第23章 旋转 培优题突破练习★★★【4个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册

第23章 旋转 培优题突破练习★★★【4个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 考点梳理 一．旋转的性质 二．中心对称 三．坐标与图形变化−旋转 四．作图−旋转变换 考点精讲精练 一．旋转的性质 · 旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 1．（2020•饶平县校级模拟）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到△，连接，则的长为　　 A．3 B． C． D．4 2．（2024•西城区校级模拟）如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含，两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为　　 A． B． C． D．3 3．（2019•三明一模）如图，四边形为正方形，，把绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为　　 A． B． C． D． 4．（2020•邯山区一模）如图，每次旋转都以图中的、、、、、中不同的点为旋转中心，旋转角度为为整数），现在要将左边的阴影四边形正好通过次旋转得到右边的阴影四边形，则的值可以是 A．可以，，3不可 B．可以，，3不可 C．，2可以，不可 D．，2，3均可 5．（2021春•镇江期末）在长方形中，，，，，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最小值为　　 A． B． C．4 D． 6．（2024•安徽模拟）如图，点是边长为8的正方形的边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，，交边于点，连接，当取最小值时，线段的长为　　 A． B．7 C．9 D． 7．（2021秋•江阴市期中）如图，在中，，，，为边上一点，，为边上一动点，连接，以为边并在的右侧作等边，连接，则的最小值为　　 A．1 B．2 C．3 D． 8．（2022秋•建瓯市校级月考）如图，在矩形中，，，为中点，是线段上一点，设，连结并将它绕点顺时针旋转得到线段，连结、，则在点从点向点的运动过程中，有下面四个结论：①当时，；②点到边的距离为；③直线一定经过点；④的最小值为：．其中结论正确的有　　个．（填序号即可） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2023•东莞市校级一模）如图，把绕点逆时针旋转得到△，点恰好落在斜边上，则的度数为　　 A． B． C． D． 10．（2024•吴江区二模）如图，为等边内的一点，且到三个顶点，，的距离分别为6，8，10，则的面积为　　 A． B． C． D． 11．如图，在中，是使得最小的点，为中点，，，则的最小值为　　 A．1 B． C． D．以上答案均错误 12．（2022春•龙华区期末）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转至，此时点在上，连接、、、，线段分别交、于点、，则下列四个结论中：①；②是等边三角形；③；④当时，；正确的是　　 A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 13．（2020秋•海淀区校级期中）如图，在正方形中，点是上一动点，点是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，给出结论：①；②；③；④若正方形的边长为2，则点在射线上运动时，有最小值．其中结论正确的是　　 A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 14．（2020秋•腾冲市期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点是正方形内一点，，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 15．（2022•三明模拟）如图，在矩形中，，，点是上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连结．从点向点运动过程中，的最小值为　　 A．1 B． C． D．2 16．（2022秋•临邑县期中）如图，已知是正三角形，，．将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合，得到，则旋转的角度是　　 A． B． C． D． 17．（2024•潮阳区模拟）如图，在菱形中，，，点在边上，绕点顺时针旋转，点落在延长线上的点处，连接交于点，则　　；若点是的中点，则的长等于 　　． 18．（2024•衡阳模拟）如图所示，在中，，将绕点顺时针旋转得到△，点的对应点在边上（不与点，重合）．若，则的度数为 　　． 19．（2024•利川市模拟）如图，等边中，，点是边上一动点，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接，，则的最小值是 　　． 20．（2024春•临川区校级月考）如图，在中，已知，，，将绕点逆时针旋转得到，点与点对应，点与点对应，且，，三点恰好在同一条直线上，则的长为 　　． 21．（2024•孝感模拟）如图1，在中，，，，点是的中点，点是的中点，连接．如图2，将绕点顺时针旋转到点，，首次在同一条直线上，连接．则的长为 　　． 22．（2024•沾化区一模）矩形中，，，将边绕点逆时针旋转，点落在处，连接、，若，则　　． 23．（2024春•苏家屯区校级月考）如图，中，，，，点是直线边上一动点，连接将其绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为 　　． 24．（2024•南康区模拟）如图，中，，，，点是边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，当点的对应点恰好落在的边所在的直线上时，线段的长为 　　． 25．（2023秋•虞城县期末）如图，在中，，，，是的中点，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点（点与点不重合），连接，当是直角三角形时，的长为 　　． 26．（2024•集美区二模）如图，在中，，点在的平分线上，．将点绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在上，则的度数为 　　． 27．（2024•柘城县校级四模）如图，已知正方形的边长为2，另一边长为的正方形的中心与点重合，连接，设的中点为，连接，当正方形绕点旋转时，的最小值为 　　． 28．（2024•凉州区三模）如图，中，，将绕点逆时针旋转到，的延长线与相交于点，连接、． （1）求证：； （2）若，求的长． 29．（2024春•大余县月考）（1）计算：； （2）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转度得到．若，求的值． 30．