第25章 概率初步 培优题突破练习★★★【6个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册

第25章 概率初步 培优题突破练习★★★【6个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 考点梳理 一．可能性的大小 二．概率公式 三．几何概率 四．列表法与树状图法 五．游戏公平性 六．利用频率估计概率 考点精讲精练 一．可能性的大小 · 可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 1．（2024•濮阳一模）如图，三位同学站在以足球门为弦的圆上踢足球，点，，都在圆上，小明站在点，小强站在点，小宁站在点，对于小明、小强、小宁踢进足球球门，下列说法正确的是　　 A．小明踢进足球的可能性最大 B．小强踢进足球的可能性最大 C．小宁踢进足球的可能性最大 D．三位同学踢进足球的可能性一样大 二．概率公式 · 概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 2．（2019•云霄县一模）如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，则，，，四个点中，任选一个符合条件的点的概率是　　 A． B． C． D．1 3．（2019•拱墅区校级模拟）这是一个古老的传说，讲一个犯人利用概率来增加他得到宽恕的机会．给他两个碗，一个里面装着5个黑球，另一个里面装着除颜色不同外其它都一样的5个白球．把他的眼睛蒙着，然后要选择一个碗，并从里面拿出一个球，如果他拿的是黑球就要继续关在监狱里面，如果他拿的是白球，就将获得自由．在蒙住眼睛之前允许他把球混合，重新分装在两个碗内（两个碗球数可以不同）．你能设想一下这个犯人怎么做，使得自己获得自由的机会最大？则犯人获得自由的最大机会是　　 A． B． C． D． 4．（2024•吴江区二模）如图，有7张扑克牌，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌上，若从中随机抽取一张，抽到方块的概率是　　 A． B． C． D． 5．（2024春•庐江县校级期中）某种型号的变速自行车的主动轴上有三个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有四个齿轮，齿数分别是32，24，16，12．当链条卡在主动轴上的齿轮齿数大于卡在后轴上的齿轮齿数时，自行车处于加速状态．随意变换链条卡在主动轴和后轴的不同齿轮上，则自行车处于加速状态的概率是　　 A． B． C． D． 6．（2024春•康巴什月考）五张不透明的卡片，正面分别写有实数，，，（相邻两个6之间0的个数依次加，．这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是 　　． 7．（2024•济南模拟）现有一个不透明的袋子中装有除颜色不同之外，质地均匀的小球，白球8个，若干个红球．现从中摸出一球，摸到红球的概率为，则袋中有红球 　　个． 8．（2024•泸州）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为 　　． 9．（2024•港南区四模）在英语单词中任意选出一个字母，选出的字母为的概率是 　　． 10．（2024•长兴县模拟）浙江省某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：杭州西湖、湖州莫干山、舟山东极岛和嘉兴乌镇．若从中随机选择一个地点，则选中“湖州莫干山”的概率为 　　． 11．（2024•旺苍县三模）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这个骰子一次，得到的点数与2，4作为三角形三边的长，能构成等腰三角形的概率是 　　． 12．（2021春•富平县期末）如图，把一个木制正方体的表面涂上颜色，然后将正方体分割成27个大小相同的小正方体，从这些小正方体中任意取出一个，求取出的小正方体； （1）只有一面涂有颜色的概率； （2）至少有两面涂有颜色的概率； （3）各个面都没有颜色的概率． 13．（2021春•济南期末）一圆盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，转盘上有指针，转动转盘，当转盘停止，指针指向的数字即为转出的数字，现有两人参与游戏，一人转动转盘另一人猜数，若猜的数与转盘转出的数相符，则猜数的获胜，否则转动转盘的人获胜，猜数的方法从下面三种中选一种： （1）猜“是奇数”或“是偶数”； （2）猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”； （3）猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”．若你是猜数的游戏者，为了尽可能获胜，应选第几种猜数方法？并请你用数学知识说明理由． 三．几何概率 · 几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 14．（2024春•兰陵县期中）如图，是小明自制的正方形飞镖盘，若他每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中阴影区域的概率是　　 A． B． C． D． 四．列表法与树状图法 · 列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 15．小华做了一个试验：从反扣在桌面上牌面数字分别为6和8的牌中，抽出一张再放回去算一次试验，如果小华做了三次试验，那么所有的不同结果为　　 A．3种 B．4种 C．8种 D．9种 16．（2022•昭苏县校级三模）下列事件的概率，与“任意选2个人，恰好同月过生日”这一事件的概率相等的是　　 A．任意选2个人，恰好生肖相同 B．任意选2个人，恰好同一天过生日 C．任意掷2枚骰子，恰好朝上的点数相同 D．任意掷2枚硬币，恰好朝上的一面相同 17．（2019秋•中原区校级期末）10个人去钓鱼，共钓到3条鱼，假设每个人钓到鱼的可能性相同，那么这3条鱼由同一个人钓到的概率是　　 A． B． C． D． 18．（2020秋•焦作期末）如图，小彬收集了三张除正面图案外完全相同的卡片，其中两张印有中国国际进口博览会的标志，另外一张印有进博会吉祥物“进宝”．现将三张卡片背面朝上放置，搅匀后从中一次性随机抽取两张，则抽到的两张卡片图案不相同的概率为　　 A． B． C． D． 19．（2012•防城港）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字、1、2．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为，再随机摸出另一个小球其数字记为，则满足关于的方程有实数根的概率是　　 A． B． C． D． 20．（2024•北京模拟）不透明的袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外四个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，不放回并摇匀，再从剩下的三个球中随机摸出一个小球，那么两次摸到的小球颜色不相同的概率是　　 A． B． C． D． 21．（2024•内江）如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为　　 A． B． C． D． 22．如图是一个竖直管道的示意图，水从入口进入，先经过管道或，再经管道，或从出口流出，如果随机关闭5个管道中的3个，流水还可以从入口流到出口的概率是　　 A． B． C． D． 23．（2024•大连一模）一个不透明的袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率　　 A． B． C． D． 24．（2024•无为市模拟）古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是中国传统文化的重要组成部分．某校准备从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）作为本学期的经典诵读读本，则抽取的两本恰好是《论语》和《孟子》的概率是　　 A． B． C． D． 25．（2024•淮北三模）班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是　　 A． B． C． D． 26．（2024•宝山区二模）连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是　　 A． B． C． D． 27．（2024•中卫模拟）从3、5、6、9四个数中随机取一个数，不放回，再随机取一个数，把第一个数作为十位数字，第二个数作为个位数字，组成一个两位数，则这个两位数是奇数的概率是 　　． 28．