2.3.2 一元二次不等式的综合应用(课件PPT)【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第2课时　一元二次不等式的综合应用 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 目 录 01 CONTENTS 02 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 01 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 02 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 eq \x(题型一　解简单的分式不等式) 解下列不等式． (1)eq \f(x＋2,3－x)≥0； (2)eq \f(2x－1,3－4x)>1. [解析]　(1)原不等式等价于 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋23－x≥0，,3－x≠0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2x－3≤0，,x≠3))⇒－2≤x<3. ∴原不等式的解集为{x|－2≤x<3}． (2)原不等式可化为eq \f(2x－1,3－4x)－1>0，即eq \f(3x－2,4x－3)<0. 等价于(3x－2)(4x－3)<0.∴eq \f(2,3)<x<eq \f(3,4). ∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(),\s\do5())))\f(2,3)<x<\f(3,4))). 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解．　 [触类旁通] 1．已知关于x的不等式ax＋b>0的解集是{x|x＞1}，则关于x的不等式eq \f(ax－b,x－2)>0的解集是(　　) A．{x|x＜－1，或x＞2}　 B．{x|－1＜x＜2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2} 解析　依题意，a>0且－eq \f(b,a)＝1. eq \f(ax－b,x－2)>0⇔(ax－b)(x－2)>0⇔eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(b,a)))(x－2)>0，即(x＋1)(x－2)>0⇒x>2或x<－1. 答案　A eq \x(题型二　不等式中的恒成立问题(一题多解)) 设函数y＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，y<0恒成立，求m的取值范围； (2)对于1≤x≤3，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围． [解析]　(1)要使mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0. 若m≠0，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0))⇒－4<m<0. ∴－4<m≤0， 即m的取值范围是{m|－4＜m≤0}． (2)解法一　要使y<－m＋5在1≤x≤3上恒成立，就要使meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6<0在1≤x≤3上恒成立． 令y2＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6,1≤x≤3. 当m>0时，y2随x的增大而增大， ∴y2在x＝3时有最大值7m－6<0， ∴0<m<eq \f(6,7)； 当m＝0时，－6<0恒成立； 当m<0时，y2随x的增大而减小， ∴y2在x＝1时有最大值m－6<0，得m<6. ∴m<0. 综上所述，m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(m<\f(6,7))))). 解法二　当1≤x≤3时，y<－m＋5恒成立， 即当1≤x≤3时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立． ∵x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0， 又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<eq \f(6,x2－x＋1). ∵y＝eq \f(6,x2－x＋1)＝eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))在1≤x≤3上的最小值为eq \f(6,7)，∴只需m<eq \f(6,7)即可． ∴m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(m<\f(6,7))))). 1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.)) 2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.)) 3．y≤a恒成立⇔a≥ymax，y≥a恒成立⇔a≤ymin.　 [触类旁通] 2．已知y＝x2＋2(a－2)x＋4. (1)如果对一切x∈R，y>0恒成立，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使得对任意x∈{x|－3≤x≤1}，y<0恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解析　(1)由题意可知，只有当二次函数y＝x2＋2(a－2)x＋4与直角坐标系中的x轴无交点时，才满足题意， 则其相应方程x2＋2(a－2)x＋4＝0此时应满足Δ<0，即4(a－2)2－16<0，解得0<a<4，即实数a的取值范围为{a|0＜a＜4}． (2)若对任意x∈{x|－3≤x≤1}，y<0恒成立，则满足题意的函数y＝x2＋2(a－2)x＋4的图象如图所示． 由图象可知，此时a应该满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(25－6a<0，,1＋2a<0，,1<a<5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>\f(25,6)，,a<－\f(1,2)，,1<a<5，)) 这样的实数a是不存在的，所以不存在实数a满足： 对任意x∈{x|－3≤x≤1}，y<0恒成立． eq \x(题型三　一元二次不等式的实际应用) 某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，计划将图中矩形ABCD建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB的长度为x米． (1)求矩形ABCD的面积S关于x的表达式； (2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，则AB的长度应在什么范围内？ [解析]　(1)根据题意，得△NDC与△NAM相似， ∴eq \f(DC,AM)＝eq \f(ND,NA)，即eq \f(x,30)＝eq \f(20－AD,20)， 解得AD＝20－eq \f(2,3)x， ∴矩形ABCD的面积S关于x的函数为 S＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(2,3)x))x(0＜x＜30)， 即S＝20x－eq \f(2,3)x2(0＜x＜30)． (2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，即20x－eq \f(2,3)x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0. 解得12≤x≤18. ∴AB的长度取值范围为{x|12≤x≤18}． [素养聚焦] 通过一元二次不等式的实际应用，把数学建模等核心素养体现在解题过程中. 解不等式应用题，一般可按以下四步进行 (1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)解不等式． (4)回答实际问题．　 [触类旁通] 3．某农贸公司按每担 200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加 2x 个百分点． (1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 解析　(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担， 收购总金额为200a(1＋2x%)万元． 依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)% ＝eq \f(1,25)a(50＋x)(10－x)(0＜x＜10)． (2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元)， 依题意得eq \f(1,25)a(50＋x)(10－x)≥20a×83.2%， 化简得x2＋40x－84≤0， 解得－42≤x≤2. 又因为0＜x＜10，所以0＜x≤2， 即x的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0＜x≤2)). 知识落实 技法强化 1.简单的分式不等式的解法． 2.二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用． 3.一元二次不等式的实际应用. 1.解分式不等式要等价变形． 2.利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义. $$