第01章 三角形的初步认识 章节汇总练习（20个知识点+45题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第01章 三角形的初步认识 章节汇总练习（20个知识点+45题练习） 知识点合集 知识点1．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 知识点2．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点3．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 知识点4．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 知识点5．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 知识点6．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点7．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点8．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 知识点9．全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 知识点10．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 知识点11．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点12．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点13．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 知识点14．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 知识点15．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 知识点16．作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 知识点17．作图—复杂作图 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 知识点18．作图—应用与设计作图 应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中． 首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 知识点19．命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 知识点20．推理与论证 （1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程． ①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊． ②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般． （2）论证：用论据证明论题的真实性． 证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”． 简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式． 试题练习 一．三角形 1．（2022秋•嵊州市期末）小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 　　．（只需填上一个即可） 2．（2023秋•安吉县期中）下列对的判断，错误的是　　 A．若，则是直角三角形 B．若，，则是锐角三角形 C．若，，则是钝角三角形 D．若，则是等腰直角三角形 二．三角形的角平分线、中线和高 3．（2023秋•西湖区校级月考）下列各图中，正确画出边上的高线的是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•苍南县月考）如图，是的高，是的角平分线，是中点，，． （1）求的度数； （2）若与的周长差为3，，能否求出的值？若能，请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答． 5．（2022秋•慈溪市月考）如图，已知是的中线，，，且的周长为12，则的周长是 　　． 三．三角形的面积 6．（2023秋•诸暨市月考）如图，中，，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为秒． （1）当为何值时，把的面积分成相等的两部分； （2）当时，把分成的两部分面积之比是　　； （3）当为何值时，的面积为18． 7．（2022秋•临平区月考）如图，中，是的中点，且，，则　　． 四．三角形的稳定 8．（2022秋•婺城区校级月考）下列图形具有稳定性的是　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•西湖区校级月考）2023年10月1日，杭州亚运会射击项目进入最后一个比赛日，中国射击队最终以16枚金牌的成绩结束本届亚运会，以较大优势占据射击项目金牌榜头名．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是 　　． 五．三角形的重心 10．如图，的中线，相交于点，，垂足为．若，，则长为 　　． 11．（2021春•曲周县期末）如图，和是的中线，则以下结论①②是的重心③与面积相等④过的直线平分线段⑤⑥，其中正确的个数是　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 六．三角形三边关系 12．（2023秋•东阳市期末）一个三角形的两边长分别是7和5，则第三边长可以是 　　．（只填一个即可） 13．（2023秋•萧山区校级月考）若、、为三边长，且、、满足，第三边长为奇数，求的周长． 七．三角形内角和定理 14．（2023秋•西湖区校级月考）如图，与的关系式为　　 A． B． C． D． 15．（2023秋•滨江区期末）如图，在中，是的高线，是的角平分线． （1）若，，求的度数． （2）若，，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 八．三角形的外角性质 16．（2022秋•拱墅区校级期末）如图，已知，，则的度数是　　 A． B． C． D． 17．（2020秋•余杭区期末）如图，已知是的高，是的角平分线，，，求的度数． 九．全等图形 18．（2023秋•临平区校级月考）如图，在的正方形网格中，则等于 　　． 19．（2020秋•乐清市校级月考）下列各组两个图形属于全等图形的是　　 A． B． C． D． 一十．全等三角形的性质 20．（2022秋•东阳市期中）已知，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 21．（2023秋•泗洪县期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是 　　． 22．（2020秋•义马市期中）如图，已知． （1）若，，求的度数； （2）若，，求的长． 一十一．全等三角形的判定 23．