4.5.2 用二分法求方程的近似解(Word练习)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是(　　) 解析　根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间(a，b)一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点． 答案　C 2．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为(　　) A．[－1,0] 　 B．[0,1] 　 C．[1,2] 　 D．[2,3] 解析　f(－1)＝－＜0，f(0)＝－2＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，f(3)＝5＞0，则f(1)·f(2)＜0，即初始区间可选[1,2]． 答案　C 3．在用二分法求函数f(x)的零点近似值时，若第一次取的区间为[－2,6]，则第三次取的区间可能是(　　) A．[－2，－1] B．[－1,1] C．[2,4] D．[5,6] 解析　第一次取的区间为[－2,6]，则第二次取的区间可能是[－2,2]，[2,6] ；第三次取的区间可能是[－2,0]，[0,2]，[2,4]，[4,6]，故选C. 答案　C 4．(多选)下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，不正确的是(　　) A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点 B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值 C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点 D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解 解析　使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确； f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确； 用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确． 答案　BCD 5．用二分法求f(x)＝0的近似解，f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，下一个求f(m)，则m＝________. 解析　由于f(1.5)>0，f(1.375)<0，故下一个应求f(1.437 5)，故m＝1.437 5. 答案　1.437 5 6．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1 的零点时，第一次经计算得f<0，f>0，可得其中一个零点x0∈，那么经过下一次计算可得x0∈________.(填区间) 解析　f＝3＋3×－1＝>0，f·f<0，可得x0∈. 答案　 7．下列是函数f(x)在区间[1,2]上一些点的函数值. x 1 1.25 1.375 1.406 5 1.438 f(x) －2 －0.984 －0.260 －0.052 0.165 x 1.5 1.625 1.75 1.875 2 f(x) 0.625 1.982 2.645 4.35 6 由此可判断：方程f(x)＝0的一个近似解为________(精确度0.1)． 解析　∵f(1.438)·f(1.406 5)<0， 且|1.438－1.406 5|＝0.031 5<0.1， ∴f(x)＝0的一个近似解为1.438. 答案　1.4 8．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1) 证明　设函数f(x)＝2x＋3x－6， ∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝4＞0， 又∵f(x)是增函数， ∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点， 则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解． 设该解为x0，则x0∈[1,2]， 取x1＝1.5，∵f(1.5)≈1.33＞0， ∴f(1)·f(1.5)＜0， ∴x0∈(1,1.5)； 取x2＝1.25，∵f(1.25)≈0.128＞0， ∴f(1)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1,1.25)； 取x3＝1.125，∵f(1.125)≈－0.444＜0， ∴f(1.125)·f(1.25)＜0， ∴x0∈(1.125,1.25)； 取x4＝1.187 5，∵f(1.187 5)≈－0.16＜0， ∴f(1.187 5)·f(1.25)＜0， ∴x0∈(1.187 5,1.25)． ∵|1.25－1.1875|＝0.062 5＜0.1， ∴1.2可作为这个方程的实数解． [关键能力·综合提升] 9．(多选)若函数f(x)图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)·f(2)·f(4)＜0，则下列命题不正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点 C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点 D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点 解析　f(1)·f(2)·f(4)＜0，则f(1)，f(2)，f(4)中有一个小于0，另两个大于0或三个都小于0，则有零点可能区间(0,1)，(1,2)，(0,2)，但它们都包含于(0,4)，因此选项D正确，故选ABC. 答案　ABC 10．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是(　　) A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln 解析　g(x)＝4x＋2x－2的零点，即函数y＝4x与函数y＝－2x＋2图象交点的横坐标，如图： 由图知g(x)的零点0＜x0＜， 又f(x)＝4x－1的零点为，∴选A. 答案　A 11．若用二分法求方程2x3＋3x－3＝0 在初始区间 内的近似解，则第三次取区间的中点x3＝________. 解析　设f(x)＝2x3＋3x－3，则f＝－3<0，f＝2>0，∵f·f<0，∴第一次取区间 的中点x1＝，f＝－<0， ∴f·f<0，∴f(x)的零点所在的区间为，第二次取区间 的中点x2＝，f＝>0，∴f·f<0， ∴f(x)的零点所在的区间为，第三次取区间 的中点x3＝＝. 答案　 12．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________次． 解析　由<0.01，得2n>10， ∴n的最小值为4. 答案　4 13．已知函数f(x)＝x3－x2＋1. (1)证明方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解； (2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内． (1)证明　因为f(0)＝1>0， f(2)＝－<0， 所以f(0)·f(2)<0， 由函数的零点存在性定理可得方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解． (2)解析　取x1＝(0＋2)＝1， 得f(1)＝>0， 由此可得f(1)·f(2)<0， 下一个有解区间为(1,2)． 再取x2＝(1＋2)＝， 得f＝－<0，所以f(1)·f<0， 下一个有解区间为. 再取x3＝＝， 得f＝>0， 所以f·f<0， 下一个有解区间为. 综上所述，得所求的实数解x0在区间内． [核心价值·探索创新] 14．若函数f(x)＝ax2＋x－1在(－1,3)上恰有一个零点，则(　　) A．－＜a＜2 B．－＜a＜2 C．－＜a＜2或a＝－ D．－＜a＜0或a＝－ 解析　由函数f(x)＝ax2＋x－1在(－1,3)上恰有一个零点， 当a＝0时，可得f(x)＝x－1，令f(x)＝0，解得x＝1，符合题意； 当a>0时，由f＝－1，则满足f(－1)f(3)＝(a－2)(9a＋2)<0， 解得－＜a＜2，即0<a＜2； 当a<0时，要使得函数y＝f(x)在(－1,3)上恰有一个零点， 则满足Δ＝0或f(－1)f(3)<0，即Δ＝1＋4a＝0或f(－1)f(3)＝(a－2)(9a＋2)<0， 解得a＝－或－＜a<0， 综上可得，实数a的取值范围为－＜a＜2或a＝－. 故选C. 答案　C 15.如图，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子． (1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域； (2)如果要做一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少(精确度为0.1 cm)? 解析　(1)盒子的体积y是以x为自变量的函数． 解析式为：y＝x(15－2x)2，x∈(0,7.5)； (2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么有方程(15－2x)2·x＝150. 下面用二分法来求方程在(0,7.5)内的近似解． 令f(x)＝x(15－2x)2－150，x∈(0,7.5)，由计算器可以确定f(x)分别在(0,1)和(4,5)内各有一个零点，即方程(15－2x)2·x＝150分别在区间(0,1)和(4,5)内各有一个解． 下面用二分法求方程的近似解． 取区间(0,1)的中点x1＝0.5， 计算得f(0.5)＝－52，所以零点x0∈(0.5,1)． 再取(0.5,1)的中点x2＝0.75，计算得f(0.75)≈－13.31，所以x0∈(0.75,1)． 同理可得x0∈(0.75,0.875)；x0∈(0.812 5，0.875)，此时区间的长度小于0.1，所以方程在区间(0,1)内精确度为0.1的近似解可取为0.8.同理可得方程在区间(4,5)内精确度为0.1的近似值为4.7，所以要做成一个容积为150 cm3的无盖盒子时，截去小正方形的边长大约是0.8 cm或4.7 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $$