第23章 旋转 基础题过关检测★【9个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册

第23章 旋转 基础题过关检测★【9个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 考点梳理 一．利用轴对称设计图案 二．利用平移设计图案 三．旋转的性质 四．中心对称 五．中心对称图形 六．关于原点对称的点的坐标 七．坐标与图形变化−旋转 八．作图−旋转变换 九．利用旋转设计图案 考点精讲精练 一．利用轴对称设计图案 · 利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 1．（2023秋•招远市期中）利用一条线段、一个圆、一个正三角形设计一个轴对称图案，并说明你所要表达的含义． 二．利用平移设计图案 · 利用平移设计图案 确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案． 通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 2．（2024春•闽侯县期末）下列图案中，可以看作由“基本图案”通过平移得到的是　　 A． B． C． D． 3．下列图形中，能通过如图平移得到的是　　 A． B． C． D． 三．旋转的性质 · 旋转的性质 （1）旋转的性质： ①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 4．（2024•张家港市模拟）如图，将绕点逆时针旋转一定的度数，得到．若点在线段的延长线上，若，则旋转的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2024•临高县一模）如图，正方形的边长为4，，点是直线上一个动点，连接，线段绕点顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值等于　　 A． B． C． D． 6．（2024春•高新区期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，点恰好落在边上，与交于点且与不平行，下列说法错误的是　　 A． B． C． D． 7．（2024•武威三模）如图所示，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则等于　　 A．3 B．4 C．6 D．9 8．（2024•滨海新区二模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到△，点，的对应点分别是，，边经过点，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 9．（2024•西秀区二模）如图，在中，，将在平面内绕点逆时针旋转到△的位置，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 10．（2024春•榆阳区月考）如图，为等边三角形内部一点，连接、、，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②；③点到的距离为3；④直线与直线相交所形成的锐角是，其中所有正确的结论有　　 A．3个 B．1个 C．2个 D．4个 11．（2023秋•平泉市期末）如图，将绕点顺时针旋转，得到，若点恰好在的延长线上，则的度数为　　 A． B． C． D． 12．（2024•武威三模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是　　（用含的代数式表示） A． B． C． D． 13．（2024春•荥阳市期末）将一副三角板如图放置（其中，且，，在保持不动的前提下，绕点旋转，当时，的度数为 　　． 14．（2024•普陀区二模）如图，在中，，，点，分别为、的中点，将绕着点顺时针旋转，得到△，当，，在同一直线上时，则的长为 　　． 15．（2024春•临川区校级月考）如图，在中，已知，，，将绕点逆时针旋转得到，点与点对应，点与点对应，且，，三点恰好在同一条直线上，则的长为 　　． 16．（2024•武威三模）如图，在中，，，，点是的中点，将绕着点逆时针旋转，在旋转的过程中点的对应点为点，连接、，则面积的最小值是 　　． 17．（2024春•赣榆区校级月考）如图，在中，，，，对角线与交于点，将直线绕点按顺时针方向旋转，分别交、于点、，则四边形周长的最小值是 　　． 18．（2024•海州区二模）如图，在中，，，，点在线段上运动（含、两点）．连接，以点为中心，将线段逆时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值为 　　． 19．（2024•东昌府区校级三模）将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起，点在直线的上方，旋转三角尺，当三角尺有一条边与斜边平行时，的度数为 　　 20．（2024•西安校级二模）如图，将绕点顺时针旋转得到，此时点，，恰好在同一条直线上，延长交于点．若，，则的长为 　　． 21．（2024春•柴桑区月考）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，当为直角三角形时，的长为 　　． 22．（2023秋•汕尾期末）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到△，若，则的度数是 　　． 23．（2024•潮阳区模拟）如图，在菱形中，，，点在边上，绕点顺时针旋转，点落在延长线上的点处，连接交于点，则　　；若点是的中点，则的长等于 　　． 24．（2021秋•雷州市校级期末）在中，，，，将以为旋转中心顺时针旋转得到．连接，求的长． 25．（2021秋•定远县期末）如图，已知中，，，将绕点顺时针旋转得到，求证：． 26．（2022秋•兴隆台区校级期中）如图，将正方形中的绕点顺时针旋转到的位置，且，． （1）求的长； （2）连，若，求的度数． 四．