专题拓展：三角函数的最值与值域问题（技巧解密+8考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

专题拓展：三角函数的最值与值域问题 1、形如 (或)型 可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论 2、形如 (或型 （1）先由定义域求得的范围 （2）求得 (或)的范围，最后求得最值 3、形如型 引入辅助角转化为，其中，再利用三角函数的单调性求最值。 4、形如或型， 可利用换元思想，设或，转化为二次函数求最值， t的范围需要根据定义域来确定． 5、形如型 利用和的关系，通过换元法转换成二次函数求值域 6、分式型三角函数值域 （1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域； （2）判别式法 考点一：求正弦型三角函数的值域 例1．（22-23高一下·江西·期中）函数最大值为（    ） A．2 B．5 C．8 D．7 【答案】B 【解析】∵，∴ ，∴ ，即 ． ∴函数最大值为5．故选：B． 【变式1-1】（22-23高一下·四川眉山·月考）已知 在区间上的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为所以 结合三角函数的图像性质，函数在单调递增， 所以故选：A. 【变式1-2】（23-24高一下·北京·期中）函数的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，则当，即时，， 当，即时，， 所以所求最大值、最小值分别为.故选：A 【变式1-3】（23-24高三上·陕西咸阳·月考）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得，则.故选：A. 考点二：求余弦型三角函数的值域 例2．（23-24高一上·四川雅安·月考）函数的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为，所以，所以最小值为，故选：B 【变式2-1】（23-24高一下·广西·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为函数在上递增，上递减， 又，，， 所以即.故选：A． 【变式2-2】（23-24高一下·江西吉安·月考）函数，的值域为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以，所以． 所以函数的值域为．故答案为： 【变式2-3】函数y=2cos(2x+)，x[-，]的值域是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，因为x[-，]，所以， 而函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，，即函数的值域是．故选：A． 考点三：求正切型三角函数的值域 例3．（22-23高一·全国·课堂例题）函数，的值域为 ． 【答案】 【解析】∵函数在区间上单调递增， ∴函数在区间上的值域为． 故答案为：. 【变式3-1】函数的值域为 ． 【答案】 【解析】当时，，， 即的值域为. 故答案为：. 【变式3-2】（23-24高一下·安徽亳州·月考）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，因为，所以． 因为正切函数在上单调递增，且，， 所以．故选：A． 【变式3-3】（23-24高一下·江西·月考）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】故选：C. 考点四：利用辅助角公式求值域 例4．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 由，则， 所以，.故选：D. 【变式4-1】（23-24高三下·陕西咸阳·二模）已知函数，若时，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】, 因为，所以，则， 所以函数的值域为.故选：A. 【变式4-2】（23-24高一下·江苏连云港·月考）函数 的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】 所以函数的最大值为.故选：C. 【变式4-3】（23-24高一下·江苏宿迁·月考）已知函数，，则函数的值域是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知： ， 当时，则，所以故选：B. 考点五：与二次函数复合的三角函数值域 例5．（22-23高一上·吉林长春·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数， ∵， ∴当时，函数取得最小值为， 当时，函数取得最大值为2， 故函数的值域为，故选：A． 【变式5-1】（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 由，故， 即.故选：B. 【变式5-2】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数， 因为， 当时，可得；当时，可得， 所以函数的值域为.故选：D. 【变式5-3】（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【解析】令，，， 则，因为对称轴为， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 函数的最大值与最小值之和为. 故答案为：. 考点六：y=sinx·cosx±（sinx±cosx）的值域 例6．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则，则， 令， 所以，，则， 则， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 当时，；当时，，则. 因此，当时，则函数的值域为.故选：D. 【变式6-1】（23-24高一上·湖南衡阳·期末）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 由，故， 即， 由，故的最大值为.故选：B. 【变式6-2】（22-23高一上·吉林白城·期末）已知函数，则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 令， 即， 由，则.故选：A. 【变式6-3】（22-23高一下·云南曲靖·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 则且， 令，则， 则，， 当时，， 当时，， 故的值域为.故选：D. 考点七：分式型三角函数的值域 例7．（22-23高一下·安徽芜湖·月考）已知，则函数（    ）． A．有最小值4 B．有最大值4 C．