5.3.2 诱导公式五、六(Word练习)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．已知sin α＝，则cos＝(　　) A.　　　　　　　 B．－ C. D．－ 解析　cos＝－sin α＝－. 答案　B 2．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是(　　) A．－a B．－a C.a D.a 解析　由条件得－sin α－sin α＝－a， 故sin α＝， 原式＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－a. 答案　B 3．如果sin α＝，那么sin－cos＝(　　) A．－ B．－ C. D． 解析　sin－cos＝－sin α－sin α＝－2sin α＝－ . 答案　B 4．已知cos＝，且|φ|<，则tan φ等于(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　由cos＝－sin φ＝，得sin φ＝－，又∵|φ|<，∴φ＝－，∴tan φ＝－. 答案　C 5．已知cos＝－，且α 为第四象限角，则cos＝________. 解析　因为cos＝sin α，所以sin α＝－. 又α 为第四象限角，所以cos α＝＝， 所以cos＝cos＝－cos α＝－. 答案　－ 6．若sin＝，则cos＝________. 解析　cos＝cos ＝－sin＝－. 答案　－ 7．化简＝________. 解析　原式＝ ＝＝－1. 答案　－1 8．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求 的值． 解析　因为5x2－7x－6＝0的两根为x＝2或x＝－，所以sin α＝－， 又因为α为第三象限角， 所以cos α＝－＝－.所以tan α＝. 故原式＝ ＝tan α＝. [关键能力·综合提升] 9．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°等于(　　) A．89 B．90 C. D．45 解析　∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1， sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…， ∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋＝. 答案　C 10．(多选)若存在函数f(x)，g(x)满足f(g(x))＝sin x，则g(x)可以是(　　) A．x3 B．cos x C．ln x D．2 解析　A：令t＝x3，则x＝t，故f(t)＝sin t，满足函数关系； B：令t＝cos x，则sin x＝±，故f(t)＝±，不满足函数关系； C：令t＝ln x，则x＝et，故f(t)＝sin et，满足函数关系； D：令t＝2，则x＝±，故f(t)＝sin ＝cos ，满足函数关系， 故选ACD. 答案　ACD 11．若sin＝，则sin＝________，cos＝________. 解析　若sin＝，则sin＝sin＝sin＝； cos＝cos＝－sin＝－. 答案　　－ 12．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝90°，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是________(填上所有符合的序号)． ①sin β＝；②cos(π＋β)＝；③tan β＝；④tan β＝. 解析　∵sin(π＋α)＝－sin α， ∴sin α＝，若α＋β＝90°， 则β＝90°－α， 故sin β＝sin(90°－α)＝cos α＝±，故①满足； ③中tan β＝， 即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1， 故sin β＝±，即③满足，而②④不满足． 答案　①③ 13．设tan＝m. 求证：＝. 证明　左边＝ ＝ ＝＝＝右边． ∴原等式成立． [核心价值·探索创新] 14．如图，A，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点，A 点的坐标为，∠AOB＝90°，则cos∠COA＝______，tan∠COB＝______. 解析　因为A 点的坐标为， 所以cos∠COA＝，sin∠COA＝. 因为∠AOB＝90°， 所以cos∠COB＝cos ＝－sin∠COA＝－. 又点B 在第二象限， 所以sin∠COB＝＝， 故tan∠COB＝＝－. 答案　　－ 15．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式同时成立． 若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 解析　由条件， 得 ①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③ 又因为sin2α＋cos2α＝1，④ 由③④得sin2α＝，即sin α＝±， 因为α∈，所以α＝或α＝－. 当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)， 所以β＝，代入①可知符合； 当α＝－时，代入②得cos β＝， 又β∈(0，π)，所以β＝，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝，β＝满足条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$