中心对称 · 中心对称 （1）中心对称的定义 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． （2）中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合； ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 27．（2024•民权县三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，，，都是平行四边形的顶点，点，，，在轴的正半轴上，；，平行四边形按此规律依次排列，则第8个平行四边形对称中心的坐标是　　 A． B． C． D． 28．（2024春•蓝田县期中）如图所示，四边形中，，，连接交的延长线于点，请证明与关于点中心对称． 五．中心对称图形 · 中心对称图形 （1）定义 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 29．（2024•麒麟区一模）下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是　　 A．航天神州 B．中国行星探测 C．中国火箭 D．中国探月 30．（2024春•亭湖区校级期中）如图图案是我国传统文化中的“福禄寿喜”图，其中中心对称图形是　　 A． B． C． D． 31．（2024春•大余县月考）如图，在的方格中，有3个被涂黑的小正方形．若在其余空白的小正方形中选择1个涂黑，使涂黑的小正方形组成的新图形是中心对称图形，则可选择的小正方形有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 32．（2024春•南京期末）下列函数：①；②；③；④，其图象是中心对称图形的是　　 A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 33．（2024•麦积区三模）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 六．关于原点对称的点的坐标 · 关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 34．（2024春•西安期中）在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，求代数式的值． 七．坐标与图形变化−旋转 · 坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 35．（2024•南阳二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标是　　 A． B． C． D． 36．（2024•钢城区一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在方格线的格点上，将三角形绕点旋转，得到△，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 37．（2024•新宁县一模）如图，线段与线段关于点对称，若点、、，则点的坐标为 　　． 38．（2024春•沭阳县月考）如图，平面直角坐标系中，△是边长为2的等边三角形，作△与△关于点成中心对称，再作△与△关于点成中心对称，如此作下去，则△是正整数）的顶点的坐标是 　　，　　 39．（2024•泸州）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点，按照变换后得到点的坐标为 　　． 八．作图−旋转变换 · 作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 40．（2021秋•雁峰区期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到△，请画出△； （2）以边的中点为旋转中心，将旋转，得到△，请画出△． 41．（2022春•天元区期中）作图题（保留作图痕迹），画出关点成中心对称的图形． 42．（2023秋•肇源县期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，点、、的坐标分别为，，请解答下列问题： （1）与△关于原点成中心对称，画出△，直接写出，，的坐标； （2）画出向右平移5个单位长度后得到的△． 43．（2023春•宣汉县期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将沿轴方向向下平移4个单位长度得到△，画出△并直接写出点坐标； （2）将绕着点逆时针旋转，画出旋转后得到的△； （3）直接写出点，的坐标． 44．（2023春•铁西区期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到△，请画出△； （2）以边的中点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到△，请画出△； （3）线段的长为 　　． 45．（2023•达州模拟）在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一个格点， （1）求出的边长，并判断的形状； （2）作出关于点的中心对称图形△；作出绕点按顺时针方向旋转后得到的图形△； （3）△可能由△怎样变换得到？　　（写出你认为正确的一种即可）． 46．（2023•雨山区校级一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将向上平移7个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到△，请画出△； （2）以为旋转中心，将逆时针旋转，得到△，请画出△． 九．利用旋转设计图案 · 利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 47．（2024•河北三模）如图，三个完全相同的四边形组成的图案绕点旋转可以和原图形重合，则旋转角可以是　　 A． B． C． D． 48．（2024•临洮县二模）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为 　　． 