2.1 等式性质与不等式性质(Word练习)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000” B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y” C．某变量x至少为a可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a可表示为“y≤a” 解析　对于A，x应满足x≤2 000，故A错误； 对于B，x，y应满足x＜y，故B不正确；C、D正确． 答案　CD 2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，则(　　) A．a>b　　　　　　　 B．a<b C．a≥b D．a≤b 解析　∵a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0， ∴a≥b. 答案　C 3．(多选)如果a<0，b>0，那么下列不等式不正确的是(　　) A.< B．< C．a2<b2 D．|a|>|b| 解析　∵a<0，b>0，∴<0，>0， ∴<，故选BCD. 答案　BCD 4．已知a，b，c，d∈R，则下列命题必成立的是(　　) A．若a＞b，c＞b，则a＞c B．若a＞－b，则c－a＜c＋b C．若a＞b，c＜d，则＞ D．若a2＞b2，则－a＜－b 解析　A中，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；D只有a＞b＞0时才可以，否则如a＝－1，b＝0时不成立；B成立． 答案　B 5．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”) 解析　因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2， 又a>b，所以(a－b)2>0，即a2－ab>ba－b2. 答案　＞ 6．设实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于________． 解析　假设a，b，c都小于，则a＋b＋c<1， 与已知矛盾，故a，b，c中至少有一个数不小于. 答案　 7．给出下列命题：①a>b⇒ac2>bc2；②a>|b|⇒a2>b2；③a>b⇒a3>b3；④|a|>b⇒a2>b2，其中正确命题的序号是________． 解析　①当c2＝0时不成立；②一定成立； ③当a>b时，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·>0成立；④当b＜0时，不一定成立．如|2|＞－3，但22＜(－3)2. 答案　②③ 8．若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. 证明　∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又a>b>0，∴a－c>b－d>0， 则(a－c)2>(b－d)2>0，即<. 又e<0，∴>. [关键能力·综合提升] 9．(多选)若a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) A．若b>a>0，则> B．若a>b，则ac>bc C．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d D．若ac2>bc2，则a>b 解析　∵b>a>0，∴ab>0.在不等式b>a两边同除以ab得>，A正确； 当c＝0时，ac＝bc，B错误； 同向不等式相加，不等号方向不变，C正确； ∵ac2>bc2，∴c2>0，两边同除以c2得a>b，D正确，故选ACD. 答案　ACD 10．有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，a＋c＜b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是(　　) A．d＞b＞a＞c B．b＞c＞d＞a C．d＞b＞c＞a D．c＞a＞d＞b 解析　因为a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c， 所以2a＞2c，即a＞c.因此b＜d. 因为a＋c＜b，c＞0，所以a＜b， 综上可得c＜a＜b＜d，故选A. 答案　A 11．若a>b>0，则a＋________b＋.(填“<”“>”或“＝”) 解析　∵a>b>0，∴0<<. 即>>0.∴a＋>b＋. 答案　＞ 12．已知三个不等式：①ab>0，②－<－，③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确的命题． 解析　若①、②成立，则ab<ab. 即－bc<－ad， ∴bc>ab，即③成立； 若①③成立，则>，∴>， ∴－<－， 即②成立； 若②③成立，则由②得>， 即>0. 由③得bc－ad>0，则ab>0，即①成立． 故可组成3个正确命题． 答案　3 13．已知12<a<60,15<b<36，求a－b和的取值范围． 解析　∵15<b<36，∴－36<－b<－15， ∴12－36<a－b<60－15， 即－24<a－b<45. 又<<， ∴<<.∴<<4. ∴a－b的取值范围是(－24,45)，的取值范围是. [核心价值·探索创新] 14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%. ①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________． 解析　①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，总价为60＋80＝140(元)，又140>120，x＝10， 所以优惠10元，顾客实际需要付款130元． ②设顾客一次购买的水果总价为m元． 由题意易知，当0<m<120时，x＝0；当m≥120时，(m－x)×80%≥m×70%， 得x≤对任意m≥120恒成立，又≥15，所以x的最大值为15. 答案　①130　②15 15．建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值要不小于，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由． 解析　变好了．理由：设住宅的窗户面积、地板面积分别为a，b，同时增加的面积为m，根据问题的要求可知a<b，且≥.由于－＝>0，于是>. 又≥，因此>≥. 所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件变好了. 学科网（北京）股份有限公司 $$