第24章 圆 中档题拓展训练★★【12个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册

第24章 圆 中档题拓展训练★★【12个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 考点梳理 一．垂径定理 二．圆心角、弧、弦的关系 三．圆周角定理 四．三角形的外接圆与外心 五．切线的性质 六．切线的判定 七．切线的判定与性质 八．三角形的内切圆与内心 九．正多边形和圆 一十．弧长的计算 一十一．扇形面积的计算 一十二．圆锥的计算 考点精讲精练 一．垂径定理 · 垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 1．（2024•秦安县校级三模）如图，在平面直角坐标系中，经过点，直线与交于、两点，则弦的最小值是　　 A． B． C． D．以上都不对 2．（2024•东莞市一模）如图，点是的中点，弦米，半径米．则　　米． 二．圆心角、弧、弦的关系 · 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 3．（2024•丛台区校级三模）如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是　　 A． B． C． D．无法确定 三．圆周角定理 · 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 4．（2024•廉江市校级模拟）如图，点是的劣弧上一点，，则的度数为　　 A． B． C． D．150 5．（2024•沈阳模拟）如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则等于　　 A． B． C． D． 6．（2024•秦安县校级三模）如图，是的直径，，是上的点，，则的度数是　　 A． B． C． D． 7．（2024•湖南模拟）如图，为圆的直径，，则　　 A． B． C． D． 8．（2024•柯桥区模拟）如图，半径长，点、、是三等分点，点为圆上一点，连接，且，交于点，则 A． B． C． D． 9．（2024•五华区校级三模）如图，在中，是上的一条弦，直径，连接、，，则的度数是　　 A． B． C． D． 10．（2024•离石区模拟）量角器和三角尺是我们数学学习中的常用工具．有一天，爱思考的小聪拿着这两种工具拼成如图1所示的样子，计划让三角尺的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动，紧接着小聪根据自己的想法画出了三角尺移动在特殊位置时的一个示意图，如图2．已知点是半圆弧的中点，点为三角尺的直角顶点，两直角边，分别过点，．连接，．已知，则　　 A． B． C． D． 11．（2024•金安区校级三模）如图，是的直径，于点，连接，若，，则的半径为 　　． 12．（2024•茌平区一模）是的直径，，分别是直径和弦上的两个动点，已知，，则线段的最小值是 　　． 13．（2024•青山区校级三模）如图，为半圆的直径，为圆心，点、为半圆上的两个点，且是弧的中点，连接、并延长相交于点，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：（两种证法解答）． （2）若，，请求出的长． 四．三角形的外接圆与外心 · 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 14．（2024•山西模拟）如图，的三个顶点均在上，是的直径．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 15．（2024•沁水县二模）如图，内接于，为的直径．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 16．如图，圆的半径为1，内接于圆，若，则　　． 17．（2024•越秀区二模）如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点． （1） 　　（填“，或” ； （2）若，，则　　． 18．（2024•惠山区校级模拟）（1）如图1，在锐角的外部找一点，使的面积与的面积相等且点在以为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中，如图2，若，且，求以为直径的圆覆盖的面积 　　． 五．切线的性质 · 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 19．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，是的直径，直线切于点，若，则　　 A． B． C． D． 20．（2024•秦安县校级三模）如图，为的切线，为切点，交于点，点在优弧上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 21．（2024春•白云区校级月考）如图，在中，，，为的中点，分别与，相切于，两点，则的半径长为 　　． 22．（2024•包头模拟）如图，在矩形中，，，扇形的圆心在边上，点在边上，与边相切，切点为，则的长度为 　　（结果保留． 23．（2024•定海区三模）如图，为的直径延长线上的一点，为的切线，切点为，于，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 24．（2024•九原区校级三模）如图，是的直径，点是上一点，连接并延长，交过点的切线于点，点是弧上一点，连接，，． （1）求证：；（请用两种方法解答） （2）连接，交于点，若垂直平分，，求四边形的面积． 25．（2024•西安校级一模）如图，中，，为上一点，以为圆心，以为半径的与相切于点，交于点，过作的切线，交于点． （1）若，用含的代数式表示； （2）若，，，，求的长． 26．（2024•昭平县三模）如图，为的直径，，连接，过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 六．切线的判定 · 切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 27．（2024•灵山县一模）如图，直线经过上的点，并且，，交直线于，，交于点，连接并延长交于． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 七．切线的判定与性质 · 切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 28．（2024•郸城县模拟）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，图3是其简化图，已知，点在中轴线上运动，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，且．当点按逆时针方向运动到时，与相切，则的长为 　　． 29．（2024•襄州区模拟）如图，在中，，交于，两点，为的直径，为的切线，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 30．（2024•辽宁二模）如图，为直径，，为上的两点，且，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 31．