（2024春•赣榆区校级月考）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转度后，得到，点刚好落在边上． （1）求的值； （2）若，求的长． 31．（2024春•宁阳县校级月考）在正方形中，两条对角线，相交于点，且，连接． （1）如图1，若，，求线段的长； （2）如图2，将的顶点移到上任意一点处，绕点旋转，交的延长线上一点，射线交的延长线上一点，连接，求证：． 32．（2024•北京）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点． （1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； （2）如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 二．中心对称 · 中心对称 （1）中心对称的定义 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． （2）中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合； ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 33．（2024•任丘市校级四模）如图，在平面直角坐标系中，点、、、、、、，都是平行四边形的顶点，点、、在轴正半轴上，，，，，，，，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是　　 A． B． C． D． 34．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在菱形中，，，，分别为菱形边上的动点，过点，的直线将菱形分成面积相等的两部分，过点作于点，连接，则线段的最大值为 　　． 35．（2024•商南县三模）如图，在菱形中，，，，分别为菱形边上的动点，过点，的直线将菱形分成面积相等的两部分，过点作于点，连接，则线段的最大值为 　　． 三．坐标与图形变化−旋转 · 坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 36．（2019•河南模拟）如图在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴于点，连接将绕点按顺时针方向旋转，得到△，则点的坐标为　　 A．， B．， C． D．， 37．（2022•西华县三模）如图，在中，，顶点在第一象限，点，分别在轴、轴的负半轴上，且，，．将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 38．（2021•岱岳区一模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2021次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为　　 A． B．， C． D． 39．（2024春•中山区期中）如图，将面积为6的正方形和面积为9的正方形分别绕原点顺时针旋转，使，落在数轴上，点，在数轴上对应的数字分别为、，则　　． 40．（2024•中宁县一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，．将绕点顺时针旋转一定角度后得到，并且点恰好落到线段上，则点的坐标为 　　． 四．作图−旋转变换 · 作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 41．（2024春•宿城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的△； （2）画出与关于原点成中心对称的△； （3）若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则网格范围内点的坐标为 　　． 42．（2024春•鼓楼区期末）如图，将绕点按逆时针旋转得到，其中与是对应点，与是对应点，请借助于该图形用符号语言写出关于旋转的3条不同的性质． 43．（2024•安徽模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）请画出将绕点顺时针旋转得到的△； （2）请用无刻度的直尺作出△的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）． 44．（2023秋•龙口市期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到△，已知点的坐标为作出△并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点按顺时针方向旋转得到△，作出△； （3）若将△绕某一点旋转可得到△，直接写出旋转中心的坐标． 45．（2024•前郭县校级模拟）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，作四边形，使四边形只为中心对称图形； （2）在图②中，作四边形，使四边形只为轴对称图形； （3）在图③中，在上找一点，使 46．（2024•虎林市校级二模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． （1）若点的坐标为，请你在网格中建立适当的平面直角坐标系，并写出点，的坐标； （2）以（1）中建立的平面直角坐标系的原点为旋转中心，将绕原点顺时针旋转得到△，请你画出△． （3）连接，，求△的面积． 47．（2024春•丰城市校级月考）如图，在中，，以为边作等边，把绕着点按顺时针方向旋转后得到，若，．求： （1）的度数； （2）的长． 48．（2024•金安区校级一模）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的△，并写出的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的△． 49．（2023秋•益阳期末）如图，在等边三角形中，点在上运动，点在上运动，将点绕着点逆时针旋转得到点，连接、、得到，连接． （1）当点与点重合，点与的中点重合时，如果边长为2，请你在图1的方框内画出符合题意的图形，并求此时的长； （2）当点与的中点重合时，当点运动到什么位置时，的周长最小？请你在图2的方框内画出符合题意的图形，并求此时与的数量关系； （3）如图3，求证：．（提示：在答题卡上作图时，请用签字笔描画． 50．（2024•武汉模拟）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．按步骤完成下列问题： （1）如图1，将线段绕着点逆时针旋转得到线段； （2）如图1，在边上找一点，连接，使； （3）如图2，画出点关于的对称点，连接，在射线上取点，使得，画出点． 第23章 旋转 培优题突破练习★★★【4个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．旋转的性质 1．（2020•饶平县校级模拟）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到△，连接，则的长为　　 A．3 B． C． D．4 【答案】 【分析】根据旋转的性质得出，，求出，根据勾股定理求出即可． 