（2024•温岭市一模）某科幻小说上、下各1册，小明随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、下册”的概率是　　． 29．（2024•南安市模拟）湿地公园有、、三个入口，周末小林与小周随机从一个入口进入该公园，则小林与小周恰好从同一个入口进入该公园的概率是 　　． 30．（2024•立山区四模）中国古代的五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，若从这五部著作中随机抽取两本作为课外兴趣研读（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《诗经》和《春秋》的概率是 　　． 31．（2024•南岸区自主招生）在一个不透明的袋子里装有除标号外完全相同的三个小球，小球上分别标有数字，0，1，从袋子中随机抽取一个小球并记下数字后放回，将袋子摇匀，再随机抽取一个小球记下数字，两次记下的数字和为0的概率为 　　． 32．如图，同时自由转动转盘，配成紫色的概率是 　　． 33．（2024•河西区校级一模）有四张背面完全相同正面分别写有数字1，2，3，4的卡片．将其背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和等于6的概率是 　　． 34．（2022秋•柳州期末）现有、两个黑布袋，布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字、 和1．小明从布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为，在从 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为，这样就确定点的一个坐标 （1）用列表或画树状图的方法列出点的所有可能坐标； （2）求点落在直线上的概率． 35．（2020秋•高明区校级期末）在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为． （1）求袋中黄球的个数； （2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率． 36．（2022春•保定期末）在一个不透明的袋子中装有3个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球， （1）分别求出摸出的球是红球和黄球的概率； （2）为了使摸出两种球的概率相同，再放进去7个同样的红球或黄球，那么这7个球中红球和黄球的数量分别应是多少？ 37．（2022•东营二模）《中国汉字听写大会》唤醒了很多人对文字基本功的重视和对汉字文化的学习，我市某校组织了一次全校2000名学生参加的“汉字听写大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩（成绩取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列统计图表： 抽取的200名学生海选成绩分组表 组别 海选成绩 组 组 组 组 组 请根据所给信息，解答下列问题： （1）请把图1中的条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） （2）在图2的扇形统计图中，记表示组人数所占的百分比为，则的值为 　　，表示组扇形的圆心角的度数为 　　度； （3）规定海选成绩在90分以上（包括90分）记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人？ （4）经过统计发现，在组中，有2位男生和2位女生获得了满分，如果从这4人中挑选2人代表学校参加比赛，请用树状图或列表法求出所选两人正好是一男一女的概率是多少？ 38．（2020•黄冈模拟）“校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图尚不完整的扇形统计图和条形统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）若该中学共有学生1200人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数； （3）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率． 39．（2023•庐阳区模拟）某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动．某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图： （1）在这次调查中，喜欢篮球项目的同学有　　人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为　　，如果学校有800名学生，估计全校学生中有　　人喜欢篮球项目． （2）请将条形统计图补充完整． （3）在被调查的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率． 40．（2021秋•丰泽区校级期末）商场举办一次迎元旦抽大奖的酬宾活动，在两个密闭的箱子里分别放入红球1个，黄球2个，篮球3个，由顾客从两个箱子里各随机摸出一个球，若两个球颜色相同，即可获得奖品． （1）请用树形图或列表法求出顾客抽取一次获得奖品的概率； （2）为了增强活动的趣味性，商场在两个箱子里分别放入同样多的白球若干．小明对顾客抽取的结果中出现中奖（两个球颜色相同）的次数做了大量的统计，统计数据如下表： 抽取球的次数 30 50 100 150 200 250 300 500 出现中奖的次数 8 14 27 45 58 70 90 120 出现中奖的频率 0.27 0.28 0.27 0.30 0.29 0.28 0.30 0.30 如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现中奖的频率将稳定在它的概率附近，试估计抽取一次中奖的概率（精确到 （3）设商场在两个箱子里分别放入白球个，根据（2）求出的值． 41．（2020•香洲区校级模拟）我市在各校推广大阅读活动，初二（1）班为了解2月份全班学生课外阅读的情况，调查了全班学生2月份读书的册数，并根据调查结果绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图： 根据以上信息解决下列问题： （1）参加本次问卷调查的学生共有　 　人，其中2月份读书2册的学生有　 　人； （2）补全条形统计图，并求扇形统计图中读书3册所对应扇形的圆心角度数； （3）在读书4册的学生中恰好有2名男生和2名女生，现要在这4名学生中随机选取2名学生参加学校的阅读分享沙龙，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的这2名学生恰好性别相同的概率． 42．（2021•克什克腾旗二模）文具店有三种品牌的6个笔记本，价格是4，5，7（单位：元）三种，从中随机拿出一个本，已知（一次拿到7元本）． （1）求这6个本价格的众数． （2）若琪琪已拿走一个7元本，嘉嘉准备从剩余5个本中随机拿一个本． ①所剩的5个本价格的中位数与原来6个本价格的中位数是否相同？并简要说明理由； ②嘉嘉先随机拿出一个本后不放回，之后又随机从剩余的本中拿一个本，用列表法求嘉嘉两次都拿到7元本的概率． 43．（2024•雁塔区校级模拟）如图在的正方形网格中，现在已有4个小方格已涂上阴影，其余5个小方格是空白的，除此以外小方格完全相同． （1）小明在5个空白的方格中随机选一个涂成阴影，形成的图案是中心对称图形的概率是多少？ （2）小明在5个空白的方格中随机选两个涂成阴影，形成的图案是中心对称图形的概率是多少？（用树状图或列表法求解） 五．游戏公平性 · 游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率＝． 44．（2022秋•恩施市校级月考）小南、小铭和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人到1至4层的任意一层出电梯． （1）用列表或画树状图求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率； （2）小南和小铭比赛，规则是：若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小南胜，否则小铭胜．该游戏是否公平？若公平，说明理由；若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平． 45．（2021•黄岛区校级模拟）如图是一个转盘，（转盘被等分成四个扇形），上面标有红黄蓝三种颜色，小明和小强做游戏，规定：转到红色，小明赢，转到黄色，小强赢（若转到分界线，再重转一次）． （1）小颖认为转盘上共有三种不同的颜色，所以，指针停在红色、黄色或蓝色区域的概率都是，他们的游戏对小明和小强都是公平的，你认为呢？请说明理由． （2）若你认为游戏不公平，请你设计一种方案，使他们的游戏公平． 六．