（2024•盐都区三模）如图，在中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，延长交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，时，求的长． 32．（2024•合江县二模）如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 33．（2024•新宁县校级模拟）如图，在等腰三角形中，，以为直径的与交于点，，垂足为，的延长线与的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 34．（2024•秦都区一模）如图，在中，，交于点，是上一点，，平分． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 35．（2024•邗江区校级三模）如图，、、、四点在上，为的直径，于点，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； 36．（2024•惠城区二模）如图，是的直径，点是上的一点，与的延长线交于点，，． （1）求证：是的切线； （2）过点作于点，若的半径为4，求图中阴影部分的面积． 八．三角形的内切圆与内心 · 三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 37．（2024•金平区二模）如图，已知中，，，内切圆半径为2，则图中阴影部分面积是 　　． 38．（2024•滨州一模）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为 　　． 九．正多边形和圆 · 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 39．正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论①，②，③，④．其中成立的结论是　　 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 40．（2024•河北二模）如图，正五边形中，，连接，点在线段上，连接，，将五边形分成面积为，，，，的五部分，则下列式子不能确定大小的是　　 A． B． C． D． 41．（2024•石家庄模拟）如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接、、，则的度数是　　 A． B． C． D． 42．（2024•定州市三模）如图，从一个边长为2的正六边形铁皮上，剪出一个扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 　　． 43．（2024•抚州一模）如图，小明计划用一张正方形的彩色皮革，剪出一个正六边形的杯垫，正方形的边长为，则裁出的矩形的边的长为 　　． 44．（2024•城阳区一模）如图，正八边形和正六边形的边长均为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 　　（结果保留 45．（2024•深圳模拟）两个边长为2的正六边形按如图方式放置，则点的坐标是 　　． 一十．弧长的计算 · 弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 46．（2024•沁水县二模）传送带是一种传送系统，可以运输各种形状的物料．如图，已知某一条传送带转动轮的半径为，如果该转动轮转动了两周后又转过，那么传送带上的物体被传送的距离为（物体始终在传送带上）　　 A． B． C． D． 47．（2024春•廉江市校级月考）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则的长为　　 A． B． C． D． 48．如图，在扇形中，，点，均为的三等分点，点为线段上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为 　　． 一十一．扇形面积的计算 · 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 49．（2024春•武城县校级月考）如图，将绕点旋转得到△，已知，，则线段扫过的图形面积为　　 A． B． C． D． 一十二．圆锥的计算 · 圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 50．（2024•渠县校级三模）如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为　　 A． B． C． D． 第24章 圆 中档题拓展训练★★【12个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．垂径定理 1．（2024•秦安县校级三模）如图，在平面直角坐标系中，经过点，直线与交于、两点，则弦的最小值是　　 A． B． C． D．以上都不对 【答案】 【分析】易知直线过定点，运用勾股定理可求出，由经过点，可求出半径，由于过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题． 【解答】解：对于直线， 当时，， 故直线恒经过点，记为点． 由于过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，即当时，最短， 连接，，如图所示， ， ， 经过点， ， ， ， ， 弦的最小值是． 故选：． 【点评】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点以及运用“过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短”这个经验是解决该题的关键． 2．（2024•东莞市一模）如图，点是的中点，弦米，半径米．则　2　米． 【答案】2． 【分析】根据点是的中点，得到，，结合米，米求解即可得到答案． 【解答】解：点是的中点，（米， ，（米， （米， ， 解得：， 故答案为：2． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是垂径定理的熟练应用． 二．圆心角、弧、弦的关系 3．（2024•丛台区校级三模）如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是　　 A． B． C． D．无法确定 【答案】 【分析】如图，取弧的中点，连接，．证明，再利用三角形的三边关系解决问题． 【解答】解：如图，取弧的中点，连接，． ，， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间等分关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意正确作出辅助线． 三．圆周角定理 4．（2024•廉江市校级模拟）如图，点是的劣弧上一点，，则的度数为　　 A． B． C． D．150 【答案】 【分析】如图作圆周角，根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形性质求出即可． 