第23章 旋转 中档题拓展 讲义 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第23章 旋转 中档题拓展训练★★【6个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学八年级上册 考点梳理 一．生活中的旋转现象 二．旋转的性质 三．中心对称 四．中心对称图形 五．坐标与图形变化−旋转 六．作图−旋转变换 考点精讲精练 一．生活中的旋转现象 · 生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 1．（2024春•涟水县校级月考）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．旋转的性质 · 旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 2．（2024春•昆山市校级月考）如图，在中，，，以为旋转中心逆时针旋转后得到，且点在边上，则旋转角的度数为　　 A． B． C． D． 3．（2024•宁德模拟）如图，将绕着点顺时针旋转得到，点的对应点落在边上，且，，三点共线，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 4．（2024•南充模拟）如图，在边长为4的正方形中，为边靠近点的四等分点．为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．连接，则的最小值为　　 A． B． C． D．3 5．（2024•思明区二模）如图，在四边形中，，边绕点顺时针旋转，点的对应点落在线段上，则下列判断正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2024•海安市二模）如图，将绕点顺时针旋转至．下列角中，是旋转角的是　　 A． B． C． D． 7．（2024•武清区三模）如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，与交于点，连接，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 8．（2024春•金水区校级期末）在中，，，点为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若直角边的长为2，则线段长度的最小值为　　 A．2 B． C． D．1 9．（2024春•高碑店市月考）如图，将绕点按顺时针方向旋转得到．若点恰好在的延长线上，，则的度数为　　 A． B． C． D． 10．（2024春•奉节县期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，与相交于点，若且是以线段为底边的等腰三角形，则的度数为　　 A． B． C． D． 11．（2024•西青区二模）如图，在△ABC中，∠A＝40°，把△ABC绕点C顺时针旋转110°，得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，点B，C，D恰好在一条直线上，则下列结论一定正确的是（　　） A．∠E＝80° B．BD＝AB+AC C．AB∥CE D．直线AB与直线DE互相垂直 12．（2024•石家庄校级模拟）如图，将线段绕点旋转，下列各点能够落到线段上的是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 13．（2024•惠安县模拟）如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到△，若点在线段的延长线上，则的大小为　　 A． B． C． D． 14．如图，等边三角形中，点为直线上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为点，点为线段上一个动点，若，则的最小值为 　　． 15．（2024•内乡县一模）如图，在正方形中，，点是边上一点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接，则的为 　　． 16．（2024•海州区二模）如图，在中，，，，点在线段上运动（含、两点）．连接，以点为中心，将线段逆时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值为 　　． 17．（2024•二七区校级四模）在正方形中，，为上一点，且，将线段绕点逆时针旋转（旋转角小于，得到线段，连接并延长，交边于点，则点到的最小距离为 　　． 18．（2024•蚌埠三模）如图，在中．，，将绕点顺时针转，得到，连接，则的长为 　　 19．（2024•榆阳区校级二模）如图，在方格纸中每个小方格的边长为1，将格点绕点按顺时针方向旋转后得到△，点、的对应点分别是、，则、之间的距离为 　　．（结果保留根号） 20．（2023秋•虞城县期末）如图，在中，，，，是的中点，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点（点与点不重合），连接，当是直角三角形时，的长为 　　． 21．（2024•南海区校级模拟）如图，已知的两条直角边，，将绕直角边中点旋转得到，若的锐角顶点恰好落在的斜边上，则　　． 22．（2024春•锦江区校级期中）如图，在中，，，若，将绕点顺时针旋转度，使得点的对应点恰好落在边上，点对应点为，则　　　　（用含的代数表示）． 23．（2024春•赣榆区校级月考）如图，在中，，，，对角线与交于点，将直线绕点按顺时针方向旋转，分别交、于点、，则四边形周长的最小值是 　　． 24．（2024•邗江区二模）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于 　　． 25．（2024•衡阳模拟）如图所示，在中，，将绕点顺时针旋转得到△，点的对应点在边上（不与点，重合）．若，则的度数为 　　． 26．（2024•武威三模）如图，在正方形中，，是对角线上两点，，将绕点顺时针旋转后得到，连接．求证：． 27．（2024春•赣榆区校级月考）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转度后，得到，点刚好落在边上． （1）求的值； （2）若，求的长． 28．（2023秋•高青县期末）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出　　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：； （3）能力提升 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 29．（2024春•大余县月考）（1）计算：； （2）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转度得到．若，求的值． 三．