【解答】解：将绕点逆时针旋转得到△，，， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质和勾股定理，能求出的长度和求出的度数是解此题的关键． 2．（2024•西城区校级模拟）如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含，两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为　　 A． B． C． D．3 【答案】 【分析】如图，以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点在射线上运动，求出，可得结论． 【解答】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于． 四边形是矩形， ， ，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， 点在与过点且与垂直的射线上运动， ， ， ，， 点在射线上运动， ， ， ，， ． 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为3． 故选：． 【点评】本题考查矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点的在射线上运动． 3．（2019•三明一模）如图，四边形为正方形，，把绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，，过作于，判定，即可得出，再根据勾股定理求得的长，即可得到的长． 【解答】解：如图，连接，，过作于， 由旋转可得，，，， ， ， ， 由旋转可得，，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， 中，， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 4．（2020•邯山区一模）如图，每次旋转都以图中的、、、、、中不同的点为旋转中心，旋转角度为为整数），现在要将左边的阴影四边形正好通过次旋转得到右边的阴影四边形，则的值可以是 A．可以，，3不可 B．可以，，3不可 C．，2可以，不可 D．，2，3均可 【答案】 【分析】利用旋转变换的性质一一判断即可． 【解答】解：将左边的阴影四边形绕点顺时针旋转得到右边的阴影四边形，此时． 左边的阴影四边形绕点逆时针旋转，再将得到的四边形绕点顺时针旋转可得右边的阴影四边形，此时． 左边的阴影四边形绕点顺时针旋转，再将得到的四边形绕点顺时针旋转，将得到的四边形绕点逆时针旋转可得右边的阴影四边形，此时． 故选：． 【点评】本题考查旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5．（2021春•镇江期末）在长方形中，，，，，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最小值为　　 A． B． C．4 D． 【答案】 【分析】连接，过点作，截取，连接，，通过证明，得，再利用勾股定理求出的长，在中，利用三边关系即可得出答案． 【解答】解：连接，过点作，截取，连接，， 将线段绕着点顺时针旋转得到， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， ，， ， 在中，， 的最小值为， 故选：． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 6．（2024•安徽模拟）如图，点是边长为8的正方形的边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，，交边于点，连接，当取最小值时，线段的长为　　 A． B．7 C．9 D． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，作直线，首先证明，得，，再证明点在的平分线上，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时，最小，设，由图1知，，则，由，得到对应边成比例即可求出的值，再利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：如图，过点作交的延长线于点，作直线， 四边形是正方形， ，，， ， ， 由旋转知，，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点在的平分线上， 如图2，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时，最小， 点关于直线的对称点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 设，由图1知， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，要求学生有较强的识图能力． 7．（2021秋•江阴市期中）如图，在中，，，，为边上一点，，为边上一动点，连接，以为边并在的右侧作等边，连接，则的最小值为　　 A．1 B．2 C．3 D． 【答案】 【分析】以为边，在右侧作等边三角形，连接，证明，可得，故当最小时，最小，此时，过作于，即可得，从而知最小值是2． 【解答】解：以为边，在右侧作等边三角形，连接，如图： 和是等边三角形， ，，， ，即， ， ， 当最小时，最小，此时，如图： 过作于， ，， ， ，， 而， 四边形是矩形， ， 而， 最小值是2． 故选：． 【点评】本题考查直角三角形及等边三角形的综合应用，涉及动点问题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，把求最小值问题转化为求最小值． 8．（2022秋•建瓯市校级月考）如图，在矩形中，，，为中点，是线段上一点，设，连结并将它绕点顺时针旋转得到线段，连结、，则在点从点向点的运动过程中，有下面四个结论：①当时，；②点到边的距离为；③直线一定经过点；④的最小值为：．其中结论正确的有　　个．（填序号即可） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】分两种情况讨论，由“”可证，，可得，，，，可得时，或，点到的距离为，点在直线上，故①错误，②③正确，由等腰直角三角形的性质可求的最小值为，故④正确，即可求解． 【解答】解：如图1，当点在线段上时，过点作于， 为中点， ， 将绕顺时针旋转得到线段， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点在直线上， 当点在点右边时，如图2， 过点作，交的延长线于点， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 点在直线上， 综上所述：时，或，点到的距离为，点在直线上，故①错误，②③正确， 点在上运动， 当时，有最小值，如图3， ，，， ，， 的最小值为，故④正确， 故选：． 【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 9．（2023•东莞市校级一模）如图，把绕点逆时针旋转得到△，点恰好落在斜边上，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用旋转的性质得出，，进而利用直角三角形的两锐角互余得出的度数． 