共有8种等可能的结果，其中小明获胜的结果有：3，5，9，共3种， 小明获胜的概率是． 【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 46．（2024•二道区校级模拟）一个不透明的盒子中放有三张分别写有数字1，2，3的卡片，卡片除数字外完全相同．小蕊从三张卡片中随机抽取一张，以卡片上的数字作为十位数，记录数字后放回，再从中随机抽取一张，以卡片上的数字作为个位数，求这个两位数小于或等于23的概率． 【答案】． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这个两位数小于或等于23的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 1 2 3 1 11 12 13 2 21 22 23 3 31 32 33 共有9种等可能的结果，其中这个两位数小于或等于23的结果有：11，12，13，21，22，23，共6种， 这个两位数小于或等于23的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 47．（2024•兖州区模拟）在大课间活动中，体育老师随机抽取了九年级甲、乙两班部分女生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和频数分布直方图，请你根据图表中的信息完成下列问题： 分组 频数 频率 第一组 3 0.15 第二组 6 第三组 7 0.35 第四组 0.20 （1）频数分布表中　0.3　，　　； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）如果该校九年级共有女生400人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30次或30次以上的女学生有多少人？ （4）已知第一组有两名甲班学生，第四组中只有一名乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？ 【答案】（1）0.3，4； （2）答案见解析； （3）估计仰卧起坐能够一分钟完成30次或30次以上的女学生有220人； （4）． 【分析】（1）由统计图易得与的值； （2）由（1）继而将统计图补充完整； （2）利用用样本估计总体的知识求解即可求得答案； （3）首先根据题意列表，然后求得所有等可能的结果与所选两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）； 总人数为：（人， （人； 故答案为：0.3，4； （2）补全统计图： （3）（人， 答：估计仰卧起坐能够一分钟完成30次或30次以上的女学生有220人； （4）列表得： 四组一组 甲 甲 乙 甲 （甲，甲） （甲，甲） （甲，乙） 甲 （甲，甲） （甲，甲） （甲，乙） 甲 （甲，甲） （甲，甲） （甲，乙） 乙 （乙，甲） （乙，甲） （乙，乙） 共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生有6种情况， 所选两人正好都是甲班学生的概率是：． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 五．利用频率估计概率 48．（2024•十堰模拟）下列说法错误的是　　 A．“清明时节雨纷纷”是必然事件 B．对“神舟十八号”载人飞船发射前的零部件的检查，采用全面调查的方式 C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率 D．在“校园好声音”比赛中，通常采用去掉一个最高分和最低分，然后计算平均分的办法，是因为平均数易受极端数据的影响 【答案】 【分析】分别根据随机事件的定义，抽样调查，利用频率估计概率以及平均数的意义分析即可得出答案． 【解答】解：、“清明时节雨纷纷”是随机事件，符合题意； 、对“神舟十八号”载人飞船发射前的零部件的检查，采用全面调查的方式，不符合题意； 、在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率，不符合题意； 、在“校园好声音”比赛中，通常采用去掉一个最高分和最低分，然后计算平均分的办法，是因为平均数易受极端数据的影响，不符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了随机事件的定义，抽样调查，利用频率估计概率以及平均数的意义，解答本题的关键是熟练掌握这些知识点． 49．（2024•东莞市校级模拟）在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有 　9　个． 【分析】由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出白球个数即可． 【解答】解：设白球个数为：个， 摸到红色球的频率稳定在左右， ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 故白球的个数为9个． 故答案为：9． 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 六．模拟试验 50．（2024•微山县二模）为验证“掷一枚质地均匀的骰子，标有数字1的面朝上的概率是．”某同学做了下面两个模拟实验：①取一枚崭新的质地均匀的骰子，在平滑的地面上做反复掷投实验，计算标有数字1的面朝上次数与总掷投次数的比值； ②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成六份，并依次标上数字1，2，3，4，5，6，转动转盘，计算指针落在标有数字1区域的次数与总次数的比值（指针落在分界线不计）．你认为下面说法正确的是　　 A．实验①科学 B．实验②科学 C．两个实验都不科学 D．两个实验都科学 【答案】 【分析】分析每个试验的概率后，与原来的掷骰子的概率比较即可． 【解答】解：①取一枚崭新的质地均匀的骰子，在平滑的地面上做反复掷投实验，标有数字1的面朝上的概率是； ②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成六份，并依次标上数字1，2，3，4，5，6，转动转盘，指针落在标有数字1区域的概率是； 两个实验都科学． 故选：． 【点评】此题主要考查了模拟实验，选择和抛骰子类似的条件的试验验证抛骰子实验的概率，是一种常用的模拟试验的方法． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$