2.2.2 基本不等式的综合应用(课件PPT)【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.2　基本不等式 第2课时　基本不等式的综合应用 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主落实 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 课前案·自主落实 01 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 导学 利用基本不等式求最值的策略 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 利用基本不等式求最值时，应满足什么条件？ [提示]　满足三个条件：一正、二定、三相等，所谓“正”是指各项或各因式为正值，所谓“定”是指和或积为定值，所谓“相等”是指各项或各因式能相等，即等号能取到. 当给出的条件不满足基本不等式的应用条件时，怎样用基本不等式求最值？ [提示]　先变形，后应用． ◎结论形成 利用基本不等式求最值的策略 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥eq \f(a＋b2,2)均成立．(　　) (2)若x＞1，则x＋eq \f(1,x－1)≥1.(　　) (3)a，b异号时，eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≤－2.(　　) (4)当x≥2时，x＋eq \f(1,x)的最小值为2.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．已知0<x<1，则x(3－3x)取最大值时x的值为(　　) A.eq \f(1,2)　　 B．eq \f(3,4)　　　 C.eq \f(2,3)　　 D．eq \f(2,5) 解析　∵0<x<1，∴1－x>0， 则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1－x,2)))2＝eq \f(3,4)，当且仅当x＝1－x，即x＝eq \f(1,2)时，等号成立． 答案　A 3．已知x＞0，y＞0，且xy＝100，则x＋y的最小值为_______． 解析　x＋y≥2eq \r(xy)＝20，当且仅当x＝y＝10时，等号成立． 答案　20 4．若x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为_______． 解析　1＝x＋4y≥2eq \r(4xy)＝4eq \r(xy)， ∴xy≤eq \f(1,16)，当且仅当x＝4y＝eq \f(1,2)时等号成立． 答案　eq \f(1,16) eq \x(题型一　利用基本不等式求最值(一题多解)) (1)已知x>0，求函数y＝eq \f(x2＋5x＋4,x)的最小值； (2)已知0<x<eq \f(1,3)，求函数y＝x(1－3x)的最大值． [解析]　(1)∵y＝eq \f(x2＋5x＋4,x)＝x＋eq \f(4,x)＋5≥2eq \r(4)＋5＝9， 当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x＝2时等号成立， 故y＝eq \f(x2＋5x＋4,x)(x>0)的最小值为9. (2)解法一　∵0<x<eq \f(1,3)，∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝eq \f(1,3)·3x(1－3x) ≤eq \f(1,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3x＋1－3x,2)))2＝eq \f(1,12)， 当且仅当3x＝1－3x，即x＝eq \f(1,6)时，等号成立． ∴当x＝eq \f(1,6)时，函数取得最大值eq \f(1,12). 解法二　∵0<x<eq \f(1,3)，∴eq \f(1,3)－x>0. ∴y＝x(1－3x)＝3·xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－x)) ≤3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋\f(1,3)－x,2)))2＝eq \f(1,12)， 当且仅当x＝eq \f(1,3)－x，即x＝eq \f(1,6)时，等号成立． ∴当x＝eq \f(1,6)时，函数取得最大值eq \f(1,12). 1．应用基本不等式的条件：“一正、二定、三相等”，在求最值时必须同时具备，解答本题易漏掉等号成立的条件． 2．此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一定的灵活性和技巧性．常用技巧有“拆项”“添项”“凑系数”“常值代换”等．　 [触类旁通] 1．已知x＜eq \f(5,4)，求函数y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最大值． 解析　∵x＜eq \f(5,4)，∴5－4x＞0， ∴y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)＝4x－5＋eq \f(1,4x－5)＋3 ＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝eq \f(1,5－4x)，即x＝1时等号成立， ∴当x＝1时，ymax＝1. eq \x(题型二　求有约束条件的最值(一题多解)) 已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值． [解析]　解法一　eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))·1 ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))·(a＋2b)＝1＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)＋2 ＝3＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)≥3＋2 eq \r(\f(2b,a)·\f(a,b))＝3＋2eq \r(2)， 当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2b,a)＝\f(a,b)，,a＋2b＝1.))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)－1,b＝1－\f(\r(2),2)))时等号成立． ∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为3＋2eq \r(2). 