第24章 圆 基础题过关检测★【12个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册

第24章 圆 基础题过关检测★【12个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 考点梳理 一．垂径定理 二．垂径定理的应用 三．圆周角定理 四．圆内接四边形的性质 五．三角形的外接圆与外心 六．切线的性质 七．切线的判定 八．切线的判定与性质 九．三角形的内切圆与内心 一十．正多边形和圆 一十一．扇形面积的计算 一十二．圆锥的计算 考点精讲精练 一．垂径定理 · 垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 1．（2024•黄埔区二模）如图，是的弦，点在弦上，，，，则的半径为　　 A．5 B． C．4 D． 2．（2024•新疆）如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024春•庐江县校级期中）如图，的半径为4，是的弦，若，则的长为 　　． 二．垂径定理的应用 · 垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 4．今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深，锯道，则这根圆柱形木材的半径是　　 A．20 B．12 C．10 D．8 5．（2024•杜尔伯特县二模）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，高度为 　　． 6．（2024春•宝安区校级月考）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为 　　 三．圆周角定理 · 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 7．（2024•自贡模拟）如图，的直径，弦，过上一点作切线，交的延长线于点，若，则的长为　　 A．3 B． C．4 D． 8．（2024•湖南）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 9．（2024•赤峰）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点，，则的度数是　　 A． B． C． D． 10．（2024•五华区校级三模）如图，在中，是上的一条弦，直径，连接、，，则的度数是　　 A． B． C． D． 11．（2024•离石区模拟）量角器和三角尺是我们数学学习中的常用工具．有一天，爱思考的小聪拿着这两种工具拼成如图1所示的样子，计划让三角尺的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动，紧接着小聪根据自己的想法画出了三角尺移动在特殊位置时的一个示意图，如图2．已知点是半圆弧的中点，点为三角尺的直角顶点，两直角边，分别过点，．连接，．已知，则　　 A． B． C． D． 12．（2024•碑林区校级模拟）如图，在中，是直径，于点，且为中点，那么　　 A． B． C． D． 13．（2024•长兴县模拟）如图，是的一条弦，点是的中点，连接、，交于点，连接，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 14．（2024•文昌校级模拟）如图，的直径垂直弦于，，，则弦的长为 　　． 15．（2024•禹城市模拟）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上．点、的读数分别为、，则的大小为　 　． 16．（2024•朝阳区校级三模）如图，四边形内接于，、为对角线，经过圆心．若，则的度数为 　　． 四．圆内接四边形的性质 · 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 17．（2024•张家川县一模）如图，四边形为的内接四边形，是延长线上一点，已知，则的度数为 　　． 五．三角形的外接圆与外心 · 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 18．（2024•山西模拟）如图，的三个顶点均在上，是的直径．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 19．（2024•河南）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点是的中点，连接，．以点为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 20．（2024•诸暨市模拟）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． （1）过，，三点的圆的圆心坐标为 　　； （2）请通过计算判断点与的位置关系． 六．切线的性质 · 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 21．（2024•海南二模）如图，与轴负半轴相切于点，交轴于点、，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 22．（2024•长阳县模拟）如图，与相切于点，的延长线交于点，连接，已知，则的大小为　　 A． B． C． D． 23．（2024春•海淀区校级期末）如图，等边三角形的边长为2，点，在上，点在内，的半径为，将绕点逆时针旋转，在旋转程中得到两个结论： ①当点第一次落在上时，旋转角为； ②当第一次与相切时，旋转角为． 则结论正确的是　　 A．② B．均不正确 C．①② D．① 24．（2024•中阳县三模）如图，在中，以边为直径的恰好经过点，过点作的切线，交的延长线于点，平分，分别交，边于点，，连接．若，，则的长为 　　． 25．日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观 察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的长． 26．（2024春•东昌府区校级月考）如图，四边形是平行四边形，是的直径，点在上，与相交于点，连接，过点作的切线交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：． 27．