利用频率估计概率 · 利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 46．（2024•盘龙区模拟）某校开展生物项目式实践研究活动，老师带领同学们通过动手实验和查阅资料相结合的方式认识植物．下表记录了某种植物种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 6000 10000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2255 3604 5406 9011 发芽种子频率（结果保留小数点后三位） 0.920 0.880 0.909 0.891 0.902 0.901 0.901 0.901 实践活动结束，该校组织七、八年级学生开展了一次学习成果竞赛，成绩分别为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表． 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 9 1.06 八年级 8.76 8 1.38 下列判断正确的是　　 A．， B．七、八年级平均分相同，七年级方差小于八年级，说明七年级成绩波动较大，故八年级成绩更好 C．本次竞赛规定9分及以上的成绩为优秀，估计八年级700名学生中成绩为优秀的学生约326人 D．根据表中的数据，可估计该植物种子发芽的概率为0.901（结果保留小数点后三位） 47．（2024•扶沟县一模）下列说法中，不正确的是　　 A．“是实数，”是必然事件 B．任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次 C．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 D．不可能事件发生的概率为0 48．（2024春•涟水县校级月考）一个不透明的盒子里有个除颜色外其它完全相同的小球，其中有8个黄球，个白球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量的重复摸球试险后发现，摸到白球的频率稳定在0.6，那么估计盒子中白球的个数　　． 49．（2024春•海淀区校级月考）为了解北京市九年级学生的1分钟跳绳成绩，随机抽取了1000名学生的1分钟跳绳成绩，成绩统计如表： 组别（个 人数 50 150 200 600 根据北京市体育中考跳绳评分标准，1分钟跳绳个数不小于180的为满分，现任意抽查北京市一名九年级学生，1分钟跳绳成绩满分的概率约为 　　． 50．（2020春•顺德区校级期末）小明做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，共做了100次实验，实验的结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 14 15 23 16 20 12 （1）计算“4点朝上”的频率． （2）小明说：“根据实验，一次实验中出现3点朝上的概率最大”．他的说法正确吗？为什么？ （3）小明投掷一枚骰子，计算投掷点数小于3的概率． 第25章 概率初步 培优题突破练习★★★【6个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．可能性的大小 1．（2024•濮阳一模）如图，三位同学站在以足球门为弦的圆上踢足球，点，，都在圆上，小明站在点，小强站在点，小宁站在点，对于小明、小强、小宁踢进足球球门，下列说法正确的是　　 A．小明踢进足球的可能性最大 B．小强踢进足球的可能性最大 C．小宁踢进足球的可能性最大 D．三位同学踢进足球的可能性一样大 【答案】 【分析】根据射门角越大，射门进球的可能性就越大． 【解答】解：因为点，，都在圆上，故通过观察，，处的射门角相等；故三位同学踢进足球的可能性一样大． 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，解答本题的关键就是找到射门角，即射门点与球门两侧所成的角，且角越大，进球率越高． 二．概率公式 2．（2019•云霄县一模）如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，则，，，四个点中，任选一个符合条件的点的概率是　　 A． B． C． D．1 【答案】 【分析】找到符合条件的点的个数，再根据概率公式计算可得． 【解答】解：要使与全等，点的位置可以是，两个， 从，，，四个点中找出符合条件的点的概率是， 故选：． 【点评】本题主要考查概率公式的应用，随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 3．（2019•拱墅区校级模拟）这是一个古老的传说，讲一个犯人利用概率来增加他得到宽恕的机会．给他两个碗，一个里面装着5个黑球，另一个里面装着除颜色不同外其它都一样的5个白球．把他的眼睛蒙着，然后要选择一个碗，并从里面拿出一个球，如果他拿的是黑球就要继续关在监狱里面，如果他拿的是白球，就将获得自由．在蒙住眼睛之前允许他把球混合，重新分装在两个碗内（两个碗球数可以不同）．你能设想一下这个犯人怎么做，使得自己获得自由的机会最大？则犯人获得自由的最大机会是　　 A． B． C． D． 【分析】可以先将所有的球放入一个碗，再拿出一个白球放在另一个碗里．这样，他选择只有一个白球的碗的概率是，如果他选择错了碗，将还有的概率从另一个碗里摸到白球，从而使自己获得自由的概率最大． 【解答】解：可以先将所有的球放入一个碗，再拿出一个白球放在另一个碗里．这样，他若选择只有一个白球的碗获得自由的概率1，如果他选择错了碗，从另一个碗里摸到白球的概率是，从而所以获得自由的概率最大是． 故选：． 【点评】本题考查概率的相关计算．确定出摸到白球最大概率方案是解答关键． 4．（2024•吴江区二模）如图，有7张扑克牌，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌上，若从中随机抽取一张，抽到方块的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】运用列举法求出花色是方片的概率即可． 【解答】解：一共有7张扑克牌，每张牌被抽到的概率相同，抽到方片牌有2张， 抽到的花色是方片的概率为， 故选：． 【点评】本题主要考查了简单的概率计算，运用列举法求出花色是方片的概率是解题的关键． 5．（2024春•庐江县校级期中）某种型号的变速自行车的主动轴上有三个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有四个齿轮，齿数分别是32，24，16，12．当链条卡在主动轴上的齿轮齿数大于卡在后轴上的齿轮齿数时，自行车处于加速状态．随意变换链条卡在主动轴和后轴的不同齿轮上，则自行车处于加速状态的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】易得主动轴上可以有3个变速，后轴上有4个变速，相乘即可得到变速车共有多少档不同的车速． 【解答】解动轴上有三个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有四个齿轮，齿数分别是32，24，16，12，可构成12种组合情况，加速的前提是前齿轮大于后齿轮，即前齿轮48，后齿轮36，24，16，12；前齿轮36，后齿轮32，24，16，12；前齿轮24，后齿轮16，12，共计10种，故自行车处于加速状态的概率是， 故选：． 【点评】此题考查概率公式，解决本题的关键是找到两次实验中每次可能出现的结果次数． 6．（2024春•康巴什月考）五张不透明的卡片，正面分别写有实数，，，（相邻两个6之间0的个数依次加，．这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是 　　． 【答案】． 【分析】先根据无理数是无限不循环小数得到无理数的个数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：在五张卡片中，是无理数的数为，（相邻两个6之间0的个数依次加，共2个， 任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是， 故答案为：． 【点评】本题考查无理数、简单的概率计算，正确记忆相关知识点是解题关键． 7．（2024•济南模拟）现有一个不透明的袋子中装有除颜色不同之外，质地均匀的小球，白球8个，若干个红球．现从中摸出一球，摸到红球的概率为，则袋中有红球 　16　个． 【答案】16． 【分析】首先设红球有个，利用概率公式即可得方程，解方程即可求得答案． 【解答】解：设红球有个， 根据题意得：， 解得：， 经检验是方程的解． 故答案为：16． 【点评】此题考查了概率公式的应用．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，概率所求情况数与总情况数之比． 8．（2024•泸州）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为 　3个　． 【答案】3个． 