【解答】解：把绕点逆时针旋转，得到△，点恰好落在边上， ，， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，得出是解题关键． 10．（2024•吴江区二模）如图，为等边内的一点，且到三个顶点，，的距离分别为6，8，10，则的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先把绕点逆时针旋转到，把绕点逆时针旋转到，把绕点逆时针旋转到，连接，，，把三角形的面积进行转换求解． 【解答】解：是等边三角形， 把绕点逆时针旋转到，把绕点逆时针旋转到，把绕点逆时针旋转到，连接，，， ， 为等边三角形，且面积为：， ， ， 为直角三角形，且面积为：， 四边形的面积为：， 同理得：四边形的面积为：， 四边形的面积为：， 的面积为：， 故选：． 【点评】本题考查了图形的旋转，掌握旋转的性质及三角形的面积公式是解题的关键． 11．如图，在中，是使得最小的点，为中点，，，则的最小值为　　 A．1 B． C． D．以上答案均错误 【答案】 【分析】先将绕点逆时针旋转得到，然后得到、、，从而得到是等边三角形，然后得到，从而可得，所以得到当点、、、四点共线时，最小，此时，、，进而得到，延长至点，使得，则，所以当、、三点共线时，最小，此时，得到平分，再结合点是的中点得到是等腰三角形，从而得到、、，然后得到为等腰三角形，从而得到，再结合得到，然后由、得到的长，最后得到的最小值． 【解答】解：如图，连接，，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转得，，，，， 是等边三角形， ，， ， 当点、、、四点共线时，的最小值为的长， 此时，， ， 延长至点，使得，则， 当、、三点共线时，的最小值为的长， 此时，， 平分， 点是的中点， 是的中线，是的中线， 是等腰三角形， ，， ，， 为等腰三角形， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含角的直角三角形的三边关系，解题的关键是通过图形的旋转得到最小时的点的位置． 12．（2022春•龙华区期末）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转至，此时点在上，连接、、、，线段分别交、于点、，则下列四个结论中：①；②是等边三角形；③；④当时，；正确的是　　 A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】 【分析】①由旋转可知，所以，所以．由此可判断①正确； ②由平行可知，，所以，所以，所以是等边三角形，由此可判断②正确； ③由是等边三角形，得，所以是等边三角形，若．推出，显然不可能，由此可判断③错误； ④过点作交的延长线于点，由含的直角三角形可知，，，所以，可表达．，可得，由此可判断④正确． 【解答】解：①绕点逆时针旋转至， ， ， ， ．故①正确； ②， ， ， ， ， 是等边三角形，故②正确； ③是等边三角形， ， 是等边三角形， 若，则，推出（1）， 点在上， （2）， 两者互相矛盾，显然不可能， 故③错误； 法二、由题意可知，， 比值的大小与原四边形的两临边的比值相关，答案不确定， 故③错误； ④过点作交的延长线于点， ， ， ，， ， 的高为， ． 的高为， ， ，故④正确． 故选：． 【点评】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形的面积等知识；熟练掌握旋转的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 13．（2020秋•海淀区校级期中）如图，在正方形中，点是上一动点，点是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，给出结论：①；②；③；④若正方形的边长为2，则点在射线上运动时，有最小值．其中结论正确的是　　 A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，可判断①；由四边形内角和定理可求，可得，可判断②；由垂线段最短，可得当时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的最小值，可判断④；由连接，过点作于点，过点作于，交于，连接，由梯形中位线定理可求，由“”可证，可得，即可求，可判断③，即可求解． 【解答】解：如图，延长交的延长线于点， 点是的中点， ， ， ，， ， ， 又， ， 绕点顺时针旋转得到， ，， ，故①正确； ， ，， ， ， ， ，故②正确； 如图，连接，过点作于点，过点作于，交于，连接， ，，， 四边形是矩形， ，， ， 点在上运动， 当时，有最小值， ，， 的最小值，故④正确； ，，， ， ， ， 是梯形的中位线， ， ，， ， ，， ，， ， 又，， ， ， ， ， ， ，故③错误； 故选：． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，旋转的性质，平行线分线段成比例，梯形中位线的定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 14．（2020秋•腾冲市期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点是正方形内一点，，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用旋转法构造全等三角形以及直角三角形即可解决问题． 【解答】解：将绕点逆时针旋转，得到△，连接， 则，，， ， 根据勾股定理得，， ， ， 又， ， 是直角三角形，且， ． 故选：． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，利用旋转法构造全等三角形是解题的关键． 15．（2022•三明模拟）如图，在矩形中，，，点是上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连结．从点向点运动过程中，的最小值为　　 A．1 B． C． D．2 【答案】 【分析】过作于，根据四边形是矩形和绕点顺时针旋转得到线段，证明，可得，，设，则，有，根据二次函数性质可得答案． 【解答】解：过作于，如图： 四边形是矩形， ， 绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， 在中， ， 当时，取最小值，最小值为2， 最小值是， 故选：． 【点评】本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，利用二次函数性质解决问题． 16．（2022秋•临邑县期中）如图，已知是正三角形，，．将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合，得到，则旋转的角度是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质求出，根据垂直求出，求出即可． 【解答】解：是正三角形， ， ， ， ， 即旋转角是， 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质和等边三角形的性质，能求出的度数是解此题的关键． 17．（2024•潮阳区模拟）如图，在菱形中，，，点在边上，绕点顺时针旋转，点落在延长线上的点处，连接交于点，则　60　；若点是的中点，则的长等于 　　． 