（2024•兴城市模拟）如图，是的外接圆，的切线与的延长线交于点，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 28．（2024春•海淀区校级期末）已知：如图，是圆的直径，，过点作圆的切线交的延长线于． （1）求证：； （2）若，，直接写出的长度． 29．（2024•天津）已知中，，为的弦，直线与相切于点． （Ⅰ）如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； （Ⅱ）如图②，若，，垂足为，与相交于点，，求线段的长． 30．（2024•惠山区校级模拟）如图，在中，为直径，为弦，于点并与过点的切线交于点，记与的交点为，连接、． （1）求证：； （2）若，，求的长． 31．（2024•十堰模拟）如图，内接于，是弧上一点，经过点的的切线，分别交，的延长线于，． （1）求证：平分； （2）若的半径长为12，，，求线段的长． 七．切线的判定 · 切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 32．（2024•良庆区校级模拟）如图，在中，，以为直径作，交于点，连接，过点作，垂足为． （1）求证：； （2）求证：为的切线． 八．切线的判定与性质 · 切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 33．（2024•峰峰矿区三模）如图，中，，，，延长到点，使，是边上一点．点在射线上，，以点为圆心，长为半径作，交于点，连接，设． （1）　　，　　，当点在上时，求的值； （2）为何值时，与相切？ （3）当时，求阴影部分的面积； （4）若与的三边有两个公共点，直接写出的取值范围． 34．（2024•合江县二模）如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 35．如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为． （Ⅰ）求证：是的切线； （Ⅱ）若，，求的长． 36．（2024•秦都区一模）如图，在中，，交于点，是上一点，，平分． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 37．（2024•杂多县三模）如图，是的直径，为的弦，，与的延长线交于点，点在上，满足． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 38．（2024•松山区三模）如图，为的直径，、是半圆的三等分点，过点作延长线的垂线，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若图阴影部分面积为，求的半径． 九．三角形的内切圆与内心 · 三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．39．（2024•峰峰矿区校级模拟）如图，是四边形的外接圆，点是的内心，，则的度数为　　 A． B． C． D． 一十．正多边形和圆 · 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 40．（2024•壶关县一模）如图，点、、、、、是的六等分点，连接，，，，，．若的半径为2．则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 41．（2024•德阳）已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为　　 A．1 B． C．2 D．4 42．（2024•柳州三模）如图，弦，是内接正八边形的两条边，是优弧上一点，则的度数为　　 A． B． C． D． 43．（2023秋•鹿寨县期末）一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数是 　　． 一十一．扇形面积的计算 · 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 44．荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形，，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是　　 A． B． C． D． 45．（2024•盐城二模）半径为2且圆心角为的扇形面积为 　　（结果保留． 46．（2024•清城区一模）如图，在边长为3的等边三角形中，以为直径构造半圆，则图中阴影部分的面积为 　　． 47．（2024•金凤区校级一模）如图，为半圆的直径，，为半圆弧的三等分点，若，则阴影部分的面积为 　　． 48．（2024•武威三模）如图，矩形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，若点是弧的中点，则图中阴影部分的面积为 　　． 49．（2024•浙江模拟）若扇形的圆心角为，半径为，则它的面积为 　　． 一十二．圆锥的计算 · 圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 50．（2024•建邺区校级二模）圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 　　． 第24章 圆 基础题过关检测★【12个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．垂径定理 1．（2024•黄埔区二模）如图，是的弦，点在弦上，，，，则的半径为　　 A．5 B． C．4 D． 【答案】 【分析】过作于，连接，由垂径定理得到，由勾股定理求出，，得到圆的半径长． 【解答】解：过作于，连接， ， ，， ， ， ， ， ， ． 的半径长是5． 故选：． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理求出的长得到的长，由勾股定理求出的长，即可求出圆的半径的长． 2．（2024•新疆）如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】先根据垂径定理得出的长，再利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【解答】解：是的直径，且， ． 在中， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键． 