4.5.2 用二分法求方程的近似解(课件PPT)【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

第四章　指数函数与对数函数 4.5　函数的应用(二) 4.5.2　用二分法求方程的近似解 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主落实 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 课前案·自主落实 01 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 导学1 二分法的定义 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 连续不断 一分为二 逐步逼近 近似值 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 导学2 二分法求方程近似解的步骤 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 f(a)f(b)＜0 零点 (a，c) (c，b) a(或b) 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 学业标准 素养目标 1.理解二分法的操作步骤与思想．(重点) 2．能够用二分法求方程的近似解．(重点) 1.通过二分法概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助二分法求方程的近似解，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. 在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手．某次竞猜的物品为价格在800～1 200元之间的一款手机，选手开始报价： 选手：1 000. 主持人：低了． 选手：1 100. 主持人：高了． 选手：1 050. 主持人：祝贺你，答对了． (1)主持人说“低了”隐含着手机价格在哪个范围内？ (2)选手每次的报价值同竞猜前手机价格所在范围有何关系？ [提示]　(1)(1 000,1 200]． (2)报价值为竞猜前手机价格所在范围的中间值． ◎结论形成 二分法的定义 对于在区间[a，b]上图象__________且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间__________，使所得区间的两个端点__________零点，进而得到零点________的方法叫做二分法． 在上述猜物品价格的实例中，竞猜的过程是否有规律可循？ [提示]　竞猜过程归结为：设原价为x，则(1)给定价格区间[a，b]；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)若c＞x，则在区间(a，c)内竞猜；若c＜x，则在区间(c，b)内竞猜；(4)依此类推，直到猜出原价x. ◎结论形成 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证____________________. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的_____； ②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈_____________)，则令b＝c； ③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈_____________)，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值________；否则重复步骤(2)～(4)． 当区间(a，b)的长度达到精确度时，如何确定零点的近似值？ [提示]　当区间长度达到精确度时，除可用区间的端点代替近似值外，也可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． “精确度”与“精确到”是一回事吗？ [提示]　不是一回事，这里所谓的“精确度”是指区间的长度达到某个规定的数值ε，即|a－b|＜ε.而“精确到”是指某个数的数位达到某个规定的数位，如计算1－eq \f(2,3)精确到0.01，即为0.33. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有函数的零点都可以用二分法来求．(　　) (2)精确度ε就是近似值．(　　) (3)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．(　　) (4)在一定精确度下，近似值是唯一的．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　) 答案　A 3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.438)＝0.165 f(1.406 5)＝－0.052 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.1)为(　　) A．1.2　　 B．1.3　　　 C．1.4　　 D．1.5 解析　∵f(1.375)＝－0.260＜0，f(1.438)＝0.165＞0，又1.438－1.375＝0.063＜0.1， ∴故近似根为1.4. 答案　C 4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间(　　) A．(1,1.25)　　　　　 B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能确定 解析　由已知f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，∴f(1.25)·f(1.5)＜0，因此方程的根落在区间(1.25，1.5)内，故选B. 答案　B eq \x(题型一　二分法定义的理解) (1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是(　　) (2)用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间的中点2，则下一个存在零点的区间为(　　) A．(0,1)　　　　　　　 B．(0,2) C．(2,3) D．(2,4) [解析]　(1)根据二分法的定义，知函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，因为零点左右两侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的近似值． (2)因为f(0)＝20＋0－7＝－6＜0，f(4)＝24＋12－7＞0，f(2)＝22＋6－7＞0，所以f(0)f(2)＜0，所以零点所在区间为(0,2)． [答案]　(1)ABC　(2)B 利用二分法求函数零点必须满足的两个条件 (1)图象：函数图象在零点附近是连续不断的． (2)函数值：函数在该点两侧的函数值符号相反．　 [触类旁通] 1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　) A．4,4　　　　　　 B．3,4 C．5,4 D．