4.4.4 不同函数增长的差异(Word练习)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　) A．y＝ex　　　　 B．y＝100ln x C．y＝1000x D．y＝100·2x 解析　指数爆炸式形容指数函数． 又因为e＞2， 所以ex比100·2x增大速度快． 答案　A 2．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(　　) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 解析　随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型． 答案　A 3．(多选)根据三个函数f(x)＝2x，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，以下四个选项正确的是(　　) A．f(x)的增长速度始终不变 B．f(x)的增长速度越来越快 C．g(x)的增长速度越来越快 D．h(x)的增长速度越来越慢 解析　依据“直线上升、对数增长、指数爆炸”的原理可知A、C、D正确． 答案　ACD 4．关于函数y＝log2(x2－2x＋3)有以下4个结论：①定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)；②增区间为[1，＋∞)；③最小值为1; ④图象恒在x轴上方．其中正确的有(　　) A．②③④ B．①②③ C．②③ D．③④ 解析　因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0恒成立，所以函数y＝f(x)＝log2(x2－2x＋3) 的定义域为R，故①错误； 令t＝x2－2x＋3, 则y＝log2t为增函数，当t＝x2－2x＋3在[1，＋∞)上单调递增时，函数y＝log2(x2－2x＋3)在[1，＋∞)上单调递增，故②正确； 因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，故当x＝1时，函数取最小值为log22＝1，故③正确；因为由③知函数最小值为1正确，而最小值1>0，故函数图象在x轴上方，故④正确，故选A. 答案　A 5．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________． 解析　在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝x的图象，如图所示， 由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝x图象的上方，则f(x)＞g(x)． 答案　f(x)＞g(x) 6．三个变量y1，y2，y3 随自变量x 的变化情况如下表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为________，________，________. 解析　通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律，指数函数的增长速度越来越快，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律． 答案　y3　y2　y1 7．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到________只． 解析　由已知第一年有100只，得a＝100. 将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)， 得y＝300. 答案　300 8．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度. t/年 1 2 3 4 5 6 h/米 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7 解析　据表中数据作出散点图如图． 由图可以看出用一次函数模型不吻合， 选用对数型函数比较合理． 不妨将(2,1)代入到h＝loga(t＋1)中， 得1＝loga3，解得a＝3. 故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题． 当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2， 故可预测第8年松树的高度为2米． [关键能力·综合提升] 9．已知某种药物在病人体内的含量在1 200 mg以上时才会有疗效，现给某病人注射该药物2 000 mg，假设药物在病人体内的含量以每小时25%的速度递减，为了保持药物疗效，则经过________小时后须再次向病人体内补充这种药物．(已知lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，结果精确到0.1 h)(　　) A．1.8 B．1.9 C．2.1 D．2.2 解析　设经过x 小时后须再次向病人体内补充这种药物，则2 000x≤1 200，化简可得x≤， 所以x≥＝＝＝≈≈1.8， 所以经过1.8小时后须再次向病人体内补充这种药物，故A项正确． 答案　A 10．某市2020年国民生产总值为20亿元，计划在今后的10年里，平均每年增长8%，问2030年该市国民生产总值可达________亿元．(精确到0.01亿元) 解析　设该市国民生产总值在2020年后的第x年为y亿元，则： 第1年：y＝20＋20×80%＝20(1＋8%)＝20×1.08， 第2年：y＝20＋1.08＋20×1.08×8%＝20×1.082， 第x年：y＝20×1.08x(x∈N,1≤x≤10)， 第10年：y＝20×1.0810≈43.18(亿元)． 答案　43.18 11．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品数的产量为________万件． 解析　∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有 解得 ∴y＝－2×(0.5)x＋2. 当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)． 答案　1.75 12．如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息： ①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h； ②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； ③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者； ④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样． 其中，正确信息的序号是________． 解析　看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确；④错误． 答案　①②③ 13．已知函数f(x)是g(x)＝ax的反函数(a＞0，且a≠1)，且函数g(x)的图象过点(1,2)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若f(m2－m)＜1成立，求实数m的取值范围． 解析　(1)∵f(x)是g(x)＝ax的反函数， ∴f(x)＝logax，又g(x)过(1,2)， ∴函数f(x)的图象过点(2,1)， ∴f(2)＝1，即loga2＝1，解得a＝2， 因此，f(x)＝log2x(x＞0)． (2)f(m2－m)＝log2(m2－m)， ∵f(m2－m)＜1，且1＝log22， ∴log2(m2－m)＜log22， 该不等式等价为 解得－1＜m＜0或1＜m＜2， ∴实数m的取值范围为(－1,0)∪(1,2)． [核心价值·探索创新] 14．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　) A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 解析　设2020年后的第n 年该公司投入的研发资金为y万元，则y＝130n. 由130n>200，得1.12n>， 两边取对数，得n·lg 1.12>lg 2－lg 1.3， ∴n>≈＝，又n∈N*， ∴n≥4， ∴从2024年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B. 答案　B 15．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？ 解析　借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)． 观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终不超过y＝3和y＝0.2x，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求． 学科网（北京）股份有限公司 $$