2.1 等式性质与不等式性质(课件PPT)【精讲精练】-2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主落实 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 课前案·自主落实 01 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 导学1 基本事实 a－b>0 a－b＝0 a－b<0 0 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 导学2 重要不等式 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 ≥ a＝b 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 导学3 不等式的性质 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 b<a a>c a＋c>b＋c a>c－b ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd an>bn 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 数学•必修　第一册(配RJA版) 1 学业标准 素养目标 1.了解不等式的性质．(难点) 2．能利用不等式的性质比较数与式的大小. (重点) 3．能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系． 4．了解重要不等式．(重点) 1.借助不等式的性质的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过数与式的大小比较，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔__________； 如果a＝b⇔__________； 如果a<b⇔__________ 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与___的大小 我们把“风车”造型抽象成平面图形，如图所示，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的直角边长分别为a，b，那么正方形的边长为多少？面积为多少？4个直角三角形的面积和又是多少？ [提示]　eq \r(a2＋b2)，a2＋b2,2ab. 根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可得一个怎样的不等式？ [提示]　a2＋b2>2ab. 存在4个直角三角形的面积和与正方形的面积相等的情况吗？何时相等？图形怎样变化？ [提示]　当直角三角形变成等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH变成一个点，这时有a2＋b2＝2ab. ◎结论形成 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2___2ab，当且仅当________时，等号成立． 已知3>2，若两边同乘以2，不等式成立吗？若两边同乘以c(c为常数)，不等式成立吗？ [提示]　同乘以2，不等式成立；两边同乘以c，不等式不一定成立，当c＝0时，3c＝2c；当c>0时，3c>2c；当c<0时，3c<2c. 如果a>b，那么a2>b2成立吗？ [提示]　不一定成立． 对于不等式的性质，同向不等式是否相减也成立？ [提示]　不一定成立，例如5>3且4>1时，则5－4>3－1是错的． 同向不等式相除还成立吗？ [提示]　不一定成立，例如5>3且4>1，则eq \f(5,4)>eq \f(3,1)是错的． ◎结论形成 名称 式子表达 性质1(对称性) a>b⇒________ 性质2(传递性) a>b，b>c⇒________ 性质3(可加性) a>b⇒__________________ 推论 a＋b>c⇒_____________ 性质4(可乘性) a>b，c>0⇒________ a>b，c<0⇒________ 性质5(不等式同向可加性) a>b，c>d⇒__________________ 性质6(不等式同向正数可乘性) a>b>0，c>d>0⇒________ 性质7(乘方性) a>b>0⇒_____(n∈N，n≥2) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2.(　　) (2)不等式x≥2的含义是指x不小于2.(　　) (3)若a＞b⇔ac2＞bc2.(　　) (4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为(　　) A．T<40 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40 解析　限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40. 答案　C 3．已知a>b，c>d，且cd≠0，则(　　) A．ad>bc　　　　　 B．ac>bc C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d 解析　a，b，c，d的符号未确定，排除A、B两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C项，故选D项． 答案　D 4．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为_______． 解析　M－N＝a2＋a＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)＞0， ∴M＞N. 答案　M＞N eq \x(题型一　用不等式表示不等关系) (1)限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？ (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？ [解析]　(1) v≤40. (2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f≥2.5%，,p≥2.3%.)) 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)适当地设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．　 [触类旁通] 1．