【答案】60，3． 【分析】①证明是等边三角形即可； ②证明，利用相似比求出，即可得出结果． 【解答】解：①绕点顺时针旋转， ，， 是等边三角形， ； ②四边形是菱形，， ，是等边三角形， ， 又①中证明， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：60，3． 【点评】本题主要考查图形的变换，利用旋转的性质证明等边三角形和相似三角形是解题的关键． 18．（2024•衡阳模拟）如图所示，在中，，将绕点顺时针旋转得到△，点的对应点在边上（不与点，重合）．若，则的度数为 　　． 【答案】． 【分析】由旋转知，，，从而得出是等腰直角三角形，即可解决问题． 【解答】解：将绕点顺时针旋转得到△， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，明确旋转前后对应角相等、对应线段相等是解题的关键． 19．（2024•利川市模拟）如图，等边中，，点是边上一动点，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接，，则的最小值是 　　． 【答案】． 【分析】根据旋转得出与全等，得出，进而得出点的运动轨迹，再过点作的垂线可解决问题． 【解答】解：由旋转可知， ， ． 是等边三角形， ， ， 则点在以为顶点，且与夹角为的直线上运动． 过点作的垂线，垂足为， 当点在点处时，取得最小值，即为的长． 点是边的中点， ． 在中， ． 在中， ， ， ， 则的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查旋转的性质及轴对称最短路线问题，熟知图形旋转的性质及通过全等三角形的性质得出点的运动轨迹是解题的关键． 20．（2024春•临川区校级月考）如图，在中，已知，，，将绕点逆时针旋转得到，点与点对应，点与点对应，且，，三点恰好在同一条直线上，则的长为 　4　． 【答案】4． 【分析】首先根据旋转的性质得到，然后根据全等三角形的性质得到是等腰直角三角形，进而可求出的长度，然后根据勾股定理求出的长度，即可求出的长度． 【解答】解：连接， 将绕点逆时针旋转得到，则， ，， ，， ，，三点恰好在同一条直线上，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 故答案为：4． 【点评】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是根据旋转的性质得到是等腰直角三角形进而求出的长度． 21．（2024•孝感模拟）如图1，在中，，，，点是的中点，点是的中点，连接．如图2，将绕点顺时针旋转到点，，首次在同一条直线上，连接．则的长为 　　． 【答案】． 【分析】根据图形旋转的性质，得出与相似，进而得出，最后用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：，，， ． ，分别为和的中点， ， ． 由旋转可知， ， ， ， ． 在中， ． 故答案为：． 【点评】本题考查旋转的性质、勾股定理及三角形中位线定理，熟知图形旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 22．（2024•沾化区一模）矩形中，，，将边绕点逆时针旋转，点落在处，连接、，若，则　　． 【答案】． 【分析】根据题意画出示意图，利用相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：过点作的垂线，垂足为， ， ， ． 又， ， ． 令， 则． ， ， 则． 在△中， ， 解得（舍负）， ． 故答案为：． 【点评】本题考查旋转的性质及矩形的性质，能根据题意画出示意图是解题的关键． 23．（2024春•苏家屯区校级月考）如图，中，，，，点是直线边上一动点，连接将其绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】以为边作等边，连接，过点作于点，可证，可得，则时，的长最小，即的长最小，即可求解． 【解答】解：如图，以为边作等边，连接，过点作于点， ，， ，， 根据勾股定理得：， ， 解得：，负值舍去， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形， ，， ，且，， ， ， 时，即点与点重合，的长最小，即的长最小， ，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 24．（2024•南康区模拟）如图，中，，，，点是边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，当点的对应点恰好落在的边所在的直线上时，线段的长为 　2或4或　． 【答案】2或4或． 【分析】分四种情况讨论．①如图，当点落在上时，由旋转性质可得，在中，，，根据锐角三角函数可得； ②如图，当点落在上时，过点作于点，过点作于点，在中，可得，，由旋转性质可得，，证明，则，设，可得，，根据平行四边形的性质可得，则，即，解得，得到点与点重合，则； ③当点落在上时，如图，过点作于点，四边形是矩形，可得，由旋转性质可得，，得到，再利用勾股定理可得结论； ④当点落在上时，过点作于点，由旋转性质可得，，得到，根据锐角三角函数可得，解得，则，得到，继而推出点在线段的延长线上，可得结论． 【解答】解：分四种情况讨论： ①当点落在上时，如图1， 线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点， ， ， 在中，，， ； ②当点落在上时，如图2，过点作于点，过点作于点， ， ， 线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，，，， ，， ， 设， ， ， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ，即， 解得：， 点与点重合， ； ③当点落在上时，如图，过点作于点，过点作于点， ， 四边形是平行四边形，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点， ，， ， ； ④当点落在上时，过点作于点， ， 线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点， ，， ， ，，， ， ， ， ， 点在线段的延长线上，不符合题意； 综上所述，的长为2或4或． 故答案为：2或4或． 【点评】本题是旋转变换综合题，考查了旋转的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，运用了分类讨论的思想．掌握旋转的性质，解直角三角形是解题的关键． 25．（2023秋•虞城县期末）如图，在中，，，，是的中点，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点（点与点不重合），连接，当是直角三角形时，的长为 　或　． 【答案】或． 【分析】运用勾股定理可得，由旋转得：，分两种情况：当时，当时，利用勾股定理即可求得答案． 【解答】解：在中，，，， ， ， 是的中点， ， 将绕点在平面内旋转，点的对应点为点（点与点不重合），如图， ， 当时，， 则； 当时， 则； 故答案为：或． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转变换的性质，解题关键是运用分类讨论思想解决问题． 