【解答】解：如图做圆周角，使在优弧上， ， ， 、、、四点共圆， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，正确作辅助线是解此题的关键． 5．（2024•沈阳模拟）如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】连接，根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，求出，再根据圆周角定理求出即可． 【解答】解：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和圆周角定理等知识点，能求出的度数是解此题的关键． 6．（2024•秦安县校级三模）如图，是的直径，，是上的点，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，利用圆周角定理及角的和差求得的度数，进而求得的度数． 【解答】解：如图，连接， ， 优弧所对的圆心角为， ， ， 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理，结合已知条件求得的度数是解题的关键． 7．（2024•湖南模拟）如图，为圆的直径，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆周角定理得，由直角三角形的性质可得，最后通过同弧所对的圆周角相等即可求解， 【解答】解：为圆的直径， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 8．（2024•柯桥区模拟）如图，半径长，点、、是三等分点，点为圆上一点，连接，且，交于点，则 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，，，，则，进一步判定为等腰直角三角形，再根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【解答】解：连接，，，，则， 点、、是三等分点， ，， ，， 为等腰直角三角形， ，， 弧对应和， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，熟练掌握这些结论是解题的关键． 9．（2024•五华区校级三模）如图，在中，是上的一条弦，直径，连接、，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据垂径定理得出，根据弧与圆心角关系得出，利用圆周角定理得出，然后利用直角三角形两锐角互余性质求解即可． 【解答】解：连接， 是上的一条弦，直径， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查垂径定理，弧与圆心角关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余性质，掌握垂径定理，弧与圆心角关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余性质是解题关键． 10．（2024•离石区模拟）量角器和三角尺是我们数学学习中的常用工具．有一天，爱思考的小聪拿着这两种工具拼成如图1所示的样子，计划让三角尺的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动，紧接着小聪根据自己的想法画出了三角尺移动在特殊位置时的一个示意图，如图2．已知点是半圆弧的中点，点为三角尺的直角顶点，两直角边，分别过点，．连接，．已知，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由点是半圆弧的中点可知，再由即可得出结论． 【解答】解：点是半圆弧的中点， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径是解题的关键． 11．（2024•金安区校级三模）如图，是的直径，于点，连接，若，，则的半径为 　4　． 【答案】4． 【分析】根据圆周角定理得到，证明，推出，再利用，即可解题． 【解答】解：是的直径， ， 于点， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了圆周角定理、平行线的性质和判定、解直角三角形，正确记忆相关知识点是解题关键． 12．（2024•茌平区一模）是的直径，，分别是直径和弦上的两个动点，已知，，则线段的最小值是 　2　． 【答案】2． 【分析】连接，延长到，使，连接，，由圆周角定理得到，由线段垂直平分线的性质得到，，由等腰三角形的性质得到，由三角形三边关系定理得到，当时，最小，由含30度角的直角三角形的性质求出，即可得到的最小值是2． 【解答】解：连接，延长到，使，连接，，， 是圆的直径， ， 垂直平分， ，， ， ， 当最小时，的和最小，当时，最小， 此时，， ， 的最小值是2， ， 的最小值是2． 故答案为：2． 【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，轴对称最短路线问题，关键是由三角形三边关系定理得到，明白当时，最小，由含30度角的直角三角形的性质求出此时的长． 13．（2024•青山区校级三模）如图，为半圆的直径，为圆心，点、为半圆上的两个点，且是弧的中点，连接、并延长相交于点，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：（两种证法解答）． （2）若，，请求出的长． 【答案】（1）证法见解析； （2）2． 【分析】（1）证法一：连接，，根据已知条件证明，再利用平行线分线段成比例证明结论即可；证法二：连接，根据已知条件证明，再根据全等三角形的性质证明结论即可； （2）由（1）得：，利用已知条件，证明，从而得到，然后设，根据已知条件列出关于的方程，求出即可． 【解答】解：（1）证法一：如图，连接，， 为弧的中点， 弧弧， ， ， ， ， ， ， ， ； 证法二：如图所示，连接， 为弧的中点， 弧弧， ， 为直径， ， ， ， ； （2）由（1）得：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ，， 设，则， 解得：， 的长为2． 【点评】本题主要考查了圆的有关计算，解题关键是熟练掌握圆周角定理、全等三角形的性质、相似三角形的判定和性质 四．三角形的外接圆与外心 14．（2024•山西模拟）如图，的三个顶点均在上，是的直径．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，易得，，即可解答． 【解答】解：连接， ， ， 是的直径， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形性质，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，圆的内接四边形对角互补． 15．（2024•沁水县二模）如图，内接于，为的直径．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答． 【解答】解：连接， 为的直径， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 16．如图，圆的半径为1，内接于圆，若，则　　． 【答案】． 【分析】作圆的直径，连接，由圆周角定理得到，，由锐角的正弦即可求出的长． 