4.5.3 函数模型的应用(Word练习)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形．下列函数，最能近似刻画y与t之间关系的是(　　) A．y＝2t　　　　　　　 B．y＝2t2 C．y＝t3 D．y＝log2t 答案　D 2．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y，则x，y之间的函数关系式为(　　) 解析　特殊值法，取x＝100代入选项，只有A正确． 答案　A 3．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式y＝ekx＋b (e＝2.718…为自然对数的底数，k，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　) A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．21小时 解析　当x＝0 时，eb＝192， 当x＝22 时，e22k＋b＝48， 所以e22k＝＝，所以e11k＝， 故当x＝33 时，e33k＋b＝3·eb＝3×192＝24，故选C. 答案　C 4．某地2018年人均GDP(国内生产总值)为8 000元，预计以后年增长率为10%，使该地区人均GDP超过16 000元，至少要经过(　　) A．4年　 B．5年　　 C．8年　 D．10年 解析　依题意，8000(1＋10%)x＞16 000(x∈N*)， 则1.1x＞2⇒x＞log1.12＝≈7.3. 答案　C 5．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌车，利润分别为L1＝5.06x－0.15x2 和L2＝2x (单位：万元)，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元． 解析　设甲地销售x 辆，则乙地销售 辆，设总利润为S (单位：万元)，则S＝5.06x－0.15x2＋2＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.152＋45.606. 所以当x＝10 时，总利润取得最大值，为45.6万元． 答案　45.6 6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒． 解析　当v＝12 000时，2 000·ln＝12 000，∴ln＝6，∴＝e6－1. 答案　e6－1 7．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v＝5log2(m/s)，其中q表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为________．当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是________． 解析　由题意，燕子静止时v＝0，即5log2＝0， 解得q＝10；当q＝80时，v＝5log2＝15(m/s)． 答案　10　15 m/s 8．声超级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)． (1)平时常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级； (2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？ (3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？ 解析　(1)当I＝10－6W/m2时，代入得Y＝10lg＝10lg 106＝60，即声强级为60分贝． (2)当Y＝0时，即10lg＝0，所以＝1，I＝10－12W/m2，则能听到的最低声强为10－12W/m2. (3)当声强I＝5×10－7W/m2时， 声强级Y＝10lg＝10lg(5×105) ＝50＋10lg 5＞50， 所以这两位同学会影响其他同学休息． [关键能力·综合提升] 9．(多选)某工厂12年来某产品总产量S与时间t(年)的函数关系如图所示，下列四个选项，正确的是(　　) A．前三年总产量增长的速度越来越快 B．前三年总产量增长的速度越来越慢 C．第3年后至第8年这种产品停止生产了 D．第8年后至第12年间总产量匀速增加 解析　由图可知，前三年是由快变慢，第3～8年总产量未发生变化，即停止生产．第8～12年体现为匀速增长(直线模型)，故B、C、D正确． 答案　BCD 10．5G技术的数学原理之一是著名的香农公式：C＝Wlog2.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．假设目前信噪比为1 600，若不改变带宽W，而将最大信息传播速度C提升50%，那么信噪比要扩大到原来的约(　　) A．10倍 B．20倍 C．30倍 D．40倍 解析　由条件可知C＝Wlog21 600， 设将最大信息传播速度C提升50%， 那么信噪比要扩大到原来的t倍， 则C＝Wlog2(1 600t)， 所以log21 600＝log2(1 600t)， 即log2＝log2(1 600t)， 所以1 600t＝，解得t＝40，故选D. 答案　D 11．音量大小的单位是分贝，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η 可由公式η＝10·lg (其中I0 是人耳能听到的声音的最低声波强度)计算得到，设η1＝70 dB 的声音的声波强度为I1，η2＝60 dB 的声音的声波强度为I2，则I1 是I2 的________倍． 解析　由题意得η1＝10·lg，η2＝10·lg，所以η1－η2＝10·lg－10·lg＝10，则1＝lgI1－lgI2，所以＝10. 答案　10 12．将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为11.2 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的93%，若要使石片的速率低于7.84 m/s，则至少需要“打水漂”________次．(参考数据：取ln 0.7＝－0.357，ln 0.93＝－0.073) 解析　设石片第n次“打水漂”时的速率为Vn， 则Vn＝11.2×0.93n－1. 由11.2×0.93n－1<7.84，得0.93n－1<0.7， 则(n－1)ln 0.93<ln 0.7， 即n－1>＝≈4.89，则n>5.89，故至少需要“打水漂”的次数为6. 答案　6 13．某医学专家为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行试验，经检测，病毒细胞的个数与天数的记录如下表： 天数 1 2 3 4 5 6 病毒细胞的个数 1 2 4 8 16 32 已知该病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡，但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%. (1)为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物(精确到天，lg 2≈0.301 0)? (2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命(精确到天)? 解析　(1)由题意知第一次注射药物前病毒细胞个数y关于天数n(n∈N*)的函数关系式为y＝2n－1(n∈N*)．为了使小白鼠在试验过程中不死亡，则2n－1≤108，两边取对数，解得n≤27，即第一次最迟应在第27天注射该种药物． (2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%，再经过x天后小白鼠体内的病毒细胞个数为226×2%×2x，由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg 2＋lg 2－2＋xlg 2≤8，解得x≤6，即再经过6天必须注射药物，即第二次最迟应在第33天注射该种药物． [核心价值·探索创新] 14．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①将水加热到100 ℃，水温y 与时间t 近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，水温y 与时间t 近似满足函数关系式 (a，b 为常数)．通常这种热饮在40 ℃ 时，口感最佳．某天室温为20 ℃，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为(　　) A．35 min B．30 min C．25 min D．20 min 解析　由题图可知，当t≥5 时，水温y 与时间t 的函数关系式为＋b，将 和 代入关系式可得 解得a＝5，b＝20， 故函数的解析式为，t≥5，令y＝40，解得t＝25. ∴最少需要的时间为25 min，故选C. 答案　C 15．某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表. 投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.30 0.59 0.88 1.20 1.51 1.79 该经营者准备在第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算，请你制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)． 解析　以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示． 观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示．取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15(x－4)2＋2. B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图②所示． 设y＝kx＋b(k≠0)，取点(1,0.30)和(4,1.20)代入， 得解得 所以y＝0.3x. 设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为x万元，(12－x)万元，总利润为W万元，那么W＝yA＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)， 所以W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2. 当x＝3时，W取最大值，约为4.6万元，此时B商品的投资为9万元． 故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.6万元. 学科网（北京）股份有限公司 $$