4.2.2 指数函数的图象和性质的应用(Word练习)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．下列判断正确的是(　　) A．2.52.5>2.53　　　　　 B．0.82<0.83 C．π2<π D．0.90.3>0.90.5 解析　因为函数y＝0.9x在R上为减函数， 所以0.90.3>0.90.5. 答案　D 2．设函数，若f(2)＝4，则(　　) A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2) C．f(1)>f(2) D．f(－2)>f(2) 解析　f(2)＝a－2＝4，a＝，，则f(－2)>f(－1)． 答案　A 3．(多选)以下关于数的大小的结论正确的是(　　) A．1.72.5＜1.73 B．0.8－0.1＜0.8－0.2 C．1.70.3＜0.93.1 D． 解析　y＝1.7x单调递增，2.5＜3， ∴1.72.5＜1.73，A正确； y＝0.8x单调递减，－0.1＞－0.2， ∴0.8－0.1＜0.8－0.2，B正确； 又1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1， ∴1.70.3＞0.93.1，C错误； 答案　AB 4．已知函数，若f>1，则f(x)的单调递减区间是(　　) A. B． C. D． 解析　∵f＝a－1>1，∴0<a<1， 又∵函数y＝x2＋4x－6 在 上是增函数， ∴f(x)的单调递减区间是. 答案　D 5．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________． 解析　∵a2＋a＋2＝2＋>1， ∴y＝(a2＋a＋2)x为R上的增函数． ∴x>1－x，即x>. 答案　 6．已知2x≤x－3，则函数y＝x的值域为____________. 解析　由2x≤x－3，得2x≤2－2x＋6， ∴x≤－2x＋6，∴x≤2. ∴x≥2＝， 即y＝x的值域为. 答案　 7．函数的单调递减区间是________． 解析　易知函数f(x)的定义域为R， ∵y＝x 单调递减，∴要求函数f(x)的单调递减区间只需求出y＝x2－2x－3 的单调递增区间即可， ∵y＝x2－2x－3 的图象开口向上，其对称轴为直线x＝1，故y＝x2－2x－3在 上单调递增， ∴的单调递减区间是. 答案　 8．已知函数 (1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间； (2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值． 解析　(1)当a＝－1时，， 令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，y＝x在R上是减函数，所以f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)． (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1. [关键能力·综合提升] 9．已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 解析　因为f(x)＝3x－x，且定义域为R，所以f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数． 又y＝3x在R上是增函数，y＝x在R上是减函数，所以f(x)＝3x－x在R上是增函数． 答案　A 10．已知函数f(x)是R上的偶函数，当x≥0 时，f(x)＝2x－2，则f(x)<0 的解集是(　　) A. B. C. D.∪ 解析　由函数y＝f(x)为偶函数可得f(－x)＝f(x)， 当x≥0 时，f(x)＝2x－2， 设x<0，则－x>0，f＝2－x－2＝f(x)， ∴f(x)＝ 当f(x)<0 时，有－1<x<1，故选C. 答案　C 11．若函数的值域是，则f(x)的单调递增区间是________． 解析　令g(x)＝ax2＋2x＋3， 由于f(x)的值域是， 所以g(x)的值域是[2，＋∞)． 因此有解得a＝1， 这时g(x)＝x2＋2x＋3， 由于g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]， 所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]． 答案　(－∞，－1] 12．已知函数，则f(x)的单调递增区间为________，值域为________． 解析　令x2－2x≥0，解得x≥2或x≤0， ∴f(x)的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)， 令t＝－1，则其在(－∞，0]上递减， 在[2，＋∞)上递增，又y＝t为减函数， 故f(x)的增区间为(－∞，0]． ∵t＝－1≥－1，∴t∈(0,2]， 故f(x)的值域为(0,2]． 答案　(－∞，0]　(0,2] 13．已知函数f(x)＝a－(x∈R)． (1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上总为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求a的值； (3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1,5]上的最小值． (1)证明　因为f(x)的定义域为R， 任取x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋ 因为x1<x2， 所以 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． 所以不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上总为增函数． (2)解析　因为f(x)在R上为奇函数， 所以f(0)＝0， 即a－＝0，解得a＝. 经检验，a＝时，f(x)＝－是奇函数． (3)解析　由(2)知，f(x)＝－， 由(1)知，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数， 所以f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)． 因为f(1)＝－＝， 所以f(x)在区间[1,5]上的最小值为. [核心价值·探索创新] 14．设函数f(x)＝ 若f≤f(2a－1)，则实数a 的取值范围是________． 解析　当x<2 时，f(x)＝2x 为增函数， 且f(x)<f＝4 ； 当x≥2 时，f(x)＝x2 为增函数，且f(x)≥f＝4， ∴f(x)在R上为增函数， ∵f≤f， ∴a＋1≤2a－1，解得a≥2， ∴实数a 的取值范围为[2，＋∞)． 答案　[2，＋∞) 15．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)在[－1,1]上的最大值与最小值之差为. (1)求实数a的值； (2)若g(x)＝f(x)－f(－x)，当a＞1时，解不等式g(x2＋2x)＋g(x－4)＞0. 解析　(1)当a＞1时，f(x)max＝a，f(x)min＝， 则a－＝，解得a＝2； 当0＜a＜1时，f(x)max＝，f(x)min＝a， 则－a＝，解得a＝. 综上得：a＝2或a＝. (2)当a＞1时，由(1)知a＝2，g(x)＝2x－2－x为奇函数且在R上是增函数， 所以g(x2＋2x)＋g(x－4)＞0⇒g(x2＋2x)＞－g(x－4)＝g(4－x)⇒x2＋2x＞4－x⇒x＞1或x＜－4. 所以，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜－4}． 学科网（北京）股份有限公司 $$