3.1.1 第2课时 函数的概念(二)(课件PPT)【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

第三章　函数的概念与性质 3.1　函数的概念及其表示 3.1.1　函数的概念 第2课时　函数的概念(二) 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主落实 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 课前案·自主落实 01 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 导学1 区间的概念 [a，b] (a，b) 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 [a，b) (a，b] (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 导学2 相同函数的判定 相同 相同 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 1.区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 _____________ {x|a＜x＜b} 开区间 _____________ {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 _____________ {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 _____________ 2.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 区间 ____________ __________ __________ __________ __________ ◎结论形成 1．前提条件：(1)定义域_____；(2)对应关系_____． 2．结论：这两个函数为同一个函数． 构成函数的要素有哪些？ [提示]　定义域、对应关系和值域． 结合函数的定义，如何才能确定一个函数？ [提示]　有确定的定义域和对应关系，此时值域唯一确定，则函数确定． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．(　　) (2)两个函数的定义域和值域相同就表示同一函数．(　　) (3)区间[2，＋∞)表示大于2的所有实数．(　　) (4)相同函数的自变量符号一定一样．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．下表表示y是x的函数，则函数的值域是(　　) x x<2 2≤x≤3 x>3 y －1 0 1 A.{y|－1≤y≤1}　　　　 B．R C．{y|2≤y≤3} D．{－1,0,1} 解析　由表格知，对应的y的值为－1,0,1，故选D. 答案　D 3．(多选)下列函数是同一函数的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝(eq \r(x))2 B．f(x)＝x，g(x)＝eq \r(3,x3) C．f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N) D．f(x)＝x2＋3x－1，g(t)＝t2＋3t－1 解析　选项A中的两个函数的定义域不同；选项C中的两个函数的对应关系不同；选项B，D中的函数的定义域和对应关系都相同，是同一函数． 答案　BD 4．区间[1,2)表示的集合为_______． 解析　根据区间的定义，可表示为{x|1≤x<2}． 答案　{x|1≤x<2} eq \x(题型一　区间的应用) 把下列数集用区间表示． (1){x|x≥－1}； (2){x|x<0}； (3){x|－1<x<1}； (4){x|0<x<1或2≤x≤4}． [解析]　(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)； (2){x|x<0}＝(－∞，0)； (3){x|－1<x<1}＝(－1,1)； (4){x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0,1)∪[2,4]． 用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．　 [触类旁通] 1．(1)用区间表示{x|x≥0且x≠2}为_______． (2)已知区间[a,2a＋1]，则a的取值范围是_______． 解析　(1){x|x≥0且x≠2}＝[0,2)∪(2，＋∞)． (2)由2a＋1>a，得a>－1，则a的取值范围为(－1，＋∞)． 答案　(1)[0,2)∪(2，＋∞)　(2)(－1，＋∞) eq \x(题型二　相同函数的判定) (1)下列各组函数： ①f(x)＝eq \f(x2－x,x)，g(x)＝x－1； ②f(x)＝eq \f(\r(x),x)，g(x)＝eq \f(x,\r(x))； ③f(x)＝eq \r(x＋32)，g(x)＝x＋3； ④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)， 其中表示同一函数的是_______(填序号)． (2)试判断函数y＝eq \r(x－1)·eq \r(x＋1)与函数y＝eq \r(x＋1x－1)是否为同一函数，并说明理由． (1)[解析]　①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；②f(x)与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；⑤f(t)与g(x)的定义域、对应关系皆相同，故是同一函数． [答案]　⑤ (2)[解析]　不相同．对于函数y＝eq \r(x－1)·eq \r(x＋1)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x＋1≥0，))解得x≥1，故定义域为{x|x≥1}；对于函数y＝eq \r(x＋1x－1)，由(x＋1)·(x－1)≥0解得x≥1或x≤－1，故定义域为{x|x≥1或x≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是同一函数． 判断两个函数为同一函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形．　 [触类旁通] 2．(1)下列各组函数是同一函数的是(　　) A．y＝1，y＝eq \f(x,x) B．y＝eq \r(x－2)·eq \r(x＋2)，y＝eq \r(x2－4) C．y＝|x|，y＝(eq \r(x))2 D．y＝eq \f(1,x)(x＞0)，y＝eq \f(x＋1,x2＋x)(x＞0) (2)下列各组函数是同一函数的是_________(填序号)． ①f(x)＝eq \r(－2x3)与g(x)＝xeq \r(－2x)；②f(x)＝x0与g(x)＝eq \f(1,x0)；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1. 解析　(1)A，B，C中的两函数定义域均不相同，而y＝eq \f(x＋1,x2＋x)＝eq \f(1,x)，且x＞0，故选D. (2)①f(x)＝eq \r(－2x3)，g(x)＝xeq \r(－2x)，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；②f(x)＝x0＝1(x≠0)，g(x)＝eq \f(1,x0)＝1(x≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一函数；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数． 答案　(1)D　(2)②③ eq \x(题型三　求函数的值域) 求下列函数的值域． (1)y＝eq \r(x)－1； (2)y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1,0,1,2,3}； (3)y＝eq \f(2x＋1,x－3)； (4)y＝2x－eq \r(x－1). [解析]　(1)(直接法)∵eq \r(x)≥0，∴eq \r(x)－1≥－1，∴y＝eq \r(x)－1的值域为[－1，＋∞)． (2)(观察法)∵x∈{－2，－1,0,1,2,3}，∴把x代入y＝x2－2x＋3得y＝11,6,3,2，∴y＝x2－2x＋3的值域为{2,3,6,11}． (3)(分离常数法)y＝eq \f(2x＋1,x－3)＝eq \f(2x－3＋7,x－3)＝2＋eq \f(7,x－3)，显然eq \f(7,x－3)≠0，所以y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (4)(换元法)设t＝eq \r(x－1)，则t≥0，且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))2＋eq \f(15,8)，由t≥0，结合函数的图象可得原函数的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)，＋∞)). [素养聚焦] 利用函数值域的求解，把数学运算、直观想象等核心素养体现在解题过程中. 求函数值域的常用方法 (1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域． (2)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法． (3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域． (4)分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域．　 [触类旁通] 3．求下列函数的值域． (1)y＝eq \r(16－x2)； (2)y＝x2－4x＋6(1≤x≤5)； (3)y＝eq \f(x,x＋1)； (4)y＝2x＋4eq \r(1－x). 解析　(1)∵0≤16－x2≤16，∴0≤eq \r(16－x2)≤4，即函数y＝eq \r(16－x2)的值域为[0,4]． (2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为1≤x≤5，由函数图象可知y∈[2,11]． (3)(分离常数法)∵y＝eq \f(x,x＋1)＝1－eq \f(1,x＋1)， 且定义域为{x|x≠－1}，∴eq \f(1,x＋1)≠0，即y≠1. ∴函数y＝eq \f(x,x＋1)的值域为{y|y∈R，且y≠1}． (4)(换元法)令t＝eq \r(1－x)(t≥0)，则x＝1－t2， 则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)， 结合图象可得函数的值域为(－∞，4]． 知识落实 技法强化 1.区间的表示． 2.判断是否为同一个函数． 3.求函数值域的方法. 1.区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合． 2.当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. $$