1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定(Word练习)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．命题“正方形都是菱形”的否定是(　　) A．任意一个正方形，它是菱形 B．任意一个正方形，它不是菱形 C．存在一个正方形，它不是菱形 D．存在一个正方形，它是菱形 解析　全称命题的否定为存在量词命题，故答案为C. 答案　C 2．命题“∀x>0，x2－1≤0”的否定是(　　) A．∃x≤0，x2－1>0　 B．∀x>0，x2－1>0 C．∃x>0，x2－1>0 D．∀x≤0，x2－1>0 解析　因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 命题“∀x>0，x2－1≤0”是全称量词命题， 所以其否定是“∃x>0，x2－1>0”，故选C. 答案　C 3．(多选)下列四个命题，是真命题的有(　　) A．有些不相似的三角形面积相等 B．∃x∈Q，x2＝2 C．∃x∈R，x2＋1＝0 D．有一个实数的倒数是它本身 解析　只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似，∴A为真命题；当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴B为假命题；对∀x∈R，x2＋1≠0，∴C为假命题；D中1的倒数是它本身，∴D为真命题．故选AD. 答案　AD 4．命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　由题意知原命题的否定是真命题， 即∀x∈R，有x2＋2x＋m>0是真命题． 由Δ＝4－4m<0，得m>1，∴a＝1. 答案　B 5．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是________________． 解析　命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定． 答案　所有的三角形都不是直角三角形 6．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是________________． 解析　原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，既要改量词又要否定结论，所以其否定为：存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0. 答案　存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0 7．若命题“∃x<2 023，x>a”是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析　由于命题“∃x<2 023，x>a”是假命题，因此其否定“∀x<2 023，x≤a”是真命题，所以a≥2 023. 答案　{a|a≥2 023} 8．写出下列命题的否定，并判断它们的真假． (1)∀x∈R，x2>0； (2)∃x∈R，x2＝1； (3)∃x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根； (4)等腰梯形的对角线垂直． 解析　(1)命题的否定：∃x∈R，使x2≤0， 因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真． (2)命题的否定：∀x∈R，使x2≠1， 因为x＝1时，x2＝1，所以命题的否定为假． (3)命题的否定：∀x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根，因为x＝1时12－3×1＋2＝0，即x＝1为方程的根，所以命题的否定为假． (4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题． [关键能力·综合提升] 9．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．所有的素数都是奇数 B．有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0 C．命题“∀x∈R，x＋|x|≥0”的否定是“∃x∈R，x＋|x|＜0” D．命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2＞0” 解析　对于A中，2是一个素数，但2是偶数，所以A是假命题； 对于B中，对于方程x2＋2x＋3＝0，其中Δ＝22－4×3＝－8＜0， 所以不存在实数，使得x2＋2x＋3＝0成立，所以B是假命题； 对于C中，根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“∀x∈R，x＋|x|≥0”的否定是“∃x∈R，x＋|x|＜0”，所以C是真命题； 对于D中，根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2＞0”，所以D是真命题． 答案　CD 10．已知命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋＝0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a＜0} B．{a|0≤a≤4} C．{a|a≥4} D．{a|0＜a＜4} 解析　∵命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋＝0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≠0”是真命题，即判别式Δ＝(a－2)2－4×4×<0，即Δ＝a2－4a<0，则0<a<4. 答案　D 11．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题¬p是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析　∵命题¬p是假命题，∴p是真命题， 即存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题， ∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1. 答案　{a|a≤1} 12．已知命题p：存在x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析　命题p的否定：任意x∈R，x2＋2ax＋a＞0为真命题，∴Δ＝4a2－4a＜0，∴0＜a＜1. 答案　{a|0＜a＜1} 13．已知命题p：∀1≤x≤2，都有x2＋1≥a，命题q：∃0≤x≤1，使得2x＋a－1＜0成立，若p是真命题，q是假命题，求实数a的取值范围． 解析　当1≤x≤2时，y＝x2＋1的最小值为2； 因为p为真命题，所以a≤2； 当0≤x≤1时，y＝1－2x的最大值为1－2×0＝1， q为真命题时，a＜1， 因为q为假命题，所以a≥1， 综上，a的取值范围为{a|1≤a≤2}． [核心价值·探索创新] 14．某中学开展小组合作学习模式，高二某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的下方”是假命题，求m的取值范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的上方或x轴上”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学所出的题中m的取值范围是否一致？________.(填“是”或“否”) 解析　∵命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的下方”的否定是“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的上方或x轴上”． 而命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的下方”是假命题，则其否定“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的上方或x轴上”为真命题．∴两位同学所出的题中m的取值范围是一致的． 答案　是 15．已知命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围． 解析　因为¬q为假命题，所以q为真命题， 命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，为真命题， 则m≥xmax，即m≥3. 命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，为真命题， 则m≥xmin，即m≥1. 因为命题p，q同时为真命题，所以 解得m≥3, 故实数m的取值范围是{m|m≥3}． 学科网（北京）股份有限公司 $$