2.2.1 基本不等式(课件PPT)【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.2　基本不等式 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 第1课时　基本不等式 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主落实 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 课前案·自主落实 01 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 导学1 基本不等式 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 a＝b 正方形 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 导学2 利用基本不等式求最值 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 学业标准 素养目标 1.会推导基本不等式，理解基本不等式的几何意义． 2．掌握基本不等式，明确等号成立的条件及利用基本不等式求最值．(重点) 3．会用基本不等式证明不等式．(难点) 1.通过基本不等式的推导，培养直观想象、数学抽象等核心素养． 2．通过基本不等式的应用，培养逻辑推理、数学运算等核心素养. 如果a>0，b>0，用eq \r(a)，eq \r(b)分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？ [提示]　a＋b≥2eq \r(ab). 不等式a2＋b2≥2ab与eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)成立的条件相同吗？如果不同各是什么？ [提示]　不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)成立的条件是a，b均为正实数． eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≥ab是等价的吗？ [提示]　不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R. ◎结论形成 算术平均数 给定两个正数a，b，数eq \f(a＋b,2)称为a，b的算术平均数 几何平均数 给定两个正数a，b，数eq \r(ab)称为a，b的几何平均数 基本不等式 如果a，b都是正数，那么eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，当且仅当________时，等号成立 几何意义 所有周长一定的矩形中，________的面积最大 已知函数y＝x(1－x)(0<x<1)，该函数有最大值还是最小值？能否通过基本不等式求它的最值？ [提示]　最大值；能． ∵0<x<1，∴1－x>0， 又∵eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，∴ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2， ∴x(1－x)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1－x,2)))2＝eq \f(1,4)， 当且仅当x＝1－x，即x＝eq \f(1,2)时，y有最大值eq \f(1,4). ◎结论形成 已知x，y都是正数 和定积最大 若x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值_____ 积定和最小 若xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值_____ eq \f(1,4)S2 2eq \r(P) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．(　　) (2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2eq \r(ab).(　　) (3)若a>0，b>0，则ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2.(　　) (4)a，b同号时，eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．不等式eq \f(9,x－2)＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝3 B．x＝－3　 C．x＝5 D．x＝－5 解析　由基本不等式知等号成立的条件为eq \f(9,x－2)＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)． 答案　C 3．已知f(x)＝x＋eq \f(1,x)－2(x＜0)，则f(x)(　　) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 解析　∵x＜0，∴f(x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,－x))) －2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x＝eq \f(1,－x)，即x＝－1时等号成立． 答案　C 4．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为_______． 解析　xy≤eq \f(x2＋y2,2)＝2，当且仅当x＝y时等号成立． 答案　2 eq \x(题型一　对基本不等式的理解) (多选)下面四个推导过程正确的有(　　) A．若a，b为正实数，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2 B．若a∈R，a≠0，则eq \f(4,a)＋a≥2 eq \r(\f(4,a)·a)＝4 C．若x，y∈R，xy<0，则eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－－eq \f(x,y)＋－eq \f(y,x)≤－2 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x))))＝－2 D．若a<0，b<0，则eq \f(a2＋b2,2)≤ab [解析]　A中，∵a，b为正实数，∴eq \f(b,a)，eq \f(a,b)为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确； B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， ∴eq \f(4,a)＋a≥2 eq \r(\f(4,a)·a)＝4是错误的； C中，由xy<0，得eq \f(x,y)，eq \f(y,x)均为负数，但在推导过程中将整体eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(y,x)))提出负号后，－eq \f(x,y)，－eq \f(y,x)均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确； D中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即eq \f(a2＋b2,2)≥ab，所以D不正确． [答案]　AC 1．基本不等式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab) (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系． 