中心对称 · 中心对称 （1）中心对称的定义 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． （2）中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合； ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 30．（2024•邯郸三模）如图，在中，，，．将绕边的中点顺时针旋转得到，经过点，分别交，于点，，连接，．下列说法错误的是　　 A．四边形为平行四边形 B．四边形不可能为正方形 C．当时，四边形为矩形 D．当时，四边形为菱形 四．中心对称图形 · 中心对称图形 （1）定义 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 31．（2024春•新乡期末）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 32．（2024•岱岳区三模）下列四个图案中，是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 五．坐标与图形变化−旋转 · 坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 33．（2024•湖北）如图，点的坐标是，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点的坐标是　　 A． B． C． D． 34．（2024•淮滨县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，顶点在轴上，点在轴上，点在第一象限，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交正方形内一点，将点绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点对应点的坐标为　　 A．， B．， C． D．， 35．（2024•崂山区校级三模）如图，已知，，，将先向左平移5个单位，再绕原点顺时针旋转得到△，则点的对应点的坐标是　　 A． B． C． D． 36．（2024•玉泉区二模）将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点逆时针旋转，每秒旋转，则第24秒时，点的对应点的坐标为　　 A． B． C． D． 37．（2024•泸州）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点，按照变换后得到点的坐标为 　　． 38．（2024•麦积区三模）如图，矩形的顶点、分别在轴，轴上，，将矩形绕点顺时针旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为 　　． 39．（2024•武威三模）在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，连接，把绕点顺时针旋转得到线段，连接．若△是直角三角形，点的横坐标为 　　． 六．作图−旋转变换 · 作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 40．（2024春•金水区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、、． （1）将平移，使得点的对应点的坐标为，在图的坐标系中画出平移后的△； （2）将△绕点逆时针旋转，画出旋转后的△并直接写出、的坐标； （3）求△的面积． 41．（2024春•邳州市校级月考）利用图中的网格线（最小的正方形的边长为画图； （1）作出关于轴对称的△； （2）作出关于原点对称的中心对称图形△． 42．（2024•虎林市校级二模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． （1）若点的坐标为，请你在网格中建立适当的平面直角坐标系，并写出点，的坐标； （2）以（1）中建立的平面直角坐标系的原点为旋转中心，将绕原点顺时针旋转得到△，请你画出△． （3）连接，，求△的面积． 43．（2024春•锦江区期末）如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形，它的三个顶点都在格点上（网格线的交点）． （1）以点为旋转中心，将旋转得到△，请画出△； （2）若点的坐标为，请直接写出点的坐标； （3）过点作的平行线（点，在格点上，不与点重合）． 44．（2024春•竞秀区期中）如图是一个的网格图，网格中最小的正方形的边长为1个单位长度，网格中有一，顶点，，均在格点上，请你在网格中建立平面直角坐标系，点为坐标系的原点，且使点，的坐标分别为，． （1）画出平面直角坐标系，并写出点的坐标 　　； （2）作出向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△；然后作△关于点中心对称的△，并写出点，的坐标； （3）直接写出△的面积． 45．（2024春•大丰区校级月考）如图所示，的各顶点都在的网格中的格点（即各个小正方形的顶点）上． （1）将绕点顺时针旋转后得到的△，在图中画出△． （2）将线段绕图中、、、、五个格点中的其中一个点可旋转到线段（点的对应点为，则旋转中心是 　　． 46．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）若△和关于原点成中心对称，请画出△； （2）将进行平移得到△，若的坐标为，则坐标为 　　； （3）以，，，为顶点的四边形是平行四边形，且点在轴上，则点的坐标是 　　． 47．（2024•南岗区校级二模）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，线段的端点、均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以为一条直角边的等腰直角，顶点在小正方形的顶点上； （2）在方格纸中画出的中线，将线段绕点逆时针旋转得到线段，画出旋转后的线段，连接，直接写出四边形的面积． 48．（2024•武昌区模拟）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点，，是格点，点在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） （1）如图1，先找一格点，连接，，使得四边形是菱形，再在上找一点，使得； （2）如图2，先将绕点逆时针旋转得到线段，连接，再在线段上找一点，连接，使平分四边形的面积． 49．（2024•合肥模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的端点均为格点（网格线的交点）． （1）将线段先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到线段，请画出线段；（其中点，的对应点分别为点， （2）将线段绕点顺时针旋转得到线段，请画出线段；（其中点，的对应点分别为点， （3）在网格内描出两个格点，，使得四边形为正方形，请画出正方形． 