4.2.1 指数函数的概念、图象和性质(Word练习)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．函数y＝的定义域为(　　) A．R　　　　　　　　 B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．{x|x≠0，x∈R} 解析　因为2x－1≠0，所以x≠0. 答案　D 2．函数的大致图象为(　　) 解析　，故由的图象向右平移1个单位得到f(x)的图象，又f(0)＝2，故选A. 答案　A 3．(多选)已知指数函数f(x)满足f＝，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)＝5x B．f(x)＝5－x C．f＝ D．5f＝f 解析　设指数函数f(x)＝ax (a>0，且a≠1)，由题意得，，所以a＝5，所以f(x)＝5x，故A中结论正确，B中结论错误； 因为f＝5－1＝，所以C中结论正确； 因为5f＝5×51＝25＝52＝f，所以D中结论正确．故选ACD. 答案　ACD 4．(多选)若f(x)＝3x＋1，则下列选项中不正确的是(　　) A．f(x)在[－1,1]上单调递减 B．y＝3x＋1与y＝x＋1的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象过点(0,1) D．f(x)的值域为[1，＋∞) 解析　f(x)＝3x＋1在R上单调递增，则A错误； y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，则B正确； 由f(0)＝2，得f(x)的图象过点(0,2)，则C错误； 由3x>0，可得f(x)>1，则D错误，故选ACD. 答案　ACD 5．指数函数y＝f(x)的图象过点(2,4)，那么f(2)·f(4)＝________. 解析　设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，又f(2)＝a2＝4，∴f(2)·f(4)＝a2·a4＝4·42＝43＝64. 答案　64 6．若0＜a＜1，b＜－1，则函数f(x)＝ax＋b的图象一定不经过第________象限． 解析　函数y＝ax的图象过点(0,1)，向下平移|b|个单位长度，超过一个单位长度，所以函数f(x)＝ax＋b的图象不过第一象限． 答案　一 7．函数y＝ax＋1＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________． 解析　当x＋1＝0，即x＝－1 时，y＝a0＋2＝3，所以函数图象恒过定点. 答案　 8．已知函数f(x)＝ax(x≥0)的图象经过点，其中a＞0且a≠1. (1)求a的值； (2)求函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域． 解析　(1)因为函数f(x)＝ax(x≥0)的图象经过点，所以a2＝，a＝. (2)由(1)得f(x)＝x(x≥0)，函数为减函数， 当x＝0时，函数取最大值1，故f(x)∈(0,1]， 所以函数y＝f(x)＋1＝x＋1(x≥0)∈(1,2]， 故函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域为(1,2]． [关键能力·综合提升] 9．函数y＝ax－(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　) 解析　A，B选项中，a＞1，于是0＜1－＜1，所以图象与y轴的交点的纵坐标应在(0,1)之间，显然A，B的图象均不正确；C，D选项中，0＜a＜1，于是1－＜0，所以D项符合． 答案　D 10．若直线y＝2a与函数y＝(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是(　　) A. B． C. D． 解析　当a>1 时，两个函数在同一直角坐标系下的图象如图1所示，若有两个交点，则0<2a<1，∴0<a<，与a>1 矛盾，所以此种情况不存在； 图1 当0<a<1 时，两个函数在同一直角坐标系下的图象如图2所示，若有两个交点，则0<2a<1， ∴0<a<， 因为0<a<1，所以0<a<. 图2 综上，a 的取值范围是. 答案　C 11．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________． 解析　由x<0，得0<2x<1； 由x>0，∴－x<0,0<2－x<1，∴－1<－2－x<0. ∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)． 答案　(－1,0)∪(0,1) 12．已知实数a，b满足等式a＝b，给出下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中，不可能成立的有________个． 解析　作y＝x与y＝x的图象(图略)． 当a＝b＝0时，a＝b＝1； 当a＜b＜0时，可以使a＝b； 当a＞b＞0时，也可以使a＝b. 故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系是③④. 答案　2 13．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[0,2]上的最大值比最小值大，求a的值． 解析　①当a>1时，f(x)＝ax在区间[0,2]上为增函数， 此时f(x)max＝f(2)＝a2，f(x)min＝f(0)＝1， 所以a2－1＝，所以a＝. ②当0<a<1时，f(x)＝ax在区间[0,2]上为减函数， 此时f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(2)＝a2， 所以1－a2＝，所以a＝. 综上所述，a＝或a＝. [核心价值·探索创新] 14．设函数y＝，若函数在(－∞，1] 上有意义，则实数a 的取值范围是___________． 解析　设t＝2x，∵x∈(－∞，1]，∴t∈(0,2]，则原函数在(－∞，1] 上有意义等价于1＋t＋at2≥0 在t∈(0,2] 上恒成立，∴a≥－. 设f＝－(t∈， 则f＝－＝－2＋， ∵t∈(0,2]，∴∈， ∴f≤f＝－， ∴a≥－，即a 的取值范围是. 答案　 15．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)． (1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的取值范围； (2)若f(x)的图象如图②所示，|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求m的取值范围． 解析　(1)由f(x)为减函数可知a的取值范围为 (0,1)，又f(0)＝1＋b＜0，所以b的取值范围为(－∞，－1)． (2)y＝|f(x)|的图象如图所示． 由图象可知，使|f(x)|＝m有且仅有一解的m为m＝0或m≥3， 即m的取值范围为{0}∪[3，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $$