第24章 圆 培优题突破练习★★★【13个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册

第24章 圆 培优题突破练习★★★【13个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 考点梳理 一．垂径定理 二．圆心角、弧、弦的关系 三．圆周角定理 四．点与圆的位置关系 五．三角形的外接圆与外心 六．切线的性质 七．切线的判定 八．切线的判定与性质 九．三角形的内切圆与内心 一十．圆与圆的位置关系 一十一．正多边形和圆 一十二．弧长的计算 一十三．扇形面积的计算 考点精讲精练 一．垂径定理 · 垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 1．（2014•乌鲁木齐）如图，半径为3的内有一点，，点在上，当最大时，的长等于　　 A． B． C．3 D． 2．（2022•石城县模拟）如图，是的直径，，是半径上的一动点，交于点，在半径上取点，使得，交于点，点，位于两侧，连接交于点，点从点出发沿向终点运动，在整个运动过程中，与的面积和的变化情况是　　 A．一直减小 B．一直不变 C．先变大后变小 D．先变小后变大 3．（2023•龙湾区一模）如图，点为正方形的中心，以的中点为圆心，为半径画弧交的延长线于点．以为边向上作正方形，过点作交于点，取的中点，连结．已知，则的长为　　 A． B． C． D．3 4．（2020•青山区模拟）如图，点是半圆的中点，是直径，弦于点，交于点，若，，则的长为　　 A． B．1 C． D． 5．（2020•浙江自主招生）以为圆心，1为半径的圆内有一定点，过引互相垂直的弦，．求的最大值和最小值． 二．圆心角、弧、弦的关系 · 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 6．（2021•商河县校级模拟）如图，中，弦，垂足为，为的中点，连接、、，交于，过作，垂足为，以下结论：①；②：③：④，其中成立的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2024•榕城区校级三模）如图，在中，，那么　　 A． B． C． D．与的大小关系无法比较 三．圆周角定理 · 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 8．（2022•阳信县模拟）如图，是的直径，点，在上，，，，则的半径为　　 A． B． C． D． 9．（2020•奉化区校级模拟）已知的半径为2，为圆内一定点，．为圆上一动点，以为边作等腰，，，的最大值为　　 A． B． C． D． 10．（2022秋•南浔区期中）如图，已知中，直径于点，点在上，且，过点作于点，已知的周长为，且，则的半径长为　　 A． B． C． D． 11．（2024•西和县二模）如图，是的直径，点、在上，若，则　　度． 12．（2024•金安区校级三模）如图，是的直径，于点，连接，若，，则的半径为 　　． 四．点与圆的位置关系 · 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．13．（2022春•长宁区校级期中）已知：如图，是菱形内一点，，，垂足为点，且，联结． （1）求证：菱形是正方形； （2）当是线段的中点时，求证：点在以为半径的上． 五．三角形的外接圆与外心 · 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 14．（2020秋•城厢区校级期末）如图，内接于，交于点，垂足为点，连接，，，． （1）求的度数； （2）过点作，，垂足分别为点，，若的半径为1，求的值． 15．（2024•昭通一模）如图，为的内接三角形，，垂足为，直径平分，交于点，连结． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）若点为的中点，连结，若点在上，求的值． 16．（2024•镇海区校级开学）已知锐角内接于，于点，于点，交于点，交于点，连结．连结，． （1）直接写出与的数量关系； （2）如图，连结，，在上取点，使得，，求的面积． 六．切线的性质 · 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 17．（2018秋•滨湖区期末）如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，是该直线上的任一点，过点向以为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为　　 A． B． C． D． 18．（2022•郎溪县校级自主招生）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，的圆心为，半径是1，点是直线上的动点，过点作的切线，切点是，则切线长的最小值是　　 A． B． C． D． 19．（2021秋•江岸区校级月考）如图，为的直径，的半径为，点在上，分别与、直线、相切，点在左侧，交于，则的长　　 A．随点的变化而变化 B． C． D． 20．（2022秋•无为市期末）已知：如图是的直径，是弦，直线是过点的的切线，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21．（2022•曲周县模拟）如图，已知等腰三角形的底角为，以为直径的与底边交于点，是的切线，连接， （1）求证：； （2）若，写出求的面积的思路． 七．切线的判定 · 切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 22．（2003•吉林）如图，是的直径，是的弦，过弧的中点作的垂线交的延长线于点．若，，则的直径为　　 A． B． C． D． 23．（2020•港南区一模）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为． （1）求证：为的切线； （2）若，的直径为20，求线段、的长． 八．切线的判定与性质 · 切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 24．（2018•竹溪县模拟）如图，在中，，点在上，以为半径的交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，，求线段的长． 25．（2018•肥城市一模）如图，平行四边形中，以为圆心，为半径的圆交于，交于，延长交圆于． （1）若与相切，试判断与的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若，求． 