49．（2024•榆社县模拟）同学们利用几何画图软件开展了“图案设计”项目式学习，下面是三位同学在的正方形网格中设计的三种不同图案的一部分，请将图1中的图案补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，将图2中的图案补成中心对称图形，在图3中设计一个图案，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形． 50．（2023秋•陵城区期中）按照要求画图： （1）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，将绕原点顺时针旋转得到△，点，，的对应点为，，画出旋转后的△． （2）下面是网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）． 第23章 旋转 基础题过关检测★【9个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．利用轴对称设计图案 1．（2023秋•招远市期中）利用一条线段、一个圆、一个正三角形设计一个轴对称图案，并说明你所要表达的含义． 【分析】根据轴对称轴图形的定义，画出图形即可． 【解答】解：如图所示： ， 此图形可以代表一个电灯泡． 【点评】本题考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质解题的关键． 二．利用平移设计图案 2．（2024春•闽侯县期末）下列图案中，可以看作由“基本图案”通过平移得到的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案． 【解答】解：根据平移的概念，观察图形可知图案通过平移后可以得到． 故选：． 【点评】本题主要考查利用平移设计图案，解答本题的关键是熟练掌握平移的性质． 3．下列图形中，能通过如图平移得到的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平移变换的性质判断即可． 【解答】解：能得到是选项． 故选：． 【点评】本题考查利用平移设计图案，解题的关键是掌握平移变换的性质． 三．旋转的性质 4．（2024•张家港市模拟）如图，将绕点逆时针旋转一定的度数，得到．若点在线段的延长线上，若，则旋转的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先由旋转的性质得到，再根据等腰三角形的性质解答即可． 【解答】解：由旋转的性质可知， ， ， 故旋转的度数为， 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求出． 5．（2024•临高县一模）如图，正方形的边长为4，，点是直线上一个动点，连接，线段绕点顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】当，，三点共线时，最小，此时与重合，求出即可解答． 【解答】解：连接，在上取， ， ， ，， ， 为定值，为定角， 在定直线上运动， 当于时，最小， 此时， ， ， 故选：． 【点评】本题考查旋转的性质，正方形的性质，确定何时最小是解题关键． 6．（2024春•高新区期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，点恰好落在边上，与交于点且与不平行，下列说法错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由旋转得，，，，则，，，即可判断，，选项；根据已知条件不能得出，即可判断选项． 【解答】解：由旋转得，， 故选项正确，不符合题意； 由旋转得，， ， ， 故选项正确，不符合题意； 由旋转得，， ， ， 故选项正确，不符合题意； 根据已知条件不能得出， 故选项不正确，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 7．（2024•武威三模）如图所示，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则等于　　 A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得． 【解答】解：绕点顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 8．（2024•滨海新区二模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到△，点，的对应点分别是，，边经过点，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由旋转的性质可得，，，由外角的性质和等腰三角形的性质可得． 【解答】解：将绕点逆时针旋转得到△， ，，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 9．（2024•西秀区二模）如图，在中，，将在平面内绕点逆时针旋转到△的位置，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由旋转得，，则．根据平行线的性质可得，进而可得答案． 【解答】解：由旋转得，， ． ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查旋转的性质、平行线的性质，熟练掌握旋转的性质、平行线的性质是解答本题的关键． 10．（2024春•榆阳区月考）如图，为等边三角形内部一点，连接、、，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②；③点到的距离为3；④直线与直线相交所形成的锐角是，其中所有正确的结论有　　 A．3个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】 【分析】连接，延长交与，根据旋转的性质得，，可判断为等边三角形，由为等边三角形等到，，把逆时针旋转后，与重合，与重合可对①进行判断；根据勾股定理的逆定理得到△为直角三角形，于是可对②③进行判断；由角的数量关系可求出则可对④进行判断． 