50．（2024春•西安校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）的长等于 　　；（结果保留根号） （2）若向右平移6个单位长度得到△，请画出△，并写出点的坐标是 　　； （3）请画出关于原点的中心对称图形△，并写出点的坐标 　　． 第23章 旋转 中档题拓展训练★★【6个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学八年级上册 参考答案与试题解析 一．生活中的旋转现象 1．（2024春•涟水县校级月考）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】 【分析】根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：①地下水位逐年下降，是平移现象； ②传送带的移动，是平移现象； ③方向盘的转动，是旋转现象； ④钟摆的运动，是旋转现象； ⑤荡秋千运动，是旋转现象． 属于旋转的有③④⑤共3个． 故选：． 【点评】本题考查了生活中的旋转现象，是基础题，熟练掌握平移与旋转的定义是解题的关键． 二．旋转的性质 2．（2024春•昆山市校级月考）如图，在中，，，以为旋转中心逆时针旋转后得到，且点在边上，则旋转角的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得，再根据旋转的性质可得：，，从而可得，然后利用三角形内角和定理可得，即可解答． 【解答】解：，， ， 由旋转得：，， ， ， 旋转角的度数为， 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 3．（2024•宁德模拟）如图，将绕着点顺时针旋转得到，点的对应点落在边上，且，，三点共线，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据旋转的性质得到，则可判断点、、、四点，再根据圆内接四边形的性质可对选项进行判断；根据圆周角定理可对选项进行判断；接着根据旋转的性质得到，，利用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系可对选项进行判断；由于平分，利用等腰三角形的三线合一，只有时，即，，从而可对选项进行判断． 【解答】解：绕着点顺时针旋转得到， ， 点、、、四点， ，所以选项不符合题意； ，所以选项不符合题意， 绕着点顺时针旋转得到， ，， ，所以选项不符合题意， 平分， 只有时，即，，所以选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了四点共圆的判定与性质、圆周角定理． 4．（2024•南充模拟）如图，在边长为4的正方形中，为边靠近点的四等分点．为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．连接，则的最小值为　　 A． B． C． D．3 【答案】 【分析】过点作于，作于，根据证，设，则，，根据勾股定理得出的表达式，求最小值即可． 【解答】解：过点作于，作于， 四边形是正方形， ， ，， ， 四边形是矩形， ，，， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设， 则，，， ， ， ， ， 当时，取最小值，其最小值为， 故选：． 【点评】本题主要考查图形的旋转，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练应用勾股定理得出关于的代数式并求出最值是解题的关键． 5．（2024•思明区二模）如图，在四边形中，，边绕点顺时针旋转，点的对应点落在线段上，则下列判断正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】、利用内错角相等两直线平行即可判断； 、利用角平分线的性质即可判断； 、利用平行线的性质即可判断； 、利用旋转的性质和平行线的性质即可判断． 【解答】解：、如果，那么，而不一定平行，故选项错误； 、如果，那么平分，而不一定平分，故选项错误； 、如果，而，所以，所以，所以，而不一定平行，故选项错误； 、边绕点顺时针旋转，点的对应点落在线段上， ， ， ， ， ，故选项正确． 故选：． 【点评】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了平行线的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转、平行线及等腰三角形的性质． 6．（2024•海安市二模）如图，将绕点顺时针旋转至．下列角中，是旋转角的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据旋转角的定义即可解决问题． 【解答】解：因为由绕点顺时针旋转得到， 所以点和点，点和点是旋转前后的对应点， 所以和都是旋转角， 只有选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查旋转的性质，熟知旋转角的定义是解题的关键． 7．（2024•武清区三模）如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，与交于点，连接，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据图形旋转的性质，依次对所给选项进行判断即可． 【解答】解：由旋转可知， ，， 显然与不一定相等． 故选项不符合题意． 由旋转可知， ， 又因为， 所以． 故选项符合题意． 由旋转可知， ， 显然． 故选项不符合题意． 由旋转可知， ， 因为， 所以， 显然与不一定相等． 故选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查旋转的性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 8．（2024春•金水区校级期末）在中，，，点为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若直角边的长为2，则线段长度的最小值为　　 A．2 B． C． D．1 【答案】 【分析】如图，在上取一点，使得，连接，．利用已知条件可以证明，推出，易知时，的值最小，求出的最小值即可解决问题． 【解答】解：如图，在上取一点，使得，连接，． ，， ， 为等边三角形， ， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， 线段长度的最小时，的长度也最小， 而时，的值最小， 的长为2， ，， ， 的最小值为1， 的最小值为1． 故选：． 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 9．