26．（2024•集美区二模）如图，在中，，点在的平分线上，．将点绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在上，则的度数为 　　． 【答案】 【分析】在上截取，连结．可得，，，是等边三角形，，已知，可得，再求出，即可求出的度数． 【解答】解：在上截取，连结， ，点在的平分线上， ， ． ，， ，， 是等边三角形， ， ， ． ， ， ， ． ． 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．关键是添加辅助线构造等边三角形． 27．（2024•柘城县校级四模）如图，已知正方形的边长为2，另一边长为的正方形的中心与点重合，连接，设的中点为，连接，当正方形绕点旋转时，的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】如图1，在的延长线上截取，连接，根据三角形中位线定理得到，由旋转的性质知，点在以点为圆心，1为半径的圆上，当，，三点共线时，且点在线段上时，最小，即最小，如图2，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：如图1，在的延长线上截取，连接， 点为的中点， 是的中位线， ， 由旋转的性质知，点在以点为圆心，1为半径的圆上， 当，，三点共线时，且点在线段上时，最小，即最小， 如图2， ，， ， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 28．（2024•凉州区三模）如图，中，，将绕点逆时针旋转到，的延长线与相交于点，连接、． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解答； （2）． 【分析】（1）根据旋转的性质，首先证得是等边三角形，得出，因为，根据平行线的判定即可证得； （2）证得，得到，再证明即可解决问题． 【解答】（1）证明：，， 是等边三角形， ， ， ； （2）解：是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，所对的直角边等于斜边的一半的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 29．（2024春•大余县月考）（1）计算：； （2）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转度得到．若，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解； （2）先根据旋转的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差可得，由此即可得． 【解答】解：（1） （2）由旋转的性质得：， ， ， ， ，即旋转角为， ， 【点评】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，旋转的性质，平行线的性质，①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 30．（2024春•赣榆区校级月考）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转度后，得到，点刚好落在边上． （1）求的值； （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2）3． 【分析】（1）由旋转的性质，证明是等边三角形，即可求得旋转角的度数； （2）易得是含角的直角三角形，则可求得． 【解答】解：（1）将绕点按逆时针方向旋转度后得到， ， 在中，，， ， 是等边三角形， ， （2）， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 31．（2024春•宁阳县校级月考）在正方形中，两条对角线，相交于点，且，连接． （1）如图1，若，，求线段的长； （2）如图2，将的顶点移到上任意一点处，绕点旋转，交的延长线上一点，射线交的延长线上一点，连接，求证：． 【答案】（1）； （2）见解析． 【分析】（1）易求得正方形的边长为4，由同角加等角相等可得，进而利用可证明，得到，在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点作交于点，则，由同角加等角相等可得，由平行线的性质可得，进而得到△为等腰直角三角形，，于是利用证明△△，得到，根据等量代换和等腰直角三角形的性质即可得． 【解答】（1）解：四边形为正方形， ，，， 为等腰直角三角形， ， ， ，即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， 在中，； （2）证明：过点作交于点， 四边形为正方形， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， △为等腰直角三角形，， ， ，， 在△和△中， ， △△， ， ． 【点评】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，构造全等三角形解决问题． 32．（2024•北京）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点． （1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； （2）如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析； （2），证明见解析． 【分析】（1）证明即可证明点是的中点； （2）先证明，得到，再根据角度计算得到，从而得出和的数量关系． 【解答】（1）证明：连接， 由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点是的中点； （2）解：， 在射线上取点，使得，取的中点，连接， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 二．中心对称 33．（2024•任丘市校级四模）如图，在平面直角坐标系中，点、、、、、、，都是平行四边形的顶点，点、、在轴正半轴上，，，，，，，，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，先求出前几个点的坐标，即可找出规律：第个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解． 【解答】解：如图所示，连接轴于点， ，， ， ， ，重合， ， 则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：，，， 则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是； 同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是； 第6个平行四边形的对称中心的坐标是，即，，， 故选：． 【点评】本题考查的是点的坐标变化规律，中心对称和平行四边形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 34．