第2章 有理数易错训练与压轴训练（4类易错+4类压轴）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（苏科版2024）

第2章 有理数易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　带“非”字的有理数的分类 1 易错题型二　含乘方的有理数混合运算 4 易错题型三　根据点在数轴的位置判断式子的正负 6 易错题型四　有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 8 压轴题型一　利用数轴化简绝对值 12 压轴题型二　新定义型有理数混合运算 14 压轴题型三　与有理数乘方有关的新定义型问题 16 压轴题型四　数轴上的动点问题 19 02 易错题型 易错题型一　带“非”字的有理数的分类 例1．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，2006，， (1)负数集合：｛      …｝； (2)分数集合：｛      …｝； (3)整数巢合：｛      …｝． 巩固训练 1．（22-23七年级上·云南昆明·期中）将下列各数填入相应的集合内：，，4，0，，，，． 非负整数：{____________…}； 分数：{________________…}； 负数：{________________…}． 2．（22-23七年级上·云南昆明·期中）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，0，6，，． 非负整数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}； 非正有理数集合：{ …}． 3．（23-24七年级上·辽宁营口·阶段练习）把下列各数填入它所属的集合内 ，，，，0， (1)整数集合{____________________……}； (2)分数集合{____________________……}； (3)非负数集合{____________________……}． 易错题型二　含乘方的有理数混合运算 例2．（23-24七年级下·四川泸州·期末）计算：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·四川泸州·期末）计算： 2．（23-24六年级下·上海·期末）计算：． 3．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 易错题型三　根据点在数轴的位置判断式子的正负 例3. （2024·江苏徐州·二模）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 巩固训练 1.（2023·江西九江·二模）如图，数轴上点A和点B分别表示数a和b，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（22-23七年级上·广西钦州·期末）有理数a，b在数轴上的对应位置如图所示，下列选项正确的是（　　）    A． B． C． D． 易错题型四　有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 例4. （2023秋·福建泉州·七年级统考期末）单项式a是一个正数，且，那么的值为 ． 巩固训练 1.（2023秋·七年级单元测试）如果 ， ， 是非零有理数，那么 的所有可能的值为（ ）． A．-4，-4，0，2，4 B．-4，-2，2，4 C．0 D．-4，0，4 2.（23-24七年级上·云南昆明·期中）阅读下列材料：，即当时，．用这个结论解决下面问题： (1)已知，是有理数， ①当，时，则________； ②当，时，则________； ③当，时，则_______； (2)已知，，是有理数，当时，求 3.（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)已知m，n是有理数，当时，则______； (2)已知m，n，t是有理数，当时，求的值； (3)已知m，n，t是有理数，，且，求的值． 03 压轴题型 压轴题型一　利用数轴化简绝对值 例1. （23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 巩固训练 1.（22-23七年级上·云南保山·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，    化简：． 2.（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示： (1) 1，b 2，______________2（填“”或“”） (2)化简：． 3.（23-24六年级下·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 压轴题型二　新定义型有理数混合运算 例2. 计算规定，试计算：的值． 巩固训练 1.洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“”加“★”键，再输入“”，就可以得到运算．按此程序 ． 2.（2023·河北沧州·校考二模）若，是有理数，定义一种运算“▲”：， (1)计算的值； (2)计算的值； (3)定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 3.若我们定义，其中符号“*”是我们规定的一种运算符号．例如： ．依据以上内容，求下列式子的值． (1)； (2)． 压轴题型三　与有理数乘方有关的新定义型问题 例3. （2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）现规定一种新的运算“”：，如，则 ． 巩固训练 1.（22-23七年级上·重庆开州·期中）用“”，“”定义新运算，对于任意有理数、，都有，，求的值． 2.（2023·浙江·七年级假期作业）规定:. (1)求的值； (2)若，求x的值. 3.（2023·江苏·七年级假期作业）如果，那么我们记为：．例如，则． (1)根据上述规定，填空：______，______； (2)若，则______； (3)若，，求的值． 压轴题型四　数轴上的动点问题 例4. （23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示． (1)请你在数轴上标出、、三点的位置，并填空：A表示的数为_______，B表示的数为_______，C表示的数为______． (2)把点到点的距离记为，则_____，______； (3)若点从（1）中的位置沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒使？ 巩固训练 1.（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数； (2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 2.（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______用含的代数式表示； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点与点相遇？ 3.（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，数轴的原点为，在数轴上有、两点，点对应的数是，点对应的数是1，动点、同时从、出发，分别以3个单位/秒和1个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒（）．    (1)两点间的距离是 ； (2)当时，动点对应的数是 ，动点对应的数是 ； (3)当运动时间为秒时，用含的代数式表示出点和点所对应的数； (4)当时，点是否为线段的中点？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 有理数易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　带“非”字的有理数的分类 1 易错题型二　含乘方的有理数混合运算 4 易错题型三　根据点在数轴的位置判断式子的正负 6 易错题型四　有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 8 压轴题型一　利用数轴化简绝对值 12 压轴题型二　新定义型有理数混合运算 14 压轴题型三　与有理数乘方有关的新定义型问题 16 压轴题型四　数轴上的动点问题 19 02 易错题型 易错题型一　带“非”字的有理数的分类 例1．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，2006，， (1)负数集合：｛      …｝； (2)分数集合：｛      …｝； (3)整数巢合：｛      …｝． 【答案】(1)，， (2)，，， (3)，0，2006， 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键． （1）根据负数包括负整数和负分数解答即可； （2）根据分数包括正分数和负分数解答即可； （3）根据整数包括正整数，零和负整数解答即可． 【详解】（1）负数集合：｛，，，…｝． 故答案为：，，； （2）分数集合：｛，，，，…｝． 故答案为：，，，； （3）整数集合：｛，0，2006，，…｝． 故答案为：，0，2006，． 巩固训练 1．（22-23七年级上·云南昆明·期中）将下列各数填入相应的集合内：，，4，0，，，，． 非负整数：{____________…}； 分数：{________________…}； 负数：{________________…}． 【答案】，；，，，；，， 【分析】本题考查有理数的分类，掌握非负整数、分数、负数的定义是解题的关键．先将与化简，再根据非负整数、分数、负数的定义判定即可． 【详解】解：，， 非负整数：{，…}； 分数：{，，，…}； 负数：{，，…}． 故答案为：，；，，，；，， 2．（22-23七年级上·云南昆明·期中）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，0，6，，． 非负整数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}； 非正有理数集合：{ …}． 【答案】0，6，25；，，；，，0，． 【分析】本题主要考查了有理数的分类，掌握有理数的相关定义是解题的关键． 根据有理数的相关定义分类即可． 【详解】解：由 非负整数集合：{0，6，…}； 负分数集合：{ ，，，…}； 非正有理数集合：{ ，，0，…} 故答案为：0，6，；，，；，，0，． 3．（23-24七年级上·辽宁营口·阶段练习）把下列各数填入它所属的集合内 ，，，，0， (1)整数集合{____________________……}； (2)分数集合{____________________……}； (3)非负数集合{____________________……}． 【答案】(1)，，0 (2)，， (3)，，0 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数的定义． （1）根据整数的定义进行判断即可； （2）根据分数的定义进行判断即可； （3）根据非负数的含义进行判断即可． 【详解】（1）解：整数集合{，，0……}； 故答案为：，，0； （2）解：分数集合{，，……}； 故答案为：，，； （3）解：非负数集合{，，0……}． 故答案为：，，0． 易错题型二　含乘方的有理数混合运算 例2．（23-24七年级下·四川泸州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算绝对值、有理数的乘方，再计算有理数的乘法，最后计算加减即可，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． 【详解】解： ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·四川泸州·期末）计算： 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方和乘除，然后计算加减． 【详解】 ． 2．（23-24六年级下·上海·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，先进行乘方运算、乘除运算和化简绝对值，再进行加减运算即可； 【详解】解： ． 3．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可； （2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ． 易错题型三　根据点在数轴的位置判断式子的正负 例3. （2024·江苏徐州·二模）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是观察各点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小． 根据数轴上点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小即可得到答案． 【详解】解：由图可得：，且， ∴A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 巩固训练 1.（2023·江西九江·二模）如图，数轴上点A和点B分别表示数a和b，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，由数轴可得，，即可判定． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故选：C． 2.（23-24六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴上点对应的数确定代数式的符号，解答本题的关键是熟练掌握有理数的加法法则中对于符号的确定方法．同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． 根据a、b、c三个数的位置，结合有理数的加法法则逐项分析即可． 【详解】解：∵从数轴可知：，， ∴A．， ∴，正确，故本选项不符合题意； B．∵， ∴，正确，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴，错误，故本选项符合题意； D．∵，， ∴，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 3.（22-23七年级上·广西钦州·期末）有理数a，b在数轴上的对应位置如图所示，下列选项正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上有理数的位置，计算判断即可．本题考查了数轴上表示有理数，借助数轴进行数或式子的大小比较，符号确定，熟练掌握数轴上大小比较的原则是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，，， 故A，C，D都是错误的，B是正确的， 故选B． 易错题型四　有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 例4. （2023秋·福建泉州·七年级统考期末）单项式a是一个正数，且，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】由已知推出b、c都是负数，据此去绝对值符号，即可求解． 