1.4.1 充分条件与必要条件(Word练习)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的(　　) A．既充分也必要条件 B．充分条件但不是必要条件 C．必要条件但不是充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析　因为{x|－1<x<3}{x|x<3}，所以p是q成立的必要条件，但不是充分条件． 答案　C 2．“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件又是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 解析　因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件． 答案　B 3．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是(　　) A．若＝，则x＝y　 B．若x＝1，则x2＝1 C．若x＝y，则＝ D．若x＜y，则x2＜y2 解析　B项中，x＝1⇒x2＝1；C项中，当x＝y＜0时，，无意义；D项中，当x＜y＜0⇒x2＞y2，所以C，D中p不是q的充分条件． 答案　AB 4．(多选)下列式子，能使<成立的充分条件有(　　) A．a<0<b B．b<a<0 C．b<0<a D．0<b<a 解析　A中，当a<0<b时，<0<； B中，当b<a<0时，<<0； C中，当b<0<a时，<0<； D中，当0<b<a时，0<<， 故能使<成立的充分条件有ABD. 答案　ABD 5．下列说法不正确的是________．(只填序号) ①x2≠1是x≠1的必要条件； ②x＞5是x＞4的充分不必要条件； ③xy＝0是x＝0且y＝0的充分条件； ④x2＜4是x＜2的充分不必要条件． 解析　“若x2≠1，则x≠1”的意思是“若x＝1，则x2＝1”，易知x＝1是x2＝1的充分不必要条件，故①不正确；③中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则③不正确；②④正确． 答案　①③ 6．已知p：1－x<0，q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________． 解析　p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但qD/⇒p，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1. 答案　{a|a＜1} 7．已知p：A＝{x|－1≤x≤5}，q：B＝{x|－m＜x＜2m－1}，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是__________． 解析　因为p是q的充分条件，所以A⊆B，如图，则解得m>3. 答案　{m|m＞3} 8．指出下列各组命题中，p是q的什么条件． (1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC； (2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0； (3)p：a<b，q：<1. 解析　在(1)中，由大角对大边，且A>B知BC>AC，反之也正确，所以p是q的充要条件． 在(2)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)·(a－3)＝0不一定a＝3，所以p是q的充分不必要条件． 在(3)中，若a<b<0，则推不出<1，反之若<1，当b<0时，也推不出a<b，所以p既不是q的充分条件，也不是必要条件． [关键能力·综合提升] 9．(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是(　　) A．p：a是无理数，q：a2是无理数 B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等 C．p：x＞2，q：x≥1 D．p：a＞b，q：ac2＞bc2 解析　A中，a＝是无理数，a2＝2是有理数， 所以p不是q的充分条件； B中，因为等腰梯形的对角线相等， 所以p是q的充分条件； C中，x＞2⇒x≥1，所以p是q的充分条件； D中，当c＝0时，ac2＝bc2，所以p不是q的充分条件． 答案　BC 10．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙是甲的充要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 解析　因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲． 又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙D/⇒丙， 如图． 综上，有丙⇒甲，但甲D/⇒丙， 即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． 答案　A 11．若A＝{x|2a－1<x<2a＋1}，B＝{x|x<－3或x>1}，且A是B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________． 解析　因为A是B的充分不必要条件， 所以AB，又A＝{x|2a－1<x<2a＋1}， B＝{x|x<－3或x>1}． 因此2a＋1≤－3或2a－1≥1， 所以实数a的取值范围是{a|a≤－2或a≥1}． 答案　{a|a≤－2或a≥1} 12．已知p：x＜－2或x＞10，q：x＜1＋a或x＞1－a(a＜0)．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为__________． 解析　∵p是q的必要条件， ∴q⇒p，∴解得a≤－9. 答案　{a|a≤－9} 13．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件？ 解析　(1)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件， 则只要⊆{x|x<－1或x>3}， 即只需－≤－1，所以m≥2. 故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件． (2)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆，这是不可能的． 故不存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件． [核心价值·探索创新] 14．命题“对任意x且1≤x＜2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　　) A．a≥4 B．a＞4 C．a≥1 D．a＞1 解析　要使“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，所以a＞4是命题为真的充分不必要条件． 答案　B 15．已知条件p：x＜1－a或x＞1＋a和条件q：x＜或x＞1，求使p是q的充分条件但不是必要条件的最小正整数a. 解析　依题意a＞0.由p：x＜1－a或x＞1＋a， 可设M＝{x|x＜1－a或x＞1＋a}． 由q：x＜或x＞1，可设N＝. 要使p是q的充分条件但不是必要条件，即MN，应有或解得a≥. 令a＝1，则M＝{x|x＜0或x＞2}， N＝. 即p⇒q，反之不成立，∴a＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$