【解答】解：如图：连接，延长交与， 线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段， ，， 为等边三角形， 为等边三角形， ，， 把逆时针旋转后，与重合，与重合， 可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确； ，， ， ， ， △为直角三角形， ， ，， ，故②错误； ， ， 点到的距离为3，故③正确； ， ， ，故④正确． 综上：①③④正确． 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 11．（2023秋•平泉市期末）如图，将绕点顺时针旋转，得到，若点恰好在的延长线上，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由将绕点顺时针旋转，得到，可知，，，即可得，故． 【解答】解：将绕点顺时针旋转，得到， ，，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查三角形的旋转问题，涉及等腰三角形性质及应用，解题的关键是掌握旋转的性质． 12．（2024•武威三模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是　　（用含的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由旋转的性质可知，，，，，因为，所以，，由三角形内角和求出的度数，进而得到的度数．再由三角形内角和定理求出的度数即可． 【解答】解：由旋转的性质可知，，，，， ， ，， ， ． ． ． 故选：． 【点评】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出和的角度是解题关键． 13．（2024春•荥阳市期末）将一副三角板如图放置（其中，且，，在保持不动的前提下，绕点旋转，当时，的度数为 　或．　． 【答案】或． 【分析】当时，有两种可能，①在点和之间．②点在和的之间． 【解答】解：当时，有两种可能， ①在点和之间． 延长交于， ， ， ， ， ， ． ②延长交于． ， ， ， ， ， ． 或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了图形旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理．关键是分类讨论，不能漏解． 14．（2024•普陀区二模）如图，在中，，，点，分别为、的中点，将绕着点顺时针旋转，得到△，当，，在同一直线上时，则的长为 　或　． 【答案】或． 【分析】根据中位线的性质可求出的长，进而得出的长，再根据，，在一条直线上结合勾股定理求出的长即可解决问题． 【解答】解：当，在上方时，如图所示， 点，分别为、的中点， 是的中位线， ，， ． 点是中点， ． 由旋转可知， ，，． 又点，，在同一直线上， 则在△中， ， ． 当，在下方时，如图所示， 同理可得，． 故答案为：或． 【点评】本题考查旋转的性质及三角形中位线定理，熟知图形旋转的性质及三角形中位线定理是解题的关键． 15．（2024春•临川区校级月考）如图，在中，已知，，，将绕点逆时针旋转得到，点与点对应，点与点对应，且，，三点恰好在同一条直线上，则的长为 　4　． 【答案】4． 【分析】首先根据旋转的性质得到，然后根据全等三角形的性质得到是等腰直角三角形，进而可求出的长度，然后根据勾股定理求出的长度，即可求出的长度． 【解答】解：连接， 将绕点逆时针旋转得到，则， ，， ，， ，，三点恰好在同一条直线上，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 故答案为：4． 【点评】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是根据旋转的性质得到是等腰直角三角形进而求出的长度． 16．（2024•武威三模）如图，在中，，，，点是的中点，将绕着点逆时针旋转，在旋转的过程中点的对应点为点，连接、，则面积的最小值是 　1　． 【答案】1． 【分析】作于，如图，先利用勾股定理计算出，再利用面积法计算出，再根据旋转的性质得，然后利用点点在上，点到的距离最小，即可求面积的最小值． 【解答】解：如图，作于， ，，， ， ， ， 点是的中点， ， 将绕着点逆时针旋转，在旋转过程中点的对应点为点， ，即点在以为圆心，2为半径的圆上， 点在的上，点到的距离最小， 最小值为：， 故答案为：1． 【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的面积，勾股定理，关键是确定点的运动轨迹． 17．（2024春•赣榆区校级月考）如图，在中，，，，对角线与交于点，将直线绕点按顺时针方向旋转，分别交、于点、，则四边形周长的最小值是 　12　． 【答案】12． 【分析】根据平行四边形的性质可得可得，进而确定当取最小值时，四边形周长的最小，即；然后求得取最小值即可解答． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形周长为， 当取最小值时，四边形周长的最小，即， 如图：过点作，即的长为的最小值， ， ，即的最小值为2， 四边形周长的最小值为． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形判定与性质、直角三角形的性质等知识点，确定四边形周长取最小值时点、的位置成为解题的关键． 18．（2024•海州区二模）如图，在中，，，，点在线段上运动（含、两点）．连接，以点为中心，将线段逆时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】在上取点，使，作射线交于点，过点作于，证明，得，，可得是等边三角形，即得，，由，，可得，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为． 