综合检测卷(Word练习)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

综合检测卷(教参独具) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x＜1}，则A∩B＝(　　) A．{x|x＜1}　　　　　　 B．{x|x＜3} C．{x|－2＜x＜1} D．{x|－2＜x＜3} 解析　由A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x＜1}， 可知A∩B＝{x|－2＜x＜1}，故选C. 答案　C 2．不等式x2－mx＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞2}，则实数m的值为(　　) A．2 B．－2 C．－3 D．3 解析　因为不等式的解集为{x|x<1或x>2}， 所以1,2是方程x2－mx＋2＝0的两根， 所以1＋2＝m⇒m＝3，故选D. 答案　D 3．若角α的终边过点P(－4,3)，则2sin α＋cos α的值为(　　) A．－ B． C．－或 D．1 解析　角α的终边过点P(－4,3)， 则sin α＝，cos α＝－， 则2sin α＋cos α＝，故选B. 答案　B 4．(2024·信阳模拟)若“x>a”是“x>b”的充分不必要条件，则(　　) A．a<b B．a>b C．a≤b D．a≥b 解析　由题意，“x>a”是“x>b”的充分不必要条件， 故{x|x>a}{x|x>b}， 故a>b，故选B. 答案　B 5．二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令．现行的二十四节气是根据地球在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置变化而制定的．每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置．根据描述，从冬至到雨水对应地球在黄道上运动的弧度数为(　　) A．－60° B．－75° C．75° D．60° 解析　根据题意，雨水是冬至后的第四个节气， 故从冬至到雨水对应地球在黄道上运行了4×15°＝60°，故选D. 答案　D 6．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a 解析　a＝log20.2<log21＝0，b＝20.2>20＝1， 0<0.20.3<0.20＝1，则0<c<1，a<c<b，故选B. 答案　B 7．函数y＝x4－2x2的大致图象是(　　) 解析　f(x)＝x4－2x2的定义域为R，f(－x)＝(－x)4－2(－x)2＝x4－2x2＝f(x)，所以函数为偶函数，故正确答案在A、B中，当x＝1时，f(1)＝1－2＝－1，故选B. 答案　B 8．区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2256种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2256次运算．现在有一台机器，每秒能进行2.5×1011次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需时间大约为(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477)(　　) A．4.5×1083秒 B．4.5×1065秒 C．4.5×1017秒 D．2.8×107秒 解析　设这台机器破译所需时间大约为x秒， 则x×2.5×1011＝2256，两边同时取底数为10的对数，得lg(x×2.5×1011)＝lg 2256， 所以lg x＋lg 2.5＋lg 1011＝256lg 2， 所以lg x＋lg 5－lg 2＋11＝256lg 2， 所以lg x＝258lg 2－12≈258×0.3010－12＝65.658， 所以x＝1065.658＝1065×100.658， 而lg 4.5＝lg＝2lg 3－lg 2≈0.653， 所以100.653≈4.5，∴x≈4.5×1065，故选B. 答案　B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是(　　) A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ac2>bc2，则a>b C．若a>b，则< D．若a>b，c>d，则a－d>b－c 解析　－3>－5,1>－4，但是－3×1<－5×－4，A不正确； 因为ac2>bc2成立，则c2>0，那么a>b，B正确； 2>－3，但是>－，C不正确； 因为c>d，则－c<－d，又a>b，所以a－d>b－c，D正确，故选BD. 答案　BD 10．已知函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为π B．函数f(x)在[0，π]上有三个零点 C．当x＝时，函数f(x)取得最大值 D．为了得到函数f(x)的图象，只要把函数y＝sin图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变) 解析　f(x)＝sin，周期为π，A正确； 令f(x)＝0,2x＋＝kπ(k∈Z)， 当x∈[0，π]时，x＝，，B不正确； 当x＝时，f(x)＝取得最大值，C正确； 只要把函数y＝sin图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到f(x)，D不正确，故选AC. 答案　AC 11．已知函数f(x)的定义域为D，若对∀x∈D，∃y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“M函数”．下列所给出的函数中是“M函数”的有(　　) A．y＝x2 B．y＝ C．y＝2x－1 D．y＝ln(x＋1) 解析　由已知，在函数定义域内，对任意的x 都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即，故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“M函数”的条件． 对于A中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故A不符合题意； 对于B中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故B符合题意； 对于C中函数的值域为(0，＋∞)，值域不关于原点对称，故C不符合题意； 对于D中函数的值域为R，值域关于原点对称，故D符合题意，故选BD. 答案　BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．命题：∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是___________________________． 解析　根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“∃x∈R，x2－x＋1＝0”的否定是“∀x∈R，x2－x＋1≠0”． 答案　∀x∈R，x2－x＋1≠0 13．已知某扇形的半径为3，面积为，那么该扇形的弧长为________． 解析　设该扇形的弧长为l，由扇形的面积S＝lr，可得＝l×3，解得l＝π. 答案　π 14．如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝logx，y＝x，y＝x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________． 解析　由题意得，A，B，C三点分别在函数y＝logx，y＝x，y＝x的图象上，把y＝2代入y＝logx，得2＝logx，即x＝2＝，所以A. 由四边形ABCD是矩形，得点B的纵坐标也是2，把y＝2代入y＝x，得2＝x，即x＝4，所以B(4,2)，则点C的横坐标是4，把x＝4代入y＝x，得y＝.所以点C，所以点D的坐标是. 答案　 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(2024·芜湖模拟)已知全集U＝R，集合A＝，集合B＝{x|2m<x<1－m}．条件①A∩∁UB＝∅；②x∈A是x∈B的充分条件；③∀x1∈A，∃x2∈B，使得x1＝x2. (1)若m＝－1，求A∩B； (2)若集合A，B满足条件________(三个条件任选一个作答)，求实数m的取值范围． 解析　(1)当m＝－1时，集合B＝{x|－2<x<2}，集合A＝， 所以A∩B＝. (2)i.当选择条件①时， 集合B＝， 当B＝∅时，A∩∁UB＝A≠∅，舍； 当集合B≠∅时，即2m＜1－m，m＜时，∁UB＝， 此时要满足A∩∁UB＝∅， 则解得m＜－2， 结合m＜， 所以实数m的取值范围为(－∞，－2)； ii.当选择条件②时，要满足x∈A是x∈B的充分条件，则需满足在集合B≠∅时， 集合A是集合B的子集， 即解得m＜－2， 所以实数m的取值范围为(－∞，－2)； iii.当选择条件③时，要使得∀x1∈A，∃x2∈B，使得x1＝x2，那么需满足在集合B≠∅时，集合A是集合B的子集， 即解得m＜－2， 所以实数m的取值范围为(－∞，－2)， 综上，实数m的取值范围为(－∞，－2)． 16．(15分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2x. (1)求当x<0时，f(x)的解析式； (2)求不等式f(x)<1的解集． 解析　(1)∵当x>0时，f(x)＝1－2x， 当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝1－2－x. 又y＝f(x)是R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)＝－f(－x)＝－(1－2－x)＝2－x－1， 即x<0时，f(x)＝2－x－1. (2)当x>0时，不等式f(x)<1可化为1－2x<1， ∴2x>0，显然成立； 当x＝0时，y＝f(x)是奇函数，f(0)＝0<1成立； 当x<0时，不等式可化为2－x－1<1， ∴2－x<2，∴－x<1，得－1<x<0. 综上可知，不等式f(x)<1的解集为(－1，＋∞)． 17．(15分)已知定义在R上的函数f(x)＝. (1)判断函数f(x)的单调性； (2)判断f(x)的奇偶性； (3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)－f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围． 解析　(1)任取x1，x2∈R且x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝ ∵x1＜x2， ∴f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)为R上的减函数． (2)由题意知f(x)的定义域为R，∴f(x)的定义域关于原点对称．∵f(x)＝，∴f(－x)＝＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． (3)不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于f(t2－2t)＜f(k－2t2)， 又f(x)是R上的减函数，所以t2－2t＞k－2t2，所以k＜3t2－2t， 令g(t)＝3t2－2t，则g(t)＝3t2－2t＝32－≥－对t∈R恒成立， 所以k＜－， 即实数k的取值范围是. 18．(17分)已知函数f(x)＝sin·sin－x＋sin xcos x(x∈R)． (1)求f的值； (2)在△ABC中，若f＝1，求sin B＋sin C的最大值． 解析　(1)∵f(x)＝sinsin＋sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x ＝sin， ∴f＝1. (2)由f＝sin＝1， 而0<A<π，可得A＋＝，即A＝. ∴sin B＋sin C＝sin B＋sin ＝sin B＋cos B＝sin， ∵0<B<， ∴<B＋<，<sin≤1， ∴sin B＋sin C的最大值为. 19．(17分)对于函数y＝f(x)，x∈D1，y＝g(x)，x∈D2及实数m，若存在x1∈D1，x2∈D2，使得f＋g＝m，则称函数f(x)与g(x)具有“m关联”性质． (1)若f(x)＝sin x与g(x)＝cos 2x具有“m关联”性质，求m的取值范围； (2)己知a>0，f(x)为定义在R上的奇函数，且满足：①在[0,2a]上，当且仅当x＝时，f(x)取得最大值1；②对任意x∈R，有f(a＋x)＋f(a－x)＝0. 求证：y1＝sin πx＋f(x)与y2＝cos πx－f(x)不具有“4关联”性． (1)解析　由题意可知f(x1)＝sin x1∈[－1,1]，g(x2)＝cos 2x2∈[－1,1]， 故f(x1)＋g(x2)∈[－2,2]， 则m的取值范围为[－2,2]． (2)证明　因为在[0,2a]上，当且仅当x＝时，f(x)取得最大值1， 且f(x)为定义在R上的奇函数， 故在[－2a,0]上当且仅当x＝－时，f(x)取得最小值－1， 由对任意x∈R，有f(a＋x)＋f(a－x)＝0，可知f(x)图象关于点(a,0)对称， 又f(a＋x)＝－f(a－x)＝f(x－a)， 即f(x＋2a)＝f(x)， 故2a为函数f(x)的周期， 故f(x)∈[－1,1]， sin πx∈[－1,1]，cos πx∈[－1,1]， 当f(x1)＝1时，x1＝＋2na，n∈Z， sin πx1＝1时，x1＝＋2k，k∈Z， 若＋2na＝＋2k，a＝，k，n∈Z，此时有y1＝sin πx1＋f(x1)＝2为最大值； 当f(x2)＝－1时，x2＝－＋2ma，m∈Z， cos πx2＝1时，x2＝2t，t∈Z， 若－＋2ma＝2t，a＝，t，m∈Z，此时有y2＝cos πx2－f＝2为最大值， 由于a＝≠，故sin πx1＋f＋cos πx2－f<4， 即不存在x1∈R，x2∈R，使得sin πx1＋f＋cos πx2－f＝4， 所以y1＝sin πx＋f(x)与y2＝cos πx－f(x)不具有“4关联”性． 学科网（北京）股份有限公司 $$