（2024春•高碑店市月考）如图，将绕点按顺时针方向旋转得到．若点恰好在的延长线上，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由旋转的性质可知，，，再根据等腰三角形的性质得出，然后根据三角形内角和即可． 【解答】解：绕点顺时针旋转得到，， ，，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了旋转和等腰三角形的性质，掌握旋转的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 10．（2024春•奉节县期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，与相交于点，若且是以线段为底边的等腰三角形，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由旋转的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，求出，根据可得出答案． 【解答】解：将绕点逆时针旋转得到， ，， 又是以线段为底边的等腰三角形， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键． 11．（2024•西青区二模）如图，在△ABC中，∠A＝40°，把△ABC绕点C顺时针旋转110°，得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，点B，C，D恰好在一条直线上，则下列结论一定正确的是（　　） A．∠E＝80° B．BD＝AB+AC C．AB∥CE D．直线AB与直线DE互相垂直 【答案】C 【分析】由△ABC绕点C顺时针旋转110°，得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，点B，C，D恰好在一条直线上，得∠B＝∠ECD，即可得AB∥CE． 【解答】解：由△ABC绕点C顺时针旋转110°，得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，点B，C，D恰好在一条直线上， 得∠B＝∠ECD，∠E＝∠B＝∠ACD﹣∠A＝110°﹣40°＝70°，BD＝BC+CD＝BC+AC， 得AB∥CE正确，∠E＝80°不正确，BD＝AB+AC不正确，直线AB与直线DE互相垂直不正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了图形的旋转，解题关键是正确应用旋转的性质． 12．（2024•石家庄校级模拟）如图，将线段绕点旋转，下列各点能够落到线段上的是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】 【分析】比较各点与点组成的线段的长度，线段长度小于长度的点能够落到线段上． 【解答】解：将线段绕点旋转， ， 线段经过点， 能够落到线段上的是点， 故选：． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是会运用旋转的性质解决问题，会比较线段的长短． 13．（2024•惠安县模拟）如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到△，若点在线段的延长线上，则的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【解答】解：将绕点按逆时针方向旋转， ，，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 14．如图，等边三角形中，点为直线上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为点，点为线段上一个动点，若，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】先根据全等三角形的性质得出点的运动轨迹，再利用垂线段最短即可解决问题． 【解答】解：连接， 由旋转可知， ，， 又是等边三角形， ，， ， ． 在和中， ， ， ， ， 即点在经过点且与夹角为的直线上运动， ， ． 过点作的垂线，垂足为， ． 在中， ． 即与之间的距离是， 的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，通过全等三角形的性质得出点的运动轨迹是解题的关键． 15．（2024•内乡县一模）如图，在正方形中，，点是边上一点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接，则的为 　　． 【答案】． 【分析】过点作射线的垂线交于点，先证明，可得、，根据勾股定理即可解答． 【解答】解：如图1，过点作射线的垂线交于点， 绕点逆时针旋转得到， 、， ， ， ， 又四边形是正方形， ， ， 又，， ， 、， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质、三角形内角和定理、正方形的性质、勾股定理及旋转的性质等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 16．（2024•海州区二模）如图，在中，，，，点在线段上运动（含、两点）．连接，以点为中心，将线段逆时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】在上取点，使，作射线交于点，过点作于，证明，得，，可得是等边三角形，即得，，由，，可得，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为． 【解答】解：在上取点，使，作射线交于点，过点作于，如图： ，， 是等边三角形， ，， 线段逆时针旋转得到， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 点在射线上运动， ， ， ，， ， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查平行四边形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点的在射线上运动，属于中考填空题中的压轴题． 17．（2024•二七区校级四模）在正方形中，，为上一点，且，将线段绕点逆时针旋转（旋转角小于，得到线段，连接并延长，交边于点，则点到的最小距离为 　　． 【答案】． 【分析】过点作于点，先利用等面积法得，可知当最大时，最小，再利用轨迹圆得出最大值的位置，计算即可． 【解答】解：正方形中，， ，， 如图，过点作于点， ， ， ， 当最大时，最小， ， 点在以为圆心，3为半径的圆上，如图， 当与相切时，最大， 由得此时最大， 由相切得， ， ， 即， 解得：， 所以此时， 故答案为：． 【点评】本题考查了四边形中的最值问题，涉及三角形的面积，轨迹圆，四边形的性质，熟练掌握轨迹圆求最值是解题的关键． 