1.5.1 全称量词与存在量词(Word练习)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．下列命题为全称量词命题的是(　　) A．有些实数没有倒数 B．矩形都有外接圆 C．存在一个实数与它的相反数的和为0 D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 答案　B 2．存在量词命题“存在实数x，使得x2＋1<0”可写成(　　) A．若x∈R，则x2＋1>0 B．∀x∈R，x2＋1<0 C．∃x∈R，x2＋1<0 D．以上都不正确 解析　存在量词命题中“存在”可用符号“∃”表示，故选C. 答案　C 3．(多选)给出下列命题，其中是存在量词命题的为(　　) A．存在实数x>1，使x2>1 B．全等的三角形必相似 C．有些相似三角形全等 D．至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数 答案　ACD 4．下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是(　　) A．∀x∈R,2x＋1＞0 B．若2x为偶数，则x∈N C．菱形的四条边都相等 D．π是无理数 解析　对A，是全称量词命题，但不是真命题，故A不正确； 对B，是全称量词命题，但不是真命题，故B不正确； 对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确； 对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确． 答案　C 5．在下列存在量词命题中是真命题的有________． ①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形． 答案　①②③ 6．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”，用“∃”写成存在量词命题为________． 解析　存在量词命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． 答案　∃x＜0，(1＋x)(1－9x)2＞0 7．给出下列命题： ①∀x∈R，x2＋2>0； ②∀x∈N，x4≥1； ③对任意x，y，都有x2＋y2≠0. 其中真命题的个数为________． 解析　①由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0， 所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题． ②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题． ③当x＝y＝0时，x2＋y2＝0，所以是假命题． 答案　1 8．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)∃x(x∈R)，x－2≤0. (2)三角形两边之和大于第三边． (3)有些整数是偶数． 解析　(1)存在量词命题．x＝1时，x－2＝－1≤0，故存在量词命题“∃x，x－2≤0”是真命题． (2)全称量词命题．三角形中，任意两边之和大于第三边．故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题． (3)存在量词命题.2是整数，2也是偶数．故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题． [关键能力·综合提升] 9．(多选)下列全称量词命题中是真命题的有 (　　) A．负数不能开根号 B．对任意的实数x，都有|x2－1|≥0 C．二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点 D．∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0. 答案　ABC 10．已知命题p：∀x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a＞－1} B．{a|a<－1} C．{a|a≥－1} D．{a|a≤－1} 解析　依题意不等式x2＋2x－a>0对x∈R恒成立，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1. 答案　B 11．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是________． 解析　对于任意x>3，x>a恒成立， 即大于3的数恒大于a，所以a≤3. 答案　{a|a≤3} 12．若命题∃x∈R，使2x2＋5x－m＝0是真命题，则m的取值范围为________． 解析　若2x2＋5x－m＝0是真命题， 则52－4×2×(－m)≥0， 解得m≥－. 所以m的取值范围为. 答案　 13．判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性． (1)对所有的正实数t, 为正且 ＜t； (2)存在实数x，使得x2－3x－4＝0； (3)存在实数对(x，y)，使得3x－4y－5＞0； (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 解析　(1)为全称量词命题，且为假命题，如取t＝1，则＜t不成立． (2)为存在量词命题，且为真命题， 因为判别式Δ＝b2－4ac＝25＞0. (3)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2,0)，则3x－4y－5＞0成立． (4)为全称量词命题，且为真命题． [核心价值·探索创新] 14．设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|－1－2a≤x≤a－2}，若命题“∀x∈B，则x∈A”为真命题，求实数a的取值范围． 解析　因为命题“∀x∈B，则x∈A”是真命题，所以B⊆A，当B＝∅时，－1－2a＞a－2，解得a＜；当B≠∅时， 解得 所以a∈∅. 综上所述，实数a的取值范围是. 15．已知函数y1＝x2，y2＝－2x－m，若对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围． 解析　因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}， 所以y1∈{y|0≤y≤9}， y2∈{y|－4－m≤y≤－m}， 又因为对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2， 即y1的最小值大于或等于y2的最小值， 即－4－m≤0，所以m≥－4， 所以m的取值范围为{m|m≥－4}. 学科网（北京）股份有限公司 $$