无最小值 D．有最大值5 【答案】C 【解析】因为，令，则， 由于在单调递减，在单调递增， 故在单调递减，故，故选：C． 【变式7-1】（22-23高一下·河南南阳·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法一： 因为，所以 ∴或，∴或 故的值域为 解法二：由，得，易知， 所以，则，解得或 故的值域为．故选：B． 【变式7-2】（22-23高三上·河南郑州·月考）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，， 可得，， ，故.故选：B. 【变式7-3】函数的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】∵，∴， 由题意得， 当且仅当，即时取等号，故的最大值为． 故答案为： 考点八：根据三角函数的值域求参数 例8．（23-24高一下·河北承德·月考）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的周期为，由，得， 即，解得， 在长为一个周期的区间上，取，得，当时，， 显然函数在上单调递减，在上单调递增， 由在上的值域为，则当时，，于是， 当时，，于是， 所以的取值范围是.故选：B 【变式8-1】（23-24高三下·广东佛山·模拟预测）已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在上，，在上，， 由题意，函数在两个区间上最值相同，且最小值为， 即两区间左端点函数值均为最小值， 所以两区间右端点函数值不能小于，但两区间内最大值相同， 如图的部分图象，数形结合得且，即. 故选：A 【变式8-2】（22-23高一下·江苏苏州·月考）设函数在上单调且值域为,，则函数的值域为（    ） A．, B．, C． D． 【答案】D 【解析】函数在上单调， 所以， 且，， 可得，， 所以，故选：D． 【变式8-3】（22-23高一下·辽宁大连·月考）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 设，，函数的对称轴为 且，，， 因为函数在区间的值域为， 所以在区间上能取得，但是不能小于0， 所以.故选：C 一、单选题 1．（22-23高一下·四川眉山·期中）已知函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以，所以， 所以的值域是.故选：C. 2．（22-23高一上·河南三门峡·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设,因为，所以， 因为正切函数在上为单调递增函数，且, 所以． ∴函数的值域为，故选：A． 3．（23-24高三下·湖北·二模）函数，当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 其中， 而， 等号成立当且仅当，此时.故选：B. 4．（23-24高一下·山东德州·月考）函数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－4 【答案】D 【解析】由题， 因为，所以，所以， 所以函数的最小值为.故选：D. 5．（2023·四川成都·模拟预测）当时，函数的值域是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解法一：由题意，画出函数的图象，由，可知， 因为且， 要使的值域是，只要，即； 解法二：由题，可知， 由的图象性质知，要使的值域是， 则，解之得．故选：D. 6．（23-24高三上·河南·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且， 则， 令，则， 所以，，对称轴为， 当时，， 当时，， 即函数的值域为.故选：B 7．（22-23高一下·安徽阜阳·月考）已知函数的值域是，则实数的值等于（    ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】C 【解析】当时，由，得， 因为的值域为，所以，解得， 当时，显然不符合题意； 当，由，得， 因为的值域为，所以，解得，故选：C 8．（22-23高一下·辽宁辽阳·期末）已知函数在上的最小值为，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】因为，所以． 由于函数在上的最小值为， 则在上的最小值为，又 所以，解得．故选：C. 二、填空题 9．（23-24高一下·安徽亳州·月考）函数的最小值为 . 【答案】 【解析】令，，， 结合二次函数图象知，当，即，时，有最小值， 所以. 故答案为： 10．（23-24高一下·安徽蚌埠·月考）已知函数，，则其值域为 . 【答案】 【解析】令，，显然在上单调递增，因此，， 则原函数化为：，而在上单调递增， 于是当，即时，，当，即时，， 所以原函数的值域为. 故答案为： 11．（23-24高一下·江苏南通·月考）已知函数，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由， 因，故， 当且仅当时，即时，. 故答案为：. 12．（23-24高一上·广东广州·期末）函数在区间上的值域是 ． 【答案】 【解析】令， 因为，，所以， ， 设， 显然一元二次函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 所以函数的值域为. 故答案为：. 13．（23-24高一下·江西南昌·月考）函数的值域为 ． 【答案】 【解析】令，， 则，即，所以， 又因为，所以， 即函数的值域为． 故答案为：. 14．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）函数在区间上的最小值为 . 【答案】1 【解析】， 由，得，所以， 令，则在上单调递减， 所以时，y取最小值1，故的最小值为1． 故答案为：1. 15．（23-24高一上·湖北荆州·期末）若函数的最小值为1，则实数 ． 【答案】3 【解析】因为，其中，， 所以，解得． 故答案为：3． 16．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数在上既有最大值，又有最小值.若，则 ， . 【答案】 0 【解析】对于函数， 当时，它在上没有最大值，也没有最小值， 所以，由在上既有最大值，又有最小值，必有， 所以，其值域为. 由得， ， ， ，其中， 所以， 因为，所以，所以， 两边平方得， 因为， 根据题意可得的解集为. 所以为方程的根，所以， 所以，解得. 故答案为：0，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题拓展：三角函数的最值与值域问题 1、形如 (或)型 可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论 2、形如 (或型 （1）先由定义域求得的范围 （2）求得 (或)的范围，最后求得最值 3、形如型 引入辅助角转化为，其中，再利用三角函数的单调性求最值。 