【解答】解：作圆的直径，连接， ， ， ， 圆的半径为1， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，关键是通过作辅助线，构造直角三角形． 17．（2024•越秀区二模）如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点． （1） 　　（填“，或” ； （2）若，，则　　． 【答案】（1）； （2）的长为1． 【分析】（1）延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，最后利用等式的性质可得，即可解答； （2）根据直角三角形的两个锐角互余可得，，从而利用等角的余角相等可得，再利用对顶角相等可得，从而可得，进而可得，然后设，在中，利用勾股定理列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）延长交于点，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 在中，，， ， ， 解得：， ， ， ， 的长为1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18．（2024•惠山区校级模拟）（1）如图1，在锐角的外部找一点，使的面积与的面积相等且点在以为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中，如图2，若，且，求以为直径的圆覆盖的面积 　　． 【答案】（1）作图见解析； （2）． 【分析】（1）利用作垂直平分线，作一个角等于已知角即可； （2）连接，设圆与、交于点、，连接，由是的直径， 则，从而证明是等腰直角三角形，得，由三角形内角和求出，，最后由即可求解． 【解答】解：（1）如图， ①作的垂直平分线，交于点， ②以为圆心，作， ③作，交于点，则有， ， 即为所求； （2）如图，连接，设与、交于点、，连接， 是的直径， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， 以为直径的圆覆盖的面积为： ， ． 【点评】本题考查了尺规作图，圆周角定理，勾股定理，扇形面积和三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 五．切线的性质 19．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，是的直径，直线切于点，若，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由直线是的切线，根据切线的性质可得：，继而求得，又由是的直径，根据圆周角定理，即可求得，继而可得． 【解答】解：是的直径，直线切于点， ， ， ， 又是的直径， ， ， ． 故选：． 【点评】此题考查了切线的性质与圆周角定理．此题难度不大，解答本题的关键是注意掌握数形结合思想的应用． 20．（2024•秦安县校级三模）如图，为的切线，为切点，交于点，点在优弧上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先利用圆周角定理求出，再根据切线的性质可以得到． 【解答】解：， ， 又为的切线， ， ， 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理，切线的性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握以上知识点是解本题的关键． 21．（2024春•白云区校级月考）如图，在中，，，为的中点，分别与，相切于，两点，则的半径长为 　　． 【答案】． 【分析】连接，，，根据切线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，得，，根据等腰三角形的性质可得、的长，从而可得的长． 【解答】解：连接，，， 、与相切于、两点， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即的半径长为， 故答案为：． 【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 22．（2024•包头模拟）如图，在矩形中，，，扇形的圆心在边上，点在边上，与边相切，切点为，则的长度为 　　（结果保留． 【答案】． 【分析】连接，由矩形的性质得，，由切线的性质证明，进而证明四边形是正方形，则，求得，由，得，则，即可根据弧长公式求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接，则， 四边形是矩形，，， ，，， 与边相切，切点为， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查矩形的性质、切线的性质、正方形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、弧长公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 23．（2024•定海区三模）如图，为的直径延长线上的一点，为的切线，切点为，于，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解答； （2）的半径长为． 【分析】（1）连接，则，由切线的性质得，而是的直径，于，则，可证明，则，因为，所以，即可证明平分； （2）设的半径为，则，可证明，得，则，推导出，则，所以，由勾股定理得，即可求得的半径长为． 【解答】（1）证明：连接，则， ， 与相切于点， ， 是的直径，于， ， ， ， ， ， 平分． （2）解：设的半径为，则， ，， ， 由（1）和， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 的半径长为． 【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、等腰三角形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 24．（2024•九原区校级三模）如图，是的直径，点是上一点，连接并延长，交过点的切线于点，点是弧上一点，连接，，． （1）求证：；（请用两种方法解答） （2）连接，交于点，若垂直平分，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解答； （2）四边形的面积是． 【分析】（1）证明思路一：由切线的性质得，则，由，得，则； 证明思路二：连接，则，由切线的性质得，则，所以，则，因为，所以； （2）连接，由垂直平分，得，，，可证明和都是等边三角形，则是等边三角形，进而证明四边形是菱形，由，得，则，求得，则． 【解答】（1）证明方法一：是的切线，是的直径， ， ， ， ， ， ； 证明方法二：如图1，连接，则， 是的直径，与相切于点， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图2，连接， 垂直平分， ，，， ， ，， 和都是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 四边形的面积是． 【点评】此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 25．（2024•西安校级一模）如图，中，，为上一点，以为圆心，以为半径的与相切于点，交于点，过作的切线，交于点． （1）若，用含的代数式表示； （2）若，，，，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）连接，由切线的性质得到，再由等边对等角得到，则由平角的定义可得； （2）由切线的性质得到，由勾股定理得，证明，由（1）得，再由，可得，如图所示，过点作于，则，证明，求出，则，在中，由勾股定理得． 【解答】解：（1）如图1所示，连接， 是切线， ， ，， ， ； （2）与相切于点， ， 在中，由勾股定理得， 是切线， ， ， 由（1）得， 又， ， 如图2所示，过点作于，则， ， ，即， ， ， 在中，由勾股定理得． 【点评】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，等边对等角等等，解答本题的关键是熟练掌握切线的性质． 26．（2024•昭平县三模）如图，为的直径，，连接，过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）5． 【分析】（1）根据同圆中，等弧相等性质可得，再利用等边对等角及等量代换即可证得从而证得结论． （2）连接，利用直径所对的圆周角是直角结合（1）中平行线的性质可求得，从而得到，根据直角三角形的锐角三角函数的值结合勾股定理即可求得答案． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， ． （2）解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的判定及性质、切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数值及勾股定理解直角三角形的应用，熟练掌握圆周角定理及平行线的判定及锐角三角函数值及勾股定理解直角三角形的应用是解题的关键． 六．切线的判定 27．（2024•灵山县一模）如图，直线经过上的点，并且，，交直线于，，交于点，连接并延长交于． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）的长是2． 【分析】（1）连接，由，，得，即可证明直线是的切线； （2）连接，由，，证明是等边三角形，则，，所以，再证明是等边三角形，则，所以，则，所以，求得，则，，所以． 【解答】（1）证明：连接， ，， ， 是的半径，且， 直线是的切线． （2）解：连接， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长是2． 【点评】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、切线的判定定理、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 七．切线的判定与性质 28．（2024•郸城县模拟）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，图3是其简化图，已知，点在中轴线上运动，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，且．当点按逆时针方向运动到时，与相切，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】连接，则，因为，所以，由切线的性质得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图3，连接，则， ， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查切线的性质定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 29．（2024•襄州区模拟）如图，在中，，交于，两点，为的直径，为的切线，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）详见解答； （2）． 【分析】（1）根据切线的性质，全等三角形的判定和性质以及切线的判定进行解答即可； （2）根据切线的性质，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解答】（1）证明：为的直径，为的切线， ， 即， 在与中， ，，， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：是的切线，是的切线， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 过点作于点，则，， 在中，，， ，， ， ． 【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理以及解直角三角形，掌握切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理以及直角三角形的边角关系、扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 30．（2024•辽宁二模）如图，为直径，，为上的两点，且，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）． 【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，再根据等腰三角形的性质和已知可得，从而可得，然后利用同弧所对的圆周角定理可得，从而可得，进而可得，最后利用平行线的性质即可解答； （2）连接，根据切线的性质、圆周角定理推出，，根据相似三角形的性质求解即可． 【解答】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线与相切； （2）解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的半径为． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键 31．（2024•盐都区三模）如图，在中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，延长交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，时，求的长． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）． 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，从而得出，根据余角的性质得出，即可得出结论； （2）先得出是的切线，根据切线长定理得出，从而得出，根据平行线分线段成比例定理得出，求解即可． 【解答】（1）证明：连接，如图1， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ，， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：如图，连接，，如图2， ， ，为半径， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、平行线分线段成比例定理、切线长定理，熟练掌握以上知识点，正确作出辅助线是解此题的关键． 32．