2.2.1 基本不等式(Word练习)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　) A．a＝±1　　　　　　 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 解析　当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0， 即a＝1时，“＝”成立． 答案　B 2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b 解析　∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，b2＜b， ∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(∵a≠b)， ∴2ab＜a2＋b2＜a＋b. 又∵a＋b＞2(∵a≠b)，∴a＋b最大． 答案　D 3．下列不等式正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2 解析　a＜0时，则a＋≥4不成立，故A错误； a＝1，b＝1时，a2＋b2＜4ab，故B错误； a＝4，b＝16时，则＜，故C错误； 由基本不等式可知D项正确． 答案　D 4．(多选)已知a>0，b>0，则下列不等式正确的是(　　) A．ab≤2 B．ab≤ C.≥ D．≤2 解析　由a2＋b2≥2ab知B，C正确；由均值不等式知，ab≤2，∴≥2，故A正确，D错误． 答案　ABC 5．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________． ①≥；②a－b≥2； ③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab. 解析　根据≥xy，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确． 答案　③ 6．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________． 解析　用两种方法求出第三年的产量分别为 A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2， 则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)． ∴1＋x＝ ≤＝ 1＋， ∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立． 答案　x≤ 7．设a＋b＝M(a＞0，b＞0)，M为常数，且ab的最大值为2，则M等于________． 解析　因为a＋b＝M(a＞0，b＞0)，由基本不等式可得，ab≤2＝， 因为ab的最大值为2，所以＝2，M＞0， 所以M＝2. 答案　2 8．已知a，b为正实数，且a＋b＝1.求证：＋≥4. 证明　＋＝＋＝1＋＋＋1 ＝2＋＋≥2＋2 ＝4， 当且仅当a＝b时“＝”成立． ∴不等式成立． [关键能力·综合提升] 9．(多选)有下列式子正确的有(　　) A．a2＋1＞2a B．≥2 C.≥2 D．x2＋≥1 解析　∵a2－2a＋1＝(a－1)2≥0， ∴a2＋1≥2a，故A不正确； 对于B，当x＞0时，＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取“＝”)； 当x＜0时，＝－x－≥2(当且仅当x＝－1时取“＝”)，∴B正确； 对于C，若a＝b＝－1，则＝－2＜2，故C不正确； 对于D，x2＋＝x2＋1＋－1≥1(当且仅当x＝0时取“＝”)，故D正确． 答案　BD 10．若x>1，则y＝的最小值为(　　) A．3 B．－3 C．4 D．－4 解析　∵x>1，∴x－1>0， ∴y＝＝＝x＋1＋＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当＝x－1，即x＝2时，等号成立， ∴当x＝2时，y的最小值为4. 答案　C 11．设x>0，则y＝x＋－的最小值是________． 解析　因为x>0，所以x＋>0， 所以y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0， 当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立，所以y＝x＋－的最小值为0. 答案　0 12．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝8，b＋c＝10，则此三角形面积的最大值为________． 解析　由已知可得p＝＝9， 所以S＝ ＝3≤＝12， 当且仅当b＝c＝5时，等号成立．故该三角形面积的最大值为12. 答案　12 13．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋. 证明　∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴≥，≥，≥， ∴＋＋≥＋＋， 即a＋b＋c≥＋＋. 由于a，b，c不全相等，∴等号不成立， ∴a＋b＋c＞＋＋. [核心价值·探索创新] 14．(多选)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的所有的无字证明为(　　) A.≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C.≥(a>0，b>0) D.≥(a≥0，b>0) 解析　由AC＋CB＝a＋b，得OD＝，由Rt△ACD∽Rt△DCB，可知CD＝ ＝， 又OD≥CD，∴≥(a>0，b>0)，A正确； 由Rt△CDE∽Rt△ODC可知CD2＝DE·OD，即DE＝＝＝，又CD≥DE， 即≥(a>0，b>0)，C正确． 答案　AC 15．已知a，b都是正数，求证： ≤≤≤ . 证明　∵＋≥2， ∴≤，即≤. 又∵2＝ ≤＝， ∴≤ . 又由基本不等式得≥， 故≤≤≤ (当且仅当a＝b时，等号成立)． 学科网（北京）股份有限公司 $$