4,3 解析　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点个数为3，故选D. 答案　D eq \x(题型二　用二分法求方程的近似解 (一题多变)) 用二分法求方程x3＝x＋1在区间[1，1.5]内的一个近似解(精确度0.01)． [解析]　设f(x)＝x3－x－1，经计算f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0. 取(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)＜0， 因为f(1.5)·f(1.25)＜0，所以x0∈(1.25，1.5)． 如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表： (a，b) (a，b)的中点 f(a) f(b) f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) (1,1.5) 1.25 f(1)＜0 f(1.5)＞0 f(1.25)＜0 (1.25,1.5) 1.375 f(1.25)＜0 f(1.5)＞0 f(1.375)＞0 (1.25,1.375) 1.312 5 f(1.25)＜0 f(1.375)＞0 f(1.312 5)＜0 (1.312 5， 1．375) 1.343 75 f(1.312 5) ＜0 f(1.375)＞0 f(1.343 75) ＞0 (1.312 5， 1．343 75) 1.328 125 f(1.312 5) ＜0 f(1.343 75) ＞0 f(1.328 125) ＞0 (1.312 5， 1．328 125) 1.320 312 5 f(1.312 5) ＜0 f(1.328 125) ＞0 f(1.320 312 5) ＜0 因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5＜0.01，所以方程x3＝x＋1的一个精确度为0.01的近似解可取为1.33. [母题变式] (变条件、变结论)若本例改为“判断函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)”，又如何求解呢？ 解析　因为f(1)＝－1＜0，f(1.5)＝0.875＞0，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐步计算，列表如下： 区间 中点值 中点函数近似值 (1,1.5) 1.25 －0.30 (1.25,1.5) 1.375 0.22 (1.25,1.375) 1.3125 －0.05 (1.312 5,1.375) 1.343 75 0.08 由于|1.375－1.3125|＝0.0625＜0.1， 所以函数的一个近似零点为1.3. 用二分法求方程的近似解应明确两点 (1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解． (2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．　 [触类旁通] 2．已知函数f(x)＝x3＋2x－9 在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2)) 内有一个零点，且f(x) 的部分函数值数据如下： f(1)＝－6，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1.5))＝－2.625，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1.75))≈－0.140 6， f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1.757 8))≈－0.053 0，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1.761 7))≈0.009 0， f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1.765 6))≈0.035 2，f(2)＝3， 要使f(x) 零点的近似值精确度为0.01，则对区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2)) 的最少等分次数和近似解分别为(　　) A．6次，1.75 B．6次，1.76 C．7次，1.75 D．7次，1.76 解析　由题中数据知，零点区间变化如下：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))→eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1.5，2))→eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1.75，2))→eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1.75，1.875))→eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1.75，1.812 5))→eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1.75，1.781 25))→(1.75,1.765 6)→eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1.757 8，1.765 6))，此时区间长度小于0.01，在此区间内取近似值，等分了7次，近似解取1.76，故选D. 答案　D eq \x(题型三　二分法思想的实际应用) 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长10 km的线路，电线杆的间距为100 m．如何迅速查出故障所在呢？ [解析]　如图所示，首先从AB线路的中点C开始检查，当用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，判定故障在BC； 再到BC段中点D检查，这次发现BD段正常，可见故障出在CD段；再到CD段中点E来检查……每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半． 要把故障可能发生的范围缩小到100 m左右，查7次就可以了． [素养聚焦] 通过二分法思想的实际应用，把数学建模核心素养体现在解题中. 二分法解决问题就是数学逼近思想的具体体现．二分法的思想在实际生活应用十分广泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用．　 [触类旁通] 3．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(质量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？ 解析　第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币． ∴最多称四次． 知识落实 技法强化 1.二分法的定义． 2.利用二分法求函数的零点、方程的近似解． 3.二分法的应用. 二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点，且函数图象在零点附近是连续的. $$