26．（2021秋•高新区校级月考）在中，，，，点在平分线上，以点为圆心作． （1）如图，当圆心在边上时，求证：与直线相切； （2）当同时与直线、相切时，求的半径． 27．（2018•旌阳区一模）如图，是圆的直径，为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点 （1）判断直线是否为的切线，并说明理由； （2）如果，，求的长． （3）在（2）的条件下，将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好在圆上，如图2，求证：四边形为菱形． 28．（2024•武汉模拟）如图，与外离，是的角平分线，经过点，切于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）过作的切线为切点），交于点，判断与的位置关系，并证明你的结论． 九．三角形的内切圆与内心 · 三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 29．（2024•凉州区二模）如图，是等边三角形的内切圆，半径为，是的切线，的内切圆切于点，半径为，则　　 A． B． C． D． 30．（2022•新河县一模）如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：；乙：四边形的面积为面积的；丙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的是　　 A．只有丙正确 B．只有乙错误 C．乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都正确 31．（2024•金平区二模）如图，已知中，，，内切圆半径为2，则图中阴影部分面积是 　　． 32．（2020秋•东台市月考）如图，是的内心，的平分线和的外接圆相交于点．与相等吗？为什么？ 一十．圆与圆的位置关系 · 圆与圆的位置关系 （1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含． 如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交． （2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系： ①两圆外离⇔d＞R+r； ②两圆外切⇔d＝R+r； ③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）； ④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）； ⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）． 33．（2014•济宁）如图，两个直径分别为和的球，靠在一起放在同一水平面上，组成如图所示的几何体，则该几何体的俯视图的圆心距是　　 A．． B． C． D． 一十一．正多边形和圆 · 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 34．（2022秋•鹿城区校级期中）由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图，则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为　　 A． B． C． D． 35．（2024•深圳模拟）两个边长为2的正六边形按如图方式放置，则点的坐标是 　　． 36．（2024•榆阳区三模）如图，花园边墙上有一边长为的正六边形门，现准备打掉部分墙体，使其变成以为直径的圆弧形门，那么要打掉墙体的总面积是 　　（用表示）． 37．（2024•长春校级二模）两个边长为4的正六边形按如图方式放置在平面直角坐标系中，则点的坐标为 　　． 38．（2024•西湖区校级二模）如图，正六边形与正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为 　　 39．（2024•城阳区一模）如图，正八边形和正六边形的边长均为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 　　（结果保留 40．（2024•烟台）如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 　　． 41．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在边长为的正六边形中，点在上，则点到的距离是 　　． 42．（2024•义乌市模拟）在直角坐标系中，正方形的两边、分别在轴、轴上，点的坐标为、． （1）将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，边交于．求点的坐标； （2）如图，与正方形四边都相切，直线切于点，分别交轴、轴、线段于点、、．求证：平分． （3）若、，为延长线上一动点，过、、三点作，交于．当运动时（不包括点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 一十二．弧长的计算 · 弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 43．（2024•无为市三模）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的弦中点，，在上．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当，时，　　． 一十三．扇形面积的计算 · 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 44．（2023秋•浙江期末）如图，在四边形中，，，，以中点为圆心作弧及弧，动点从点出发沿线段，弧，弧，线段的路线运动，点从点运动到点时，线段扫过的面积为　　 A． B． C． D． 45．（2021•武汉模拟）如图，矩形中．，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 46．（2023秋•大丰区期中）如图，四边形，有，，，以中点为圆心作弧及弧，动点从点出发沿线段，弧，弧，线段的路线运动，点运动到点时，线段扫过的面积为　　 A． B． C． D． 47．如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 　　． 48．（2024•钦南区校级三模）如图、、在上，连接、、，若，劣弧的度数是，．