3．（2024春•庐江县校级期中）如图，的半径为4，是的弦，若，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】过点作于点，根据垂径定理求出，解直角三角形求解即可． 【解答】解：如图，过点作于点， ， 在中，，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键． 二．垂径定理的应用 4．今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深，锯道，则这根圆柱形木材的半径是　　 A．20 B．12 C．10 D．8 【答案】 【分析】连接、，由垂径定理得，连接，设圆的半径为寸，再在中，由勾股定理列出方程，解方程可得半径． 【解答】解：连接、，如图： 由题意得：为的中点， 则、、三点共线，， ， 设圆的半径为，则． 在中，由勾股定理得：， 解得：． 这根圆柱形木材的半径为10． 故选：． 【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 5．（2024•杜尔伯特县二模）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，高度为 　4　． 【分析】根据图可知，由垂径定理可知，，在中，利用勾股定理可求，进而可求． 【解答】解：， ，， 在中，， ， ． 故答案是4． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是先求出． 6．（2024春•宝安区校级月考）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为 　　 【答案】． 【分析】根据勾股定理、垂径定理进行计算即可． 【解答】解：在中，设，则，由勾股定理得， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理、垂径定理，掌握勾股定理、垂径定理是正确解答的关键． 三．圆周角定理 7．（2024•自贡模拟）如图，的直径，弦，过上一点作切线，交的延长线于点，若，则的长为　　 A．3 B． C．4 D． 【答案】 【分析】连接、交于点，证明四边形是矩形，点圆心且，可得是的中位线，可得为的中点，由勾股定理的，即可求出的长． 【解答】解：连接、交于点点， 为直径， ， ， 又，为切线， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 由勾股定理得：， ，故正确． 故选：． 【点评】本题考查圆知识的综合应用，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、矩形的判定、垂径定理． 8．（2024•湖南）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆周角定理即可解决问题． 【解答】解：， ． 又， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知圆周角定理是解题的关键． 9．（2024•赤峰）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据垂径定理得，所以，根据圆周角定理得，再根据，，最后根据三角形的外角的性质即可得出答案． 【解答】解：半径， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 10．（2024•五华区校级三模）如图，在中，是上的一条弦，直径，连接、，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据垂径定理得出，根据弧与圆心角关系得出，利用圆周角定理得出，然后利用直角三角形两锐角互余性质求解即可． 【解答】解：连接， 是上的一条弦，直径， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查垂径定理，弧与圆心角关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余性质，掌握垂径定理，弧与圆心角关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余性质是解题关键． 11．（2024•离石区模拟）量角器和三角尺是我们数学学习中的常用工具．有一天，爱思考的小聪拿着这两种工具拼成如图1所示的样子，计划让三角尺的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动，紧接着小聪根据自己的想法画出了三角尺移动在特殊位置时的一个示意图，如图2．已知点是半圆弧的中点，点为三角尺的直角顶点，两直角边，分别过点，．连接，．已知，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由点是半圆弧的中点可知，再由即可得出结论． 【解答】解：点是半圆弧的中点， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径是解题的关键． 12．（2024•碑林区校级模拟）如图，在中，是直径，于点，且为中点，那么　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，，根据已知易得，是的垂直平分线，从而可得，进而可得，然后根据等边三角形的判定可得是等边三角形，从而可得，再利用圆周角定理可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答． 【解答】解：连接，， ，为中点， ，是的垂直平分线， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 13．（2024•长兴县模拟）如图，是的一条弦，点是的中点，连接、，交于点，连接，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，先由圆周角定理得到，再由等边对等角得到，进一步由平行线的性质得到，则，再利用三角形内角和定理求解． 【解答】解：如图所示，连接， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是关键． 14．（2024•文昌校级模拟）如图，的直径垂直弦于，，，则弦的长为 　　． 【答案】． 【分析】根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，解直角三角形求解即可． 