【详解】解：∵单项式a是一个正数，且， ∴b、c都是负数， ∴，，，， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，得到b、c都是负数是解答本题的关键. 巩固训练 1.（2023秋·七年级单元测试）如果 ， ， 是非零有理数，那么 的所有可能的值为（ ）． A．-4，-4，0，2，4 B．-4，-2，2，4 C．0 D．-4，0，4 【答案】D 【分析】由题意分情况讨论：①a，b，c均是正数；②a，b，c均是负数；③a，b，c中有一个正数，两个负数；④a，b，c中有两个正数，一个负数；利用绝对值的性质，先化简绝对值，再求出结果． 【详解】解：①a，b，c均是正数，原式=； ②a，b，c均是负数，原式=； ③a，b，c中有两个负数，一个正数，原式=； ④a，b，c中有两个正数，一个负数，原式=． 所有可能的值为－4，0，4． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的计算等，注意多种情况讨论，不能丢解． 2.（23-24七年级上·云南昆明·期中）阅读下列材料：，即当时，．用这个结论解决下面问题： (1)已知，是有理数， ①当，时，则________； ②当，时，则________； ③当，时，则_______； (2)已知，，是有理数，当时，求 【答案】(1)①；②；③ (2)或 【分析】本题考查了有理数的除法， 绝对值的意义； （1）①根据由，时，则，代入即可求解； ②根据由，时，则，代入即可求解； ③根据由，时，则，代入即可求解； （2）当时，分两种情况讨论：①，，，②，，，进行求解即可． 【详解】（1）解：①由，时，则， ∴； 故答案为：． ②由，时，则， ∴； 故答案为：0． ③由，时，则， ∴； 故答案为：． （2）当时， 都小于，或中一个小于，另外两个都大于，分两种情况讨论： ①当，，时， ； ②当，，时， ； 综上所述：或． 3.（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)已知m，n是有理数，当时，则______； (2)已知m，n，t是有理数，当时，求的值； (3)已知m，n，t是有理数，，且，求的值． 【答案】(1)0； (2)1或； (3)或3． 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键； （1）先判断同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可； （2）先判断m，n，t全负或m，n，t两正一负，再分情况化简绝对值，再计算即可； （3）先判断m，n，t两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案． 【详解】（1）解：∵m，n是有理数，当时， ∴同号， 当，时， ， 当，时， ； （2）∵ ∴m，n，t全负或m，n，t两正一负 ①当m，n，t全负时， ②当m，n，t两正一负时 Ⅰ）当，，时， Ⅱ）当，，时， Ⅲ）当，，时， 综上所述，的值为1或； （3）∵ ∴，，． ∴ 又∵， ∴m，n，t两正一负 由（2）可知的值为或3． 03 压轴题型 压轴题型一　利用数轴化简绝对值 例1. （23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得到，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ． 巩固训练 1.（22-23七年级上·云南保山·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，    化简：． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与有理数，绝对值化简，根据数轴可得，进而得到，，，，根据绝对值的性质即可化简求解，由数轴判断出、、与的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，，， ∴原式， ， ． 2.（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示： (1) 1，b 2，______________2（填“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了根据数轴比较大小，化简绝对值，合并同类项，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义； （1）根据数轴上确定各个有理数的大小关系，然后比较即可； （2）确定绝对值符号内代数式的正负情况再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算即可求解． 【详解】（1）由数轴可知：，，且， ，， 故答案为：，，； （2）由（1），得． 又， 所以， 所以 ． 3.（23-24六年级下·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 压轴题型二　新定义型有理数混合运算 例2. 计算规定，试计算：的值． 【答案】5 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 巩固训练 1.洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“”加“★”键，再输入“”，就可以得到运算．按此程序 ． 【答案】8.5 【分析】根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故答案为：8.5． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，有理数的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． 2.（2023·河北沧州·校考二模）若，是有理数，定义一种运算“▲”：， (1)计算的值； (2)计算的值； (3)定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 【答案】(1)8 (2)8 (3)不成立，见解析 【分析】（1）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可； （2）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可； （3）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，分别计算和，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意得：， （2）解：由题意得， ∴； （3）解：不成立，理由如下： ∵，， ∴，即定义的新运算“▲”对交换律不成立． 【点睛】本题主要考查了新定义下的有理数四则混合运算，解题的关键是正确理解题意，明确题目所给新定义的运算顺序和运算法则． 3.若我们定义，其中符号“*”是我们规定的一种运算符号．例如： ．依据以上内容，求下列式子的值． (1)； (2)． 【答案】(1)38 (2) 【分析】（1）将、代入，根据有理数混合运算顺序和法则计算可得； （2）将、代入，根据有理数混合运算顺序和法则计算可得． 【详解】（1）解：； （2）． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键． 压轴题型三　与有理数乘方有关的新定义型问题 例3. （2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）现规定一种新的运算“”：，如，则 ． 