1.3.2 补集及综合应用(Word练习)-【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

[必备知识·基础巩固] 1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁UA等于(　　) A．{1,2}　　　　　　　 B．{3,4,5} C．{1,2,3,4,5} D．∅ 解析　∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁UA＝{3,4,5}． 答案　B 2．(2023·天津卷)已知集合U＝，A＝，B＝，则(∁UB)∪A＝(　　) A. B. C. D. 解析　由∁UB＝{3,5}，而A＝{1,3}， 所以(∁UB)∪A＝{1,3,5}． 故选A. 答案　A 3．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2}，N＝{2,5}，如图所示，阴影部分表示的集合是(　　) A．{3,4,5} B．{1,3,4} C．{1,2,5} D．{3,4} 解析　由题图可知，阴影部分表示的集合是∁U(M∪N)． ∵M∪N＝{1,2,5}，U＝{1,2,3,4,5}， ∴∁U(M∪N)＝{3,4}． 答案　D 4．(多选)下列命题正确的有(　　) A．A∪∅＝∅ B．∁U(A∪B)＝(∁UA)∪(∁UB) C．A∩B＝B∩A D．∁U(∁UA)＝A 解析　在A中，A∪∅＝A，故A错误； 在B中，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，故B错误； 在C中，A∩B＝B∩A，故C正确； 在D中，∁U(∁UA)＝A，故D正确． 答案　CD 5．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x<5}，则∁AB＝________. 解析　把集合A看作全集， 故∁AB＝{x|0≤x<2，或x＝5}． 答案　{x|0≤x<2，或x＝5} 6．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，则图中的阴影部分表示的集合为________． 解析　全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，由维恩图可知阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B， ∵∁UA＝{4,6,7,8}，∴(∁UA)∩B＝{4,6}． 答案　{4,6} 7．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x<a}，若∁UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝________. 解析　∵A∪(∁UA)＝U，∴A＝{x|1≤x<2}．∴a＝2. 答案　2 8．设U＝R，已知集合A＝{x|－5<x<5}，B＝{x|0≤x<7}，求： (1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(∁UB)； (4)B∩(∁UA)；(5)(∁UA)∩(∁UB)． 解析　如图甲． (1)A∩B＝{x|0≤x＜5}． (2)A∪B＝{x|－5<x<7}． (3)如图乙． ∁UB＝{x|x<0，或x≥7}， ∴A∪(∁UB)＝{x|x<5，或x≥7}． (4)如图丙． 丙 ∁UA＝{x|x≤－5，或x≥5}， B∩(∁UA)＝{x|5≤x＜7}． (5)∵∁UB＝{x|x<0，或x≥7}， ∁UA＝{x|x≤－5，或x≥5}，画数轴如图丁， 丁 ∴(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x≤－5，或x≥7}． [关键能力·综合提升] 9．(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1,0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1,3} B．{0,3} C．{－2,1} D．{－2,0} 解析　由B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}，A∪B＝{－1,1,2,3}，所以∁U(A∪B)＝{－2，0}，故选D. 答案　D 10．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≤1} B．{a|a<1} C．{a|a≥2} D．{a|a>2} 解析　∁RB＝{x|x≤1或x≥2}，如图所示． ∵A∪(∁RB)＝R，∴a≥2. 答案　C 11．设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|y＝x－3，－1≤x≤3}，则∁R(A∩B)＝________. 解析　∵A＝{x|0≤x≤4}， B＝{y|－4≤y≤0}， ∴A∩B＝{0}， ∴∁R(A∩B)＝{x|x∈R，且x≠0}． 答案　{x|x∈R，且x≠0} 12．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1}，B＝{x|2a＜x＜a＋3}，且B⊆∁RA，则a的取值范围为________． 解析　因为A＝{x|x＜－1}，所以∁RA＝{x|x≥－1}，又因为B⊆∁RA， 当B＝∅时，即2a≥a＋3时，a≥3，符合B⊆∁RA，所以a≥3； 当B≠∅时，即2a＜a＋3时，a＜3， 所以2a≥－1，所以－≤a＜3. 综上所述，a≥－. 答案　 13．已知集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|m－2≤x≤m＋2，x∈R}． (1)若A∩B＝{x|0≤x≤3}，求实数m的值； (2)若A∩(∁RB)＝A，求实数m的取值范围． 解析　(1)因为A∩B＝{x|0≤x≤3}， 所以 所以所以m＝2. (2)∁RB＝{x|x<m－2，或x>m＋2}，由已知可得A⊆∁RB，所以 m－2>3或m＋2<－1，所以m>5或m<－3.故实数m的取值范围为{m|m>5，或m<－3}． [核心价值·探索创新] 14．设I是全集，集合M，N，P都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为(　　) A．M∩(P∩∁IN) B．M∩(N∩∁IP) C．M∩(∁IN∩∁IM) D．(M∩N)∪(M∩P) 解析　由题中的Venn图可得阴影部分的元素属于M，属于N，但不属于P，故阴影部分表示的集合为M∩N∩(∁IP)＝M∩(N∩∁IP)． 答案　B 15．已知集合U＝R，集合A＝{x|x≤－a－1}，B＝{x|x>a＋2}，C＝{x|x<0或x≥4}都是U的子集，若∁U(A∪B)⊆C，问这样的实数a是否存在？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解析　(1)当－a－1<a＋2时，得a>－， 所以∁U(A∪B)＝{x|－a－1<x≤a＋2}． 为使∁U(A∪B)⊆C成立，所以a＋2<0， 解得a<－2； 或－a－1≥4，解得a≤－5， 而此时a>－，所以无解． (2)当－a－1≥a＋2时，得a≤－， 所以∁U(A∪B)＝∅， 显然∁U(A∪B)⊆C成立， 综上，a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$