（2023秋•西湖区期末）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，已知，．下面给出四个条件：①；②；③；④．请你从中任选一个条件，使得，并写出证明过程． 24．（2023秋•海曙区校级期末）如图，，分别是位于线段两侧的点，连接，，，，则下列条件中，与相结合无法判定的是　　 A． B． C． D． 一十二．全等三角形的判定与性质 25．（2023秋•长兴县期末）如图，已知在中，点，分别在边，上，过点作于点，，，若，则的长为 　　． 26．（2023秋•金华期中）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． （1）求证：； （2）若，连接，平分，平分，求的度数． 一十三．全等三角形的应用 27．（2023秋•瓯海区校级月考）小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 　　． 28．（2023秋•开化县期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是　　 A． B． C． D． 一十四．角平分线的性质 29．（2021秋•监利市校级期中）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是　　． A．24 B．27 C．30 D．33 30．（2023秋•玉环市期末）如图，点是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是 　　． 一十五．线段垂直平分线的性质 31．（2023秋•萧山区校级月考）已知，如图，在中，是边上的中线，于点，． （1）求证：． （2）若，，，求的面积． 32．（2023秋•台州期末）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、点，连接．若，的周长为，则的周长为 　　． 一十六．作图—基本作图 33．（2023秋•蔡甸区校级期中）用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明依据是　　 A． B． C． D． 34．（2023秋•椒江区校级期中）用直尺和圆规作一个已知角的角平分线．示意图如图，要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是 　　． 35．（2022秋•嘉兴期末）如图，在中，． （1）用直尺和圆规作的中垂线，交于点（要求保留作图痕迹）； （2）连接，若，，求的周长． 一十七．作图—复杂作图 36．（2023秋•金东区期中）如图，在中，． （1）在边上求作一点，使（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，若，，试求线段的长． 37．（2023秋•嵊州市期末）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 一十八．作图—应用与设计作图 38．（2023秋•钱塘区期末）在长方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点的三角形叫做格点三角形．是格点三角形，请分别画出符合下列要求的图形（各画出一个即可）． （1）在图甲中画格点，使与全等． （2）在图乙中画格点，使与不全等但面积相等． 39．（2023秋•苍南县月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题（仅用无刻度的直尺作图，且保留必要的作图痕迹） （1）在上找一点，使； （2）在上找一点，使平分． 一十九．命题与定理 40．（2023秋•瓯海区期中）对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是　　 A． B．， C．， D．， 41．（2023秋•娄底期末）把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果，那么”的形式： 　　． 42．（2023秋•安吉县期中）命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是 　　命题（填“真”或“假” ． 43．（2022秋•余杭区月考）证明命题“三角形三个内角的和等于”是真命题． 已知： 求证： 证明： 二十．推理与论证 44．（2020秋•余杭区期中）老师让4个学生猜一猜这次考试中4个人的成绩谁最好．甲说：“乙最好”：乙说：“丁最好”；丙说：“反正我不是最好”；丁说：“乙说我最好，肯定错了”．老师告诉他们，只有一个人猜对了，于是，聪明的孩子们马上知道是谁的成绩最好了，你知道吗？　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 45．有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按，2，3，，，的顺序排列，某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，如此下去，直到最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是 　　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01章 三角形的初步认识 章节汇总练习（20个知识点+45题练习） 知识点合集 知识点1．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 知识点2．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点3．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 知识点4．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 知识点5．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 知识点6．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点7．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点8．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 知识点9．全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 知识点10．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 知识点11．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点12．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点13．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 知识点14．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 知识点15．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 知识点16．