2.3.2 一元二次不等式的综合应用(Word练习)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．不等式≥0的解集是(　　) A．{x|x≥2}　　　 　　 B．{x|x≤1或x＞2} C．{x|x＜1} D．{x|x＜1或x≥2} 解析　原不等式可化为 ∴x≥2或x＜1， 故原不等式的解集为{x|x＜1或x≥2}． 答案　D 2．若x2－2ax＋2≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－＜a≤} B．{a|－＜a＜} C．{a|－≤a＜} D．{a|－≤a≤} 解析　Δ＝(－2a)2－4×1×2≤0，∴－≤a≤. 答案　D 3．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　) A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 解析　3 000＋20x－0.1x2≤25x⇔x2＋50x－30 000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150. 答案　C 4．若存在x∈R，使得≥2成立，则实数m的取值范围为(　　) A．{m|m≤0} B．{m|m＞0} C．{m|m≥－2} D．{m|m＜－2} 解析　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0恒成立， ∴原不等式等价于4x＋m≥2(x2－2x＋3)， 即2x2－8x＋6－m≤0有解， ∴Δ≥0，解之得m≥－2. 答案　C 5．若不等式x2－4x＋3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是________． 解析　由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥. 答案　 6．若关于x的不等式ax－b＞0的解集为{x|x＞1}，则关于x的不等式＞0的解集为________． 解析　x＝1为ax－b＝0的根，∴a－b＝0，即a＝b， ∵ax－b＞0的解集为{x|x＞1}，∴a＞0，故＝＞0， 等价于(x＋1)(x－2)＞0，∴原不等式的解集为{x|x＞2或x＜－1}． 答案　{x|x＞2或x＜－1} 7．不等式＞0的解集为________． 解析　原不等式等价于x＋5＞0且x≠2，即x＞－5且x≠2， ∴原不等式的解集为{x|x＞－5且x≠2}． 答案　{x|x＞－5且x≠2} 8．某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税，为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件． (1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围； (2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值？ (3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值？ 解析　税率为P%时，销售量为(80－10P)万件，设y为税率为P%时M每年的销售额， 即y＝80(80－10P)，税金为80(80－10P)·P%， 其中0<P<8. (1)由解得2≤P≤6. 故P的范围为{P|2≤P≤6}． (2)∵y＝80(80－10P)在2≤P≤6时，y随x的增大而减小，∴当P＝2时，厂家获得最大的销售金额为4 800万元． (3)∵0<P<8， 设税收金额为G，则G＝80(80－10P)·P%＝－8(P－4)2＋128， ∴当P＝4时，国家所得税金最高，为128万元． [关键能力·综合提升] 9．(多选)若命题“存在实数x，使得(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0成立”是假命题，则实数a可以是(　　) A．－2　　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 解析　命题“存在实数x，使得(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0成立”是假命题， 则其否定为“∀实数x，使得(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0成立”是真命题， 当a＝2时，原不等式化为－4＜0恒成立； 当a≠2时，则， 解得－2＜a＜2. 综上，实数a的取值范围是{a|－2＜a≤2}． 故选BCD. 答案　BCD 10．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　) A．{x|15≤x≤30} B．{x|12≤x≤25} C．{x|10≤x≤30} D．{x|20≤x≤30} 解析　设矩形的另一边长为y m， 则由三角形相似知，＝， ∴y＝40－x，∵xy≥300，∴x(40－x)≥300， ∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30. 答案　C 11．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的值的集合为________． 解析　(1)当a＝0时，满足题意． (2)当a≠0时，应满足 解得0<a≤4. 综上可知，a值的集合为{a|0≤a≤4}． 答案　{a|0≤a≤4} 12．若关于x的不等式＞0的解集为{x|x＜－1或x＞4}，则实数a＝________. 解析　由题意知，不等式的解集为{x|x＜－1或x＞4}，则(x－a)(x＋1)＞0⇔(x＋1)(x－4)＞0，故a＝4. 答案　4 13．关于x的方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0. (1)m为何实数时，方程有两正实数根？ (2)m为何实数时，方程有一正实数根、一负实数根？ 解析　(1)由已知，得 解得－ ≤m＜－1或m>1，即m的取值范围是. (2)由已知，得 解得－1<m<1. 所以m的取值范围是{m|－1<m<1}． [核心价值·探索创新] 14．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m≥3} B．{m|m≤3} C．{m|m≤6} D．{m|m≥6} 解析　∵a＞0，b＞0，＋＝1， ∴a＋b＝(a＋b)·＝10＋＋≥10＋2＝16， 当且仅当3a＝b，即a＝4，b＝12时，“＝”成立． 若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则－x2＋4x＋18－m≤16， 即－x2＋4x＋2≤m对任意实数x恒成立． ∵－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6≤6，∴m≥6，故选D. 答案　D 15．某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60°的方向，与A市相距400 km，该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？ 解析　如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系． ∵AB＝400，∠BAx＝30°， ∴热带风暴中心B的坐标为(200，－200)，x h后热带风暴中心B到达点P(200，40x－200)处． 由已知，A市受热带风暴影响时，有AP≤350， 即(200)2＋(40x－200)2≤3502， 整理得16x2－160x＋375≤0， 解这个不等式得，3.75≤x≤6.25， A市受热带风暴影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h)． 故在3.75 h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5 h. 学科网（北京）股份有限公司 $$