4.4.3 对数函数及其性质的应用(二)(Word练习)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于(　　) 解析　函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x. 答案　A 2．已知函数f(x)＝log2，则使得2f(x)>f 成立的x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析　不等式2f(x)>f 等价于2log2(3x－1)>log2，等价于log22>log2，因为函数y＝log2x 在 上单调递增，所以 解得x>. 答案　B 3．(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝－ln x B．f(x)＝ C．f(x)＝－ D．f(x)＝3|x－1| 解析　对于A选项，∵y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝－x在(0，＋∞)上单调递减， ∴f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误； 对于B选项，∵y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减， ∴f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故B错误； 对于C选项，∵y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝－x在(0，＋∞)上单调递减， ∴f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，故C正确； 对于D，f(1)＝3|1－1|＝1，f(2)＝3|2－1|＝3， 显然f(x)＝3|x－1|在(0，＋∞)上不单调，故D错误．故选C. 答案　C 4．(多选)对于函数f(x)＝lg，下列说法正确的有(　　) A．f(x＋2)是偶函数 B．f(x＋2)是奇函数 C．f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数 D．f(x)没有最小值 解析　对于A、B，因为f(x)＝lg， 所以f(x＋2)＝lg， 又f(－x＋2)＝lg＝lg， 故f(x＋2)为偶函数，故A正确，B错误； 对于C，因为f(x)＝lg＝ 当x∈(2，＋∞)时，因为y＝在x∈(2，＋∞)为减函数，故y＝＋1为减函数，所以y＝lg在区间(2，＋∞)为减函数，故C错误； 对于D，因为当x∈(2，＋∞)时，y＝lg为减函数．故当x→＋∞时，y→0， 故f(x)没有最小值，故D正确． 答案　AD 5．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝________. 解析　因为点在y＝f(x)的图象上， 所以点在y＝ax的图象上，则有＝a， 即a2＝2，又因为a>0，所以a＝. 答案　 6．函数的值域为________． 解析　因为3x>0，所以－3x<0， 所以0<1－3x<1. 又是关于t的减函数， 所以 ∴y>0. 答案　(0，＋∞) 7．若函数f(x)＝logax(其中a为常数，且a>0，a≠1)满足f(2)>f(3)，则f(2x－1)<f(2－x)的解集是________． 解析　∵f(2)>f(3)，∴f(x)＝logax是减函数， 由f(2x－1)<f(2－x)，得 ∴∴1<x<2. 答案　{x|1<x<2} 8．已知f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a>0且a≠1)． (1)求函数f(x)的定义域，值域； (2)若函数f(x)有最小值为－2，求a的值． 解析　(1)由得定义域为{x|－3<x<1}． f(x)＝loga(－x2－2x＋3)， 令t＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， 因为x∈(－3,1)，所以t∈(0,4]． 所以f(t)＝logat，t∈(0,4]． 当0<a<1时，ymin＝f(4)＝loga4，值域为[loga4，＋∞)； 当a>1时，ymax＝f(4)＝loga4， 值域为(－∞，loga4]． (2)ymin＝－2，由(1)及题意得 得a＝. [关键能力·综合提升] 9．函数f(x)与函数g(x)互为反函数，若f(x)＝x且x∈(0，＋∞)，则函数g(x)的定义域为(　　) A．(0，＋∞) B．R C．(0,1) D．(1，＋∞) 解析　∵当x∈(0，＋∞)时，x∈(0,1)， ∴函数f(x)＝x，x∈(0，＋∞)的值域为(0,1)， 又f(x)与g(x)互为反函数， 故g(x)的定义域为(0,1)，故选C. 答案　C 10．已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[2，＋∞) D．[5，＋∞) 解析　∵f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增， ∴∴a≥5. 故a的取值范围是[5，＋∞)． 答案　D 11．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________. 解析　∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立， ∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1. 答案　1 12．函数f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)的单调递减区间是________． 解析　由得－2＜x＜4，因此函数f(x)的定义域为(－2,4)． f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)＝ln(－x2＋2x＋8)＝ln[－(x－1)2＋9]， 设u＝－(x－1)2＋9， 又y＝ln u是增函数， u＝－(x－1)2＋9在(1,4)上是减函数， 因此f(x)的单调递减区间是(1,4)． 答案　(1,4) 13．已知函数f(x)＝loga(ax2－x)． (1)若a＝，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在区间[2,4]上是增函数，求实数a的取值范围． 解析　(1)当a＝时，f(x)＝log，由x2－x＞0，得x2－2x＞0，解得x＜0或x＞2， 所以函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)， 利用复合函数单调性可得函数的增区间为(－∞，0)，减区间为(2，＋∞)． (2)令g(x)＝ax2－x，则函数g(x)的图象为开口向上，对称轴为x＝的抛物线， ①当0＜a＜1时， 要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数，则g(x)＝ax2－x在[2,4]上单调递减，且g(x)min＞0， 即此不等式组无解． ②当a＞1时， 要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数，则g(x)＝ax2－x在[2,4]上单调递增，且g(x)min＞0， 即解得a＞，又a＞1， 所以a＞1. 综上可得，a＞1. 所以实数a的取值范围为(1，＋∞)． [核心价值·探索创新] 14．(多选)某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，以函数f(x)＝lg为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果．下列研究成果中正确的是(　　) A．函数f(x)的定义域为(－1,1) B．函数f(x)是偶函数 C．对于任意的x∈(－1,1)，都有f＝2f(x) D．对于任意的a，b∈(－1,1)，都有f(a)＋f(b)＝f 解析　在A中，因为f(x)＝lg，所以>0，解得函数的定义域为(－1,1)，所以A是正确的；在B中，f(x)＝lg＝－lg＝－f(－x)，所以函数f(x)为奇函数，所以B是错误的；在C中，对于任意x∈(－1,1)，有f＝lg＝lg＝lg，又2f(x)＝2lg＝lg，所以C是正确的； 在D中，对于任意的a，b∈(－1,1)， 有f(a)＋f(b)＝lg＋lg＝lg·＝lg，又f＝lg＝lg，所以D是正确的，故选ACD. 答案　ACD 15．已知函数f(x)＝直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________． 解析　函数f(x)的图象如图所示， 要使y＝a与f(x)有两个不同交点，则0<a≤1. 答案　(0,1] 学科网（北京）股份有限公司 $$