则图中阴影部分的面积是 　　． 49．（2024•松原模拟）如图，在矩形中，，平分交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点．若点为的中点，则图中阴影部分的面积为 　　． 50．（2024•甘肃）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是 　　（结果用表示） 第24章 圆 培优题突破练习★★★【13个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．垂径定理 1．（2014•乌鲁木齐）如图，半径为3的内有一点，，点在上，当最大时，的长等于　　 A． B． C．3 D． 【分析】当时，取得最大值，然后在直角三角形中利用勾股定理求的值即可． 【解答】解：如图所示：、是定值， 时，最大， 在直角三角形中，，， ． 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形．解答此题的关键是找出“当时，最大”这一隐含条件． 2．（2022•石城县模拟）如图，是的直径，，是半径上的一动点，交于点，在半径上取点，使得，交于点，点，位于两侧，连接交于点，点从点出发沿向终点运动，在整个运动过程中，与的面积和的变化情况是　　 A．一直减小 B．一直不变 C．先变大后变小 D．先变小后变大 【分析】连接，，，．设，，，利用分割法求出阴影部分的面积，再求出即可判断； 【解答】解：连接，，，．设，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分割法求面积，属于中考选择题中的压轴题． 3．（2023•龙湾区一模）如图，点为正方形的中心，以的中点为圆心，为半径画弧交的延长线于点．以为边向上作正方形，过点作交于点，取的中点，连结．已知，则的长为　　 A． B． C． D．3 【答案】 【分析】连接，，，，证明，推出，，利用勾股定理求得的长，再先后得到、、的长，利用直角三角形斜边中线的性质求得，利用等腰三角形的判定和性质以及勾股定理即可求解． 【解答】解：连接，，，， 点为正方形的中心， 点在线段上， 四边形是正方形， ，， ，即， ， △△， ，， ，点为的中点， ，， ， ， ， ， ， ， 点是的中点，且， ， 点为的中点，且， ，， 由勾股定理得：，即， 解得：（负值已舍）， 故选：． 【点评】本题考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 4．（2020•青山区模拟）如图，点是半圆的中点，是直径，弦于点，交于点，若，，则的长为　　 A． B．1 C． D． 【分析】如图，连接，，，过点作交的延长线于，设交于．利用全等三角形的性质证明，，设，，构建方程组解决问题即可． 【解答】解：如图，连接，，，过点作交的延长线于，设交于． ， ，， 是直径， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，设．， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 整理得，， 解得或（舍弃）， ， ， 解得或（舍弃）． ， 故选：． 【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 5．（2020•浙江自主招生）以为圆心，1为半径的圆内有一定点，过引互相垂直的弦，．求的最大值和最小值． 【分析】设（定值），过作，，、为垂足，设，，，，由勾股定理得出，，的关系，再由垂径定理和，最后由完全平方公式求得最大值和最小值． 【解答】解：如图，设（定值）， 过作，，、为垂足， 设，，，， 且． 所以， ． 所以． 而． 当时， 最大值． 此时， 当或时，， 此时． 【点评】本题综合考查了垂径定理和勾股定理，以及完全平方公式的应用．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解． 二．圆心角、弧、弦的关系 6．（2021•商河县校级模拟）如图，中，弦，垂足为，为的中点，连接、、，交于，过作，垂足为，以下结论：①；②：③：④，其中成立的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可． 【解答】解：为的中点， ，故①正确， ， ，， ， ，故③错误， ，， ， ，， ， ， ，故②正确， ， ， 的度数的度数， 的度数的度数， ，故④正确， 故选：． 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题． 7．（2024•榕城区校级三模）如图，在中，，那么　　 A． B． C． D．与的大小关系无法比较 【分析】可过作半径于，由垂径定理可知，因此只需比较和的大小即可；易知，在中，是斜边，是直角边，很显然，即，由此可判断出、的大小关系，即可得解． 【解答】解：如图，过作半径于，连接； 由垂径定理知：，； ； 在中，，则； ，即； 故选：． 【点评】能够通过作辅助线，并根据垂径定理和直角三角形的性质判断出和的大小关系，是解答此题的关键． 三．圆周角定理 8．（2022•阳信县模拟）如图，是的直径，点，在上，，，，则的半径为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图延长交于，作交的延长线于，连接、．只要证明是等腰直角三角形，即可推出，再利用勾股定理求出即可解决问题； 【解答】解：如图延长交于，作交的延长线于，连接、． ， ， ， ，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ． 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 9．（2020•奉化区校级模拟）已知的半径为2，为圆内一定点，．为圆上一动点，以为边作等腰，，，的最大值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，．则，，利用相似三角形的性质求出，再根据三角形的三边关系解决问题即可， 【解答】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，．则，， ，都是顶角为的等腰三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的最大值为， 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 10．