【解答】解：的直径垂直弦于， ， ， 在中，，， ， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，熟练运用圆周角定理、垂径定理是解题的关键． 15．（2024•禹城市模拟）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上．点、的读数分别为、，则的大小为　　． 【分析】设半圆圆心为，连，，则，根据圆周角定理得，即可得到的大小． 【解答】解：设半圆圆心为，连，，如图， ， 而， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半． 16．（2024•朝阳区校级三模）如图，四边形内接于，、为对角线，经过圆心．若，则的度数为 　　． 【答案】． 【分析】根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理即可得解． 【解答】解：是的半径， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 四．圆内接四边形的性质 17．（2024•张家川县一模）如图，四边形为的内接四边形，是延长线上一点，已知，则的度数为 　　． 【答案】． 【分析】先根据圆心角与圆周角的关系可得出，再根据圆内接四边形的性质可得的度数． 【解答】解：四边形为的内接四边形，， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了圆心角与圆周角的关系，圆内接四边形的性质，准确识图，理解同弧所对的圆心角是它所对圆周角的2倍，圆内接四边形的一个外角等于它的内对角是解决问题的关键． 五．三角形的外接圆与外心 18．（2024•山西模拟）如图，的三个顶点均在上，是的直径．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，易得，，即可解答． 【解答】解：连接， ， ， 是的直径， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形性质，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，圆的内接四边形对角互补． 19．（2024•河南）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点是的中点，连接，．以点为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由题知阴影部分为扇形的面积，求出半径的长度和圆心角的度数即可求解． 【解答】解：如图，连接、、，交于点． 为等边三角形， ， ，， 是弧中点， ，，， ， ，， 为等边三角形， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆、等边三角形的判定和性质、垂径定理、以及扇形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题关键． 20．（2024•诸暨市模拟）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． （1）过，，三点的圆的圆心坐标为 　　； （2）请通过计算判断点与的位置关系． 【答案】（1）； （2）点在外，理由见解答． 【分析】（1）连接，，过，，三点的圆的圆心为线段、的垂直平分线的交点，则，于是得到问题的答案； （2）连接、，可求得，，则，所以点在外． 【解答】解：（1）连接，， 过，，三点的圆的圆心为线段、的垂直平分线的交点， 观察图形可知，点的坐标为， 故答案为：． （2）连接、， ，，， ，， ， ， 点到圆心的距离大于的半径， 点在外． 【点评】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，正确求出点的坐标是解题的关键． 六．切线的性质 21．（2024•海南二模）如图，与轴负半轴相切于点，交轴于点、，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作与点，连接，，设圆的半径为，根据垂径定理可得，在直角三角形中，根据勾股定理可求出的长，由此即可求解． 【解答】解：如图所示，过点作与点，连接，， 与轴切于点，设圆的半径为， ，且，， 四边形是矩形， ， ，， ，， ， ， 在中，， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查切线的性质，垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质，掌握切线的性质，垂径定理与勾股定理的运用是解题的关键． 22．（2024•长阳县模拟）如图，与相切于点，的延长线交于点，连接，已知，则的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质以及直角三角形两个锐角互余得出，根据等边对等角以及三角形的外角的性质，得出，求出，即可求解． 【解答】解：如图所示，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握是切线的性质解题的关键． 23．（2024春•海淀区校级期末）如图，等边三角形的边长为2，点，在上，点在内，的半径为，将绕点逆时针旋转，在旋转程中得到两个结论： ①当点第一次落在上时，旋转角为； ②当第一次与相切时，旋转角为． 则结论正确的是　　 A．② B．均不正确 C．①② D．① 【答案】 【分析】①当点第一次落在上时，连接，，，可证明是等腰直角三角形，、、三点共线，再求出，可得，②当与相切时，连接并延长与交于点，连接，先求出，，，即可得当第一次与相切时，旋转角为． 【解答】解：①当点第一次落在上时， 连接，，，如图1， ，， 是等腰直角三角形， ， 、、三点共线， ， ， ， ， ， ，故①错误； 当与相切时，连接并延长与交于点，连接，如图2， 是正三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当第一次与相切时，旋转角为，故②正确， 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，直线与圆的位置关系，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，等边三角形，圆的切线性质是解题的关键． 24．