4.5.1 函数的零点与方程的解(Word练习)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选)下列图象表示的函数有零点的是(　　) 解析　观察图象可知A选项中图象对应的函数没有零点． 答案　BCD 2．函数f(x)＝lg 的零点是(　　) A. 　　　　　　 B. 和 C．1 D．1 和－1 解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，令f(x)＝0，则lg＝0，解得x＝±1，即函数f(x)的零点是1和－1. 答案　D 3．函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．0　 　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析　解法一　令f(x)＝0， 得或， ∴x＝－3或x＝e2，应选C. 解法二　画出函数f(x)的图象可得，图象与x轴有两个交点，则函数f(x)有2个零点． 答案　C 4．设x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0所在的区间是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析　设函数f(x)＝ln x＋x－4，则函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线． f(1)＝ln 1＋1－4＝－3<0， f(2)＝ln 2－2<0， f(3)＝ln 3－1>0，f(4)＝ln 4>0， 所以f(2)·f(3)<0， 所以x0∈(2,3)． 答案　C 5．若函数f(x)＝2x2－ax＋3 的一个零点为，则f＝________. 解析　因为函数f(x)＝2x2－ax＋3 的一个零点为，所以 是方程2x2－ax＋3＝0 的一个根，则2×－a＋3＝0，解得a＝5，所以f(x)＝2x2－5x＋3，则f＝2－5＋3＝0. 答案　0 6．函数f(x)＝ln x－x2＋2x＋5的零点个数为________． 解析　令ln x－x2＋2x＋5＝0得ln x＝x2－2x－5，画图可得函数y＝ln x与函数y＝x2－2x－5的图象有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2. 答案　2 7．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________． 解析　∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内， ∴∴∴－1<b<0. 答案　(－1,0) 8．判断方程log2x＋x2＝0在区间内有没有实数根？为什么？ 解析　设f(x)＝log2x＋x2，先设该方程有实数根， ∴f＝log2＋2＝－1＋＝－＜0， f(1)＝log21＋1＝1＞0，∴f·f(1)＜0. ∵函数f(x)＝log2x＋x2的图象在区间上是连续的，∴f(x)在区间内有零点，即方程log2x＋x2＝0在区间内有实根． [关键能力·综合提升] 9．已知f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于(　　) A．0 B．1 C．－1 D．不能确定 解析　因为奇函数的图象关于原点对称， 所以若f(x)有三个零点，则其和必为0. 答案　A 10．已知函数f(x)＝x2＋ax＋1，则“函数f(x)在 上有零点”是“f·f<0 ”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　依题意得，f＝1>0，若函数f(x)在 上有零点，则 或f<0， 因为不等式组无解， 所以f<0，即f·f<0. 若f·f<0，则根据零点存在定理可知，函数f(x)在 上有零点． 所以“函数f(x)在 上有零点”是“f·f<0 ”的充要条件，故选C. 答案　C 11．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－k有三个零点，则实数k的取值范围为(　　) A．(－2，－1]　　　　　　 B．[－2，－1] C．[1,2] D．[1,2) 解析　函数y＝f(x)－k有三个零点， 即y＝f(x)与y＝k有三个交点， f(x)的图象如上，由图象可得－2<k≤－1，故选A. 答案　A 12．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________． 解析　函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a>0且a≠1)与函数y＝x＋a的图象有两个交点，由图象可知当0<a<1时两函数的图象只有一个交点，不符合；当a>1时，因为函数y＝ax(a>1)的图象过点(0,1)，当直线y＝x＋a与y轴的交点(0，a)在(0,1)的上方时一定有两个交点．所以a>1. 答案　(1，＋∞) 13．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围． (1)零点均大于1； (2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内． 解析　(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得解得2≤a<，即实数a的取值范围为. (2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>，即实数a的取值范围为. (3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得 解得<a<， 即a的取值范围为. [核心价值·探索创新] 14．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　) A．[－1,0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析　函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示． 由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C. 答案　C 15．已知函数f(x)＝ 则函数y＝f 的零点个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析　令t＝f(x)＋1＝ ①当t>0 时，f＝ln t－，则函数f 在 上单调递增，由于f＝－1<0，f＝ln 2－>0， 所以由零点存在定理可知，存在t1∈，使得f＝0 ； ②当t≤0 时，f＝t2＋2t，由f＝t2＋2t＝0， 解得t2＝－2，t3＝0. 作出函数t＝f(x)＋1 的图象，直线t＝t1，t＝－2，t＝0 如下图所示． 由图象可知，直线t＝t1 与函数t＝f(x)＋1 的图象有两个交点； 直线t＝0 与函数t＝f(x)＋1 的图象有两个交点； 直线t＝－2 与函数t＝f(x)＋1 的图象有且只有一个交点． 综上所述，函数y＝f 的零点个数为 5. 答案　D 学科网（北京）股份有限公司 $$