18．（2024•蚌埠三模）如图，在中．，，将绕点顺时针转，得到，连接，则的长为 　　 【答案】． 【分析】连接，设与交于点．由旋转得，，，则为等边三角形，证明，可得，进而可得，点为的中点，则，，再由可得答案． 【解答】解：连接，设与交于点． 由旋转得，，， 为等边三角形， ． ，， ， ， 即为等边三角形的角平分线， ，点为的中点． 在中，， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19．（2024•榆阳区校级二模）如图，在方格纸中每个小方格的边长为1，将格点绕点按顺时针方向旋转后得到△，点、的对应点分别是、，则、之间的距离为 　　．（结果保留根号） 【答案】． 【分析】先作图得出△，再根据勾股定理列式，即可作答． 【解答】解：连接，△如图所示： 将格点绕点按顺时针方向旋转后得到△， ， 依题意，得， 故答案为：． 【点评】本题考查了网格与勾股定理，旋转性质，关键是旋转性质的应用． 20．（2023秋•虞城县期末）如图，在中，，，，是的中点，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点（点与点不重合），连接，当是直角三角形时，的长为 　或　． 【答案】或． 【分析】运用勾股定理可得，由旋转得：，分两种情况：当时，当时，利用勾股定理即可求得答案． 【解答】解：在中，，，， ， ， 是的中点， ， 将绕点在平面内旋转，点的对应点为点（点与点不重合），如图， ， 当时，， 则； 当时， 则； 故答案为：或． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转变换的性质，解题关键是运用分类讨论思想解决问题． 21．（2024•南海区校级模拟）如图，已知的两条直角边，，将绕直角边中点旋转得到，若的锐角顶点恰好落在的斜边上，则　　． 【答案】． 【分析】连接，根据，可说明，从而求出的长，再利用，得，设，则，，进而得出的值． 【解答】解：如图，连接， ，， 由勾股定理得，， 点为的中点， ， 的锐角顶点恰好落在的斜边上， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得， 经检验，是方程的解， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 22．（2024春•锦江区校级期中）如图，在中，，，若，将绕点顺时针旋转度，使得点的对应点恰好落在边上，点对应点为，则　　　　（用含的代数表示）． 【答案】，． 【分析】由，，，即可得，． 【解答】解：由，，， 得，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题关键是正确应用性质． 23．（2024春•赣榆区校级月考）如图，在中，，，，对角线与交于点，将直线绕点按顺时针方向旋转，分别交、于点、，则四边形周长的最小值是 　12　． 【答案】12． 【分析】根据平行四边形的性质可得可得，进而确定当取最小值时，四边形周长的最小，即；然后求得取最小值即可解答． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形周长为， 当取最小值时，四边形周长的最小，即， 如图：过点作，即的长为的最小值， ， ，即的最小值为2， 四边形周长的最小值为． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形判定与性质、直角三角形的性质等知识点，确定四边形周长取最小值时点、的位置成为解题的关键． 24．（2024•邗江区二模）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于 　　． 【答案】． 【分析】根据旋转可得，再结合旋转角即可求解． 【解答】解：由旋转性质可得：，， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质．解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 25．（2024•衡阳模拟）如图所示，在中，，将绕点顺时针旋转得到△，点的对应点在边上（不与点，重合）．若，则的度数为 　　． 【答案】． 【分析】由旋转知，，，从而得出是等腰直角三角形，即可解决问题． 【解答】解：将绕点顺时针旋转得到△， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，明确旋转前后对应角相等、对应线段相等是解题的关键． 26．（2024•武威三模）如图，在正方形中，，是对角线上两点，，将绕点顺时针旋转后得到，连接．求证：． 【答案】见解答． 【分析】直接利用旋转的性质得出，进而得出，即可得出答案． 【解答】证明：将绕点顺时针旋转后，得到， ，，， ， ， ， ， 在和中 ， ． ． 【点评】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确得出是解题关键． 27．（2024春•赣榆区校级月考）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转度后，得到，点刚好落在边上． （1）求的值； （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2）3． 【分析】（1）由旋转的性质，证明是等边三角形，即可求得旋转角的度数； （2）易得是含角的直角三角形，则可求得． 【解答】解：（1）将绕点按逆时针方向旋转度后得到， ， 在中，，， ， 是等边三角形， ， （2）， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 28．（2023秋•高青县期末）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出　　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：； （3）能力提升 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和△全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证． （3）将绕点顺时针旋转至△处，连接，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，即的长，再根据旋转的性质求出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，等边三角形三个角都是求出，然后求出、、、四点共线，再利用勾股定理列式求出，从而得到． 【解答】解：（1）， 、、， 由题意知旋转角， 为等边三角形， ，， 易证△为直角三角形，且， ； 故答案为：； （2）如图2，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，，，，，， ， ， ， 在和△中， △， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即． （3）如图3，将绕点顺时针旋转至△处，连接， 在中，，，， ， ， 绕点顺时针方向旋转， △如图所示； ， ，，， ， 绕点顺时针方向旋转，得到△， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， 、、、四点共线， 在△中，， ． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 29．（2024春•大余县月考）（1）计算：； （2）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转度得到．若，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解； （2）先根据旋转的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差可得，由此即可得． 【解答】解：（1） （2）由旋转的性质得：， ， ， ， ，即旋转角为， ， 【点评】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，旋转的性质，平行线的性质，①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 三．中心对称 30．（2024•邯郸三模）如图，在中，，，．将绕边的中点顺时针旋转得到，经过点，分别交，于点，，连接，．下列说法错误的是　　 A．四边形为平行四边形 B．四边形不可能为正方形 C．当时，四边形为矩形 D．当时，四边形为菱形 【答案】 【分析】根据解直角三角形，正方形，菱形，矩形，平行四边形的性质逐项分析判断，即可求解． 【解答】解：在中，，，． ， 将绕边的中点顺时针旋转得到， ，， 四边形是平行四边形， 经过点， ， 又， 四边形为平行四边形，故正确，不合题意； ， ， 四边形不可能为正方形，故正确，不合题意； 若四边形为矩形， 则， 当时，则四边形不是矩形，故错误，符合题意； 当时，则，为斜边上的中线， 则， 平行四边形为菱形，故正确，不合题意， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形，正方形，菱形，矩形，平行四边形的性质，熟知以上知识是解题的关键． 四．中心对称图形 31．（2024春•新乡期末）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； ．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； ．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； ．原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 32．（2024•岱岳区三模）下列四个图案中，是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项和所给图形进行判断即可． 【解答】解：选项、、的图案均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形； 选项的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形； 故选：． 【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 五．坐标与图形变化−旋转 33．（2024•湖北）如图，点的坐标是，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【解答】解：如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． 点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 34．（2024•淮滨县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，顶点在轴上，点在轴上，点在第一象限，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交正方形内一点，将点绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点对应点的坐标为　　 A．， B．， C． D．， 【答案】 【分析】先根据题意求出点的坐标，再由所给旋转方式得出每旋转四次点对应点循环出现，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 是等边三角形． 过点作的垂线，垂足为， 点坐标为， ， 则正方形的边长为2． ，． 在中， ， 点的坐标为． 因为， 所以每旋转四次点的对应点循环出现． 因为， 所以第2024次旋转结束时，点的对应点位置与点重合， 所以第2024次旋转结束时，点的对应点坐标为． 故选：． 【点评】本题考查坐标与图形变化旋转及点的坐标变化规律，能根据题意得出每旋转四次点对应点循环出现是解题的关键． 35．（2024•崂山区校级三模）如图，已知，，，将先向左平移5个单位，再绕原点顺时针旋转得到△，则点的对应点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据平移的性质求出平移后点的坐标，再利用旋转的性质求出点关于原点对称的点的坐标即可． 【解答】解：， 将先向左平移5个单位后点坐标为， 点关于原点对称的点， 故选：． 【点评】本题考查了图形的平移和旋转，解题关键是掌握绕原点旋转的图形的坐标特点，即对应点的横纵坐标都互为相反数． 36．（2024•玉泉区二模）将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点逆时针旋转，每秒旋转，则第24秒时，点的对应点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意可得出每旋转六次点的对应点循环出现，再结合图形旋转的性质即可解决问题． 【解答】解：因为， 所以每旋转六次，点的对应点循环出现． 又因为， 所以第24秒，点的对应点与点重合． 过点作轴的垂线，垂足为， 在中， ， 所以， 同理可得，， 所以点的坐标为， 即第24秒时，点的对应点的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查坐标与图形变化旋转、含30度角的直角三角形及勾股定理，熟知图形旋转的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键． 37．（2024•泸州）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点，按照变换后得到点的坐标为 　　． 【答案】． 