4、形如或型， 可利用换元思想，设或，转化为二次函数求最值， t的范围需要根据定义域来确定． 5、形如型 利用和的关系，通过换元法转换成二次函数求值域 6、分式型三角函数值域 （1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域； （2）判别式法 考点一：求正弦型三角函数的值域 例1．（22-23高一下·江西·期中）函数最大值为（    ） A．2 B．5 C．8 D．7 【变式1-1】（22-23高一下·四川眉山·月考）已知 在区间上的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·北京·期中）函数的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高三上·陕西咸阳·月考）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 考点二：求余弦型三角函数的值域 例2．（23-24高一上·四川雅安·月考）函数的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 【变式2-1】（23-24高一下·广西·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·江西吉安·月考）函数，的值域为 ． 【变式2-3】函数y=2cos(2x+)，x[-，]的值域是 （    ） A． B． C． D． 考点三：求正切型三角函数的值域 例3．（22-23高一·全国·课堂例题）函数，的值域为 ． 【变式3-1】函数的值域为 ． 【变式3-2】（23-24高一下·安徽亳州·月考）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一下·江西·月考）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 考点四：利用辅助角公式求值域 例4．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高三下·陕西咸阳·二模）已知函数，若时，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一下·江苏连云港·月考）函数 的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【变式4-3】（23-24高一下·江苏宿迁·月考）已知函数，，则函数的值域是（     ） A． B． C． D． 考点五：与二次函数复合的三角函数值域 例5．（22-23高一上·吉林长春·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 考点六：y=sinx·cosx±（sinx±cosx）的值域 例6．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一上·湖南衡阳·期末）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（22-23高一上·吉林白城·期末）已知函数，则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【变式6-3】（22-23高一下·云南曲靖·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 考点七：分式型三角函数的值域 例7．（22-23高一下·安徽芜湖·月考）已知，则函数（    ）． A．有最小值4 B．有最大值4 C．无最小值 D．有最大值5 【变式7-1】（22-23高一下·河南南阳·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（22-23高三上·河南郑州·月考）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】函数的最大值为 ． 考点八：根据三角函数的值域求参数 例8．（23-24高一下·河北承德·月考）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高三下·广东佛山·模拟预测）已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（22-23高一下·江苏苏州·月考）设函数在上单调且值域为,，则函数的值域为（    ） A．, B．, C． D． 【变式8-3】（22-23高一下·辽宁大连·月考）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（22-23高一下·四川眉山·期中）已知函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·河南三门峡·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·湖北·二模）函数，当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·山东德州·月考）函数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－4 5．（2023·四川成都·模拟预测）当时，函数的值域是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·河南·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一下·安徽阜阳·月考）已知函数的值域是，则实数的值等于（    ） A．2 B．-2 C． D． 8．（22-23高一下·辽宁辽阳·期末）已知函数在上的最小值为，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 二、填空题 9．（23-24高一下·安徽亳州·月考）函数的最小值为 . 10．（23-24高一下·安徽蚌埠·月考）已知函数，，则其值域为 . 11．（23-24高一下·江苏南通·月考）已知函数，则的最小值为 . 12．（23-24高一上·广东广州·期末）函数在区间上的值域是 ． 13．（23-24高一下·江西南昌·月考）函数的值域为 ． 14．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）函数在区间上的最小值为 . 15．（23-24高一上·湖北荆州·期末）若函数的最小值为1，则实数 ． 16．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数在上既有最大值，又有最小值.若，则 ， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$