（2022秋•南浔区期中）如图，已知中，直径于点，点在上，且，过点作于点，已知的周长为，且，则的半径长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设与交于点，延长至，使，连接，，，，可推出，，从而得出点、、、共圆，从而得出，从而得出是等腰三角形，进而求得，然后在中求得半径． 【解答】解：如图， 设与交于点，延长至，使，连接，，，， ， ， ， 直径， ， ，， ，，， ， ， ， ， 点、、、共圆， ， ， ， ， ， 的周长为，， ， ， ， 在中，，， ， ， 设，则， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造整体以及发现特殊性． 11．（2024•西和县二模）如图，是的直径，点、在上，若，则　66　度． 【答案】66． 【分析】由圆周角定理得到，求出，即可得到． 【解答】解：连接， 是的直径， ， ， ， ． 故答案为：66． 【点评】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理得到，． 12．（2024•金安区校级三模）如图，是的直径，于点，连接，若，，则的半径为 　4　． 【答案】4． 【分析】根据圆周角定理得到，证明，推出，再利用，即可解题． 【解答】解：是的直径， ， 于点， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了圆周角定理、平行线的性质和判定、解直角三角形，正确记忆相关知识点是解题关键． 四．点与圆的位置关系 13．（2022春•长宁区校级期中）已知：如图，是菱形内一点，，，垂足为点，且，联结． （1）求证：菱形是正方形； （2）当是线段的中点时，求证：点在以为半径的上． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）证明过程见解答． 【分析】（1）先利用证明，可证得，进而可证明结论； （2）连接，，利用证明可得，进而可证明结论． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， 在和中， ， ， ， ， ， 菱形为正方形； （2）连接，， 四边形为正方形， ，， 为的中点，， 是的垂直平分线， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点在以为半径的上． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，菱形的性质，正方形的判定与性质，证明相关三角形全等是解题的关键． 五．三角形的外接圆与外心 14．（2020秋•城厢区校级期末）如图，内接于，交于点，垂足为点，连接，，，． （1）求的度数； （2）过点作，，垂足分别为点，，若的半径为1，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由圆周角定理可求解，利用直角三角形的性质可求，进而可求解； （2）取的中点，连接，，，，，先证明、、、四点共圆，，，同理可得到，，再利用圆周角定理及直角三角形的性质可求得，即、、三点共线，可得，通过证明，列比例式可求得，由圆周角定理及等腰三角形的性质可求解的长，进而可求解． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， ， ； （2）取的中点，连接，，，，， ， ，， ， ， 、、、四点共圆， ，， 同理可得、、、四点共圆， ，， ，， ， ， ， 、、三点共线， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即的值为． 【点评】本题主要考查圆周角定理，与圆有关的位置关系，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质等知识的综合运用，证明三点共线是解题的关键． 15．（2024•昭通一模）如图，为的内接三角形，，垂足为，直径平分，交于点，连结． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）若点为的中点，连结，若点在上，求的值． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）3； （3）． 【分析】（1）由圆周角定理及直角三角形的性质可得出结论； （2）过点作于点．则，通过证明可得，设，则，利用勾股定理可求解的值，再结合角平分线的性质可求解； （3）证出，过点作于点，证出，由等腰三角形的性质证出，则可得出答案． 【解答】（1）证明：为的直径， ， ， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：如图1，过点作于点．则， ，， ， ， ，， ， ， 即， 设，则， ， ， ， 解得， 即， 平分，， ； （3）解：，为的中点， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， 过点作于点，如图2， 平分， ， ， ， ，， ， ， 又， ， 设，则， ． 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 16．（2024•镇海区校级开学）已知锐角内接于，于点，于点，交于点，交于点，连结．连结，． （1）直接写出与的数量关系； （2）如图，连结，，在上取点，使得，，求的面积． 【答案】（1）； （2）的面积为． 【分析】（1）．连接，证明，进而得是等腰直角三角形，即有，再证明，得，即可证明结论； （2）作，垂足为点，证明，得，则有，由，解得，从而求出、、，即可求出的面积． 【解答】解：（1）连接， 由（1）得， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， ， ， ； （2）作，垂足为点， ， ， ， ， ， ， ， 由①得，， ， ， ， ， 在中， ， ， 整理得， 解得，（不合题意，舍去），，（不合题意，舍去）， 当，， 当，（不满足，舍去）， ，， ， 的面积为． 【点评】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质与判定，三线合一，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，垂径定理，本题的关键是熟练掌握与圆有关的性质，结合相似三角形求出线段的长度从而解决问题． 六．切线的性质 17．（2018秋•滨湖区期末）如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，是该直线上的任一点，过点向以为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，根据直线与轴、轴分别相交于、两点，求得的长，即可得出的半径，证，可得四边形面积，当时，四边形面积的最小，利用锐角三角函数求出的长，即可得出四边形面积的最小值． 【解答】解：如图，连接， 直线与轴、轴分别相交于、两点， 当时，，当时，， ，， ， 过点向以为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为、， ，， ，， ， 的半径为， ， 当时，最小，此时， 四边形面积， 四边形面积的最小值为． 故选：． 【点评】本题考查圆的切线的性质，勾股定理，三角形全等，直线与坐标轴的交点．解题的关键是掌握圆的切线的性质． 18．（2022•郎溪县校级自主招生）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，的圆心为，半径是1，点是直线上的动点，过点作的切线，切点是，则切线长的最小值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由题意，推出的值最小时，的值最小，根据垂线段最短可知，当于时，的值最小． 【解答】解：对于抛物线，令，得到， ， 令，， 解得或， ，，，， 是切线， ， ， ， 的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当于时，的值最小， ，， ， ， ， 的最小值， 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质，二次函数的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 19．（2021秋•江岸区校级月考）如图，为的直径，的半径为，点在上，分别与、直线、相切，点在左侧，交于，则的长　　 A．随点的变化而变化 B． C． D． 【答案】 【分析】连接，，，设，可得出，从而得出． 【解答】解：如图， 连接，，， 设， 、、、内接于， ， 是的直径， ， ，， 分别与、直线、相切， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在中， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆的切线性质，圆周角定理，等腰三角形的判定等知识，解决问题的关键是作辅助线，通过角之间数量关系得出等腰三角形． 20．（2022秋•无为市期末）已知：如图是的直径，是弦，直线是过点的的切线，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得，则可判定，所以，加上，则； （2）利用圆周角定理得，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得的长． 【解答】（1）证明：连接，如图， 为切线， ， 而， ， ， ， ， ； （2）解：为直径， ， 在中，， ． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理． 21．（2022•曲周县模拟）如图，已知等腰三角形的底角为，以为直径的与底边交于点，是的切线，连接， （1）求证：； （2）若，写出求的面积的思路． 【答案】 【分析】（1）连接，求出，推出，即可得出答案； （2）求出、，由中，，的长，得，进而求得由，的长得的面积由，的面积和的面积相等，即可得出的面积． 【解答】（1）证明：连接， 是等腰三角形， ， ， 又， ， ， ， 是的切线， ， ， ； （2）解：连接， 由是直径，得， 由中，，， ，， 由中，， ，， ， 的面积， ， 的面积和的面积相等， 的面积是． 【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，平行线的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 七．切线的判定 22．（2003•吉林）如图，是的直径，是的弦，过弧的中点作的垂线交的延长线于点．若，，则的直径为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，，根据切线的判定可得到是圆的切线，再根据切割线定理及勾股定理求得，的长，利用相似三角形的判定方法得到，根据相似比即可求得直径的长． 【解答】解：连接，， 是的中点， ，， ， 即， 是的切线； 是的割线，，， ， ， ， ； 在与中，， ， ， ； 故选：． 【点评】本题考查的是切线的判定定理，圆周角定理及切割线定理，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答． 23．（2020•港南区一模）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为． （1）求证：为的切线； （2）若，的直径为20，求线段、的长． 【分析】（1）欲证明为的切线，只要证明即可． （2）作于，设，则，在中利用勾股定理列出方程即可解决问题． 【解答】证明：（1）连接． 点在上，， ， ， ， ， 平分， ， ， 是切线． （2）作于， ， 四边形是矩形， ，， ，设，则， ， ， 在中，， ， 解得或0（舍弃）， ，，， ， ． 【点评】本题考查切线的判定，矩形的判定和性质、垂径定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 八．切线的判定与性质 24．（2018•竹溪县模拟）如图，在中，，点在上，以为半径的交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，，求线段的长． 【分析】（1）连接，如图，根据线段垂直平分线的性质得，则，再利用等量代换计算出，则，然后根据切线的判定定理得到结论； （2）作于，如图，则，利用的正弦可计算出，则，，所以，然后利用的余弦计算出，从而得到的长． 【解答】（1）证明：连接，如图， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线是的切线； （2）解：作于，如图，则， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 线段的长为． 【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了等腰三角形的性质． 25．（2018•肥城市一模）如图，平行四边形中，以为圆心，为半径的圆交于，交于，延长交圆于． （1）若与相切，试判断与的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若，求． 