【分析】根据题中的定义，画出示意图，结合图形旋转及平移的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将点向上平移2个单位所得点的坐标为． 如图所示， 过点作轴的垂线，垂足为， 则，． 在中， ，， 所以． 由旋转可知， ，， 所以． 过点作轴的垂线，垂足为， 则， 所以△是等腰直角三角形． 又因为， 所以， 所以点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查坐标与图形变化平移及坐标与图形变化旋转，能根据题意画出示意图及熟知图形平移和旋转的性质是解题的关键． 38．（2024•麦积区三模）如图，矩形的顶点、分别在轴，轴上，，将矩形绕点顺时针旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为 　　． 【答案】． 【分析】过点作轴于点，连接，根据已知条件求出点的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点的坐标，发现规律，进而求出第2023次旋转结束时，点的坐标． 【解答】解：如图，过点作轴于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 矩形绕点顺时针旋转，每次旋转， 则第1次旋转结束时，点的坐标为； 则第2次旋转结束时，点的坐标为； 则第3次旋转结束时，点的坐标为； 则第4次旋转结束时，点的坐标为； ， 发现规律：旋转4次一个循环， ， 则第2023次旋转结束时，点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2023次旋转后矩形的位置是解题的关键． 39．（2024•武威三模）在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，连接，把绕点顺时针旋转得到线段，连接．若△是直角三角形，点的横坐标为 　2或或　． 【答案】2或或． 【分析】分情况讨论：①当点在轴的正半轴上，且时，②当点在轴的正半轴上，且时，③当点在轴的负半轴上，且时，利用全等三角形及直角三角形的性质和正切值求解即可． 【解答】解：，， ，， 设点， 当时，点在直线上（且不与点重合）， 点不能为直角顶点， ①如图，当点在轴的正半轴上，且时， 由旋转可知，，， ，， ， ， ，， ， ，即点的横坐标为2； ②如图，当点在轴的正半轴上，且时， 过点作于点，则， 由旋转可知，，， ，， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， ，即， 解得：或（不合题意，舍去）， 点的横坐标为； ③如图，当点在轴的负半轴上，且时， 过点作于点，则， 同理可得， ，， ，， 同理可得， ， ，即， 解得：或（不合题意，舍去）， 点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为2或或， 故答案为：2或或． 【点评】考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角的正切，熟练掌握知识点，注意分类讨论思想的运用是解题的关键． 六．作图−旋转变换 40．（2024春•金水区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、、． （1）将平移，使得点的对应点的坐标为，在图的坐标系中画出平移后的△； （2）将△绕点逆时针旋转，画出旋转后的△并直接写出、的坐标； （3）求△的面积． 【答案】（1）见解析； （2）图见解析，的坐标，的坐标； （3）△的面积为3． 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可； （3）利用割补法求解即可． 【解答】解：（1）如图，△即为所求； （2）如图，△即为所求，的坐标，的坐标； ； （3）△的面积． 【点评】本题主要考查作图旋转变换和平移变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． 41．（2024春•邳州市校级月考）利用图中的网格线（最小的正方形的边长为画图； （1）作出关于轴对称的△； （2）作出关于原点对称的中心对称图形△． 【答案】（1）作图见解析过程； （2）作图见解析过程． 【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出关于轴对称的△； （2）根据中心对称的性质即可作出关于原点对称的中心对称图形△． 【解答】解：（1）如图1，△即为所求； （2）如图2，△即为所求． 【点评】本题考查了作图中心对称、作图轴对称变换，解决本题的关键是掌握中心对称和轴对称的性质． 42．（2024•虎林市校级二模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． （1）若点的坐标为，请你在网格中建立适当的平面直角坐标系，并写出点，的坐标； （2）以（1）中建立的平面直角坐标系的原点为旋转中心，将绕原点顺时针旋转得到△，请你画出△． （3）连接，，求△的面积． 【答案】（1）见解析，，； （2）见解析； （3）6． 【分析】（1）根据点的坐标，画出同与轴即可； （2）根据旋转的性质分别作出点、、三点顺时针旋转90度后的对应点、、，再连接，，即可； （3）根据网格，用矩形的面积减去三个直角三角形的面积计算即可． 【解答】解：（1）如图所示建立平面直角坐标系，，． （2）如图所示，△即为所求； （3）如图， △的面积． 答：△的面积为6． 【点评】本题考查建立平面直角坐标系，掌握根据点的位置写出点的坐标，作旋转图形，利用网格求图形的面积是解题的关键． 43．（2024春•锦江区期末）如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形，它的三个顶点都在格点上（网格线的交点）． （1）以点为旋转中心，将旋转得到△，请画出△； （2）若点的坐标为，请直接写出点的坐标； （3）过点作的平行线（点，在格点上，不与点重合）． 【答案】（1）见解答． （2）点的坐标为． （3）见解答． 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）根据点的坐标建立平面直角坐标系，即可得出答案． （3）根据平行线的判定画图即可． 【解答】解：（1）如图，△即为所求． （2）根据题意建立平面直角坐标系， 则点的坐标为． （3）如图，即为所求． 【点评】本题考查作图旋转变换、平行线的判定，熟练掌握旋转的性质、平行线的判定是解答本题的关键． 44．（2024春•竞秀区期中）如图是一个的网格图，网格中最小的正方形的边长为1个单位长度，网格中有一，顶点，，均在格点上，请你在网格中建立平面直角坐标系，点为坐标系的原点，且使点，的坐标分别为，． （1）画出平面直角坐标系，并写出点的坐标 　　； （2）作出向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△；然后作△关于点中心对称的△，并写出点，的坐标； （3）直接写出△的面积． 