3.1.1 第1课时 函数的概念(一)(课件PPT)【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

第三章　函数的概念与性质 3.1　函数的概念及其表示 3.1.1　函数的概念 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 第1课时　函数的概念(一) 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主落实 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 课前案·自主落实 01 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 导学1 函数的概念 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 实数集 任意一个数x 唯一确定 f：A→B y＝f(x) 取值范围A 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 导学2 函数的三要素 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 定义域 对应关系 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第三章　函数的概念与性质 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 学业标准 素养目标 1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用． 2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点) 3．能够正确使用区间表示数集．(重点) 1.通过函数概念的学习，培养学生数学抽象等核心素养． 2．借助求函数的定义域、值域等问题，培养逻辑推理、数学运算等核心素养. 阅读课本P60，P61的问题1和问题2，并思考它们有什么异同点？ [提示]　它们有相同的解析式，也就是对应关系．它们有不同的实际背景，变量的取值范围也不同． 请同学们继续阅读课本上的问题3和问题4，它们是函数吗？如果是，请指出它们与问题1和问题2中的函数的区别． [提示]　是函数．它们变量间的对应关系是由图象和表格的形式呈现出来的，比解析式更直观、形象． 通过对4个问题的分析，你能说出它们有什么不同点和共同点吗？ [提示]　不同点：问题1,2是用解析式刻画两个变量之间的对应关系，问题3是用图象刻画两个变量之间的对应关系，问题4是用表格刻画两个变量之间的对应关系． 共同点：①都包含两个非空的实数集，分别用A，B来表示； ②都有一个对应关系； ③对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应． ◎结论形成 函数的 定义 设A，B是非空的________，如果对于集合A中______________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__________的数y和它对应，那么就称_____________为从集合A到集合B的一个函数 函数的 记法 _______________，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的______________叫做函数的定义域 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域 初中我们学习过哪些函数？ [提示]　一次函数、二次函数和反比例函数． 你能说一说问题1中的几个函数的定义域、对应关系和值域分别是什么吗？ [提示]　一次函数y＝ax＋b(a≠0)的定义域是R，值域也是R，对应关系f把R中的任意一个数x，对应到R中唯一确定的数ax＋b(a≠0)．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，值域是B，当a>0时，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(y≥\f(4ac－b2,4a)))))；当a<0时，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(y≤\f(4ac－b2,4a)))))，对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数ax2＋bx＋c(a≠0)．反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的定义域是A＝{x|x≠0}，值域是B＝{y|y≠0}，对应关系是f把A中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数eq \f(k,x)(k≠0)． ◎结论形成 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的________相同，并且__________完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据函数的定义，定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y.(　　) (2)任何两个集合之间都可以建立函数关系．(　　) (3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．(　　) (4)在函数的定义中，集合B是函数的值域．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列说法正确的是(　　) A．函数的定义域和值域可以是空集 B．函数的定义域和值域一定是数集 C．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应 D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 解析　A不正确，因为定义域和值域均为非空数集；C不正确，如在函数f(x)＝x2中，f(－2)＝f(2)＝4；D不正确，因为函数的值域是由定义域和对应关系确定的． 答案　B 3．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，则其值域为(　　) A．{－1,0,3}　　　　　 B．{0,1,2,3} C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3} 解析　x＝0时，y＝0；x＝1时，y＝－1；x＝2时，y＝0；x＝3时，y＝3. 答案　A 4．函数f(x)＝eq \f(1,\r(1－2x))的定义域是_______． 解析　由题意，需1－2x>0，解得x<eq \f(1,2). 故f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,2))))). 