【分析】（1）连接，由角的等量关系可以证出，然后证明得到， （2）由（1）知，根据角间的等量关系，解出，继而求出的值． 【解答】解：（1）结论：与相切．理由如下： 连接． 点、在圆上， ． 四边形是平行四边形， ． ，． ， ． ． 在和中， ， ． ． 与相切， ． ． ． 与相切． （2），四边形是平行四边形， ，，．（5分） ， ． ． ． ． ．（6分） 【点评】本题考查了切线的判定，全等三角形判定和平行四边形的性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 26．（2021秋•高新区校级月考）在中，，，，点在平分线上，以点为圆心作． （1）如图，当圆心在边上时，求证：与直线相切； （2）当同时与直线、相切时，求的半径． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）1或3． 【分析】（1）过点作垂直，根据角平分线的性质得到，从而证明与直线相切； （2）根据题意可分为两种情况：①当圆心在内部，即分别与直线、相切时，②当圆心在外部，分别与直线、相切时．再根据面积法分情况进行求解即可． 【解答】证明：（1）如图，过点作垂直，交于点， ，，， ，即， ， ， 平分，，， ， 与直线相切． （2）如图，当同时与直线、相切时，点在或的角平分线上存在两种情况： ①当圆心在内部，即分别与直线、相切时， ，，，， ， ， ②当圆心在外部，分别与直线、相切时， ，，，， ， ， 综上，的半径为1或3． 【点评】本题考查切线的判定与性质、勾股定理的逆定理及直线与圆的位置关系，此类题中涉及到动点，则需要数形结合分情况进行讨论． 27．（2018•旌阳区一模）如图，是圆的直径，为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点 （1）判断直线是否为的切线，并说明理由； （2）如果，，求的长． （3）在（2）的条件下，将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好在圆上，如图2，求证：四边形为菱形． 【分析】（1）连接，由是圆的直径可得，进而求得，即可得出直线为的切线； （2）根据是的切线，则，即可求得，再由为的切线，得，根据三角函数的定义求得，由勾股定理得，即可得出； （3）根据题意可证得，由是圆的直径，得，设，则可表示出，，由圆内接四边形的性质得出的值，可得出是等边三角形．进而证出四边形为菱形． 【解答】（1）解：直线为的切线 证明：如图1，连接，是圆的直径， ， 又， ， ，即 点在上，直线为的切线． （2）解：是的切线， ， 为的切线， 在中，， ，解得 （3）（方法一）证明：如图2，依题意得：， 是圆的直径 设，则， 四边形内接于， 即，解得 、是的切线，， ，是等边三角形． 又 是等边三角形． ，四边形为菱形 （方法二）证明：如图3，依题意得：，， ，，， ， 为切线 四边形为平行四边形 、为切线 四边形为菱形 【点评】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大． 28．（2024•武汉模拟）如图，与外离，是的角平分线，经过点，切于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）过作的切线为切点），交于点，判断与的位置关系，并证明你的结论． 【分析】（1）连接，作，垂足为，利用角平分线性质只要证明即可． （2）利用相似三角形性质只要证明即可． 【解答】（1）证明：连接，作，垂足为． 是切线， ， 平分， ， 是的切线． （2）结论：，理由如下， 连接，，， ，是切线， ，， ， ，，， ， ， △△， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线的判定、角平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型． 九．三角形的内切圆与内心 29．（2024•凉州区二模）如图，是等边三角形的内切圆，半径为，是的切线，的内切圆切于点，半径为，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用切线长的关系求出，构造矩形，则，把放在中求，再求比值． 【解答】解：设与、的切点分别是、，与、的切点分别是、，连接、、、、、，过作垂直于，垂足为，则，，，，，，， ，，， 是的角平分线， ，，， 在上， 中，， ①， 中，， ②， ②①得， ， ， 四边形是矩形， ，， 中，，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了切线长定理，构造矩形，把转移到是关键． 30．（2022•新河县一模）如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：；乙：四边形的面积为面积的；丙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的是　　 A．只有丙正确 B．只有乙错误 C．乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都正确 【答案】 【分析】过点作，于点，，根据三角形内心可得，然后证明，可得；连接，根据，可得四边形的面积，根据点的位置固定，可得四边形的面积是定值，根据，，可得的形状不固定，三角形的面积也不固定，进而可以进行判断；过点作于点，根据，，可得，，所以的周长，可得当最小时，即当时，的周长最小值，进而可得结论． 【解答】解：如图，连接，过点作，于点，， 点为的内心， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 当作点关于的对称点，连接，此时，但是，， 所以，故甲的判断不一定正确； ， 四边形的面积， 点的位置固定， 四边形的面积是定值， ，， 的形状不固定，三角形的面积也不固定，故乙的判断错误； 如图，过点作于点， ，， ， ， 的周长， 当最小时，即当时，的周长取得最小值， 此时， ， ， 是等边三角形， ， 当时，的周长有最小值，故丙的判断正确． 综上所述：说法正确的是丙． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，等腰三角形的判定，圆周角定理，轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握三角形内心定义． 31．（2024•金平区二模）如图，已知中，，，内切圆半径为2，则图中阴影部分面积是 　　． 【答案】． 