【解答】解：在上取点，使，作射线交于点，过点作于，如图： ，， 是等边三角形， ，， 线段逆时针旋转得到， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 点在射线上运动， ， ， ，， ， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查平行四边形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点的在射线上运动，属于中考填空题中的压轴题． 19．（2024•东昌府区校级三模）将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起，点在直线的上方，旋转三角尺，当三角尺有一条边与斜边平行时，的度数为 　或或　 【答案】或或． 【分析】分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题． 【解答】解：有三种情形：①如图1中，当时，延长交于点， ， ； ②如图2中，当时，延长交于点 ； ③如图3中，当时， ， ， 综上所述，满足条件的的度数为或或． 故答案为：或或． 【点评】本题考查旋转的性质、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 20．（2024•西安校级二模）如图，将绕点顺时针旋转得到，此时点，，恰好在同一条直线上，延长交于点．若，，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】在上取一点，使，利用平行四边形的性质可得，从而可得，再根据旋转的性质可得得：，，，从而可得，进而利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，先利用平角定义求出，再利用含30度角的直角三角形的性质求出，的长，最后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，从而利用三角形的外角性质可得，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出，的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：如图：在上取一点，使， 四边形是平行四边形， ， ， 由旋转得：，，， ， ， ， 在中，， ，， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．（2024春•柴桑区月考）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，当为直角三角形时，的长为 　或或6　． 【答案】或或6． 【分析】根据题意画出示意图，结合所画图形利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：当时，且点在上方时，如图所示， 过点作的垂线，垂足为， 在中， ， ． 由旋转可知， ， ， ， ， 则， ， ，． 在中， ． 当点在下方时， 同理可得， ，， ． 当时，如图所示， ，， ． ， ． 综上所述，的长为：或或6． 故答案为：或或6． 【点评】本题考查旋转的性质及勾股定理，能根据直角顶点进行分类并画出相应的示意图是解题的关键． 22．（2023秋•汕尾期末）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到△，若，则的度数是 　　． 【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可． 【解答】解：将绕点按逆时针方向旋转后得到△， ，， ， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出，是解题关键． 23．（2024•潮阳区模拟）如图，在菱形中，，，点在边上，绕点顺时针旋转，点落在延长线上的点处，连接交于点，则　60　；若点是的中点，则的长等于 　　． 【答案】60，3． 【分析】①证明是等边三角形即可； ②证明，利用相似比求出，即可得出结果． 【解答】解：①绕点顺时针旋转， ，， 是等边三角形， ； ②四边形是菱形，， ，是等边三角形， ， 又①中证明， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：60，3． 【点评】本题主要考查图形的变换，利用旋转的性质证明等边三角形和相似三角形是解题的关键． 24．（2021秋•雷州市校级期末）在中，，，，将以为旋转中心顺时针旋转得到．连接，求的长． 【分析】在中，利用勾股定理求出长，根据旋转的性质可知是等腰直角三角形，由此可求值． 【解答】解：在中，根据勾股定理可得 ． 根据旋转的性质可知，， ． 【点评】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决旋转问题要找准旋转角、以及旋转后的对应线段． 25．（2021秋•定远县期末）如图，已知中，，，将绕点顺时针旋转得到，求证：． 【答案】见解析． 【分析】由特殊角的性质可得，再由旋转的性质可得是等边三角形，即可推出结论． 【解答】证明：在中，，， ， ， 将绕点顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ． 【点评】本题考查了旋转的性质，含角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解题的关键． 26．（2022秋•兴隆台区校级期中）如图，将正方形中的绕点顺时针旋转到的位置，且，． （1）求的长； （2）连，若，求的度数． 【分析】（1）根据正方形的性质得到，再根据旋转的性质得，，则为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解； （2）首先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，求得，然后根据是等腰直角三角形，求得的度数，则即可求得． 【解答】解：（1）四边形为正方形， ， 绕点顺时针方向旋转能与重合， ，， 为等腰直角三角形， ； （2）， 又，即， 是直角三角形，， 又是等腰直角三角形， ， ， ． 