2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面 (1)定理成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的等号成立，即a＝b⇒eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；仅当a＝b时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的等号成立，即eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)⇒a＝b.　 [触类旁通] 1．下列不等式的推导过程正确的是_______． ①若x＞1，则x＋eq \f(1,x)≥2 eq \r(x·\f(1,x))＝2； ②若x＜0，则x＋eq \f(4,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x)))))≤－2 eq \r(－x·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x))))＝－4； ③若a，b∈R，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2. 解析　①中忽视了基本不等式等号成立的条件， 当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时，等号成立， 因为x＞1，所以x＋eq \f(1,x)＞2； ③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件． 答案　② eq \x(题型二　利用基本不等式直接求最值) (1)当x＞0时，求eq \f(12,x)＋4x的最小值； (2)当x＜0时，求eq \f(12,x)＋4x的最大值； (3)已知4x＋eq \f(a,x)(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，求a的值． [解析]　(1)∵x＞0，∴eq \f(12,x)＞0,4x＞0. ∴eq \f(12,x)＋4x≥2eq \r(\f(12,x)·4x)＝8eq \r(3)， 当且仅当eq \f(12,x)＝4x，即x＝eq \r(3)时取最小值8eq \r(3)， ∴当x＞0时，eq \f(12,x)＋4x的最小值为8eq \r(3). (2)∵x＜0，∴－x＞0. 则eq \f(12,－x)＋(－4x)≥2eq \r(\f(12,－x)·－4x)＝8eq \r(3)，当且仅当eq \f(12,－x)＝－4x，即x＝－eq \r(3)时，等号成立． ∴eq \f(12,x)＋4x≤－8eq \r(3). ∴当x＜0时，eq \f(12,x)＋4x的最大值为－8eq \r(3). (3)∵x＞0，a＞0，∴4x＞0，eq \f(a,x)＞0， 4x＋eq \f(a,x)≥2eq \r(4x·\f(a,x))＝4eq \r(a)， 当且仅当4x＝eq \f(a,x)，即a＝4x2＝36时，等号成立， ∴a＝36. 在利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立．　 [触类旁通] 2．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为(　　) A．16　　　　　　　 B．25 C．9 D．36 解析　因为x＞0，y＞0，且x＋y＝8，所以(1＋x)·(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2＝9＋42＝25，因此当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)·(1＋y)取得最大值25. 答案　B eq \x(题型三　利用基本不等式证明不等式(一题多变)) 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9. [证明]　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， ∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(a＋b＋c,a)＋eq \f(a＋b＋c,b)＋eq \f(a＋b＋c,c) ＝3＋eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)＋eq \f(a,b)＋eq \f(c,b)＋eq \f(a,c)＋eq \f(b,c) ＝3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c))) ≥3＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2 eq \r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2 eq \r(\f(c,b)·\f(b,c)) ＝3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立， ∵a，b，c互不相等，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9. [母题变式] (变结论)已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1， 求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))>8. 证明　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴eq \f(1,a)－1＝eq \f(b＋c,a)>0，eq \f(1,b)－1＝eq \f(a＋c,b)>0，eq \f(1,c)－1＝eq \f(a＋b,c)>0， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))＝eq \f(b＋c,a)·eq \f(a＋c,b)·eq \f(a＋b,c) ≥eq \f(2\r(bc)·2\r(ac)·2\r(ab),abc)＝8， 当且仅当a＝b＝c时取等号，∵a，b，c互不相等，∴不等式成立． [素养聚焦] 通过利用基本不等式证明不等式，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中. 1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系． 2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．　 [触类旁通] 3．设a，b，c都是正数，试证明不等式：eq \f(b＋c,a)＋eq \f(c＋a,b)＋eq \f(a＋b,c)≥6. 证明　因为a>0，b>0，c>0， 所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2，eq \f(c,a)＋eq \f(a,c)≥2，eq \f(b,c)＋eq \f(c,b)≥2， 所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)＋\f(c,b)))≥6， 当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(a,b)，eq \f(c,a)＝eq \f(a,c)，eq \f(c,b)＝eq \f(b,c)， 即a＝b＝c时，等号成立． 所以eq \f(b＋c,a)＋eq \f(c＋a,b)＋eq \f(a＋b,c)≥6. 知识落实 技法强化 1.基本不等式的推导与证明． 2.利用基本不等式比较大小． 3.利用基本不等式证明不等式. 利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可，尤其是“当且仅当，等号成立”这八个字，更是不能缺少. $$