【分析】设与、、分别相切于点、、，连接、、，可求得，则，再证明四边形是正方形，则，设交于点，交于点，则，可求得，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：设与、、分别相切于点、、，连接、、， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， 半径为2，， ， ，，， ， 四边形是正方形， ， 设交于点，交于点，则， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆的定义和性质、切线的性质定理、切线长定理、正方形的判定与性质、三角形内角和定理、扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 32．（2020秋•东台市月考）如图，是的内心，的平分线和的外接圆相交于点．与相等吗？为什么？ 【分析】首先连接，由是的内心，可得，，又由圆周角定理，可证得，继而可证得，则可证得结论． 【解答】解：． 理由：连接， 是的内心， ，， ， ， ，， ， ． 【点评】此题考查了三角形内心的性质、等腰三角形的判定以及圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 一十．圆与圆的位置关系 33．（2014•济宁）如图，两个直径分别为和的球，靠在一起放在同一水平面上，组成如图所示的几何体，则该几何体的俯视图的圆心距是　　 A．． B． C． D． 【答案】 【分析】根据两球相切，可得球心距，根据两圆相切，可得圆心距是半径的和，根据勾股定理，可得答案． 【解答】解：球心距是， 两球半径之差是， 俯视图的圆心距是， 故选：． 【点评】本题考查了圆和圆的位置关系，利用勾股定理是解题关键． 一十一．正多边形和圆 34．（2022秋•鹿城区校级期中）由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图，则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正多边形的性质求得中心角和多边形的内角，设正八边形的边长为，通过直角三角形的性质，菱形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，用表示出菱形与八边形的面积，进而求得结果便可． 【解答】解：过图2中菱形的顶点作于，设图3中正八边形的中心点为点，一边为，连接、，过点作于， 设正八边形的边长为，则， 由正八边形的性质可得，，， ， ， ， ， 空白部分面积的面积为， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 正八边形的面积为：， 阴影部分的面积为：， 阴影部分面积与空白部分面积之比为． 故选：． 【点评】本题主要考查了正多边形的性质，菱形的性质，关键是正确构造直角三角形，用正多边形的边长表示出各部分的面积． 35．（2024•深圳模拟）两个边长为2的正六边形按如图方式放置，则点的坐标是 　，　． 【答案】，． 【分析】根据正六边形的性质和解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：如图，设正六边形的中心为，连接，过作于， 则，， ， ，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键． 36．（2024•榆阳区三模）如图，花园边墙上有一边长为的正六边形门，现准备打掉部分墙体，使其变成以为直径的圆弧形门，那么要打掉墙体的总面积是 　　（用表示）． 【答案】． 【分析】根据正六边形的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的边角关系，扇形面积的计算方法求出弓形的面积，再计算弓形面积的5倍即可． 【解答】解：如图，设正六边形的中心为，连接，，过点作于， 六边形是正六边形， ，， ， 是正三角形， ，， 在中，，， ， ， 要打掉墙体的总面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 37．（2024•长春校级二模）两个边长为4的正六边形按如图方式放置在平面直角坐标系中，则点的坐标为 　　． 【答案】，8．． 【分析】先求出是顶角为的等腰三角形，据此求出、即可得到点的坐标． 【解答】解：如图示标注点、、， 正六边形每个内角为， ， 是顶角为的等腰直角三角形， ， 在中，， ， 点到轴的距离为， ，8．． 故答案为：，8．． 【点评】本题考查了顶角为的等腰三角形的性质，坐标与图形的性质，通过解直角三角形求得、的长度是关键． 38．（2024•西湖区校级二模）如图，正六边形与正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为 　　 【答案】． 【分析】根据圆内接正方形，圆内接正六边形的性质求出其中心角的度数，再根据圆周角定理进行计算即可． 【解答】解：如图，连接，，， 正方形是的内接正方形， ， 正六边形是的正六边形， ， ， 弦所对圆周角的度数为． 故答案为：． 【点评】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，掌握圆内接正方形，圆内接正六边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键． 39．（2024•城阳区一模）如图，正八边形和正六边形的边长均为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 　　（结果保留 【答案】． 【分析】根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：八边形是正八边形，六边形是正六边形， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正六边形、正八边形的性质，扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 40．（2024•烟台）如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 　　． 【答案】． 【分析】根据正六边形的性质求出阴影部分扇形的圆心角度数，再根据直角三角形的边角关系求出半径，由弧长的计算方法进行计算即可． 【解答】解：如图，过点作，垂足为，则， 六边形是正六边形， ，， ， ， 在中，，， ， ， 设这个圆锥的底面半径为，由题意可得， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质以及弧长的计算方法是正确解答的关键． 41．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在边长为的正六边形中，点在上，则点到的距离是 　　． 