作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 知识点17．作图—复杂作图 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 知识点18．作图—应用与设计作图 应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中． 首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 知识点19．命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 知识点20．推理与论证 （1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程． ①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊． ②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般． （2）论证：用论据证明论题的真实性． 证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”． 简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式． 试题练习 一．三角形 1．（2022秋•嵊州市期末）小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 　或或　．（只需填上一个即可） 【分析】根据等边三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：增加一个适当的条件为或或， 故答案为：或或． 【点评】本题考查了三角形，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． 2．（2023秋•安吉县期中）下列对的判断，错误的是　　 A．若，则是直角三角形 B．若，，则是锐角三角形 C．若，，则是钝角三角形 D．若，则是等腰直角三角形 【分析】根据等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定以及三角形的内角和定理即可作出判断． 【解答】解：．若，则，，，所以是直角三角形，故此选项判断正确，不符合题意； ．若，，则，所以是钝角三角形，故此选项判断不正确，符合题意； ．若，，则，，所以是钝角三角形，故此选项判断正确，不符合题意； ．若，则，，所以是直角三角形，故此选项判断正确，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的判定，直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识点，能熟记等腰三角形的性质和判定定理是解此题的关键． 二．三角形的角平分线、中线和高 3．（2023秋•西湖区校级月考）下列各图中，正确画出边上的高线的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案． 【解答】解：中边上的高即为过点作的垂线段，该垂线段即为边上的高，四个选项中只有选项符合题意， 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形高线定义，解题的关键是熟知过三角形一个顶点作对边的垂线得到的线段叫三角形的高． 4．（2023秋•苍南县月考）如图，是的高，是的角平分线，是中点，，． （1）求的度数； （2）若与的周长差为3，，能否求出的值？若能，请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答． 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，再根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）是的高， ， ， ， 是的角平分线，， ， ； （2）能求出的值， 理由如下：是中点， ， 与的周长差为3， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是三角形的高、中线、角平分线，掌握它们的概念是解题的关键． 5．（2022秋•慈溪市月考）如图，已知是的中线，，，且的周长为12，则的周长是 　10　． 【分析】先根据三角形的中线、线段中点的定义可得，再根据三角形的周长公式即可求出结果． 【解答】解：是的中线，即点是线段的中点， ． ，的周长为12， ，即． 解得． ． 则的周长是． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了三角形的中线、线段中点的定义等知识点，掌握线段中点的定义是解题关键． 三．三角形的面积 6．（2023秋•诸暨市月考）如图，中，，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为秒． （1）当为何值时，把的面积分成相等的两部分； （2）当时，把分成的两部分面积之比是　　； （3）当为何值时，的面积为18． 【分析】（1）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用中线的性质可求出的路径长即可求解； （2）和分别以、为底时，高相同，根据和的比即可求出面积比； （3）分两种情况讨论，当在上时，利用面积求出的长度即可求出，当在上时，利用面积比可求出的长，即可求出． 【解答】解：（1）当点在中点时，把的面积分成相等的两部分， 此时， ． 故答案为：6.5； （2）， ，， ． 故答案为：； （3）①当在线段上时， ， 解得； ②当在线段上时， ， ， 和高相同， ， ， ． 当或时，的面积为18． 【点评】本题主要考查三角的面积公式，三角形的动点问题，关键在于灵活应用三角形面积公式解题． 7．（2022秋•临平区月考）如图，中，是的中点，且，，则　12　． 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，得到，，进一步得到，结合同高不等底的三角形面积关系求出，即可求得，得到， 由，得到，即可得到． 【解答】解：连接， 是的中点， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：12． 【点评】本题考查了三角形的面积，熟练掌握等底同高的三角形面积的关系，不等底的三角形面积关系是解题的关键． 四．三角形的稳定 8．（2022秋•婺城区校级月考）下列图形具有稳定性的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形具有稳定性判断即可． 【解答】解：具有稳定性的图形是三角形， 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 9．（2023秋•西湖区校级月考）2023年10月1日，杭州亚运会射击项目进入最后一个比赛日，中国射击队最终以16枚金牌的成绩结束本届亚运会，以较大优势占据射击项目金牌榜头名．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是 　三角形具有稳定性　． 【分析】根据三角形的稳定性直接写出答案即可． 【解答】解：射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，说明三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【点评】本题考查了三角形的稳定性，了解三角形的稳定性是解答本题的关键，难度不大． 