（2024•中阳县三模）如图，在中，以边为直径的恰好经过点，过点作的切线，交的延长线于点，平分，分别交，边于点，，连接．若，，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】连接，，易得为等边三角形，切线的性质，推出，进而得到，得到，，圆周角定理结合角平分线平分角，得到，勾股定理求解即可． 【解答】解：连接，，则：， ， ， 为等边三角形， ，， 为切线， ， ， ， ， ，， 平分， ， ，， ， ； 故答案为：． 【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 25．日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观 察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的长． 【分析】（1）连接，根据切线的性质的，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到； （2）根据直角三角形的性质得到，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 26．（2024春•东昌府区校级月考）如图，四边形是平行四边形，是的直径，点在上，与相交于点，连接，过点作的切线交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，由圆内接四边形性质可得，进而即可得解； （2）由圆的切线的性质可，由平行线的性质可得，由圆内接四边形可得，进而可证为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一性质即可得解； 【解答】（1）解：四边形是平行四边形，且， ， 四边形为圆内接四边形， ， ． （2）证明：为圆切线， 即， 四边形是平行四边形， ，， ，即， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ，即为等腰三角形， ， ． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，圆的切线性质和圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握圆内接四边形的性质是解决此题的关键．． 27．（2024•兴城市模拟）如图，是的外接圆，的切线与的延长线交于点，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）线段的长为． 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，从而可得，进而可得，然后利用圆周角定理可得，从而可得，再利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）过点作，垂足为，先利用垂径定理可得，，再设，然后在中，利用勾股定理进行计算可可得，，再利用平行线的性质可得，最后证明，从而利用相似三角形的性质求出的长，即可解答． 【解答】（1）证明：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作，垂足为， ，， 设， 在中，， ， ， 解得：， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 线段的长为． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 28．（2024春•海淀区校级期末）已知：如图，是圆的直径，，过点作圆的切线交的延长线于． （1）求证：； （2）若，，直接写出的长度． 【分析】（1）连接，利用平行线的判断即可证明； （2）先证明三角形是等边三角形，再利用解直角三角形求出即可． 【解答】（1）证明：连接， ， ， 又， ， ， ． （2）解：连接， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，掌握等边三角形的判定及性质和解直角三角形是关键． 29．（2024•天津）已知中，，为的弦，直线与相切于点． （Ⅰ）如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； （Ⅱ）如图②，若，，垂足为，与相交于点，，求线段的长． 【答案】（Ⅰ），； ． 【分析】根据等腰三角形到现在得到，求得，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理得到结论； 如图，连接，同，得，根据垂直的定义得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：， ， ，， ， 直线与相切于点，为的直径， ， ， ， ， ， ； 如图，连接． 同，得， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 30．（2024•惠山区校级模拟）如图，在中，为直径，为弦，于点并与过点的切线交于点，记与的交点为，连接、． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）连接，则有，，再由垂径定理和圆周角定理可得，最后由同角的余角相等即可求解； （2）证明，根据性质得，再由勾股定理即可求解． 【解答】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （2）解：由， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， 设半径为，则，， ， 解得：， ， 在中，由勾股定理得：， ． 【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，切线的性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 31．（2024•十堰模拟）如图，内接于，是弧上一点，经过点的的切线，分别交，的延长线于，． （1）求证：平分； （2）若的半径长为12，，，求线段的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据角平分线的定义得到； （2）连接，，过点作于点，根据角平分线的定义得到，根据等边三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：连接，，过点作于点， ，平分， ， ， 为等边三角形， ，， 在中，，， ， ． 