（2024•合江县二模）如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）3． 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，由圆周角定理得出，证出，则可得出结论； （2）设，，证明，由相似三角形的性质得出，求出的长，则可求出答案． 【解答】（1）证明：连接， ， ， ， ， 又是的直径， ， ， ， 即， ， 是半径， 是的切线； （2）解：，且， 设，， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的长为3． 【点评】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与相似三角形的判定和性质是解题的关键． 33．（2024•新宁县校级模拟）如图，在等腰三角形中，，以为直径的与交于点，，垂足为，的延长线与的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）1.6． 【分析】（1）连接，，利用圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用等腰三角形的性质，圆的有关性质和相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】（1）证明：连接，，如图， 为的直径， ， ． ， ． ， 为的中位线， ． ， ． 为的半径， 是的切线； （2）解：的半径为5， ． 由（1）知：， ， ． ， ， ． ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形 的判定与性质，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 34．（2024•秦都区一模）如图，在中，，交于点，是上一点，，平分． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：，， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 35．（2024•邗江区校级三模）如图，、、、四点在上，为的直径，于点，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； 【答案】（1）证明见解答； （2）的长是． 【分析】（1）连接，则，而，所以，则，因为于点，所以，即可证明是的切线； （2）由为的直径，得，因为，所以，则，求得，则，所以． 【解答】（1）证明：连接，则， ， 平分， ， ， ， 于点， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：为的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的长是． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理、直角所对的圆周角是直角、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 36．（2024•惠城区二模）如图，是的直径，点是上的一点，与的延长线交于点，，． （1）求证：是的切线； （2）过点作于点，若的半径为4，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）． 【分析】（1）连接，利用等边对等角求得，，利用三角形内角和定理求得，即可证明是的切线； （2）证明是的中位线，利用，根据扇形面积公式即可求解． 【解答】（1）证明：连接， ， ， ， ， 在 中，由三角形内角和得： ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：由（1）得， 为直角三角形， ，， ，，， ， ，， ，， ， 图中阴影部分的面积为． 【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理的应用等知识点，解答此题的关键是理解过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线． 八．三角形的内切圆与内心 37．（2024•金平区二模）如图，已知中，，，内切圆半径为2，则图中阴影部分面积是 　　． 【答案】． 【分析】设与、、分别相切于点、、，连接、、，可求得，则，再证明四边形是正方形，则，设交于点，交于点，则，可求得，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：设与、、分别相切于点、、，连接、、， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， 半径为2，， ， ，，， ， 四边形是正方形， ， 设交于点，交于点，则， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆的定义和性质、切线的性质定理、切线长定理、正方形的判定与性质、三角形内角和定理、扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 38．（2024•滨州一模）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为 　　． 【答案】． 【分析】连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【解答】解：如图，连接， 点是的内心， 平分， ， ， 点是外接圆的圆心， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 九．正多边形和圆 39．正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论①，②，③，④．其中成立的结论是　　 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】 【分析】先讨论顶角为和的等腰三角形中的黄金分割关系，再在题中的所给图形中分析出顶角为和的等腰三角形，逐个判断即可． 【解答】解：如图1，中，，，平分， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，， ， 由相似得， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点，即，， ， ； 如图2，中，，，， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，，则， 由相似得， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点，即，， ， ； 如图，连接、、、、， 五边形为正五边形，， ， ， ，故①正确； 易证，， 和为相似的等腰三角形， 由图2得，， ，故②正确； 由题得和为相似的等腰三角形， 由图2得，， ， ， ，故③正确； 在中，，， 由图1得，即，故④错误， 故选：． 【点评】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形的相关性质及黄金分割的比例关系，并能准确的计算是本题的解题关键． 40．