五．三角形的重心 10．如图，的中线，相交于点，，垂足为．若，，则长为 　　． 【分析】连接，由三角形的中线与面积的关系可得，然后可得，则有，进而问题可求解． 【解答】解：连接，如图所示： 、是的中线，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角形的中线与面积的关系，熟练掌握三角形的中线与面积的关系是解题的关键． 11．（2021春•曲周县期末）如图，和是的中线，则以下结论①②是的重心③与面积相等④过的直线平分线段⑤⑥，其中正确的个数是　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据三角形中线的定义与性质及重心的定义可判定①，②，③，④，而根据已知条件无法判定⑤⑥，据此可求解． 【解答】解：和是的中线， ，分别为，的中点， ，故①正确； 是的重心，故②正确； ， ，故③正确； 过的直线平分线段，故④正确； 根据已知条件无法判定，，故⑤，⑥错误． 故选：． 【点评】本题主要考查三角形的重心，掌握三角形重心的定义是解题的关键． 六．三角形三边关系 12．（2023秋•东阳市期末）一个三角形的两边长分别是7和5，则第三边长可以是 　10　．（只填一个即可） 【分析】根据三角形的三边关系定理可得，再解即可． 【解答】解：设第三边长为，由题意得： ， 则， 故答案为：10（答案不唯一，大于2且小于12之间的数均可）． 【点评】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题的关键． 13．（2023秋•萧山区校级月考）若、、为三边长，且、、满足，第三边长为奇数，求的周长． 【分析】先根据非负数的性质得出、的值，再由三角形的三边关系求出的值，进而即可得出结论． 【解答】解：， ，， ，， 、、为三边长， ， ， 第三边长为奇数， ， 的周长． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系及非负数的性质，根据题意求出的值是解题的关键． 七．三角形内角和定理 14．（2023秋•西湖区校级月考）如图，与的关系式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义即可得到结论． 【解答】解：，， ， 即， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和等于是解题的关键． 15．（2023秋•滨江区期末）如图，在中，是的高线，是的角平分线． （1）若，，求的度数． （2）若，，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 【分析】（1）由高线可得，再由三角形的内角和可求得，，利用角平分线的定义可求得，从而可求的度数； （2）参照（1）进行求解即可． 【解答】解：（1）是的高线， ， ，， ， ， 是的角平分线， ， ； （2）是的高线， ， ，， ， ， 是的角平分线， ， ． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 八．三角形的外角性质 16．（2022秋•拱墅区校级期末）如图，已知，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】直接根据三角形外角的性质解答即可． 【解答】解：是的外角，，， ． 故选：． 【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 17．（2020秋•余杭区期末）如图，已知是的高，是的角平分线，，，求的度数． 【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和知，，，而平分，故可求得的度数． 【解答】解：， 平分 ． 【点评】本题利用了三角形内角与外角的关系和角平分线的性质求解． 九．全等图形 18．（2023秋•临平区校级月考）如图，在的正方形网格中，则等于 　　． 【分析】首先判定，，可得，，然后可得，，然后可得的值． 【解答】解：在和中，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应角相等． 19．（2020秋•乐清市校级月考）下列各组两个图形属于全等图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断． 【解答】解：、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误． 、两个图形能够完全重合，故本选项正确； 、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误； 、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误； 故选：． 【点评】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题． 一十．全等三角形的性质 20．（2022秋•东阳市期中）已知，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：，， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 21．（2023秋•泗洪县期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是 　　． 【分析】根据全等三角形对应角相等解答即可． 【解答】解：两个三角形全等， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，确定出对应角是解题的关键． 22．（2020秋•义马市期中）如图，已知． （1）若，，求的度数； （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算； （2）根据全等三角形的对应边相等计算． 【解答】解：（1）， ， ； （2）， ， ，即， ，， ， ． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键． 一十一．全等三角形的判定 23．（2023秋•西湖区期末）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，已知，．下面给出四个条件：①；②；③；④．请你从中任选一个条件，使得，并写出证明过程． 【分析】由全等三角形的判定，即可解决问题． 【解答】解：选一个条件；②（答案不唯一），理由如下： ， ， 在中， ， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：，，，，． 24．（2023秋•海曙区校级期末）如图，，分别是位于线段两侧的点，连接，，，，则下列条件中，与相结合无法判定的是　　 A． B． C． D． 【分析】由于，加上为公共边，则根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【解答】解：，， 当添加时，，所以选项不符合题意； 当添加时，不能判断；所以选项符合题意； 当添加时，，所以选项不符合题意； 当添加时，，所以选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 一十二．全等三角形的判定与性质 25．（2023秋•长兴县期末）如图，已知在中，点，分别在边，上，过点作于点，，，若，则的长为 　12　． 