【分析】设黄球的个数为个，根据概率公式得到得，然后解方程即可． 【解答】解：设黄球的个数为个， 根据题意得：， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 黄球的个数为3个． 故答案为：3个． 【点评】本题考查了概率公式：随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 9．（2024•港南区四模）在英语单词中任意选出一个字母，选出的字母为的概率是 　　． 【答案】． 【分析】直接由概率公式求解即可． 【解答】解：在英语单词中任意选出一个字母，共有7种等可能的结果，其中选出的字母为的结果有1种， 选出的字母为的概率是， 故答案为：． 【点评】本题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键． 10．（2024•长兴县模拟）浙江省某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：杭州西湖、湖州莫干山、舟山东极岛和嘉兴乌镇．若从中随机选择一个地点，则选中“湖州莫干山”的概率为 　　． 【答案】． 【分析】根据概率公式可直接求解． 【解答】解：有四个地点可供选择：杭州西湖、湖州莫干山、舟山东极岛和嘉兴乌镇， 若从中随机选择一个地点，则选中“湖州莫干山”的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查了根据概率公式求简单事件的概率，正确理解题意是关键． 11．（2024•旺苍县三模）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这个骰子一次，得到的点数与2，4作为三角形三边的长，能构成等腰三角形的概率是 　　． 【答案】． 【分析】骰子的六个面上分别刻有数字1，2，3，4，5，6，投掷这个骰子一次有6种结果，利用构成三角形的条件，其中能与2、4构成等腰三角形的只有一种情况，根据概率公式计算可得． 【解答】解：骰子的六个面上分别刻有数字1，2，3，4，5，6， 其中能与2、4构成等腰三角形的只有4， 能构成等腰三角形的概率是， 故答案为：． 【点评】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，事件发生的概率为且（A）． 12．（2021春•富平县期末）如图，把一个木制正方体的表面涂上颜色，然后将正方体分割成27个大小相同的小正方体，从这些小正方体中任意取出一个，求取出的小正方体； （1）只有一面涂有颜色的概率； （2）至少有两面涂有颜色的概率； （3）各个面都没有颜色的概率． 【分析】（1）得出一面涂有颜色的小正方体有6个，再根据概率公式解答即可； （2）得出至少有两面涂有颜色的小正方体有20个，再根据概率公式解答即可； （3）得出各个面都没有涂颜色的小正方体共有1个，再根据概率公式解答即可． 【解答】解：（1）因为一面涂有颜色的小正方体有6个， 所以（一面涂有颜色）； （2）因为至少两面涂有颜色的小正方体有个， 所以（至少两面涂有颜色）； （3）因为各个面都没有涂颜色的小正方体共有1个， 所以（各个面都没有涂颜色）． 【点评】此题主要考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．关键是找到相应的具体数目． 13．（2021春•济南期末）一圆盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，转盘上有指针，转动转盘，当转盘停止，指针指向的数字即为转出的数字，现有两人参与游戏，一人转动转盘另一人猜数，若猜的数与转盘转出的数相符，则猜数的获胜，否则转动转盘的人获胜，猜数的方法从下面三种中选一种： （1）猜“是奇数”或“是偶数”； （2）猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”； （3）猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”．若你是猜数的游戏者，为了尽可能获胜，应选第几种猜数方法？并请你用数学知识说明理由． 【分析】由一圆盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，利用概率公式即可求得“是奇数”或“是偶数”，“是3的倍数”或“不是3的倍数”，“是大于4的数”或“是不大于4的数”的概率． 【解答】解：选第2种猜数方法． 理由：，； ，； ，． 最大， 选第2种猜数方法，并猜转盘转得的结果不是3的倍数． 【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率所求情况数与总情况数之比． 三．几何概率 14．（2024春•兰陵县期中）如图，是小明自制的正方形飞镖盘，若他每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中阴影区域的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】把大正方形分成四个小正方形，每个正方形的两条对角线把正方形分成4个全等的等腰直角三角形，然后用阴影部分的面积除以大正方形的面积得到扎中阴影区域的概率． 【解答】解：小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中阴影区域的概率． 故选：． 【点评】本题考查了几何概率：某事件的概率该事件所占有的面积与总面积之比．也考查了正方形的性质． 四．列表法与树状图法 15．小华做了一个试验：从反扣在桌面上牌面数字分别为6和8的牌中，抽出一张再放回去算一次试验，如果小华做了三次试验，那么所有的不同结果为　　 A．3种 B．4种 C．8种 D．9种 【分析】每一次摸牌由两种等可能出现的结果，第二次摸每一种情况中又有两种情况，就有4种，第三次中每一种又有两种，故有8种情况， 【解答】解：用树状图表示所有可能出现的情况， 因此共有8种可能的情况． 故选：． 【点评】考查用列表法和树状图法表示等可能事件出现的所有结果情况，注意每一次都必须可能性均等． 16．（2022•昭苏县校级三模）下列事件的概率，与“任意选2个人，恰好同月过生日”这一事件的概率相等的是　　 A．任意选2个人，恰好生肖相同 B．任意选2个人，恰好同一天过生日 C．任意掷2枚骰子，恰好朝上的点数相同 D．任意掷2枚硬币，恰好朝上的一面相同 【分析】利用列表法和树状图法，求出每个事件发生的概率，做出判断即可 【解答】解：“任意选2个人，恰好同月过生日”可用列表法求出概率：， 同理“任意选2个人，恰好生肖相同”的概率：， 因此“任意选2个人，恰好同月过生日”这一事件的概率与“任意选2个人，恰好生肖相同”概率相同， 故选：． 【点评】考查列表法和树状图法求等可能事件发生的概率，列举出所有等可能出现的结果数是正确解答的前提． 17．（2019秋•中原区校级期末）10个人去钓鱼，共钓到3条鱼，假设每个人钓到鱼的可能性相同，那么这3条鱼由同一个人钓到的概率是　　 A． B． C． D． 【分析】第一次选择概率为1，第二次、第三次分别是，由此即可判断． 【解答】解法一：第一次选择概率为1，第二次、第三次分别是 故同一个人钓到3条鱼的概率是， 故选：． 解法二：同一个人可以是这10个人中的任意一个，若记为1号，2号，，10号，则符合题意的有，1，1，，2，，10，这10种情况，共有种可能情况，符合题意的有10种， 故同一个人钓到3条鱼的概率是， 故选：． 【点评】本题考查概率，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．（2020秋•焦作期末）如图，小彬收集了三张除正面图案外完全相同的卡片，其中两张印有中国国际进口博览会的标志，另外一张印有进博会吉祥物“进宝”．现将三张卡片背面朝上放置，搅匀后从中一次性随机抽取两张，则抽到的两张卡片图案不相同的概率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用树状图或列表法列出所有可能出现的结果数，再从中得到满足条件的结果数，进而求出概率即可． 【解答】解：用、分别表示两张印有中国国际进口博览会的标志，用表示一张印有进博会吉祥物“进宝”． 一次性随机抽取两张，所有可能出现的情况如下： 共有6种等可能出现的结果，有4种两张卡片图案不相同， ， 故选：． 【点评】考查随机事件发生概率的计算方法，列表法和树状图法是常用的方法，使用的前提是每一种结果出现的可能性是均等的，即是等可能事件． 19．（2012•防城港）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字、1、2．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为，再随机摸出另一个小球其数字记为，则满足关于的方程有实数根的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与满足关于的方程有实数根的情况，继而利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： 有实数根， △， 共有6种等可能的结果，满足关于的方程有实数根的有，，共3种情况， 满足关于的方程有实数根的概率是：． 