解法二　eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋2b,a)＋eq \f(a＋2b,b)＝1＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)＋2＝3＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)≥3＋2eq \r(2)， 当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2b,a)＝\f(a,b),a＋2b＝1))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)－1,b＝1－\f(\r(2),2)))时等号成立，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为3＋2eq \r(2). [素养聚焦] 通过解决含有条件的最值问题，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中. 1．本题在解答中要注意使eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)取最小值所对应a，b的值也要一并解出来． 2．解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”“凑”的方法，构造成基本不等式的形式，从而得出最值．　 [触类旁通] 2．设x>0，y>0，且x＋3y＝2，则eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)的最小值是(　　) A.eq \f(1,2)　　　　　　　　 B．8 C．5＋2eq \r(3) D．16 解析　由题意，x＋3y＝2，故eq \f(x＋3y,2)＝1， 则eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(3,y)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3y,2)))＝eq \f(1,2)＋eq \f(9,2)＋eq \f(3x,2y)＋eq \f(3y,2x)＝5＋eq \f(3x,2y)＋eq \f(3y,2x)≥5＋2 eq \r(\f(3x,2y)×\f(3y,2x))＝5＋2×eq \f(3,2)＝8，当且仅当eq \f(3x,2y)＝eq \f(3y,2x)，即x＝y＝eq \f(1,2)时等号成立， 故选B. 答案　B eq \x(题型三　基本不等式在实际问题中的应用) 某厂家拟在2024年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)m万件与年促销费用x万元满足关系式m＝3－eq \f(k,x＋1)(k为常数)．如果不搞促销活动(即年促销费用x＝0)，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2024年生产该批次产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)． (1)求出常数k的值，并将2024年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大． [解析]　(1)由题意，x≥0， 不搞促销活动(即年促销费用x＝0)，则该产品的年销售量只能是1万件， 在m＝3－eq \f(k,x＋1)中，k为常数，∴1＝3－eq \f(k,0＋1)， 解得k＝2，∴m＝3－eq \f(2,x＋1)， ∵厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍， ∴每件产品年平均成本为eq \f(8＋16m,m)， ∴利润：y＝1.5m·eq \f(8＋16m,m)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8＋16m＋x))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,x＋1)＋x＋1))＋29， 即y＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,x＋1)＋x＋1))＋29eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≥0)). (2)由题意及(1)得在y＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,x＋1)＋x＋1))＋29eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≥0))中， y＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,x＋1)＋x＋1))＋29≤－2eq \r(\f(16,x＋1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1)))＋29＝－8＋29＝21， 当且仅当eq \f(16,x＋1)＝x＋1即x＝3时等号成立， ∴该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大． 基本不等式解决实际问题的思路方法 (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数． (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最大值或最小值． (4)回到实际问题中，结合实际意义写出正确的答案．　 [触类旁通] 3．北京市有关部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为y＝eq \f(920v,v2＋3v＋1 600)(v＞0)．在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时) 解析　由题意y＝eq \f(920v,v2＋3v＋1 600) ＝eq \f(920,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v＋\f(1 600,v)))＋3)≤eq \f(920,2 \r(v·\f(1 600,v))＋3)＝eq \f(920,83)， 当且仅当v＝eq \f(1 600,v)，即v＝40时，等号成立． ∴ymax＝eq \f(920,83)≈11.1(千辆/小时)， ∴当车速v＝40千米/小时时，车流量最大为11.1千辆/小时． 知识落实 技法强化 1.求简单代数式的最值． 2.求有约束条件的最值． 3.基本不等式在生活中的应用. 1.拼凑出定值． 2.生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围. $$