【答案】（1）图见解析，； （2）图见解析，，； （3）7． 【分析】（1）根据点和点的坐标确定原点，轴，轴的位置，然后画出坐标系，进而求出点的坐标即可； （2）先根据平移方式求出、、对应点、、的坐标，然后描出△，再由关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到、、对应点、、的坐标，描出、、，最后顺次连接、、即可； （3）利用割补法求解即可． 【解答】解：（1）如图所示坐标系即为所求， 点的坐标为； （2）如图所示，△，△即为所求， ，； （3）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化平移和中心对称轴，坐标与图形，解答本题的关键要明确：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 45．（2024春•大丰区校级月考）如图所示，的各顶点都在的网格中的格点（即各个小正方形的顶点）上． （1）将绕点顺时针旋转后得到的△，在图中画出△． （2）将线段绕图中、、、、五个格点中的其中一个点可旋转到线段（点的对应点为，则旋转中心是 　点　． 【答案】（1）见解答． （2）点． 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则线段绕点可旋转到线段，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，△即为所求． （2）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， 则线段绕点可旋转到线段， 旋转中心是点． 故答案为：点． 【点评】本题考查作图旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 46．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）若△和关于原点成中心对称，请画出△； （2）将进行平移得到△，若的坐标为，则坐标为 　　； （3）以，，，为顶点的四边形是平行四边形，且点在轴上，则点的坐标是 　　． 【答案】（1）作图见解答过程； （2）； （3）． 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）根据平行四边形的判定和题目要求画出图形即可． 【解答】解：（1）如图1，△即为所求； （2）将进行平移得到△，如图2， 若的坐标为，则坐标为． 故答案为：； （3）以，，，为顶点的四边形是平行四边形且点是轴上一点，则点的坐标是．如图 故答案为：． 【点评】本题考查作图旋转变换，平移变换，平行四边形的判定等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型． 47．（2024•南岗区校级二模）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，线段的端点、均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以为一条直角边的等腰直角，顶点在小正方形的顶点上； （2）在方格纸中画出的中线，将线段绕点逆时针旋转得到线段，画出旋转后的线段，连接，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见解析； （2）见解析，10． 【分析】（1）利用旋转变换的性质作出线段即可； （2）根据三角形中线的定义作出线段，再利用旋转变换的性质作出四边形即可． 【解答】解：（1）如图，即为所求； （2）如图，线段，四边形即为所求． 四边形是正方形，边长， 正方形的面积为10． 【点评】本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握性质好的性质，属于中考常考题型． 48．（2024•武昌区模拟）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点，，是格点，点在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） （1）如图1，先找一格点，连接，，使得四边形是菱形，再在上找一点，使得； （2）如图2，先将绕点逆时针旋转得到线段，连接，再在线段上找一点，连接，使平分四边形的面积． 【答案】见解析． 【分析】（1）根据菱形的判定作出菱形，连接交于点，连接，延长交于点，连接即可； （2）计算出四边形的面积为15，则的面积为7.5，利用网格特征在上取一点，使得，连接即可． 【解答】解：（1）图形如图1所示： （2）如图2中，线段，即为所求． 【点评】本题考查作图旋转变换，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 49．（2024•合肥模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的端点均为格点（网格线的交点）． （1）将线段先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到线段，请画出线段；（其中点，的对应点分别为点， （2）将线段绕点顺时针旋转得到线段，请画出线段；（其中点，的对应点分别为点， （3）在网格内描出两个格点，，使得四边形为正方形，请画出正方形． 【答案】（1）见解答． （2）见解答． （3）见解答． 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）结合正方形的判定画图即可． 【解答】解：（1）如图，线段即为所求． （2）如图，线段即为所求． （3）如图，正方形即为所求． 【点评】本题考查作图平移变换、旋转变换、正方形的判定，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、正方形的判定是解答本题的关键． 50．（2024春•西安校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）的长等于 　　；（结果保留根号） （2）若向右平移6个单位长度得到△，请画出△，并写出点的坐标是 　　； （3）请画出关于原点的中心对称图形△，并写出点的坐标 　　． 【答案】（1）； （2）作图见解答过程；； （3）作图见解答过程；； 【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可得到答案； （2）根据平移直接作图即可得到答案； （3）根据中心对称的性质直接作图即可得到答案． 【解答】解：（1），， ； （2）向右平移6个单位长度得到△，如图1所示， 由图形可得，的坐标是； （3）关于原点的中心对称图形△，如图2所示， 由图形可得点的坐标为：． 【点评】本题考查作图旋转变换，勾股定理，作图平移变换，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$