故选：． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与一元二次方程判别式的知识．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题是放回实验还是不放回实验；注意概率所求情况数与总情况数之比． 20．（2024•北京模拟）不透明的袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外四个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，不放回并摇匀，再从剩下的三个球中随机摸出一个小球，那么两次摸到的小球颜色不相同的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸到的小球颜色不相同的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的小球颜色不相同的结果有8种， 两次摸到的小球颜色不相同的概率是， 故选：． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 21．（2024•内江）如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中灯泡能发光的有4种结果，再由概率公式求解即可． 【解答】解：设把、、中分别用1、2、3表示， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中灯泡能发光的有4种结果，即12、13、21、31， 灯泡能发光的概率为， 故选：． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 22．如图是一个竖直管道的示意图，水从入口进入，先经过管道或，再经管道，或从出口流出，如果随机关闭5个管道中的3个，流水还可以从入口流到出口的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】随机关闭5个管道中的3个，即有2个管道打开．列表可得出所有等可能的结果数以及流水还可以从入口流到出口的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：随机关闭5个管道中的3个，即有2个管道打开． 列表如下： 共有20种等可能的结果，其中流水还可以从入口流到出口的结果有：，，，，，，，，，，，，共12种， 流水还可以从入口流到出口的概率为． 故选：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 23．（2024•大连一模）一个不透明的袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是黄球的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是黄球的结果数为4， 所以两次摸出的球都是黄球的概率为． 故选：． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率． 24．（2024•无为市模拟）古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是中国传统文化的重要组成部分．某校准备从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）作为本学期的经典诵读读本，则抽取的两本恰好是《论语》和《孟子》的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两本恰好是《论语》和《孟子》的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：将《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为，，，， 列表如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》和《孟子》的结果有：，，共2种， 抽取的两本恰好是《论语》和《孟子》的概率为． 故选：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 25．（2024•淮北三模）班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】画树状图展示所有24种等可能的结果数，再找出，两位同学座位相邻的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：列表为： 4个中每个各有6种等可能的结果数，共有24种等可能的结果数，其中，两位同学座位相邻的结果数为12， 故，两位同学座位相邻的概率是． 故选：． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率． 26．（2024•宝山区二模）连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两次都是“正面朝上”的结果有1种，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果数，其中两次都是“正面朝上”的结果有1种， 两次都是“正面朝上”的概率， 故选：． 【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 27．（2024•中卫模拟）从3、5、6、9四个数中随机取一个数，不放回，再随机取一个数，把第一个数作为十位数字，第二个数作为个位数字，组成一个两位数，则这个两位数是奇数的概率是 　　． 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中组成的两位数是奇数的结果有9种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中组成的两位数是奇数的结果有9种， 这个两位数是奇数的概率为， 故答案为：． 【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 28．（2024•温岭市一模）某科幻小说上、下各1册，小明随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、下册”的概率是　　． 【答案】． 【分析】画树状图，共有2个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、下册”的结果有1个，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如图： 共有2个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、下册”的结果有1个， 从上到下的顺序恰好为“上册、下册”的概率为， 故答案为：． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 29．（2024•南安市模拟）湿地公园有、、三个入口，周末小林与小周随机从一个入口进入该公园，则小林与小周恰好从同一个入口进入该公园的概率是 　　． 【答案】． 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小林与小周恰好从同一个入口进入该公园的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小林与小周恰好从同一个入口进入该公园的结果有3种， 小林与小周恰好从同一个入口进入该公园的概率是， 故答案为：． 【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 30．（2024•立山区四模）中国古代的五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，若从这五部著作中随机抽取两本作为课外兴趣研读（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《诗经》和《春秋》的概率是 　　． 【答案】． 【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《诗经》和《春秋》的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：把《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》分别记为、、、、， 画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《诗经》和《春秋》的结果有2种， 抽取的两本恰好是《诗经》和《春秋》的概率是， 故答案为：． 【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 31．