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在菱形中，，，，分别为菱形边上的动点，过点，的直线将菱形分成面积相等的两部分，过点作于点，连接，则线段的最大值为 　　． 【答案】． 【分析】如图，连接交于点．取的中点，连接，．求出，，可得结论． 【解答】解：如图，连接交于点．取的中点，连接，． 直线平分菱形的面积， 直线经过点， 四边形是菱形， ，，，，， ，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 【点评】本题考查中心对称，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 35．（2024•商南县三模）如图，在菱形中，，，，分别为菱形边上的动点，过点，的直线将菱形分成面积相等的两部分，过点作于点，连接，则线段的最大值为 　　． 【答案】． 【分析】连接交于点．取的中点，连接，，由菱形的性质可得，，，，，得出，都是等边三角形，从而得出，，再由勾股定理求得，，得出， 最后得出，即可求解． 【解答】解：如图，连接交于点．取的中点，连接，， 直线将菱形分成面积相等的两部分， 直线经过点， 四边形是菱形， ，，，，， ，都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，关键是菱形性质的应用． 三．坐标与图形变化−旋转 36．（2019•河南模拟）如图在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴于点，连接将绕点按顺时针方向旋转，得到△，则点的坐标为　　 A．， B．， C． D．， 【分析】将线段绕点顺时针旋转得到．连接交于，作轴于，轴于．首先确定点的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【解答】解：将线段绕点顺时针旋转得到．连接交于，作轴于，轴于． ，可得， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查坐标与图形变化旋转，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型． 37．（2022•西华县三模）如图，在中，，顶点在第一象限，点，分别在轴、轴的负半轴上，且，，．将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作轴于点．首先利用相似三角形的性质求出点的坐标，再探究规律，利用规律解决问题即可． 【解答】解：如图，过点作轴于点． ，，， ， ， ，， ， ， ，即， ，， ， ， 矩形绕点逆时针旋转，每次旋转， 则第2次旋转结束时，点的坐标为； 则第4次旋转结束时，点的坐标为； 则第6次旋转结束时，点的坐标为； 则第8次旋转结束时，点的坐标为； 发现规律：旋转8次一个循环， ， 则第2022次旋转结束时，点的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转、规律型点的坐标，解决本题 的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律． 38．（2021•岱岳区一模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2021次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为　　 A． B．， C． D． 【答案】 【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论． 【解答】解：如图， 四边形是正方形，且， ， 连接， 由勾股定理得：， 由旋转得：， 将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形， 相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到， ，，，，，，， 发现是8次一循环，所以， 点的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型． 39．（2024春•中山区期中）如图，将面积为6的正方形和面积为9的正方形分别绕原点顺时针旋转，使，落在数轴上，点，在数轴上对应的数字分别为、，则　　． 【答案】． 【分析】利用正方形的面积求得，，根据旋转的性质得出，，从而求得． 【解答】解：正方形和正方形的面积分别为7和9， ，， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，数形结合是解题的关键． 40．（2024•中宁县一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，．将绕点顺时针旋转一定角度后得到，并且点恰好落到线段上，则点的坐标为 　　． 【答案】． 【分析】过点作轴的垂线，根据旋转的性质得出是等边三角形即可解决问题． 【解答】解：过点作轴的垂线，垂足为， 点坐标为， ． 在中， ， ． 由旋转可知， ， 又， 是等边三角形， ． 在△中， ， ， 同理可得，， 点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查坐标与图形变化旋转，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 四．作图−旋转变换 41．（2024春•宿城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的△； （2）画出与关于原点成中心对称的△； （3）若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则网格范围内点的坐标为 　　． 【答案】（1）作图见解析过程； （2）作图见解析过程； （3）． 【分析】（1）根据旋转的性质，找到对应点，然后连接成三角形即可求解； （2）根据中心对称的性质，找到对应点，然后连接成三角形即可求解； （3）根据平行四边形的性质，找到点，根据坐标系即可求得点的坐标． 【解答】解：（1）如图1所示，△即为所求， （2）解：如图2所示，△即为所求， （3）点在第一象限，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为，如图3， 故答案为：． 【点评】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，画旋转图形，画中心对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 42．（2024春•鼓楼区期末）如图，将绕点按逆时针旋转得到，其中与是对应点，与是对应点，请借助于该图形用符号语言写出关于旋转的3条不同的性质． 【答案】见解析． 【分析】利用旋转变换的性质解答即可（答案不唯一）． 【解答】解：性质； 性质； 性质． 【点评】本题主要考查了作图旋转变换以及扇形面积的计算的知识，解答本题的关键是找出旋转中心，正确地画出旋转图形是求线段扫过面积的基础，此题难度不大． 43．（2024•安徽模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）请画出将绕点顺时针旋转得到的△； （2）请用无刻度的直尺作出△的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析． 