（2024•河北二模）如图，正五边形中，，连接，点在线段上，连接，，将五边形分成面积为，，，，的五部分，则下列式子不能确定大小的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】当三角形面积一定时，判断不符合题意；利用等高性质判断三角形面积一定，判断出不符合题意；综合和即可判断的正确性；分析动点的变化可判断出符合题意． 【解答】解：由图得，为的面积， 五边形为正五边形， ，， 的面积是能确定的，故不符合题意； 由图得，，即与之间的距离一定， ， 可以确定， 梯形面积一定， 可以确定，故不符合题意； 当和可以确定时，即可以确定，故不符合题意； 由图得，当点靠近点时面积变小， 当点靠近点时面积变大， 的面积不能确定大小，故符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了正多边形的性质，三角形的面加和梯形的面积的变化规律是本题的解题关键． 41．（2024•石家庄模拟）如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接、、，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】求出正五边形的内角度数，由圆的内接四边形对角互补，求出，再利用三角形内角和求出答案即可． 【解答】解：正五边形的内角和为， ， 四边形是圆的内接四边形， ， 在三角形中， ， 故选：． 【点评】本题考查了正多边形与园，正多边形的性质及园的性质的综合应用是本题的解题关键． 42．（2024•定州市三模）如图，从一个边长为2的正六边形铁皮上，剪出一个扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 　　． 【答案】． 【分析】根据正六边形的性质以及等腰三角形的性质求出的度数，再由直角三角形的边角关系求出的长，由弧长公式进行计算即可． 【解答】解：如图，过点作，垂足为， 六边形是正六边形， ，， ， ， 在中，，， ， ， 设圆锥的底面半径为，由题意可得， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，圆锥的侧面展开图，掌握正六边形的性质，弧长的计算方法以及圆锥侧面展开图的特征是正确解答的关键． 43．（2024•抚州一模）如图，小明计划用一张正方形的彩色皮革，剪出一个正六边形的杯垫，正方形的边长为，则裁出的矩形的边的长为 　　． 【答案】． 【分析】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解答】解：如图，是正六边形， ，， ， 在中，， ， 同理， ， 在中，，， ， 同理， ． 故答案为：． 【点评】本题考查正六边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值是正确解答的关键． 44．（2024•城阳区一模）如图，正八边形和正六边形的边长均为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 　　（结果保留 【答案】． 【分析】根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：八边形是正八边形，六边形是正六边形， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正六边形、正八边形的性质，扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 45．（2024•深圳模拟）两个边长为2的正六边形按如图方式放置，则点的坐标是 　，　． 【答案】，． 【分析】根据正六边形的性质和解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：如图，设正六边形的中心为，连接，过作于， 则，， ， ，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键． 一十．弧长的计算 46．（2024•沁水县二模）传送带是一种传送系统，可以运输各种形状的物料．如图，已知某一条传送带转动轮的半径为，如果该转动轮转动了两周后又转过，那么传送带上的物体被传送的距离为（物体始终在传送带上）　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据弧长公式求出答案即可． 【解答】解：传送带上的物体被传送的距离为． 故选：． 【点评】本题考查了弧长的计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式． 47．（2024春•廉江市校级月考）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据直角三角形的性质得到，根据已知条件得到是等边三角形，由等边三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：连接， ，，， ，， 以点为圆心，长为半径画弧，交边于点， 是等边三角形， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质及弧长公式，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 48．如图，在扇形中，，点，均为的三等分点，点为线段上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】作关于的对称弧，点关于的对称点点，连接，，，，则点是的三等分点，根据弧长公式求得，再利用两点之间线段最短及勾股定理即可得解． 【解答】解：作关于的对称弧，点关于的对称点点，连接，，，，则点是的三等分点， ，均为的三等分点，， 且都等于，等于， 等于，， ， 作关于的对称弧，点关于的对称点点， ， 根据两点之间线段最短得当点、、三点共线时，最小，即阴影部分周长的最小， 的最小值， 阴影部分周长的最小值是， 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称最短路径问题和弧长公式以及勾股定理，解题关键是把周长最小问题转化为两点之间，线段最短问题，熟练的运用圆的有关性质和勾股定理是解题的关键． 一十一．扇形面积的计算 49．（2024春•武城县校级月考）如图，将绕点旋转得到△，已知，，则线段扫过的图形面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由于将绕点旋转得到△，可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，再计算其差即可． 【解答】解：如图： ； ； 则． 故选：． 【点评】本题考查扇形面积的计算；旋转的性质，正确记忆相关中水电费是解题关键． 一十二．圆锥的计算 50．（2024•渠县校级三模）如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等，利用扇形面积公式与弧长公式计算即可． 【解答】解：设圆锥的母线长为， ， ， ， ， ， 经检验，是方程的解． 故选：． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，关键是圆锥底面周长和侧面积公式的应用． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$