（2024•南岸区自主招生）在一个不透明的袋子里装有除标号外完全相同的三个小球，小球上分别标有数字，0，1，从袋子中随机抽取一个小球并记下数字后放回，将袋子摇匀，再随机抽取一个小球记下数字，两次记下的数字和为0的概率为 　　． 【答案】． 【分析】利用列表法或画树状图法解答即可． 【解答】解：画树状图如下： 一共有9种等可能的情况，其中两次记下的数字和为0有3种可能的情况， （两次记下的数字和为． 故答案为：． 【点评】本题考查用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． 32．如图，同时自由转动转盘，配成紫色的概率是 　　． 【答案】． 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和可配成紫色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：根据两个转盘的特点，画树状图如下（第2个转盘中红色占，相当于2个红色，记为红1、红 共有12种等可能的结果，其中红色与蓝色可配成紫色，有3种结果， 可配成紫色的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 33．（2024•河西区校级一模）有四张背面完全相同正面分别写有数字1，2，3，4的卡片．将其背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和等于6的概率是 　　． 【答案】． 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及两张卡片上的数字之和等于6的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：由题意可得： 一共有12种等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字之和等于6的2种， 抽取的两张卡片上的数字之和等于6的概率为， 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 34．（2022秋•柳州期末）现有、两个黑布袋，布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字、 和1．小明从布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为，在从 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为，这样就确定点的一个坐标 （1）用列表或画树状图的方法列出点的所有可能坐标； （2）求点落在直线上的概率． 【分析】（1）根据题意画树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果，即可求得点的所有可能坐标； （2）根据（1）中的树状图，求得点落在直线上的情况数目，再根据概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：（1）树状图如下： 点的所有可能是；；；；；． （2）只有，在直线上， 点落在直线上的概率为． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 35．（2020秋•高明区校级期末）在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为． （1）求袋中黄球的个数； （2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率． 【分析】（1）首先设袋中的黄球个数为个，然后根据古典概型的知识列方程，求解即可求得答案； （2）首先画树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，求其二者的比值即可． 【解答】解：（1）设袋中的黄球个数为个， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 袋中黄球的个数1个； （2）画树状图得： ， 一共有12种情况，两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的有4种， 两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的概率为：． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意方程思想的应用． 36．（2022春•保定期末）在一个不透明的袋子中装有3个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球， （1）分别求出摸出的球是红球和黄球的概率； （2）为了使摸出两种球的概率相同，再放进去7个同样的红球或黄球，那么这7个球中红球和黄球的数量分别应是多少？ 【分析】（1）直接利用概率公式计算即可求出摸出的球是红球和黄球的概率； （2）设放入红球个，则黄球为个，由摸出两种球的概率相同建立方程，解方程即可求出7个球中红球和黄球的数量分别是多少． 【解答】解：（1）袋子中装有3个红球和6个黄球， 随机摸出一球是红球和黄球的概率分别是，； （2）设放入红球个，则黄球为个，由题意列方程得： ， 解得：． 所以这7个球中红球和黄球的数量分别应是5个和2个． 【点评】本题考查的是求随机事件的概率，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 37．（2022•东营二模）《中国汉字听写大会》唤醒了很多人对文字基本功的重视和对汉字文化的学习，我市某校组织了一次全校2000名学生参加的“汉字听写大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩（成绩取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列统计图表： 抽取的200名学生海选成绩分组表 组别 海选成绩 组 组 组 组 组 请根据所给信息，解答下列问题： （1）请把图1中的条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） （2）在图2的扇形统计图中，记表示组人数所占的百分比为，则的值为 　15　，表示组扇形的圆心角的度数为 　　度； （3）规定海选成绩在90分以上（包括90分）记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人？ （4）经过统计发现，在组中，有2位男生和2位女生获得了满分，如果从这4人中挑选2人代表学校参加比赛，请用树状图或列表法求出所选两人正好是一男一女的概率是多少？ 【分析】（1）用随机抽取的总人数减去、、、组的人数，求出组的人数，从而补全统计图； （2）用组抽查的人数除以总人数，即可求出；用360乘以组所占的百分比，求出组扇形的圆心角的度数； （3）用该校参加这次海选比赛的总人数乘以成绩在90分以上（包括90分）所占的百分比，即可得出答案． （4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与所选两人正好是一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）的人数是：（人， 补全图形如下： （2）组人数所占的百分比是，则的值是15； 组扇形的圆心角的度数为； 故答案为：15，72； （3）根据题意得：（人， 答：估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有700人． （4）分别用、表示两名女生，分别用、表示两名男生，由题意，可列表： 第一次 第二次 由已知，共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中满足要求的有8种， （恰好抽到1个男生和1个女生）． 【点评】本题考查的是用列表法或画树形图求随机事件的概率，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 38．（2020•黄冈模拟）“校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图尚不完整的扇形统计图和条形统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）若该中学共有学生1200人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数； （3）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率． 