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）取格点，连接，取的中点，作射线即可． 【解答】解：（1）如图所示，△即为所求； （2）如图所示，射线即为所求． 【点评】本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，灵活运用所学知识解决问题． 44．（2023秋•龙口市期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到△，已知点的坐标为作出△并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点按顺时针方向旋转得到△，作出△； （3）若将△绕某一点旋转可得到△，直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）画图见解答；点，． （2）见解答． （3）． 【分析】（1）根据平移的性质作图，可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，可得出答案． （3）连接，，，再分别作出线段，，的垂直平分线，交点即为所求的旋转中心，可得出答案． 【解答】解：（1）△如图所示． 点，． （2）△如图所示． （3）如图，点即为所求的旋转中心， 旋转中心的坐标为． 【点评】本题考查作图旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转和平移的性质是解答本题的关键． 45．（2024•前郭县校级模拟）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，作四边形，使四边形只为中心对称图形； （2）在图②中，作四边形，使四边形只为轴对称图形； （3）在图③中，在上找一点，使 【答案】见解析． 【分析】（1）根据中心对称图形的定义作一个平行四边形即可； （2）根据轴对称图形的定义作一个等腰梯形即可； （3）取格点，作射线交于点，线段即为所求． 【解答】解：（1）如图①中，四边形即为所求； （2）如图②中，四边形即为所求； （3）如图③中，线段即为所求． 【点评】本题考查作图旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，轴对称变换的性质． 46．（2024•虎林市校级二模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． （1）若点的坐标为，请你在网格中建立适当的平面直角坐标系，并写出点，的坐标； （2）以（1）中建立的平面直角坐标系的原点为旋转中心，将绕原点顺时针旋转得到△，请你画出△． （3）连接，，求△的面积． 【答案】（1）见解析，，； （2）见解析； （3）6． 【分析】（1）根据点的坐标，画出同与轴即可； （2）根据旋转的性质分别作出点、、三点顺时针旋转90度后的对应点、、，再连接，，即可； （3）根据网格，用矩形的面积减去三个直角三角形的面积计算即可． 【解答】解：（1）如图所示建立平面直角坐标系，，． （2）如图所示，△即为所求； （3）如图， △的面积． 答：△的面积为6． 【点评】本题考查建立平面直角坐标系，掌握根据点的位置写出点的坐标，作旋转图形，利用网格求图形的面积是解题的关键． 47．（2024春•丰城市校级月考）如图，在中，，以为边作等边，把绕着点按顺时针方向旋转后得到，若，．求： （1）的度数； （2）的长． 【答案】（1）； （2）7． 【分析】（1）根据旋转的性质先证明是等边三角形，由相似三角形的性质可得； （2）由旋转可得，、、在一条直线上，即可得到． 【解答】解：（1）由题知：， ，， ，， ，， ， ， ， 、、在一条直线上， 是等边三角形， ； （2）、、在一条直线上， ， 绕着点按顺时针方向旋转后得到， ， ． 【点评】本题考查作图旋转变换，等边三角形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键． 48．（2024•金安区校级一模）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的△，并写出的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的△． 【分析】（1）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：△，即为所求，； （2）如图所示：△，即为所求． 【点评】此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 49．（2023秋•益阳期末）如图，在等边三角形中，点在上运动，点在上运动，将点绕着点逆时针旋转得到点，连接、、得到，连接． （1）当点与点重合，点与的中点重合时，如果边长为2，请你在图1的方框内画出符合题意的图形，并求此时的长； （2）当点与的中点重合时，当点运动到什么位置时，的周长最小？请你在图2的方框内画出符合题意的图形，并求此时与的数量关系； （3）如图3，求证：．（提示：在答题卡上作图时，请用签字笔描画． 【答案】（1）画图见解答，的长为1； （2）当点与的中点重合时，当点运动到时，的周长最小．画图见解答；； （3）证明见解答． 【分析】（1）由旋转可得，，推出是等边三角形，可得，，进而证得即可； （2）由旋转可得是等边三角形，即的周长，得出当时，最小，即的周长最小，再证得，即可求得答案； （3）过点作交于，可证得，可得，利用平行线的判定定理推出，即可证得结论． 【解答】（1）解：如图所示：即为所求． 当点与点重合，点与的中点重合时， 边长为2， ， 将点绕着点逆时针旋转得到点， ，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ， ，， ， ； （2）解：当点与的中点重合时，当点运动到时，的周长最小． 理由： 点与的中点重合， ， 是等边三角形， ，， 将点绕着点逆时针旋转得到点， ，， 是等边三角形， 的周长， 当时，最小，即的周长最小， ，， ； 如图所示：即为所求． 结论：． 理由如下： ，，， ， ， ； （3）证明：如图3，过点作交于， 则，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， 将点绕着点逆时针旋转得到点， ，， ， 即， ， ， ， ， ． 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 50．（2024•武汉模拟）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．按步骤完成下列问题： （1）如图1，将线段绕着点逆时针旋转得到线段； （2）如图1，在边上找一点，连接，使； （3）如图2，画出点关于的对称点，连接，在射线上取点，使得，画出点． 【答案】见解析． 【分析】（1）利用旋转变换的性质作出点的对应点即可； （2）取格点，，连接交于点，连接（利用相似三角形的性质证明，可得； （3）取格点，作射线，取格点，，连接交于点，取格点，，作直线，交射线于点，点，点即为所求． 【解答】解：（1）如图1中，线段即为所求； （2）如图1中，点即为所求； （3）如图2中，点，点即为所求． 【点评】本题考查作图旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$