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形与等腰直角三角形性质． 四．中心对称 27．（2024•民权县三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，，，都是平行四边形的顶点，点，，，在轴的正半轴上，；，平行四边形按此规律依次排列，则第8个平行四边形对称中心的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先求出前几个点的坐标，找到规律第个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解． 【解答】解：如图所示，连接轴于点，10 ， 又， ，重合， 则的中点即为所第1个平行四边形的对称中心，其坐标为； 同理可得，，，则的中点坐标即第2个平行四边形的对称中心坐标为 同理可得第3个平行四边形的对称中心坐标为 同理可得第个平行四边形的对称中心坐标为 第8个平行四边形的对称中心的坐标是即 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，点的坐标规律，正确找到关键是解题关键． 28．（2024春•蓝田县期中）如图所示，四边形中，，，连接交的延长线于点，请证明与关于点中心对称． 【答案】见解答过程． 【分析】由可得，再根据对顶角相等可得，又，根据“”可得，进而得出，从而得出与关于点中心对称． 【解答】证明： ， 又，， ， ， 与关于点中心对称． 【点评】本题主要考查了中心对称以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判断方法是解答本题的关键． 五．中心对称图形 29．（2024•麒麟区一模）下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是　　 A．航天神州 B．中国行星探测 C．中国火箭 D．中国探月 【答案】 【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【解答】解：．不是中心对称图形，故此选项不合题意； ．不是中心对称图形，故此选项不合题意； ．是中心对称图形，故此选项符合题意； ．不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 30．（2024春•亭湖区校级期中）如图图案是我国传统文化中的“福禄寿喜”图，其中中心对称图形是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【解答】解：．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； ．是中心对称图形，故此选项符合题意； ．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； ．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，解答本题的关键要明确：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 31．（2024春•大余县月考）如图，在的方格中，有3个被涂黑的小正方形．若在其余空白的小正方形中选择1个涂黑，使涂黑的小正方形组成的新图形是中心对称图形，则可选择的小正方形有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】 【分析】根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形，据此求解即可． 【解答】解：选择一个正方形涂黑，使得4个涂黑的正方形组成轴对称图形，如图， 共有2个， 故选：． 【点评】本题考查了中心对称图形的概念，正确记忆相关知识点是解题关键． 32．（2024春•南京期末）下列函数：①；②；③；④，其图象是中心对称图形的是　　 A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】 【分析】根据各个函数图形的形状，以及中心对称图形的定义即可求解． 【解答】解：四个函数中： ①的图象不是中心图形，不符合题意； ②的图象是中心对称图形，符合题意； ③的图象是中心对称图形，符合题意； ④的图象不是中心图形，不符合题意； 所以②③符合题意， 故选：． 【点评】本题考查中心对称图形和函数图象的性质，熟练掌握函数的对称性质是解答本题的关键． 33．（2024•麦积区三模）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【解答】解：．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意； ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； ．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； ．不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：． 【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，正确掌握相关概念是解题关键． 六．关于原点对称的点的坐标 34．（2024春•西安期中）在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，求代数式的值． 【答案】． 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于，的方程组，进而得出答案． 【解答】解：点和点关于原点对称， ， 解得：， 则的值是：． 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是． 七．坐标与图形变化−旋转 35．（2024•南阳二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质可知，再作出旋转后的图形，进而找到点的坐标规律即可． 【解答】解：，， ． 