【分析】（1）根据了解的人数和所占的百分百求出抽查的总人数，用总人数减去了解、基本了解和了解很少的人数，求出不了解的人数，从而补全统计图； （2）用该中学的总人数乘以“了解”和“基本了解”所占的百分比即可； （3）根据题意先画出树状图，再根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意得： （人， 则不了解的人数是：（人； 补图如下： （2）根据题意得：（人， 则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为880人； （3）画树状图得： 共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况， 恰好抽到1个男生和1个女生的概率为：． 【点评】此题考查了条形统计图、扇形统计图以及用列表法或树状图法求概率，读懂题意，根据题意求出总人数是解题的关键；概率所求情况数与总情况数之比． 39．（2023•庐阳区模拟）某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动．某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图： （1）在这次调查中，喜欢篮球项目的同学有　5　人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为　　，如果学校有800名学生，估计全校学生中有　　人喜欢篮球项目． （2）请将条形统计图补充完整． （3）在被调查的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率． 【分析】（1）先利用跳绳的人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，再用总人数分别减去喜欢其它项目的人数可得到喜欢篮球项目的人数，再计算出喜欢乒乓球项目的百分比，然后用800乘以样本中喜欢篮球项目的百分比可估计全校学生中喜欢篮球项目的人数； （2）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解：（1）调查的总人数为（人， 所以喜欢篮球项目的同学的人数（人； “乒乓球”的百分比， 因为， 所以估计全校学生中有80人喜欢篮球项目； 故答案为5，20，80； （2）如图， （3）画树状图为： 共有20种等可能的结果数，其中所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数为12， 所以所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图． 40．（2021秋•丰泽区校级期末）商场举办一次迎元旦抽大奖的酬宾活动，在两个密闭的箱子里分别放入红球1个，黄球2个，篮球3个，由顾客从两个箱子里各随机摸出一个球，若两个球颜色相同，即可获得奖品． （1）请用树形图或列表法求出顾客抽取一次获得奖品的概率； （2）为了增强活动的趣味性，商场在两个箱子里分别放入同样多的白球若干．小明对顾客抽取的结果中出现中奖（两个球颜色相同）的次数做了大量的统计，统计数据如下表： 抽取球的次数 30 50 100 150 200 250 300 500 出现中奖的次数 8 14 27 45 58 70 90 120 出现中奖的频率 0.27 0.28 0.27 0.30 0.29 0.28 0.30 0.30 如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现中奖的频率将稳定在它的概率附近，试估计抽取一次中奖的概率（精确到 （3）设商场在两个箱子里分别放入白球个，根据（2）求出的值． 【分析】（1）首先根据列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与顾客抽取一次获得奖品的，然后利用概率公式求解即可求得答案； （2）观察表格，即可求得抽取一次中奖的概率； （3）根据题意可得方程：，解此方程即可求得答案． 【解答】解：（1）列表得： 蓝 红蓝 黄蓝 黄蓝 蓝蓝 蓝蓝 蓝蓝 蓝 红蓝 黄蓝 黄蓝 蓝蓝 蓝蓝 蓝蓝 蓝 红蓝 黄蓝 黄蓝 蓝蓝 蓝蓝 蓝蓝 黄 红黄 黄黄 黄黄 蓝黄 蓝黄 蓝黄 黄 红黄 黄黄 黄黄 蓝黄 蓝黄 蓝黄 红 红红 黄红 黄红 蓝红 蓝红 蓝红 红 黄 黄 蓝 蓝 蓝 共有36种等可能的结果，顾客抽取一次获得奖品的有14种情况， 顾客抽取一次获得奖品的概率为：； （2）观察表格得：抽取一次中奖的概率为：0.30； （3）根据题意得：， 解得：，（舍去）， 经检验，是原分式方程的解． 的值为：4． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比． 41．（2020•香洲区校级模拟）我市在各校推广大阅读活动，初二（1）班为了解2月份全班学生课外阅读的情况，调查了全班学生2月份读书的册数，并根据调查结果绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图： 根据以上信息解决下列问题： （1）参加本次问卷调查的学生共有　50　人，其中2月份读书2册的学生有　 　人； （2）补全条形统计图，并求扇形统计图中读书3册所对应扇形的圆心角度数； （3）在读书4册的学生中恰好有2名男生和2名女生，现要在这4名学生中随机选取2名学生参加学校的阅读分享沙龙，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的这2名学生恰好性别相同的概率． 【分析】（1）由4册的人数及其百分比求得总人数，总人数乘以2册的百分比即可得； （2）总人数减去1、2、4册的人数求得3册的人数即可补全统计图，用乘以3册人数占总人数的比例可得； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到这2名学生恰好性别相同的结果数，再利用概率公式计算可得． 【解答】解：（1）本次调查的总人数为人， 月份读书2册的学生有（人， 故答案为：50、17； （2）读书3册的人数为， 补全统计图如下： 扇形统计图中读书3册所对应扇形的圆心角度数为； （3）列表得： 男1 男2 女1 女2 男1 男2男1 女1男1 女2男1 男2 男1男2 女1男2 女2男2 女1 男1女1 男2女1 女2女1 女2 男1女2 男2女2 女1女2 由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中这2名学生恰好性别相同的有4种可能． 所以这2名学生恰好性别相同的概率为． 【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握． 42．（2021•克什克腾旗二模）文具店有三种品牌的6个笔记本，价格是4，5，7（单位：元）三种，从中随机拿出一个本，已知（一次拿到7元本）． （1）求这6个本价格的众数． （2）若琪琪已拿走一个7元本，嘉嘉准备从剩余5个本中随机拿一个本． ①所剩的5个本价格的中位数与原来6个本价格的中位数是否相同？并简要说明理由； ②嘉嘉先随机拿出一个本后不放回，之后又随机从剩余的本中拿一个本，用列表法求嘉嘉两次都拿到7元本的概率． 【分析】（1）根据6个笔记本，价格是4，5，7（单位：元）三种，从中随机拿出一个本，（一次拿到7元本）．可求出单价为7元的笔记本的本数，进而得出众数； （2）①求出原来6本价格、后来5本价格的中位数，进行判断即可； ②用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率． 【解答】解：（1）本，因此单价为7元有4本， 这6本的价格为4元、5元、7元、7元、7元、7元、7元， 因此这6个本价格的众数是7元． （2）①相同； 原来6本价格为：4元、5元、7元、7元、7元、7元，价格的中位数是元， 后来5本价格为：4元、5元、7元、7元、7元价格的中位数是7元， 因此相同； ②用列表法列举出所有等可能出现的情况如下： 共有20种等可能的情况，其中两次都是7的有6种， ． 【点评】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件． 43．（2024•雁塔区校级模拟）如图在的正方形网格中，现在已有4个小方格已涂上阴影，其余5个小方格是空白的，除此以外小方格完全相同． （1）小明在5个空白的方格中随机选一个涂成阴影，形成的图案是中心对称图形的概率是多少？ （2）小明在5个空白的方格中随机选两个涂成阴影，形成的图案是中心对称图形的概率是多少？（用树状图或列表法求解） 【分析】（1）根据中心对称图形的定义，有1处形成的图案是中心对称图形，然后根据概率公式求解； （2）画树状图个空白处分别有1、2、3、4、5表示）展示所有20种等可能的结果数，再找出形成的图案是中心对称图形的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）在5个空白的方格中随机选一个涂成阴影，有1处形成的图案是中心对称图形， 所以形成的图案是中心对称图形的概率； （2）画树状图为：个空白处分别有1、2、3、4、5表示） 共有20种等可能的结果数，其中形成的图案是中心对称图形的结果数为8， 所以形成的图案是中心对称图形的概率． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．