4.3.2 对数的运算(课件PPT)【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

第四章　指数函数与对数函数 4.3　对 数 4.3.2　对数的运算 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主落实 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 课前案·自主落实 01 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 导学1 对数的运算性质 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 导学2 换底公式 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第四章　指数函数与对数函数 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 学业标准 素养目标 1.会推导对数的运算性质． 2．掌握对数的运算性质，并会化简、求值．(重点、难点) 3．会用换底公式进行对数运算．(重点) 1.通过推导对数的运算性质、换底公式，培养逻辑推理等核心素养． 2．借助对数的运算，提升数学运算等核心素养. 指数的运算法则有哪些？ [提示]　am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn. (1)设loga2＝m，loga3＝n.如何求am＋n? (2)上题中条件若换为logaM＝m，logaN＝n，如何求am＋n呢？ (3)在问题(2)的基础上，怎么用m，n表示loga(M·N)？还能得到什么结论？ [提示]　(1)因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，故am＋n＝am·an＝2×3＝6. (2)因为logaM＝m，logaN＝n，所以am＝M，an＝N，故am＋n＝am·an＝M·N. (3)loga(M·N)＝logaM＋logaN＝m＋n. ◎结论形成 对数的运算性质 条件 a>0，且a≠1，M>0，N>0 性质 loga(MN)＝____________________ logaeq \f(M,N)＝____________________ logaMn＝_________(n∈R) 若MN>0，运算法则loga(M·N)＝logaM＋logaN还成立吗？ [提示]　不一定成立．例如对于(－2)×(－3)>0， loga((－2)×(－3))≠loga(－2)＋loga(－3)， 因为loga(－2)和loga(－3)没有意义． 假设eq \f(log25,log23)＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，进一步可得到什么结论？ [提示]　把3x＝5化为对数式为log35＝x， 又因为x＝eq \f(log25,log23)，所以得出log35＝eq \f(log25,log23)的结论． 由问题1你能猜测出eq \f(logcb,logca)与哪个对数相等吗？如何证明这个结论？ [提示]　结论为eq \f(logcb,logca)＝logab. 证明如下：令eq \f(logcb,logca)＝x⇒logcb＝xlogca⇒logcb＝logcax⇒b＝ax⇒x＝logab⇒eq \f(logcb,logca)＝logab. ◎结论形成 对数换底公式 logab＝_________(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)． [拓展] 对数换底公式的常用的推论 (1)logab·logba＝1⇔logab＝eq \f(1,logba)； (2)loganMm＝eq \f(m,n)logaM. eq \f(logcb,logca) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．(　　) (2)loga(xy)＝logax·logay(x，y＞0)．(　　) (3)log2(－5)2＝2log2(－5)．(　　) (4)logaeq \f(x,y)＝logax－logay(x，y＞0)．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若lg 2＝m，则lg 5＝(　　) A．m　　　　　　　　 B．eq \f(1,m) C．1－m D．eq \f(10,m) 解析　因为lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝1. 所以lg 5＝1－lg 2＝1－m. 答案　C 3．2log510－log54＝_______. 解析　2log510－log54＝log5102－log54 ＝log5eq \f(100,4)＝log525＝2. 答案　2 4．log23·log34＝_______. 解析　log23·log34＝eq \f(lg 3,lg 2)·eq \f(lg 4,lg 3)＝eq \f(2lg 2,lg 2)＝2. 答案　2 eq \x(题型一　对数运算性质的应用) 计算下列各式的值． (1)lg 52＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2； (2)eq \f(lg \r(2)＋lg 3－lg \r(10),lg 1.8). [解析]　(1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (2)原式＝eq \f(\f(1,2)lg 2＋lg 9－lg 10,lg 1.8) ＝eq \f(lg \f(18,10),2lg 1.8)＝eq \f(lg 1.8,2lg 1.8)＝eq \f(1,2). 底数相同的对数式的化简和求值的方法 (1)“收”，将同底的两对数的和(差)“收”成积(商)的对数． (2)“拆”，将积(商)的对数“拆”成同底的两对数的和(差)．　 [触类旁通] 1．计算下列各式的值． (2)log3eq \r(3)＋lg 25＋lg 4－log2(log216)． 解析　(1)原式＝log29－log2eq \f(63,8)＋log27－2＝log2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9×\f(8,63)×7))－2＝3－2＝1. (2)原式＝eq \f(1,2)log33＋lg(25×4)－log24＝eq \f(1,2)＋lg 100－log222＝eq \f(1,2)＋2－2＝eq \f(1,2). eq \x(题型二　对数换底公式的应用) (一题多解　一题多变) 已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示) [解析]　解法一　因为log189＝a,18b＝5，所以log185＝b，于是log3645＝eq \f(log1845,log1836)＝eq \f(log189×5,log18\f(182,9)) ＝eq \f(log189＋log185,2log1818－log189)＝eq \f(a＋b,2－a). 解法二　因为eq \f(lg 9,lg 18)＝log189＝a，所以lg 9＝alg 18， 同理得lg 5＝blg 18， 所以log3645＝eq \f(lg 45,lg 36)＝eq \f(lg9×5,lg\f(182,9))＝eq \f(lg 9＋lg 5,2lg 18－lg 9) ＝eq \f(alg 18＋blg 18,2lg 18－alg 18)＝eq \f(a＋b,2－a). [母题变式] 1．(变结论)若本例条件不变，如何求log1845(用a，b表示)? 解析　log1845＝log185＋log189＝b＋a. 2．(变条件)若将本例条件“log189＝a,18b＝5”改为log94＝a，9b＝5，结论不变，如何求？ 解析　log3645＝eq \f(log945,log936)＝eq \f(1＋log95,1＋log94)＝eq \f(1＋b,1＋a). 换底公式的应用技巧 (1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．　 [触类旁通] 2．求下列各式的值． (1)log2eq \f(1,25)×log3eq \f(1,8)×log5eq \f(1,9)； (2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2125＋log425＋log85))×(log1258＋log254＋log52)． 解析　(1)原式＝eq \f(lg\f(1,25),lg 2)×eq \f(lg\f(1,8),lg 3)×eq \f(lg\f(1,9),lg 5) ＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2lg 5))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3lg 2))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2lg 3)),lg 2×lg 3×lg 5)＝－12. (2)原式＝(log253＋log2252＋log235)×(log5323＋log5222＋log52) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))×log25×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋1))×log52 ＝eq \f(13,3)×3＝13. eq \x(题型三　对数运算的综合应用) 已知2x＝3y＝5z，且eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝1，求x，y，z. [解析]　令2x＝3y＝5z＝k(k>0)， ∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k， ∴eq \f(1,x)＝logk2，eq \f(1,y)＝logk3，eq \f(1,z)＝logk5， 由eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝1， 得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30， ∴x＝log230＝1＋log215， y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56. [素养聚焦] 本题考查指数与对数运算的综合应用，突出考查数学运算核心素养. 解带有附加条件的对数运算的策略 与对数相关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．对于条件中的连等式，通常设它们等于一个参数k，用k表示其他变量．　 [触类旁通] 3．设3x＝4y＝36，求eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的值． 解析　解法一　∵3x＝36,4y＝36， ∴x＝log336，y＝log436. ∴eq \f(1,x)＝eq \f(1,log336)＝eq \f(1,\f(log3636,log363))＝log363， eq \f(1,y)＝eq \f(1,log436)＝eq \f(1,\f(log3636,log364))＝log364. ∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1. 解法二　对等式3x＝4y＝36各边都取以6为底的对数，得log63x＝log64y＝log636， 即xlog63＝ylog64＝2.∴eq \f(2,x)＝log63，eq \f(1,y)＝log62. ∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝log63＋log62＝log66＝1， 即eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1. 知识落实 技法强化 1.对数的运算性质． 2.换底公式． 3.利用对数的运算性质化简、求值． 4.实际问题中的对数运算. 要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则；要注意对数的换底公式的结构形式，易混淆. $$