2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式(Word练习)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) A.　　　　　　 B． C. D．{2} 解析　解法一　因为N＝＝ (－∞，－2]∪，而M＝， 所以M∩N＝. 故选C. 解法二　因为M＝，将－2，－1，0,1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝. 故选C. 答案　C 2．若0＜t＜1，则不等式(x－t)＜0的解集为(　　) A. B. C. D. 解析　∵0＜t＜1，∴＞1，∴t＜， ∴(x－t)＜0⇔t＜x＜. 答案　D 3．(多选)下列四个不等式，其中解集不为R的是(　　) A．－x2＋x＋1≥0　　 B．x2－2x＋>0 C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1 解析　A显然不可能；B中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；C中Δ＝62－4×10<0，满足条件；D中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能，故选ABD. 答案　ABD 4．不等式＜2的解集为(　　) A．{x|x≠－2} B．R C．∅ D．{x|x＜－2，或x＞2} 解析　因为x2＋x＋1＝2＋＞0，故原不等式⇔x2－2x－2＜2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4＞0⇔(x＋2)2＞0，∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}． 答案　A 5．若关于x的不等式mx2＋8mx＋21＜0的解集为{x|－7＜x＜－1}，则实数m的值为________． 解析　由题意知，x1＝－7，x2＝－1是方程mx2＋8mx＋21＝0的两根，则(－7)×(－1)＝，∴m＝3. 答案　3 6．不等式x(3－x)≥x(x＋2)＋1的解集是________． 解析　原不等式即为3x－x2≥x2＋2x＋1， 可化为2x2－x＋1≤0， 由于判别式Δ＝－7<0， 所以方程2x2－x＋1＝0无实数根， 因此原不等式的解集是∅. 答案　∅ 7．不等式|x|(1－2x)>0的解集为________． 解析　当x≥0时，原不等式即为x(1－2x)>0，所以0<x<； 当x<0时，原不等式即为－x(1－2x)>0，所以x<0， 综上，原不等式的解集为. 答案　 8．解关于x的不等式x2－x－a(a－1)>0. 解析　原不等式可以化为 (x＋a－1)(x－a)>0， ∴当a>－(a－1)即a>时， 原不等式的解集为{x|x>a，或x<1－a}； 当a＝－(a－1)即a＝时，由2>0， 得原不等式的解集为. 当a<－(a－1)即a<时， 原不等式的解集为{x|x<a，或x>1－a}． 综上所述，原不等式的解集是 当a＞时，解集为{x|x＞a，或x＜1－a}； 当a＝时，解集为； 当a＜时，解集为{x|x＜a，或x＞1－a}． [关键能力·综合提升] 9．已知不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则a，b的值是(　　) A．－3，－6 B．－6，－1 C．6,3 D．3,6 解析　由题意知x1＝－和x2＝是方程ax2＋bx＋1＝0的两个根， 可得x1＋x2＝－，x1x2＝，即－＝－，＝－，解得a＝－6，b＝－1，故选B. 答案　B 10．(多选)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则能使不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＜2ax成立的x的集合为(　　) A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0} C．{x|x＞3} D．{x|－2＜x＜1} 解析　∵不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，∴－1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根且a＜0，∴－＝－1＋2＝1，＝－2， ∴b＝－a，c＝－2a， 由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＜2ax，得a(x2＋1)－a(x－1)－2a＜2ax，得ax2－3ax＜0.∵a＜0， ∴x2－3x＞0，∴x＜0或x＞3，∴原不等式的解集为{x|x＜0或x＞3}． 答案　BC 11．若a＜0，则关于x的不等式a(x＋1)＜0的解集为________． 解析　因为a＜0，所以原不等式等价于(x＋1)·＞0，方程(x＋1)＝0的两根为－1，－，显然－＞0＞－1，所以原不等式的解集为. 答案　 12．若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的解集是(1，m)，则m＝________. 解析　因为ax2－6x＋a2＜0的解集是(1，m)，所以a＞0，且m＞1， 1，m是相应方程ax2－6x＋a2＝0的两根，所以解得m＝2. 答案　2 13．已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}． (1)求a，b的值； (2)解关于x的不等式x2－b(a＋c)x＋4c>0. 解析　(1)由题意知， a>0且1，b是方程ax2－3x＋2＝0的根， ∴a＝1.又1·b＝，∴b＝2. (2)不等式可化为x2－2(c＋1)x＋4c>0， 即(x－2c)(x－2)>0， 当2c>2，即c>1时， 不等式的解集为{x|x<2或x>2c}； 当2c＝2，即c＝1时， 不等式的解集为{x|x≠2}； 当2c<2，即c<1时， 不等式的解集为{x|x>2或x<2c}． 综上， 当c>1时，不等式的解集为{x|x<2或x>2c}； 当c＝1时，不等式的解集为{x|x≠2}； 当c<1时，不等式的解集为{x|x>2或x<2c}． [核心价值·探索创新] 14．在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为(　　) A．－ B．－ C. D． 解析　由定义知，不等式≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，即x2－x＋1≥a2－a， ∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立． ∵x2－x＋1＝2＋≥，∴a2－a≤，解得－≤a≤，则实数a的最大值为. 答案　D 15．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________． 解析　由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，所以[x]＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为{x|2≤x＜8}． 答案　{x|2≤x＜8} 学科网（北京）股份有限公司 $$