【分析】在上取一点，使得，连接，在上取一点，使得，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，证出，得出，则可得出答案． 【解答】解：在上取一点，使得，连接，在上取一点，使得，连接． ， ， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：12． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 26．（2023秋•金华期中）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． （1）求证：； （2）若，连接，平分，平分，求的度数． 【分析】（1）求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可． 【解答】（1）证明：为中点， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：平分， ， ， ， ，， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 一十三．全等三角形的应用 27．（2023秋•瓯海区校级月考）小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 　36　． 【分析】根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明，利用全等三角形的性质进行解答． 【解答】解：由题意得，，，，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 则两堵木墙之间的距离为， 故答案为：36． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是正确找出证明三角形全等的条件． 28．（2023秋•开化县期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是　　 A． B． C． D． 【分析】这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定，利用全等三角形判定方法进行判断． 【解答】解：这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定，从而可根据“”重新配一块与原来全等的三角形玻璃． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 一十四．角平分线的性质 29．（2021秋•监利市校级期中）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是　　． A．24 B．27 C．30 D．33 【分析】过点作于，于，连接，如图，根据角平分线的性质得，，由于，所以根据三角形的面积公式可计算出的面积． 【解答】解：过点作于，于，连接，如图， 平分，，， ， 同理可得， ， 的周长是18， ． 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 30．（2023秋•玉环市期末）如图，点是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是 　15　． 【分析】根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【解答】解：过作于点， 平分，于点， ， 的面积， 故答案为：15． 【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答． 一十五．线段垂直平分线的性质 31．（2023秋•萧山区校级月考）已知，如图，在中，是边上的中线，于点，． （1）求证：． （2）若，，，求的面积． 【分析】（1）依据线段垂直平分线的性质解答即可； （2）根据等腰三角形的性质得到，结合，根据三角形面积公式计算即可得解． 【解答】（1）证明：，， 是线段的垂直平分线， ； （2）解：，， ， ，， 的面积． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握直角三角形中，推导出是解答本题的关键． 32．（2023秋•台州期末）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、点，连接．若，的周长为，则的周长为 　26　． 【分析】根据线段垂直平分线性质求出，求出的周长即可． 【解答】解：是的垂直平分线， ， 的周长为， 故答案为：26． 【点评】此题考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等解答． 一十六．作图—基本作图 33．（2023秋•蔡甸区校级期中）用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明依据是　　 A． B． C． D． 【分析】利用基本作图得到，，则根据全等三角形的判定方法可根据“”可判断△，然后根据全等三角形的性质得到 【解答】解：由作法可得，， 所以根据“”可判断△， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 34．（2023秋•椒江区校级期中）用直尺和圆规作一个已知角的角平分线．示意图如图，要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是 　　． 【分析】由作法可得，，，再根据，可得，进而可得出答案． 【解答】解：由作法可得，，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查作图基本作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 35．（2022秋•嘉兴期末）如图，在中，． （1）用直尺和圆规作的中垂线，交于点（要求保留作图痕迹）； （2）连接，若，，求的周长． 【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出直线； （2）利用线段垂直平分线的性质得出的周长为，进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示： 直线即为所求； （2）由（1）可知，直线是线段的垂直平分线， ， 的周长为， ，， 的周长为． 【点评】本题考查基本作图以及线段垂直平分线的性质与作法，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 一十七．作图—复杂作图 36．（2023秋•金东区期中）如图，在中，． （1）在边上求作一点，使（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，若，，试求线段的长． 【分析】（1）作的垂足平分线交于，点即为所求； （2）设，由勾股定理可得，即可解得线段的长为5． 【解答】解：（1）作的垂足平分线交于，如图： 点即为所求； （2）设，则， ， ， 解得， 线段的长为5． 【点评】本题考查作图复杂作图，解题的关键是掌握垂直平分线的性质和勾股定理的应用． 37．（2023秋•嵊州市期末）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据作一个角的平分线，作一个角等于已知角，作线段的垂直平分线的方法一一判断即可． 