将矩形绕点逆时针旋转，如图 可知：，，，，， 则：每旋转4次则回到原位置， ， 即：第2024次旋转结束时，完成了506次循环，又回到了原来的位置， 的坐标为． 故选：． 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标的变化规律，旋转，矩形的性质，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，． 36．（2024•钢城区一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在方格线的格点上，将三角形绕点旋转，得到△，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点． 【解答】解：由图知，旋转中心的坐标为， 故选：． 【点评】本题主要考查坐标与图形的变化旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质． 37．（2024•新宁县一模）如图，线段与线段关于点对称，若点、、，则点的坐标为 　　． 【答案】． 【分析】设根据题意得出，的中点坐标相等，即可求解． 【解答】解：设， 、、， 依题意，， 解得：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了中心对称的性质，坐标与图形，掌握中心对称的性质是解题的关键． 38．（2024春•沭阳县月考）如图，平面直角坐标系中，△是边长为2的等边三角形，作△与△关于点成中心对称，再作△与△关于点成中心对称，如此作下去，则△是正整数）的顶点的坐标是 　　，　　 【答案】，． 【分析】作轴于点，先根据△是边长为2的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；分别求出点、、的坐标各是多少，最后总结出的坐标的规律，求出的坐标是多少即可． 【解答】解：如图，作轴于点， △是边长为2的等边三角形， ，， ， 的坐标为，的坐标为， △与△关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， △与△关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， △与△关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， ， ，，，，， 的横坐标是，的横坐标是， 当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 顶点的纵坐标是， 顶点的坐标是． 故答案为：，． 【点评】此题考查了坐标与图形变化中心对称，等边三角形的性质，含30度角的等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，解答此题的关键是分别判断出的横坐标、纵坐标各是多少． 39．（2024•泸州）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点，按照变换后得到点的坐标为 　　． 【答案】． 【分析】根据题中的定义，画出示意图，结合图形旋转及平移的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将点向上平移2个单位所得点的坐标为． 如图所示， 过点作轴的垂线，垂足为， 则，． 在中， ，， 所以． 由旋转可知， ，， 所以． 过点作轴的垂线，垂足为， 则， 所以△是等腰直角三角形． 又因为， 所以， 所以点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查坐标与图形变化平移及坐标与图形变化旋转，能根据题意画出示意图及熟知图形平移和旋转的性质是解题的关键． 八．作图−旋转变换 40．（2021秋•雁峰区期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到△，请画出△； （2）以边的中点为旋转中心，将旋转，得到△，请画出△． 【答案】（1）见解答；（2）见解答． 【分析】（1）根据平移的性质可得△； （2）根据旋转的性质可得△． 【解答】解：（1）如图，△即为所求； （2）如图，△即为所求． 【点评】本题主要考查了作图平移变换，旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键． 41．（2022春•天元区期中）作图题（保留作图痕迹），画出关点成中心对称的图形． 【答案】见解析． 【分析】根据中心对称的定义，即可画出图形． 【解答】解：如图，△即为所求． 【点评】本题主要考查了作图旋转变换，中心对称的性质等知识，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 42．（2023秋•肇源县期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，点、、的坐标分别为，，请解答下列问题： （1）与△关于原点成中心对称，画出△，直接写出，，的坐标； （2）画出向右平移5个单位长度后得到的△． 【答案】（1）见解答，点，点，点的坐标为； （2）见解答． 【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可； （2）利用平移的性质和格点的特征分别画出点、、的对应点、、． 【解答】解：（1）如图，△为所作，点；点；点的坐标为； （2）如图，△为所作； 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 43．（2023春•宣汉县期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将沿轴方向向下平移4个单位长度得到△，画出△并直接写出点坐标； （2）将绕着点逆时针旋转，画出旋转后得到的△； （3）直接写出点，的坐标． 【答案】（1）见解答，坐标为； （2）见解答； （3）点，的坐标分别为，． 【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可得到△； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点、、的对应点、、，从而得到△； （3）利用（2）中所画图形写出点，的坐标． 