【答案】． 【分析】连接，，过点作于，证明，求出的面积即可解答． 【解答】解：连接，，过点作于， 是正六边形， ，，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， 点到的距离为：， 故答案为：． 【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 42．（2024•义乌市模拟）在直角坐标系中，正方形的两边、分别在轴、轴上，点的坐标为、． （1）将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，边交于．求点的坐标； （2）如图，与正方形四边都相切，直线切于点，分别交轴、轴、线段于点、、．求证：平分． （3）若、，为延长线上一动点，过、、三点作，交于．当运动时（不包括点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 【分析】（1）求出旋转角、的度数为，进而求出的度数，再利用三角函数求出点坐标； （2）由切线长定理证得，由切线长定理或其他方法证得，平分； （3）在上取点，使，构造出全等三角形，判断出为等腰直角三角形， 求得为定值． 【解答】解：（1）连接， ，由轴对称可得， 又， ， ； （2）， ， 根据切线长定理，， ， 由切线长定理， 平分． （3）的值是定值为， 在上取点，使，即， ， ， 、，、， ； 又， ， ， ， ； 又，， ， 为等腰直角三角形， ． 【点评】（1）此题不仅要熟悉旋转角，还要知道旋转不变性，并联系特殊三角形用勾股定理解答； （2）运用切割线定理是解答此题的关键； （3）构造全等三角形，比作辅助线难度要大，但确是一种有效的解题方法． 一十二．弧长的计算 43．（2024•无为市三模）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的弦中点，，在上．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当，时，　　． 【答案】． 【分析】连接，根据垂径定理，知，设圆的半径为，根据勾股定理求出，计算求出答案． 【解答】解：连接，如图： 是的弦中点，， ， ，，共线， ， ， 设圆的半径为，则， 在中，根据勾股定理， 得， 即， 解得， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查弧长的计算，垂径定理和勾股定理，解题的关键是读懂题意，作出辅助线求的长度． 一十三．扇形面积的计算 44．（2023秋•浙江期末）如图，在四边形中，，，，以中点为圆心作弧及弧，动点从点出发沿线段，弧，弧，线段的路线运动，点从点运动到点时，线段扫过的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图，连接，，，交于点．线段扫过的面积． 【解答】解：如图，连接，，，交于点． 由题意，， ，都是等边三角形， ，， ，， ， 由题意，线段扫过的面积． 故选：． 【点评】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是判断出，都是等边三角形． 45．（2021•武汉模拟）如图，矩形中．，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图，连接．解直角三角形求出、，的度数，再根据计算即可； 【解答】解：如图，连接． 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查矩形的性质、扇形的面积公式、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用分割法求阴影部分的面积． 46．（2023秋•大丰区期中）如图，四边形，有，，，以中点为圆心作弧及弧，动点从点出发沿线段，弧，弧，线段的路线运动，点运动到点时，线段扫过的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图，连接，，，交于点．线段扫过的面积． 【解答】解：如图，连接，，，交于点． 由题意，， ，都是等边三角形， ，， ，， ， 由题意，线段扫过的面积． 故选：． 【点评】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是判断出，都是等边三角形． 47．如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 　　． 【答案】． 【分析】用扇形的面积减去的面积即可解决问题． 【解答】解：由题知， ， 点，分别是，的中点， ， ， 花窗的面积为 故答案为：． 【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 48．（2024•钦南区校级三模）如图、、在上，连接、、，若，劣弧的度数是，．则图中阴影部分的面积是 　　． 【答案】． 【分析】先求出，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，解直角三角形求出长，再分别求出扇形和的面积即可． 【解答】解：，劣弧的度数是， ，，， ， ， ， ， 解得：， 阴影部分的面积 ， 故答案为：． 【点评】本题考查了扇形的面积计算，解直角三角形和等腰三角形的性质等知识点，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：圆心角为，半径为的扇形面积． 49．（2024•松原模拟）如图，在矩形中，，平分交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点．若点为的中点，则图中阴影部分的面积为 　　． 【答案】． 【分析】利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出，的长以及的度数，进而利用图中阴影部分的面积，求出答案． 【解答】解：在矩形中，，平分交于点， ，， ， ，， 点是的中点， ， 图中阴影部分的面积 ， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，正确得出的长以及的度数是解题关键． 50．（2024•甘肃）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是 　　（结果用表示） 【答案】． 【分析】利用扇形面积公式，根据即可求解． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$