【答案】 【分析】根据题中所给的运算方法列出乘方的式子，再根据乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】解：，如， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟知数的乘方法则是解答此题的关键． 巩固训练 1.（22-23七年级上·重庆开州·期中）用“”，“”定义新运算，对于任意有理数、，都有，，求的值． 【答案】 【分析】根据新定义，先计算再计算，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴ ． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解新定义是解题的关键． 2.（2023·浙江·七年级假期作业）规定:. (1)求的值； (2)若，求x的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据原式将、代入即可求解； （2）将，代入等式，即可求解x的值． 【详解】（1）原式； （2）， ， ， ． 【点睛】本题考查新型定义下的数学运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键． 3.（2023·江苏·七年级假期作业）如果，那么我们记为：．例如，则． (1)根据上述规定，填空：______，______； (2)若，则______； (3)若，，求的值． 【答案】(1)3，2 (2) (3)4 【分析】（1）理解题意，根据有理数乘方计算求解； （2）根据题意得到，求得x的值即可； （3）根据题意，由有理数的乘方计算求得a与b的值，然后求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3，2． （2）∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为： （3）解：∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴的值为4． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方运算，正确将原式变形是解题关键． 压轴题型四　数轴上的动点问题 例4. （23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示． (1)请你在数轴上标出、、三点的位置，并填空：A表示的数为_______，B表示的数为_______，C表示的数为______． (2)把点到点的距离记为，则_____，______； (3)若点从（1）中的位置沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒使？ 【答案】(1) (2)5，8 (3)5或11 【分析】本题考查数轴上点的表示，数轴上两点间距离，数轴上动点问题． （1）根据题意利用观察即可得到本题答案； （2）根据题意利用两点间距离即可得到； （3）分情况讨论当点A在点C的左侧时和当点A在点C的右侧时，分别列式即可得到本题答案． 【详解】（1）解：由题意得：A点对应的数为，B点对应的数为1，点C对应的数为4， 点A，B，C在数轴上表示如图： A表示的数为，B表示的数为1，C表示的数为4， 故答案为：； （2）解：∵A点对应的数为，B点对应的数为1，点C对应的数为4， ∴，， 故答案为：5，8； （3）解∶①当点A在点C的左侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：， 解得：； ②当点A在点C的右侧时， 设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：， 解得：， 综上，经过5或11秒后点A到点C的距离为3cm． 巩固训练 1.（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数； (2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 【答案】(1)6 (2)2 (3)或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分两种情况，点在还没达到原点，点Q到原点O的距离为4；到达原点后距离原点后，点Q到原点O的距离为4，计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答。 【详解】（1）解：当时， 点Q表示的数为； （2）解：当时， 点Q运动的路程为， 点Q表示的数为 （3）解：①点还没达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为； ①点达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为， 故点P表示的数为或． 2.（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______用含的代数式表示； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点与点相遇？ 【答案】(1)；． (2)当点运动秒时，点与点相遇． 【分析】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据题意得出各线段之间的等量关系是解题关键． （1）由题意知，，因为点在原点左边，从而得出数轴上点表示的数；动点从点出发沿数轴向左匀速运动，根据题意则得出点表示的数； （2）设点运动秒时追上点，根据题意列方程，解得值． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， 则， 又∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； 点P运动t秒的长度为， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：． （2）设点运动秒时追上点， 根据题意，得，         解得：，                        答：当点运动秒时，点与点相遇． 3.（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，数轴的原点为，在数轴上有、两点，点对应的数是，点对应的数是1，动点、同时从、出发，分别以3个单位/秒和1个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒（）．    (1)两点间的距离是 ； (2)当时，动点对应的数是 ，动点对应的数是 ； (3)当运动时间为秒时，用含的代数式表示出点和点所对应的数； (4)当时，点是否为线段的中点？ 【答案】(1) (2)， (3)， (4)是，理由见解析 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）根据即可求解； （2）根据动点的起始位置、运动方向和运动速度即可求解； （3）根据动点的起始位置、运动方向和运动速度即可求解； （4）表示出线段的中点对应的数即可求解； 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解：当时，动点对应的数是：； 动点对应的数是：， 故答案为：， （3）解：当运动时间为秒时，动点对应的数是：； 动点对应的数是： （4）解：线段的中点对应的数是： 令， 解得： ∴当时，点是否为线段的中点 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$