【解答】解：由作图可知，作图正确的有①②， 故选：． 【点评】本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 一十八．作图—应用与设计作图 38．（2023秋•钱塘区期末）在长方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点的三角形叫做格点三角形．是格点三角形，请分别画出符合下列要求的图形（各画出一个即可）． （1）在图甲中画格点，使与全等． （2）在图乙中画格点，使与不全等但面积相等． 【分析】（1）在所在的格线上取格点，使，作，即为所求； （2）在过且平行于的格线上取格点，作，则即为所求（答案不唯一）． 【解答】解：（1）在所在的格线上取格点，使，作，如图甲： 即为所求； （2）在过且平行于的格线上取格点，作，如图乙，则即为所求（答案不唯一）． 【点评】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形． 39．（2023秋•苍南县月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题（仅用无刻度的直尺作图，且保留必要的作图痕迹） （1）在上找一点，使； （2）在上找一点，使平分． 【分析】（1）取格点，连接交于点，点即为所求； （2）取格点，连接，取的中点，连接交于点，点即为所求． 【解答】解；（1）如图，点即为所求； （2）如图，点即为所求． 【点评】本题考查作图应用与设计作图，三角形的高，角平分线等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 一十九．命题与定理 40．（2023秋•瓯海区期中）对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是　　 A． B．， C．， D．， 【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项判断即可． 【解答】解：、满足，但不满足，满足题意； 、，满足命题“如果，那么．”，不符合题意； 、，不满足命题“如果，那么．”，不符合题意； 、，不满足命题“如果，那么．”，不符合题意； 故选：． 【点评】考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键． 41．（2023秋•娄底期末）把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果，那么”的形式： 　如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行　． 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果那么”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 【解答】解：命题可以改写为：“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行”． 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 【点评】本题考查了命题的改写．任何一个命题都可以写成“如果那么”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意． 42．（2023秋•安吉县期中）命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是 　真　命题（填“真”或“假” ． 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“两直线平行，同旁内角互补”的条件是两直线平行，结论是同旁内角互补，故其逆命题是同旁内角互补，两直线平行，因为逆命题是平行线的判定定理，故是真命题． 【解答】解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题同旁内角互补，两直线平行．它是真命题． 故答案为：真． 【点评】本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 43．（2022秋•余杭区月考）证明命题“三角形三个内角的和等于”是真命题． 已知： 求证： 证明： 【分析】先写出已知、求证，再画图，然后证明．过点作，利用，可得，，而，利用等量代换可证． 【解答】解：已知：， 求证：， 证明：过点作， ， ，， ， ． 即知三角形内角和等于． 【点评】本题考查证明三角形内角和定理，解题的关键是做平行线，利用平行线的性质进行证明． 二十．推理与论证 44．（2020秋•余杭区期中）老师让4个学生猜一猜这次考试中4个人的成绩谁最好．甲说：“乙最好”：乙说：“丁最好”；丙说：“反正我不是最好”；丁说：“乙说我最好，肯定错了”．老师告诉他们，只有一个人猜对了，于是，聪明的孩子们马上知道是谁的成绩最好了，你知道吗？　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】根据题意，分情况讨论：①假设甲最好；②假设乙最好；③假设丁最好；④假设丙最好，判断与老师说的无矛盾即可得到答案． 【解答】解：假设甲最好，则甲说得错了，则乙说错了，丙说对了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此不是甲最好； 假设乙最好，则甲说对了，则乙说错了，丙说对了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此不是乙最好； 假设丙最好，则甲说错了，则乙说错了，丙说错了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”不矛盾，因此是丙最好； 假设丁最好，则甲说错了，则乙说对了，丙说对了，丁说错了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此是丁不是最好； 因此丙的成绩最好， 故选：． 【点评】此题主要考查了推理与论证，做此类题目可以用假设的方法，进行分析排除． 45．有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按，2，3，，，的顺序排列，某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，如此下去，直到最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是 　第二副牌中的方块6　． 【分析】经过实验可知，扑克牌为张时，总能剩下牌的最后一张，那么108张牌，先数出44张后，还剩张，那么数出44张后的最后一张牌就是所剩的牌． 【解答】解：根据题意，如果扑克牌的张数为2、、、，那么依照上述操作方法，剩下的一张牌就是这些牌的最后一张， 例如：手中只有64张牌，依照上述操作方法，最后只剩下第64张牌， 现在手中有108张牌，多出（张，如果依照上述操作方法，先丢掉44张牌，那么此时手中恰有64张牌，而原来顺序的第88张牌恰好放在手中牌的最底层，这样，再继续进行丢、留的操作，最后剩下的就是原顺序的第88张牌， 按照两副扑克牌的花色排列顺序， 所剩的最后一张牌是第二副牌中的方块6． 故答案为：第二副牌中的方块6． 【点评】考查推理与论证；理解操作方法是解决本题的突破点；得到所剩牌的规律是解决本题的难点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$