答案　eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,2))))) eq \x(题型一　函数关系的判断) (1)(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　) A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方 B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 (2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形： 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　) A．0　　 B．1　　　 C．2　　 D．3 [解析]　(1)按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义． (2)①中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是； ②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是； ③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是； ④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是． 因此只有②是． [答案]　(1)AD　(2)B 1．判断一个对应关系是否为函数的方法 2．根据图形判断对应关系是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．　 [触类旁通] 1．已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2；②y＝x＋1；③y＝x－1； ④y＝|x|.其中能构成从M到N的函数的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 解析　只有y＝|x|是符合题意的对应关系． 答案　D eq \x(题型二　求函数值(一题多变)) 设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝eq \f(1,x＋2). (1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))； (2)求g(f(x))． [解析]　(1)因为f(x)＝2x2＋2， 所以f(2)＝2×22＋2＝10， f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20. 因为g(x)＝eq \f(1,x＋2)， 所以g(a)＋g(0)＝eq \f(1,a＋2)＋eq \f(1,0＋2)＝eq \f(1,a＋2)＋eq \f(1,2)(a≠－2)． g(f(2))＝g(10)＝eq \f(1,10＋2)＝eq \f(1,12). (2)g(f(x))＝eq \f(1,fx＋2)＝eq \f(1,2x2＋2＋2)＝eq \f(1,2x2＋4). [母题变式] 1．(变结论)本例的条件不变，求f(f(x))，g(g(x))． 解析　f(f(x))＝2(f(x))2＋2＝2(2x2＋2)2＋2 ＝8x4＋16x2＋10， g(g(x))＝eq \f(1,gx＋2)＝eq \f(1,\f(1,x＋2)＋2)＝eq \f(x＋2,2x＋5). 2．(变结论)本例的条件不变，若f(a＋1)＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＋a＋1，求a的值． 解析　由f(a＋1)＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＋a＋1得2a2＋3a＋1＝0， 解得a＝－1或a＝－eq \f(1,2). 函数求值的方法 (1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．　 [触类旁通] 2．若f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)(x≠－1)，求f(0)，f(1)，f(1－a)(a≠2)，f(f(2))的值． 解析　f(0)＝eq \f(1－0,1＋0)＝1，f(1)＝eq \f(1－1,1＋1)＝0， f(1－a)＝eq \f(1－1－a,1＋1－a)＝eq \f(a,2－a)(a≠2)， f(f(2))＝eq \f(1－f2,1＋f2)＝eq \f(1－\f(1－2,1＋2),1＋\f(1－2,1＋2))＝2. eq \x(题型三　求函数的定义域) 求下列函数的定义域． (1)y＝3－eq \f(1,2)x；(2)y＝eq \f(x＋10,\r(x＋2))； (3)y＝eq \f(\r(5－x),|x|－3)；(4)f(x)＝eq \f(\r(x＋1),\r(－x2－3x＋4)). [解析]　(1)函数y＝3－eq \f(1,2)x的定义域为R. (2)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1. 又x＋2>0，即x>－2， 所以函数y＝eq \f(x＋10,\r(x＋2))的定义域为{x|x>－2且x≠－1}． (3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5－x≥0，,|x|－3≠0，))解得x≤5，且x≠±3， 所以函数y＝eq \f(\r(5－x),|x|－3)的定义域为{x|x≤5且x≠±3}． (4)要使函数f(x)有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,－x2－3x＋4>0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥－1，,x＋4x－1<0，)) 解不等式组得－1≤x<1. 因此函数f(x)的定义域为{x|－1≤x<1}． [素养聚焦] 利用求函数定义域问题引起的计算、讨论，把逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中. 求函数的定义域应注意的三点 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0. (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．　 [触类旁通] 3．求下列函数的定义域． (1)y＝eq \f(x＋12,x＋1)－eq \r(1－x)； (2)y＝eq \r(2x2－3x－2)＋eq \f(1,\r(4－x)). 解析　(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,1－x≥0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠－1，,x≤1.)) 所以定义域为{x|x≤1且x≠－1}． (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x2－3x－2≥0，,4－x>0，))得x≤－eq \f(1,2)或2≤x<4， 所以定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤－\f(1,2)或2≤x＜4)))). 知识落实 技法强化 1.函数的概念． 2.函数的三要素． 3.构建问题情境. 1.强化对函数概念的理解． 2.强化对定义法、图象法解决问题的思路. $$