【点评】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，角平分线的定义，勾股定理，直角三角形到现在，正确地作出辅助线是解题的关键． 七．切线的判定 32．（2024•良庆区校级模拟）如图，在中，，以为直径作，交于点，连接，过点作，垂足为． （1）求证：； （2）求证：为的切线． 【答案】（1）见解答； （2）见解答． 【分析】（1）先利用圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质得； （2）连接，如图，先证明为的中位线，则，再利用得到，然后根据切线的判定定理得到结论． 【解答】（1）证明：为直径， ， ， ； （2）证明：连接，如图， ，， 为的中位线， ， ， ， 是半径， 为的切线． 【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理． 八．切线的判定与性质 33．（2024•峰峰矿区三模）如图，中，，，，延长到点，使，是边上一点．点在射线上，，以点为圆心，长为半径作，交于点，连接，设． （1）　5　，　　，当点在上时，求的值； （2）为何值时，与相切？ （3）当时，求阴影部分的面积； （4）若与的三边有两个公共点，直接写出的取值范围． 【分析】（1）先由勾股定理求得，再由，可得的长，从而的长可求；当点在上时，如图1，根据推得，从而列出方程，解得的值即可； （2）作于点，当时，与相切，如图2，由正弦函数得出关于 的方程，解得的值即可； （3）如图3，连接，利用即可得出答案； （4）由图1和图2即可得出答案． 【解答】解：（1）中，，，， ， ， ， ． 故答案为：5，1； 当点在上时，如图1， ． ， 即． 解得． （2）作于点，当时，与相切，如图2， 则，， ． 解得． 经检验，是分式方程的解，且满足题意． 时，与相切． （3）如图3，连接， 中，，， ，． ． （4）由图2可知，当时，与的三边有两个公共点；由图1可知，当时，与的三边有两个公共点． 的取值范围为：或． 【点评】本题考查了切线的判定与性质、直线与圆的位置关系、扇形与三角形的面积计算、列分式方程解应用题、解直角三角形等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 34．（2024•合江县二模）如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）3． 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，由圆周角定理得出，证出，则可得出结论； （2）设，，证明，由相似三角形的性质得出，求出的长，则可求出答案． 【解答】（1）证明：连接， ， ， ， ， 又是的直径， ， ， ， 即， ， 是半径， 是的切线； （2）解：，且， 设，， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的长为3． 【点评】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与相似三角形的判定和性质是解题的关键． 35．如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为． （Ⅰ）求证：是的切线； （Ⅱ）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）． 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线； （2）连接，由是的直径，得，则，因为，所以，再证明是等边三角形，求得；求出，进而得到，再利用勾股定理解答即可． 【解答】（1）证明：连接，则， ， ， ， ， ， 于点， ， 是的半径，， 是的切线； （2）解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理等知识，证明是解题的关键． 36．（2024•秦都区一模）如图，在中，，交于点，是上一点，，平分． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：，， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 37．（2024•杂多县三模）如图，是的直径，为的弦，，与的延长线交于点，点在上，满足． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【分析】（1）连接，如图，根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出，即可得出结论； （2）证明，然后利用相似比求的长． 【解答】（1）证明：连接，如图， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得：． 【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键． 38．（2024•松山区三模）如图，为的直径，、是半圆的三等分点，过点作延长线的垂线，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若图阴影部分面积为，求的半径． 【答案】（1）见解析； （2）2． 【分析】（1）由已知条件得出，由圆周角定理得出，证出，再由已知条件得出，即可证出为的切线； （2）连接，，由，得到，根据，得到，根据扇形的面积公式即可得求出答案． 【解答】（1）证明：如图，连接、． 、是半圆的三等分点， ， ，， ， ． 又， ， 是的半径， 是的切线． （2）， ， ， 是等边三角形， ， ， 的面积的面积， 阴影部分面积扇形的面积， （舍， 的半径为2． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 九．三角形的内切圆与内心 39．（2024•峰峰矿区校级模拟）如图，是四边形的外接圆，点是的内心，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由点是的内心，得，，则，而，所以，求得，则，由，，得，于是得到问题的答案． 【解答】解：点是的内心，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 故选：． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆的定义与性质、圆内接四边形的对角互补、同角的补角相等、三角形内角和定理等知识，求得是解题的关键． 一十．正多边形和圆 40．（2024•壶关县一模）如图，点、、、、、是的六等分点，连接，，，，，．若的半径为2．则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图，由题意，阴影部分的面积等于圆的面积减去12个小等边三角形的面积，求出小等边三角形的边长，即可解决问题． 【解答】解：如图，由题意，阴影部分的面积等于圆的面积减去12个小等边三角形的面积． ，垂直平分线段， ， ， ， 阴影部分的面积， 故选：． 【点评】本题考查正多边形与圆，扇形的面积的计算等知识，解题的关键是学会用分割法求不规则图形的面积． 41．（2024•德阳）已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为　　 A．1 B． C．2 D．4 【答案】 【分析】根据正六边形的性质，二次根式的乘除法的计算方法进行计算即可． 【解答】解：如图，连接，，过点作，垂足为点， 六边形是正六边形， ， ， 是正三角形， ， 设，则， ， ， 解得或舍去， 即正六边形的边长为2． 故选：． 【点评】本题考查正多边形和圆，二次根式的乘除法，掌握正六边形的性质，二次根式乘除法的计算方法是正确解答的关键． 42．（2024•柳州三模）如图，弦，是内接正八边形的两条边，是优弧上一点，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】求出正八边形的内角度数，再根据圆的内接四边形对角互补，求出即可． 【解答】解：正八边形的内角和为， 每个内角为， ， 四边形是圆的内接四边形， ， 故选：． 【点评】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质是解题关键． 43．（2023秋•鹿寨县期末）一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数是 　9　． 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可． 【解答】解：设这个多边形的边数是， 由题意得，， 解得，， 故答案为：9． 【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键． 一十一．扇形面积的计算 44．荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形，，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式，用大扇形面积减去小扇形面积即可解决问题． 【解答】解：由题知， ，， 所以， 即该环形荷花装饰挂画的面积是． 故选：． 【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． 45．（2024•盐城二模）半径为2且圆心角为的扇形面积为 　　（结果保留． 【答案】． 【分析】利用扇形的面积公式直接计算即可． 【解答】解：半径为且圆心角为， 扇形面积， 故答案为：． 【点评】此题考查了扇形面积的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键． 46．（2024•清城区一模）如图，在边长为3的等边三角形中，以为直径构造半圆，则图中阴影部分的面积为 　　． 【答案】． 【分析】连接，，，根据等边三角形的判定与性质求出、、是边长相等的等边三角形，再根据阴影部分的面积求解即可． 【解答】解：如图，连接，，， 是等边三角形的边长为3， ，， 以为直径构造半圆， ， 、是等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点评】此题考查了扇形的面积、等边三角形的性质，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 47．（2024•金凤区校级一模）如图，为半圆的直径，，为半圆弧的三等分点，若，则阴影部分的面积为 　　． 【分析】连接、、，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形的面积，然后计算扇形面积就可． 【解答】解：连接、、． 和等底等高， ． 点，为半圆的三等分点， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点评】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是理解阴影部分的面积等于扇形的面积． 48．（2024•武威三模）如图，矩形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，若点是弧的中点，则图中阴影部分的面积为 　　． 【答案】． 【分析】结合矩形的性质、圆的有关性质求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出，再根据阴影的面积、阴影的面积，列式计算即可得解． 【解答】解：如图，连接， 在矩形中，，，， 点是弧的中点， ， 是等腰直角三角形， ， ， 阴影的面积， 阴影的面积， 则图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，扇形的面积计算，熟记扇形面积公式是解题的关键． 49．（2024•浙江模拟）若扇形的圆心角为，半径为，则它的面积为 　　． 【答案】． 【分析】根据扇形的面积公式即可求解． 【解答】解：扇形的面积． 故答案为：． 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 一十二．圆锥的计算 50．（2024•建邺区校级二模）圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 　120　． 【答案】120． 【分析】圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，根据弧长公式计算即可． 【解答】解：圆锥的底面半径为， 底面周长为：， ， 解得：， 故答案为：120． 【点评】本题考查圆锥的侧面展开图以及扇形的弧长公式，连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$