也考查了中心对称图形． 五．游戏公平性 44．（2022秋•恩施市校级月考）小南、小铭和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人到1至4层的任意一层出电梯． （1）用列表或画树状图求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率； （2）小南和小铭比赛，规则是：若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小南胜，否则小铭胜．该游戏是否公平？若公平，说明理由；若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平． 【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙在同一个楼层的情况数，即可求出所求的概率； （2）分别求出两人获胜的概率比较得到公平与否，修改规则即可． 【解答】解：（1）列表如下： 甲 乙 1 2 3 4 1 2 3 4 一共出现16种等可能结果，其中出现在同一层楼梯的有4种结果， 则（甲、乙在同一层楼梯）； （2）由（1）列知：甲、乙住在同层或相邻楼层的有10种结果 故（小南胜）（同层或相邻楼层），（小铭胜）， ，游戏不公平， 修改规则：若甲、乙同住一层或相邻楼层，则小南得3分；否则，小铭得5分． 【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 45．（2021•黄岛区校级模拟）如图是一个转盘，（转盘被等分成四个扇形），上面标有红黄蓝三种颜色，小明和小强做游戏，规定：转到红色，小明赢，转到黄色，小强赢（若转到分界线，再重转一次）． （1）小颖认为转盘上共有三种不同的颜色，所以，指针停在红色、黄色或蓝色区域的概率都是，他们的游戏对小明和小强都是公平的，你认为呢？请说明理由． （2）若你认为游戏不公平，请你设计一种方案，使他们的游戏公平． 【分析】（1）分别计算出小明赢和小强赢的概率，然后通过比较两概率的大小可判断游戏是否公平； （2）由于指针停在黄色或蓝色区域的概率相等，则可设计为：转到红色，小明赢，转到黄色，小强赢． 【解答】解：（1）游戏不公平．理由如下： 共有4种等可能的结果数，其中指针停在红色的结果数为，指针停在黄色的结果数为1，指针停蓝色区域的结果数为2， 所以小明赢的概率，小强赢的概率， 所以小明赢的概率大，游戏不公平； （2）可设计为：转到蓝色，小明赢，转到黄色，小强赢（若转到分界线，再重转一次）． 【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． 六．利用频率估计概率 46．（2024•盘龙区模拟）某校开展生物项目式实践研究活动，老师带领同学们通过动手实验和查阅资料相结合的方式认识植物．下表记录了某种植物种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 6000 10000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2255 3604 5406 9011 发芽种子频率（结果保留小数点后三位） 0.920 0.880 0.909 0.891 0.902 0.901 0.901 0.901 实践活动结束，该校组织七、八年级学生开展了一次学习成果竞赛，成绩分别为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表． 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 9 1.06 八年级 8.76 8 1.38 下列判断正确的是　　 A．， B．七、八年级平均分相同，七年级方差小于八年级，说明七年级成绩波动较大，故八年级成绩更好 C．本次竞赛规定9分及以上的成绩为优秀，估计八年级700名学生中成绩为优秀的学生约326人 D．根据表中的数据，可估计该植物种子发芽的概率为0.901（结果保留小数点后三位） 【答案】 【分析】根据中位数的定义可确定的值；根据众数的定义可确定的值，即可判断选项，根据方差的意义即可判断选项，用700乘以八年级优秀所占比例即可判断选项，利用频率估计概率判断选项． 【解答】解：．（1）七年级成绩由高到低排在第13位的是等级9分， ， 八年级等级人数最多， ，故不符合题意； ．七、八年级平均分相同，七年级方差小于八年级，说明七年级成绩波动较小，故七年级成绩更好，故不符合题意； ．本次竞赛规定9分及以上的成绩为优秀，估计八年级700名学生中成绩为优秀的学生约人，故不符合题意； ．根据表中的数据，可估计该植物种子发芽的概率为0.901（结果保留小数点后三位），故符合题意； 故选：． 【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数众数，方差，用样本估计总体和利用频率估计概率，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． 47．（2024•扶沟县一模）下列说法中，不正确的是　　 A．“是实数，”是必然事件 B．任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次 C．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 D．不可能事件发生的概率为0 【答案】 【分析】根据随机事件，概率的意义，利用频率估计概率逐一判断即可解答． 【解答】解：、“是实数，”是必然事件，故不符合题意； 、任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数不一定是50次，故符合题意； 、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，故不符合题意； 、不可能事件发生的概率为0，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了随机事件，概率的意义，利用频率估计概率，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 48．（2024春•涟水县校级月考）一个不透明的盒子里有个除颜色外其它完全相同的小球，其中有8个黄球，个白球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量的重复摸球试险后发现，摸到白球的频率稳定在0.6，那么估计盒子中白球的个数　12　． 【答案】12． 【分析】利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率，根据概率公式求出，即可得的答案． 【解答】解：通过大量的重复摸球试险后发现，摸到白球的频率稳定在0.6， 估计摸到白球的概率为0.6， 估计摸到黄球的概率为0.4， （个， （个． 故答案为：12． 【点评】本题考查了利用频率估计概率：可以用频率的集中趋势来估计概率． 49．（2024春•海淀区校级月考）为了解北京市九年级学生的1分钟跳绳成绩，随机抽取了1000名学生的1分钟跳绳成绩，成绩统计如表： 组别（个 人数 50 150 200 600 根据北京市体育中考跳绳评分标准，1分钟跳绳个数不小于180的为满分，现任意抽查北京市一名九年级学生，1分钟跳绳成绩满分的概率约为 　　． 【答案】． 【分析】1分钟跳绳成绩不低于180的人数相加，除以总人数即可得解． 【解答】解：由题意，得： ． 故答案为：． 【点评】此题考查了利用频率估计概率，频数（率分布表，解答本题的关键是掌握概率的计算方法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 50．（2020春•顺德区校级期末）小明做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，共做了100次实验，实验的结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 14 15 23 16 20 12 （1）计算“4点朝上”的频率． （2）小明说：“根据实验，一次实验中出现3点朝上的概率最大”．他的说法正确吗？为什么？ （3）小明投掷一枚骰子，计算投掷点数小于3的概率． 【分析】（1）由共做了100次实验，“4点朝上”的次数为16，即可求得“4点朝上”的频率． （2）由一次实验中的频率不能等于概率，可得这位同学的说法不正确； （3）利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）“4点朝上”的频率为； （2）小明的说法错误； 因为只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近； （3）． 【点评】本题考查了模拟实验，解题的关键是掌握实验中的概率等于所求情况数与总情况数之比；实际概率是经过多次实验后得到的一个接近值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$