【解答】解：（1）如图，△为所作，点坐标为； （2）如图，△为所作； （3）点，的坐标分别为，． 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． 44．（2023春•铁西区期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到△，请画出△； （2）以边的中点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到△，请画出△； （3）线段的长为 　　． 【答案】（1）△见解答过程； （2）△见解答过程； ． 【分析】（1）根据平移的性质可得△； （2）根据旋转的性质可得△． 【解答】解：（1）如图，△即为所求； （2）如图，△即为所求． （3）线段的长． 【点评】本题主要考查了作图平移变换，旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键． 45．（2023•达州模拟）在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一个格点， （1）求出的边长，并判断的形状； （2）作出关于点的中心对称图形△；作出绕点按顺时针方向旋转后得到的图形△； （3）△可能由△怎样变换得到？　先将△绕点按顺时针方向旋转，再将所得图形向右平移6个单位即得到△（答案不唯一）．　（写出你认为正确的一种即可）． 【答案】（1），，；是直角三角形； （2）作图见解析过程； （3）先将△绕点按顺时针方向旋转，再将所得图形向右平移6个单位即得到△（答案不唯一）． 【分析】（1）求出各边的长，用勾股定理即可得出答案． （2）找出关于点的中心对称点，顺次连接即可；找出绕点按顺时针方向旋转后对应点，顺次连接即可； （3）直接观察图形即可得出答案． 【解答】解：（1），，， ， 是直角三角形． （2）如图，即为所求； （3）先将△绕点按顺时针方向旋转，再将所得图形向右平移6个单位即得到△（答案不唯一）． 故答案为：先将△绕点按顺时针方向旋转，再将所得图形向右平移6个单位即得到△（答案不唯一）． 【点评】本题考查了旋转变换的作图问题，难度不大，注意掌握基本作图的方法． 46．（2023•雨山区校级一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将向上平移7个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到△，请画出△； （2）以为旋转中心，将逆时针旋转，得到△，请画出△． 【答案】（1）作图见解答过程； （2）作图见解答过程． 【分析】（1）根据平移的方式确定出点，，的位置，再顺次连接即可得到△； （2）根据旋转可得出确定出点，，的位置，再顺次连接即可得到△． 【解答】解：（1）如图，△即为所作； （2）如图，△即为所作． 【点评】本题主要考查了作图旋转变换以及作图平移变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 九．利用旋转设计图案 47．（2024•河北三模）如图，三个完全相同的四边形组成的图案绕点旋转可以和原图形重合，则旋转角可以是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 【解答】解：为圆心，连接三角形的三个顶点， 即可得到， 所以旋转后与原图形重合． 故选：． 【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形，以圆心为旋转中心，要使图形重合，就要注意旋转角度，注意题目条件，避免误认是的答案． 48．（2024•临洮县二模）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得与点连线的夹角即可求得旋转角度． 【解答】解：如下图，当经过一次循环后点旋转至点的位置上， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了利用旋转设计图案的知识，解答本题的关键是能够找到一对对应点确定旋转角度． 49．（2024•榆社县模拟）同学们利用几何画图软件开展了“图案设计”项目式学习，下面是三位同学在的正方形网格中设计的三种不同图案的一部分，请将图1中的图案补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，将图2中的图案补成中心对称图形，在图3中设计一个图案，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形． 【答案】见详解． 【分析】轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形是轴对称图形．中心对称图形：是指如果一个图形绕着一个点旋转180度后，所得的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫对称中心，根据定义即可求解． 【解答】解：如图，答案不唯一． 【点评】本题主要考查轴对称图形的绘制，中心对称图形的绘制，理解轴对称、中心对称的定义是解题的关键． 50．（2023秋•陵城区期中）按照要求画图： （1）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，将绕原点顺时针旋转得到△，点，，的对应点为，，画出旋转后的△． （2）下面是网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）根据旋转的性质，找出点、、的对应点即可； （2）根据中心对称图形的性质进行画图即可． 【解答】解：（1）如图所示： （2）如图所示： 【点评】本题是作图旋转变换，主要考查了旋转的性质，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换作图，属于中考常见题型． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$