用不等式表示下列关系． (1)x为实数，而且大于1不大于6； (2)x与y的平方和不小于2且不大于10. 解析　(1)1<x≤6.(2)2≤x2＋y2≤10. eq \x(题型二　比较两个数(式)的大小(一题多解)) 已知a，b为正实数，试比较eq \f(a,\r(b))＋eq \f(b,\r(a))与eq \r(a)＋eq \r(b)的大小． [解析]　解法一(作差法) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a))))－(eq \r(a)＋eq \r(b)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))－\r(b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,\r(a))－\r(a))) ＝eq \f(a－b,\r(b))＋eq \f(b－a,\r(a)) ＝eq \f(a－b\r(a)－\r(b),\r(ab)) ＝eq \f(\r(a)－\r(b)2\r(a)＋\r(b),\r(ab)). ∵a，b为正实数， ∴eq \r(a)＋eq \r(b)>0，eq \r(ab)>0，(eq \r(a)－eq \r(b))2≥0， ∴eq \f(\r(a)－\r(b)2\r(a)＋\r(b),\r(ab))≥0， 当且仅当a＝b时等号成立． ∴eq \f(a,\r(b))＋eq \f(b,\r(a))≥eq \r(a)＋eq \r(b)(当且仅当a＝b时取等号)． 解法二(作商法) eq \f(\f(b,\r(a))＋\f(a,\r(b)),\r(a)＋\r(b))＝eq \f(\r(b)3＋\r(a)3,\r(ab)\r(a)＋\r(b)) ＝eq \f(\r(a)＋\r(b)a＋b－\r(ab),\r(ab)\r(a)＋\r(b))＝eq \f(a＋b－\r(ab),\r(ab)) ＝eq \f(\r(a)－\r(b)2＋\r(ab),\r(ab))＝1＋eq \f(\r(a)－\r(b)2,\r(ab))≥1， 当且仅当a＝b时取等号． ∵eq \f(b,\r(a))＋eq \f(a,\r(b))>0，eq \r(a)＋eq \r(b)>0， ∴eq \f(b,\r(a))＋eq \f(a,\r(b))≥eq \r(a)＋eq \r(b)(当且仅当a＝b时取等号)． 解法三(平方后作差) ∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a))))2＝eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,a)＋2eq \r(ab)， (eq \r(a)＋eq \r(b))2＝a＋b＋2eq \r(ab)， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a))))2－(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝eq \f(a＋ba－b2,ab). ∵a>0，b>0，∴eq \f(a＋ba－b2,ab)≥0， 又eq \f(a,\r(b))＋eq \f(b,\r(a))>0，eq \r(a)＋eq \r(b)>0， 故eq \f(a,\r(b))＋eq \f(b,\r(a))≥eq \r(a)＋eq \r(b)(当且仅当a＝b时取等号)． 数(式)大小的比较问题常用“作差法”，其过程可分三步：①作差；②变形；③判断差的符号．其中关键一步是变形，方法可以有通分、因式分解、配方等，变形的目的是有利于判断符号．　 [触类旁通] 2．(1)已知a，b均为正实数，试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． (2)对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？ 解析　(1)∵a3＋b3－(a2b＋ab2) ＝(a3－a2b)＋(b3－ab2) ＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． 当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)2＞0，a＋b＞0，a3＋b3＞a2b＋ab2. 综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2. (2)若a>0，b>0，n>r，n，r∈N*， 则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr. 题型三　不等式性质的运用 (1)已知a>b，e>f，c>0.求证：f－ac<e－bc. (2)若bc－ad≥0，bd>0.求证：eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d). [证明]　(1)∵a>b，c>0，∴ac>bc， ∴－ac<－bc.∵f<e， ∴f－ac<e－bc. (2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∵bd>0， ∴eq \f(a,b)≤eq \f(c,d)，∴eq \f(a,b)＋1≤eq \f(c,d)＋1， ∴eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d). [素养聚焦] 通过不等式性质的应用，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中. 用不等式的性质进行证明时要善于寻找欲证不等式的已知条件，利用相应的不等式性质证明；要注意观察一个不等式是不是在某个已知条件的两边同乘以(除以)一个常数；一个不等式是不是某两个同向不等式相加得到的；一个不等式是不是将一个不等式的两边取了倒数而得到的等．　 [触类旁通] 3．(多选)已知a>b>eq \f(1,a)>0，则(　　) A．b>1　　　　　　 B．a>1 C．a>eq \f(1,b) D．a＋b>eq \f(2,a) 解析　a＝2，b＝eq \f(2,3)，满足条件，故A错误；a>eq \f(1,a)>0⇒a2>1⇒a>1，故B正确；由b>eq \f(1,a)>0得a>eq \f(1,b)，故C正确；由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>\f(1,a)，,b>\f(1,a)，))有a＋b>eq \f(2,a)，故D正确， 故选BCD. 答案　BCD 知识落实 技法强化 1.用不等式(组)表示不等关系． 2.作差法比较大小． 3.不等式的性质及其应用. 1.注意：实际问题中变量的实际意义． 2.每条性质是否具有可逆性. $$